-2013年全国初中数学联赛试题及详解

2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1.计算=（）

（A 1 （B ）1 （C （D ）2

【答案】（B ）

【解析】原式=1)3)1-=-=，故选（B ）.

2.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6

【答案】（A ）

【解析】分三种情况进行讨论：

（1）若21m -=，即1m =时，满足已知等式；

（2）若21m -=-，即3m =时，()2242(1)1m m m ---=-=满足已知等式；

（3）若21m -≠±，即1m ≠且3m ≠时，由已知，得22020

m m m -≠??--=?解得，1m =-

故满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和13(1=3++-），故选（A ）.

3.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠= ，ABC ∠的平分线交圆O 于

点D ，若CD =，则AB =（）

（A ）2 （B （C ）（D ）3

【答案】（A ）

【解析】连接OC ,过点O 作ON CD ⊥于点N ，则

CN DN ==,OC OA =,从而15OCA CAB ∠=∠= ,由AB 是圆O 的直径，得90ACB ∠= ,因CD 平分ACB ∠,故45ACD ∠= ,30OCN ACD OCA ∠=∠-∠= ,

在Rt ONC ?中，∵cos CN OCN OC ∠=

=,1OC =∴,∴22AB OC ==,故选（A ）. 4.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数解(,)x y 的组数为（）

（A ）1 （B ）2

（C ）3 （D ）4

【答案】（B ）

【解析】由2

3725170x xy x y +---=，得2321775x x y x -++=-，因,x y 为正整数，故1,1x y ≥≥，从而750,x ->于是2321775x x x -++≥-，2

35220x x +-≤，即 (2)(311)0x x -+≤，由1x ≥，知3110x +>，故20x -≤，2x ≤，故1x =或2x =

当1x =时，8y =；当2x =时，1y =.

故原不定方程的全部正整数解(,)x y 有两组：(1,8)，(2,1),故选（B ）.

5.矩形A B C D 的边长3,2AD AB ==,E 为AB 的中点,F 在线段BC

上,1

2BF FC =∶∶，AF 分别与DE ,DB 交于点,M N ,则MN =（）

（A ）7 （B ）14 （C ）28 （D ）28

【答案】（C ）【解析】因

BF FC =,故 13BF BF DA BC ==,113BF AD ==,因BF AD ∥,故BNF DNA ??∽,故13

FN BF AN DA ==,故11313344

FN AN AF AF ==?=.延长,D E C B 交于点G ,则由E 为AB 的中点，知A D E B G E ??≌,故3BG AD ==,134FG BF BG =+=+=,因FG AD ∥,故

AMD FMG ??∽,故34AM AD FM FG ==，故3347AM FM AF ==,于是

319742828MN AF AM FN AF AF AF AF =--=--===, 故选（C ）.

6.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合数的个数，则称n 为“好数”那么，所有“好数”之和为（）

（A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014

【答案】（B ）

【解析】因1既不是质数，也不是合数，故“好数”一定是奇数.

设不超过n 的正整数中，质数的个数为n a ,合数的个数为n b ,当15n ≤时，列表如下（只考虑n 为奇数的情况）：

由上表可知，1,9,11,13都是“好数”.

因15152b a -=，当16n ≥时，在15n =的基础上，每增加2个数，其中必有一个为偶数，当然也是合数，即增加的合数的个数不会少于增加的质数的个数，故一定有2,n n b a -≥ 故当16n ≥时，n 不可能是“好数”.

因此，所有的“好数”之和为19111334+++=，故选（B ）.

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++= .

【答案】4

【解析】由4,x y +=得4x y =-，代入129z xy y +=+-，得

221(4)2969(3)0z y y y y y y +=-+-=-+-=--≥，故2(3)0y -≤，

又2(3)0y -≥，故2(3)0y -=，故3,1,1y z x ==-=，于是234x y z ++=.

2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3(2)n n >个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n = .

【答案】8

【解析】只有一个面染成红色的小正方体的总数为26(2)n -个，任何面都不是红色的

小正方体的总数为3(2)n -个，依题意有236(2)(2)n n -=-，解得8n =(2n =舍去).

3.在ABC ?中，60,75,10A C AB ∠=∠== ，,,D E F 分别在,,AB BC CA 上，则

DEF ?的周长最小值为 .

【答案】【解析】分别作点E 关于,AB AC 的对称的,P Q .

则,DE PD EF FQ ==.连接,,,,,AE AP AQ DP FQ PQ ,

则120PAQ ∠= ,且AP AE AQ ==,从而30APQ ∠= ，故12cos30PQ

，PQ =,过点A 作AH BC ⊥于点H ,则

sin 10sin 45AH AB B =?=?= DEF ?的周长为

l DE DF EF PD DF FQ PQ =++=++≥==≥=

当且仅当点E 与点H 重合，且,,,P D F Q 四点共线时取得等号，即DEF ?

的周长min l =4.若实数,,x y z 满足()2228x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示,,x y y z --z x -的最大值，则A 的最大值为 .

【解析】由已知，得222()()()16x y y z z x -+-+-=，不妨设A x y =-，则[]22222222()()()2()()216()2(16)A x y y x y z z x y z z x x y A ????=-=-=-+-≤-+-=--=-????

解得A ≤.

当且仅当x y y z z x -=-=-=时取等号.

故A

第二试（A ）

一、（本题满分20分）已知实数,,,a b c d 满足()2222223236,a c b d ad bc +=+=-=

求()()2222a b c d ++的值.

解：设2222,m a b n c d =+=+，则222223(23)(23)12.m n a c b d +=+++= 因()()2223232424m n m n mn mn +=-+≥，即21224mn ≥，故6mn ≤ ○1 又因为

()()()()22222222222222mn a b c d a c b d a d b c ac bd ad bc =++=+++=++-

故()26mn ad bc ≥-= ○2

由○1，○2可得 6.mn =即()()22226a b c d ++=

注：符合条件的实数,,,a b c d 存在且不唯一，应满足

2222

222220(1)

2233(2)

23236(3)()6(4)ac bd a b c d a c b d ad bc +=??+=+??+=+=??-=? 由（1）得a b d c =-，令a b

t d c =-=，则

,a dt b ct ==-，代入（2

）得2t =

t =-，于是

,22a b ==-

或,22

a d

c =-=，代入（3）或（4），得222c

d +=，故符合条件的实数,,,a b c d

存在且不唯一，如1,a b c d =

===就是一组.

又如1,1a b c d ====也是一组，当然还有很多组. 二、（本题满分25分）已知点C 在以AB 为直径的圆O 上，过点,B C 作圆O 的切线，交于点P ，连接AC ，若92OP AC =，求PB AC

的值. 解：连接OC ，因为,PC PB 为圆O 的切线，所以POC POB ∠=∠

因为OA OC =,所以OCA OAC ∠=∠,因为COB OCA OAC ∠=∠+∠，

所以22POB OAC ∠=∠,所以POB OAC ∠=∠,所以OP AC ∥

连接BC ,因AB 为圆O 的直径，PB 为圆O 的切线，故90ACB OBP ∠=∠= 又POB OAC ∠=∠，所以BAC POB ??∽，所以

AC AB OB OP =. 又92OP AC =,2AB r =,OB r =（r 为圆O 的半径），代入,得23,3

OP r AC r ==. 在Rt POB ?中，由勾股定理,

得PB =,

所以3

PB AC r ==三、（本题满分25分）已知t 是一元二次方程210x x +-=的一个根，若正整数,,a b m 使得等式()()31at m bt m m ++=成立，求ab 的值.

解：因为t 是一元二次方程210x x +-=的一个根，显然t 是无理数，且2

1t t =-.

由()()31at m bt m m ++=，得()22310abt m a b t m m +++-=，将2

1t t =-代入，得 ()()21310ab t m a b t m m -+++-=，即()()2310.m a b ab t ab m m +-++-=???? 因为,,a b m 是正整数，t 是无理数，所以()20310m a b ab ab m m ?+-=??

+-=??，于是可得23131a b m ab m m +=-??=-? 因此,a b 是关于x 的一元二次方程()2231310x m x m m +-+-=的两个正整数根，该方程

的判别式()()()()2231431313150.m m m m m ?=---=--≥

又因为,a b 是正整数，所以310a b m +=->，从而可得310.5m <≤

又因为判别式?是一个完全平方数，验证可知，只有6m =符合要求.

把6m =代入,得231150.ab m m =-=

第二试（B ）

一、（本题满分20分）

已知1t =

-，若正整数,,a b m ,使()()17at m bt m m ++=成立，求ab 的值.

解：

因为1t =-

，所以23t =-由()()17at m bt m m ++=，得

()22170abt m a b t m m +++-=

，将23t =-

((

))

231170ab m a b m m -+++-=，整理得(

)()223170m a b ab ab m a b m m ??+--++-=??????

因为,,a b m

2()203()170

m a b ab ab m a b m m +-=??-++-=? 于是可得()221717a b m ab m m

?+=-??=-?? 因此,a b 是关于x 的一元二次方程222(17)170x m x m m +-+-=的两个正整数根，该方程的判别式()()()()224174174171720.m m m m m ?=---=--≥

又因为,,a b m 是正整数，所以()2170a b m +=->，从而可得1702m <≤

又因为判别式?是一个完全平方数，验证可知，只有8m =符合要求.

把8m =代入,得2

1772ab m m =-=. 二、（本题满分25分）在ABC ?中，AB AC >，O I 、分别是ABC ?的外心和内心，且满足2AB AC OI -=, 求证：

（1）OI ∥BC ;

（2）2AOC AOB AOI S S S ???-= .

证明:（1）过点O 作OM BC ⊥于M ，过点I 作IN BC ⊥于N ，

则OM ∥IN ,设,,BC a AC b AB c ===，由O I 、分别是ABC ?的外心和内心，得

11,()22CM a CN a b c ==+-，所以1()2

MN CM CN c b OI =-=-=，又MN 恰好是两条平行线,OM IN 之间的垂线段，所以OI 也是两条平行线,OM IN 之间的垂线段，所以OI ∥MN ，所以OI ∥BC .

（2）由（1）知OMNI 是矩形，连接,BI CI ，设OM IN r ==（即为ABC ?的内切圆半径），则()()AOC AOB AOI COI AIC AIB AOI BOI S S S S S S S S ????????-=++---

11112222221112()2()()2.222AOI BOI COI AIC AIB AOI AOI AOI AOI S S S S S S OI r OI r AC r AB r S r OI b c S r c b b c S ?????????=+++-=+

??+??+??-??????=+?+-=+?-+-=????????

三、（本题满分25分）若正数,,a b c 满足2222222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ??????+-+-+-++= ? ? ???????

求代数式222222222

222b c a c a b a b c bc ca ab

+-+-+-++的值. 解：由于,,a b c 具有轮换对称性，不妨设0.a b c <≤≤

（1）若c a b >+，则0,0c a b c b a ->>->>，从而，得

()2222211,22c b a b c a bc bc --+-=+>()2

2222

11,22c a b c a b ca ca --+-=+> ()2222211,22a b c a b c ab ab +-+-=-<-故222

2222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ??????+-+-+-++> ? ? ???????，这与已知条件矛盾.

（2）若c a b <+，则0,0c a b c b a ≤-<≤-<，从而，得

()22222011,22c b a b c a bc bc --+-<=+<()2

2222

011,22c a b c a b ca ca --+-<=+< ()2222211,22a b c a b c ab ab +-+-=->-()2

2222

011,22a b c a b c ab ab --+-<=+< 故222

2222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ??????+-+-+-++< ? ? ???????

，这与已知条件矛盾. 综合（1）（2）可知,一定有.c a b =+

于是可得

2222222

()22

1, 22()22

b c a b a b a b ab

bc b a b b ab

+-++-+

===

同理可得

222

c a b

222

a b c

=-.

故

222222222

222

b c a c a b a b c

bc ca ab

+-+-+-

++=