北航空气动力学课后答案(1至9章)

第一章 解：）（k s m 84.259m k R 2

2328315

?===

-

RT p ρ=

36

m kg 63.506303

2.5984105RT P =??==

ρ 气瓶中氧气的重量为

354.938.915.0506.63G =??==vg ρ

解：建立坐标系

根据两圆盘之间的液体速度分布量呈线性分布 则离圆盘中心r ，距底面为h 处的速度为

0u kn u +=

当n=0时 u=0推出0u 0= 当n=h 时 u=wr 推出h

wr k =

则摩擦应力τ为

h

wr u dn du u ==τ

上圆盘半径为r 处的微元对中心的转矩为

θθτdrd h

wr u r rdrd h wr u r dA d 3

=?=?=T

则?

?

=

=T 2D 0

3

3

20

32

D u drd h

r u

ωπθωπ

解：在高为10000米处

T=?压强为

??

? ??=Ta T Pa P

M

KN

43.26Ta T pa p 2588

.5=?

?

? ??=

密度为2588

.5Ta T a ?

?

?

??=ρρ

m

kg

4127.0Ta T a 2588

.5=?

??

??=∴ρρ

1-7解:2M KG 24.464RT

P

RT p ==

∴=ρρ

空气的质量为kg 98.662v m ==ρ

第二章

2-2解流线的微分方程为

y

x v dy

v dx =

将v x 和v y 的表达式代入得

ydy x dx y

x 2dy

x y 2dx 2

2==， 将上式积分得y 2-x 2=c ，将（1，7）点代入得c=7

因此过点（1，7）的流线方程为y 2-x 2=48

2-3解:将y 2+2xy=常数两边微分 2ydy+2xdx+2ydx=0

整理得ydx+（x+y ）dy=0 （1） 将曲线的微分方程y

x V dy

V dy =

代入上式得 yVx+（x+y ）V y =0 由22y 2xy 2x V ++=得 V x 2+V y 2=x 2+2xy+y 2 （（2）

由（1）（2）得()y v y x v y x =+±=，

2-5解:直角坐标系与柱坐标系的转换关系如图所示 速度之间的转换关系为{

θ

θθθ

θθcos v sin v v sin v cos v v r y r x +=-=

由θθθ

θθθcos r

1

y v sin y

r

sin r 1x

v cos x r

rsin y rcos x =??=??????

?-=??=??????==

()()?

?

?

??--??+-??=????+?????=??θθθθθθθθθsin r 1sin V cos V cos sin V cos V r x v v x r r v x v r r x x x

θ

θθθθθθθθθθθθsin cos V sin V sin V cos V r 1cos sin r V cos r V r r r ??

?

??-??--??-??? ????-??=θθθθθθθθθθθθθθcos sin V r

1

sin V r 1sin V r 1cos sin V r 1cos sin r V cos r V 22r r 2r +??++??-??-??=

()()θθθθθθθθθcos r

1cos V sin V sin cos V sin V r y v v V y r V V V V r r y x y x

y +??

+

+??=?????+?????=

??θθθθθθθθθθθθθcos r

1

sin V cos V cos V sin V sin cos r V sin r V r r r ??? ??-??++??+??? ????+??=

θθθθθθθθθθθθθcos sin V r

1cos V r 1cos V r 1cos sin v V r 1cos sin r V sin r V 22r r 2r -??++??+??+??=

z

V V V r 1r V z V y V x V div z

r r z y x ??+

??? ??

??++??=??+??+??=

∴θ

υθ

2-6解：（1）siny x 3x V 2x -=?? siny x 3y V 2

y =?? 0y V x V y x =??+??

∴此流动满足质量守恒定律

（2）

siny x 3x V 2x =?? siny x 3y

V 2y =?? 0siny x 6y V x V 2y

x ≠=??+?? ∴此流动不满足质量守恒定律

（3）V x =2rsin r

xy

2=θ V y =-2rsin 2r

y 22

-=θ

33

r

y 2x V x =??

3

3

2y

r 2y y x 4y V +-=??

0r

y

x 4y V x V 32y x ≠-=??+?? ∴

此流动不满足质量守恒方程

（4)对方程x 2+y 2=常数取微分，得

x

dy dy dx -= 由流线方程y

x v dy v dx =

(1) 由）（得2r k v v r k v 422

y 2x =+= 由（1）（2）得方程3x r ky v ±

= 3

y

r kx v = 2

5x r kxy

3x V =??∴

2

5y r

kxy 3y

V ±

??

0y

V x V y

x =??+??

∴此流动满足质量守恒方程

2—7解：

0x V

z V 0r yz 23r yz 23z V y V z x 2727y z =??-??=?+?-=??-??同样 0y

V x V x y =??-??

∴该流场无旋

()

()()2

32222222

3

2

22

z y x z y x z y x d 21z

y x

zdz

ydy xdx dz v dy v dx v d ++++?=++++=

++=Φ

c z

y x 12

2

2

+++-=Φ∴

2—8解：（1）a x V x x =??=θ a y

V y y =??=θ a z V

z z -=??=θ 021v ;021v ;021v z y x =???? ????+??==??? ????+??==???? ????+??=y V x V x V z V z V x V x x z x y z （2）0y V x V 210x V z V 210z V y V 21x y z z x y y z x =????

????-??==??? ????-??==???? ????-??=ωωω；； 位该流线无旋，存在速度

∴ （3）azdz 2aydy ax dx dz v dy v dx v d z y x -+=++=?

c az ay 21

ax 21222+-+=∴?

2—9解：曲线x 2y=-4，()04y x y x f 2=+=， 切向单位向量2

2

4

2

2

4

22

y

2

x 2

y

2

x y

x 4x x y 2y

x 4x x f f fx f f fy +-

+=

+-

+=

v t ??=?=?=??切向速度分量 把x=2，y=-1代入得()

()x 2x y x 2x j y

i x 2+-+--=??+??=

?=?

?? 2121y x 4x 2xy y x 4x x 2

242

242+=???

? ??+-

+= 23t v v t -

=?= j 23

i 23j 21i 2123t v v t t --=??

?

??+-==

2—14解：v=180h

km =50s m

根据伯努利方程22

V 2

1V 21p ρρρ+=+∞∞ pa p =∞

驻点处v=0，表示为1531.25pa 501.2252

1V 21pa p 22

=??==-∞ρ

相对流速为60s m 处得表

示为75.63760225.12

1

25.1531V 21V 21pa p 222-=??-=-=-∞ρρ

第三章

3—1解：根据叠加原理，流动的流函数为()x

y

arctg 2Q y V y x π?+

=∞， 速度分量是2

2y 22x y x y

2Q x V y x x 2Q V y V +?=??-=+?+=??=

∞π?π?； 驻点A 的位置由V AX =0 V Ay =0求得 0y V 2Q

x A A =-

=∞

；π 过驻点的流线方程为2

x y arctg 2y x y arctg 2y y Q V Q V A A A =+=+

∞πθπ θ

θ

ππθππsin 2r x y arctg 2y -?=

??? ??-=

∞∞V V Q 或即 在半无限体上，垂直方向的速度为θ

πθ

θππ-sin v r sin 2y x y 2v 22

2y ∞==+=Q Q 线面求极值()0-sin v -cos sin v 2d dv 2

2y

=+=∞∞θπθ

θπθθθ 当0sin =θ 0v v min y y ==

2-tg -=θ

πθ

max y y v v =

用迭代法求解

2-tg -=θ

πθ

得 取最小值时，y 1v 2183.1139760315.1 ==θ 取最大值时，y 2v 7817.2463071538.4 ==θ

由θ

πθ

θππ-sin v r sin 2y x y 2v 22

2y ∞==+=Q Q

θ

πθ

θθππ-cos sin v r cos 2v y x x 2v v 2

2x +=+=++

=∞∞∞Q Q 可计算出当∞∞===v 6891574.0v v 724611.0v x y 1，时，θθ

6891514.0v v 724611.0v x y 2=-==∞，时，θθ 合速度∞=+=v v v 2

y 2

x V

3—3解：设点源强度为Q ，根据叠加原理，流动的函数为 x

a 3-y arctg 2a x y arctg 2a x y arctg 2πθπθπθ?+++-=

两个速度分量为()()()

???

????

?+++++++--=

222

222a 3-y x x

y a x a x y a x a x 2x π

θ

()()()

???

?

???

?++++++-=

222

222y a 3-y x a

3-y y a x y y a x y 2v π

θ

对于驻点，0v v y x ==，解得a 3

3y 0x ==A A ，

3—4解：设点源的强度为Q ，点涡的强度为T ，根据叠加原理得合成流动的位函数为

Q ππθ?2lnr 2Γ

+=

πθ?πθ?θ2r 1r 12r 1r r Γ

=

??==??=V V ； 速度与极半径的夹角为Q

arctg arctg r Γ

==V V θθ

3—5根据叠加原理得合成流动的流函数为???? ??+--+=∞y a y y

aarctg a y y aarctg V ? 两个速度分量为()()()()??

????++---+++=??=

∞1y v 2

222x y a x a x a y a x a x a V ? ()()??

????+--++=??-

=∞2222y y v y a x y

y a x y a V ? 由驻点()

0a 30，得驻点位置为±==y x v v

零流线方程为0a

y y aarctg a y y x aarctg

y =--++∞∞V V 对上式进行改变，得??

? ?

?-

=-+a y tan ay

2a y x 222

当0x =时，数值求解得a 03065.1y ±=

3—9解：根据叠加原理，得合成流动的流函数为

a y y arctg 2a y y arctg 2y v -++-

=∞ππ?Q Q

速度分量为()()2

222x y

a x a

x 2y a x a x 2y v v +-+++++-

=∞ππQ Q ()()2

222y y a x a x 2y a x a x 2v +-+++++-

=ππQ Q

由0v v y x ==得驻点位置为???

? ??+±∞0v a a 2，πQ 过驻点的流线方程为

a

y y

arctg 2a y y arctg 2y v =-++-

-∞ππQ Q 上面的流线方程可改写为

a

y y

arctg a y y arctg y v 2--+=∞Q π 222a y x ay

2a y y arctg a y y arctg tan y v 2tan -+=???? ?

?--+=???? ??∴∞

Q

π 容易看出y=0满足上面方程

当0y ≠时，包含驻点的流线方程可写为??

? ??-

=-+∞Q y v 2tan ay

2a y x 222π

当12v a ==

=∞π

Q

时，包含驻点的流线方程为tany y 21y x 22--=-+

3—10解：偶极子位于原点，正指向和负x 轴夹角为α，其流函数为 2

2y

x x sin ycos 2+--

=ααπ?M 当

45=α时

2

2y x x

y 222+--

=π?M

3—11解：圆柱表面上的速度为a

2sin v 2v πθΓ-

-=∞ 2

222

22a 4a 2sin v 4v ππθΓ+Γ=∞ 222222

v a 4av 2sin 4sin 4v v ∞

∞∞Γ+Γ+=???? ??ππθθ

压强分布函数为2

22

p v asin 41sin 41v v 1???? ?

?Γ+-=???? ??-=∞∞θπθC

第四章

4—1解：查表得标准大气的粘性系数为n kg 1078.1u 5-?= 6

5

el 1023876.110

78.16.030225.1u ?=???=

=

-∞L

V R ρ 平板上下两面所受的总得摩擦阻力为

N S V L R F 789.02

1e 664.0222

=??

=∞ρ 4—2

解：沿边阶层的外边界，伯努利方程成立

代表逆压梯度代表顺压梯度，时；当时当0m 0m 0

0m 00m m v v v 2

1p 1

22

01002

??∴????????-=-=??-=??=+--x

p

x p x v x v x v x

x p c m m m ρρρρδδδ

4—4解：（a ）将2

x y 21y 23v v ??? ??-??? ??=δδδ带入（4—90）中的第二式得

δδδ

δδ

28039dy v

v 1v v 0

x x =???

? ??-=?

** 由牛顿粘性定律δ

τδ

u u 23y v u 0y x w =???? ????==下面求动量积分关系式，因为是平板附面层

0dx dv =∴δ积分关系式可表示为dx

d v 2w *

*=δρτδ 将上述关系式代入积分关系式，得

δ

ρδδv dx

u d 14013=边界条件为x=0时，0=δ 积分上式，得平板边界层的厚度沿板长的变化规律

()64

.428039

646.0x x x

64

.4l

l ?==∴=

*

*R R δ

δ

（b ）

()74

.164.483x x 8

3

dy v v 1l

x =?=∴=???? ?

?-

=*

∞*?R δ

δδδ

（c ）由（a ）知()

64.4x x l =R δ

（d ）646

.0x x

646

.0v 2

1

324x

x 64.4u

2

3

l f l 2w

f l w =∴==

==R C R C R δρτδδδτ）得—由（； （e ）单面平板的摩擦阻力为()292

.1x x 292

.1s v 2

1b bdx v 2

1

l f l 2f l

02f

=∴=

==?R C R X C C X F F δδρρ摩阻系数为假设版宽为

4—6解：全部为层流时的附面层流厚度由式（4—92）得 ()01918.048.5L e ==L

R L δ

全部为湍流时的附面层流厚度由式（4—10）得

()0817.037.0L 5

1

e ==-L LR δ

第五章

5-1 一架低速飞机的平直机翼采用NACA2415翼型，问此翼型的f ，f x 和c

各是多少？

解：此翼型的最大弯度f =2% 最大弯度位置f x =40% 最大厚度c =15%

5-2 有一个小α下的平板翼型，作为近似，将其上的涡集中在41弦点上，见

图。试证明若取4

3弦点处满足边界条件，则α

l C =2π 1-rad

解：点涡在41处，在43处满足边界条件，即

b

v v 4

2''4

3α

πω?

Γ-

==

代入边界条件表达式

α

∞∞

-=v dx

dy v v f '中，

απ∞-=Γ

-v b

∴απ∞=Γbv

∴升力Γ=Y ∞

v

ρ

απρ∞∞?=bv v

απρb v ?=∞2

πα

ρ22

12

=?Y =

∞b v C y

πα

α

2==

∴d dC C y y 1-rad

5-3 小迎角下平板翼型的绕流问题，试证明)(θγ可以有以下两种形式的解：

1）αθ

θ

θγ∞?=

v 2sin cos )( 2） αθ

θ

θγ∞?+=

v 2sin cos 1)(

而解1）满足边界条件，解2）不满足边界条件。

解：迎角弯度问题的涡强方程为

)()(210

αξξ

γπ-=-∞?

dx

dy

v x d b

（*）

置换变量后，上面方程化为

?

-=--∞π

αθθπθ

θθγ0

1)()cos (cos 2sin )(dx

dy v d f

对1） αθ

θ

θγ∞?=v 2sin cos )( 带入方程（*）

左?

-?-=

∞π

θθπθθαθ

θ

1)

cos (cos 2sin 2sin cos d v

?

--=∞π

θθπθθα0

1)cos (cos 2cos 2d v

?

--?=

∞πθθθθπ

α

1cos cos cos d v

π

αθθπ∞?

-=v 11sin sin

α∞-=v

右αα∞∞-=-=v v )

( 故方程满足

对于2）， αθ

θ

θγ∞?+=v 2sin cos 1)(

代入方程（*）

左?-?+-=∞π

θθπθθαθθ

01)

cos (cos 2sin 2sin cos 1d v

?

-+-=∞π

θθπθθα0

1)

cos (cos 2)cos 1(2d v

?

-+-=π

θθθθ0

1

cos cos )cos 1(d

π

αθθθθθθθπ

π∞

?

?----=v d d )cos cos cos cos cos (0

011

π

αθθπθπ∞--=v )

sin sin sin 0

(111

=-=∞αv 右 故方程满足

后缘条件： ①αθ

θ

θγ∞?=v 2sin cos )( 当πθ

=后缘处

02sin cos ≠-∞=?=∞απ

πγv

故不满足后缘处0=γ的条件

② αθ

θ

θγ∞?+=v 2sin cos 1)(

π

θ=后缘处，ααππγ∞∞=?+=

v v 20

2sin cos 1 当πθ→时取极限θ

θsin cos 1lim

+

θ

θ

cos sin 0lim -=

ππcos sin 0-=

01

0=-= 故πθγ==0

满足后缘条件

5-4 NACA2412翼型中弧线方程是 ]80.0[8

1

2x x y f -=前 4.00≤≤x

]80.020.0[0555.02x x y f -+=后 0.14.0≤≤x

见图。试根据薄翼型理论求α

y C ，

0α，F

x

和0Z m 并与表5-1中实验数据

相比较。[ 095.20-=α，πα2=y

C 1-rad ，25.0=F x ，05309.00-=Z m ] 解：rad C y /2πα

=

?

-=

π

θθπα0

0)cos 1(1

d dx

dy f

由变量置换)cos 1(2

θ-=b

x 取1=b 知4.0=x 时

2.0cos =f θ πθ44.0369.146

3.78===rad f

又?

????-=--=-=x

x x x dx dy f

111.00444.0]28.0[0555.025.01.0]28.0[81

]

)cos 1)(111.00444.0()cos 1)(25.01.0([1

0??--+--=

∴π

θθθθθθπ

αf

f

d x d x

}

)cos 1()]cos 1(2

1

111.00444.0[)cos 1)](cos 1(2125.01.0[{10??--?-+--?-=f f

d d θπθθθθθθθπ 095.2-= （注意：F x 是焦点，f x 是最大弯度位置）

?-=πθθθ0)cos 2(cos 210d dx

dy m f Z

?--=f

d x θθθθ0)cos 2)(cos 25.01.0(21

?--+π

θθθθf

d x )cos 2)(cos 111.00444.0(21

053.0-=

实验值为 πα2985.0?=y C

90.10-=α

243.0=F x

05.00-=Z m

5-5 一个翼型前段是一平板，后段为下偏

15的平板襟翼，见图。 试求当

5=α时的y C 值。

解：199246.0165cos 222≈=??-+=

BC AC BC AC AB

1sin 15sin β?=?AB BC

rad 087.0598.41=≈= β

101512=-=ββ

087.0tan 1==???

??βAC

dx dy 1745.0tan 2-=-=???

??βBC

dx dy

b x h 32= )cos 1(2

θ-=b

x

916.1=∴h θ

?

-=π

θ

θα0

0)cos 1(d dx

dy f

?

?

--+

-=

91

.10

91

.1)cos 1)(1745.0(1

)cos 1(087.01

π

θθπθθπd d

[]π

θθθθπ

916

.1916

.10

)sin )(1745.0()sin (087.01

--+-=

38.50939.0-=-=rd

69.1180/)(20=?-=πααπy C

5-7 一个弯板翼型，1=b ，)2)(1(--=x x kx y f ，k 为常数。%2=f 。

试求： 3=α时的y C 和Z m 。

解：?

-=

π

θθπα0

110

)cos 1(1

d dx

dy f

?

-+-=π

θθπ

112)cos 1)(263(1

d x x k

110

12

1)cos 1(]2)cos 1(2

16)cos 2121(3[1

θθθθπ

π

d k -+-?--=

?

?

--+=

π

θθθθπ

11112)cos 1](4

1

cos 23cos 43[1

d k k 8

5

-=

?-=πθθθ0111)cos 2(cos 210

d dx

dy m f Z

πk 32

9

-=