2020年河南省郑州一中高考数学二模试卷(二)(有答案解析)

2020 年河南省郑州一中高考数学二模试卷（二）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A={x|x2-4x-5＜0}，集合 B={x|-2＜x＜2}．则 A∩B=（ ）
A. {x|-1＜x＜2} B. {x|-2＜x＜2} C. {x|2＜x＜5}
D. {x|1＜x＜2}
2. 已知复数 z= （i 为虚数单位），则 =（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 已知命题 p：方程 ax2+by2=1 表示双曲线；命题 q：b＜0＜a．命题 p 是命题 q 的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 已知等差数列{an}各项均为正数，a1+a2+a3=12，a1?a2?a3=48，则数列{an}的通项公
式为（ ）
A. 2n
B. n+2
C. 3n-2
D. n
5. 函数 y= 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 已知 F1，F2 分别为椭圆 C 的两个焦点，P 为椭圆上任意一点．若 则椭圆 C 的离心率为（ ）
的最大值为 3，
A.
B.
C.
D.
7. 如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）
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A. log26
B. log27
C. 3
D. log29
8. 已知函数 f（x）=
，则不等式 f（x）≤1 的解集为（ ）
A. （-∞，2]
B. （-∞，0]∪（1，2]
C. [0，2]
D. （-∞，0]∪[1，2]
9. 将曲线 x2+y2=|x|+|y|围成的区域记为Ⅰ，曲线 x2+y2=1 围成的区域记为Ⅱ，曲线
x2+y2=1 与坐标轴的交点分别为 A、B、C、D，四边形 ABCD 围成的区域记为Ⅲ，
在区域Ⅰ中随机取一点，此点取自Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p1，p2，则（ ）
A. p1+p2＞1
B. p1+p2＜1
C. p1+p2=1
D. p1=p2
10. 第十四届全国运动会将于 2021 年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出 3
名男记者和 2 名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛 机”，“对象采访”，“文稿编写”“编制剪辑”等四项工作，每项工作至少一人
参加，但两名女记者不参加“负重扛机”，则不同的安排方案数共有（ ）
A. 150
B. 126
C. 90
D. 54
11. 若关于 x 的方程 2019|x-1|+asin（x-1）+a=0 只有一个实数解，则实数 a 的值（ ）
A. 等于-1
B. 等于 1
C. 等于 2
D. 不唯一
12. 已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有顶点都在球 O 的球面上，该三棱柱的五个面所在的
平面截球面所得的圆大小相同，若球 O 的表面积为 20π，则三棱柱的体积为（ ）
A. 6
B. 12
C. 12
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
D. 18
13. 已知实数 x，y 满足线性约束条件
，则 2x-3y 的最小值为______．
14. 已知| |=1， =（
），|
|=2，则 在 方向上的投影为______．
15. 将 y=sin（x ）的图象向右平移 φ 个单位后（φ＞0），得到 y=cosx 的图象，则 φ
的最小值为______． 16. 已知二进制和十进制可以相互转化，例如
89=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20，则十进制数 89 转化为二进制数为
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（1011001）2，将 n 对应的二进制数中 0 的个数，记为 an（例如：4=（100）2，51= （110011）2，89=（1011001）2，则 a4=2，a51=2，a89=3，），记 f（n）= ，则 f（22018）+f（22018+1）+f（22018+2）+…+f（22019-1）=______ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 已知函数 f（x）=sin2 sinx- ，△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c． （1）求 f（A）的取值范围； （2）若 C＞A，f（A）=0，且 2sinA=sinB+ ，△ABC 的面积为 2，求 b 的值．
18. 如图所示，在多面体 BC-AEFD 中，矩形 BCFE 所在平面与直角梯形 AEFD 所在平 面垂直，AE∥DF，AE⊥EF，G 为 CD 的中点，且 AE=BE=BC=1，DF=2．
（1）求证：AG∥平面 BCFE； （2）求直线 AB 与平面 AGE 所成角的正弦值．
19. 某校要通过选拔赛选取一名同学参加市级乒乓球单打比赛，选拔赛采取淘汰制，败 者直接出局．现有两种赛制方案：三局两胜制和五局三胜制．问两选手对决时，选 择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由．（设各局胜负相互独立， 各选手水平互不相同．）
20. 已知点 G 在抛物线 C：x2=4y 的准线上，过点 G 作抛物线 C 的两条切线，切点分别 为 A（x1，y1），B（x2，y2）．
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（1）证明：x1x2+y1y2 为定值； （2）当点 G 在 y 轴上时，过点 A 作直线 AM，AN 交抛物线 C 于 M，N 两点，满足 AM⊥MN．问：直线 MN 是否恒过定点 P，若存在定点，求出点 P 的坐标；若不存 在，请说明理由．
21. 设函数 f（x）=xlnx- +a-x（a∈R）．
（1）若函数 f（x）有两个不同的极值点，求实数 a 的取值范围； （2）若 a=2，k∈N，g（x）=2-2x-x2，且当 x＞2 时不等式 k（x-2）+g（x）＜f（x） 恒成立，试求 k 的最大值．
22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
（t 为参数），以原点 O 为
极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2-2ρcosθ+a=0． （1）求曲线 C1 的普通方程及曲线 C2 的直角坐标方程，并指出两曲线的轨迹图形； （2）曲线 C1 与两坐标轴的交点分别为 A、B，点 P 在曲线 C2 运动，当曲线 C1 与 曲线 C2 相切时，求△PAB 面积的最大值．
23. 已知函数 f（x）=|2x+1|+|x-1|． （1）解不等式 f（x）＞2； （2）记函数 g（x）=f（x）+f（-x），若对于任意的 x∈R，不等式|k-1|＜g（x）恒成 立，求实数 k 的取值范围．
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1.答案：A
-------- 答案与解析 --------
解析：解：A={x|-1＜x＜5}； ∴A∩B={x|-1＜x＜2}． 故选：A． 可求出集合 A，然后进行交集的运算即可． 考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．
2.答案：C
解析：解：∵z= ，
∴z（1+i）2=1-i， ∴2zi=1-i， 则-2z=i（1-i）=1+i，
∴z=- ，
则
．
故选：C． 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．
3.答案：B
解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用好双曲线方程系数的关 系是解决本题的关键，比较基础．命题 p 等价为 ab＜0，在和命题 q 对比即可得出结论． 【解答】解：方程 ax2+by2=1 表示双曲线等价于 ab＜0，即命题 p：ab＜0， 由 ab＜0 推不出 b＜0＜a;由 b＜0＜a 能推出 ab＜0， 故命题 p 是命题 q 的必要不充分条件， 故选：B．
4.答案：A
解析：解：设等差数列{an}的公差为 d， 由 a1+a2+a3=12，可得：3a2=12，解得 a2=4， 又 a1?a2?a3=48， ∴a1?a3=12，又 a1+a3=8， ∴a1，a3 是方程 x2-8x+12=0 的两根，又等差数列{an}各项均为正数， ∴a1=2，a3=6， ∴d=2 故数列{an}的通项公式为：an=2+2（n-1）=2n． 故选：A． 利用等差数列的性质及通项公式求得首项与公差，即可得到数列{an}的通项公式． 本题考查了等差数列的通项公式及性质、一元二次方程的根与系数的关系及其解法，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5.答案：C
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解析：【分析】 本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的定义域，函数的单调性，函数的奇偶 性，判断图象的对称性，是基础题. 结合函数图象性质，利用函数的单调性及特殊值即可作出判断． 【解答】 解：由 f（x）的解析式得 f（-x）+f（x）=0， ∴f（x）是奇函数图象关于原点对称，
当 x=1 时，f（1）= ＜1，排除 A，
当 x＞0 时，f（x）= =
故选：C．
6.答案：B
，函数在（0，+∞）上单调递减，故可排除 B，D.
解析：解：P 到椭圆 C 焦点的最大距离为 a+c，最小距离为 a-c， 又 的最大值为 3，
∴
，∴e= ．
故选：B． P 到椭圆 C 焦点的最大距离为 a+c，最小距离为 a-c，结合题意可得结果． 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常
见方法：求出 a，c，代入公式 e= 只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结
合 b2=a2-c2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以 a 或 a2 转化为关 于 e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得 e（e 的取值范围）．
7.答案：D
解析：解：模拟执行程序框图，可得程序的功能是求 S=log23×log34×log45×log56×log67×log78×log89 值， 由于 S=log23×log34×log45×log56×log67×log78×log89
=
×
= =log29．
故选：D． 模拟执行程序框图，可得程序的功能是求 S=log23×log34×log45×log56×log67×log78×log89 值，即可求得 S 的值． 本题主要考查了程序框图和算法，模拟执行程序框正确得到程序的功能是解题的关键， 属于基础题．
8.答案：D
解析：解：当 x≥1 时，f（x）≤1 即为：log2x≤1 解得 1≤x≤2
当 x＜1 时，f（x）≤1，即为：
解得 x≤0． 综上可得，原不等式的解集为（-∞，0]∪[1，2] 故选：D． 对 x 讨论，当 x＞0 时，当 x≤0 时，运用分式函数和对数函数的单调性，解不等式，即
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可得到所求解集． 本题考查分段函数的运用：解不等式，注意运用分类讨论的思想方法，以及分式函数和 对数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．
9.答案：C
解析：解：由方程 x2+y2=|x|+|y|，
得：
，
或者
，
或者
，
或者
，
曲线 x2+y2=|x|+|y|围成的区域Ⅰ、曲线 x2+y2=1 围成的区域Ⅱ、四边形 ABCD 围成的区域 Ⅲ，如图：
可知区域Ⅰ的面积为
=2+π；
区域Ⅱ的面积为 π×12=π；
区域Ⅲ的面积 =2；
∴由几何概率公式得：
，
，
故 p1+p2=1． 故选：C． 由题意分别计算出三个区域的面积，即可得到 p1+p2=1， 本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于中档题．
10.答案：B
解析：解：记两名女记者为甲乙，三名男记者为丙、丁、戊 根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了“负重扛机”的三项工作之一：C31×A33=18 种； ②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为 2 种小情况； 1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有 A32×C32×A22=3×2×3×2=36 种； 2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72 种； 由分类计数原理，可得共有 18+36+72=126 种， 故选：B． 记两名女记者为甲乙，三名男记者为丙、丁、戊，根据题意，按甲乙的分工情况不同分 两种情况讨论，①甲乙一起参加除了“负重扛机”的三项工作之一，②甲乙不同时参加 一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算 可得答案． 本题考查排列、组合的综合运用，注意要根据题意，进而按一定顺序分情况讨论．
11.答案：A
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解析：解：令 t=x-1， 则关于 x 的方程 2019|x-1|+asin（x-1）+a=0 只有一个实数解等价于关于 t 的方程 2019|t|+asint+a=0 只有一个实数解， 若 a≥0，则由 sint≥-1 及 y=2019x 为增函数，得：2019|t|+asint+a≥20190-a+a=1＞0，方程无 解， 故 a＜0， 令 f（t）=2019|t|+a，g（t）=asint， 则 y=f（t）在 t=0 时取最小值 1+a， 又函数 y=g（t）的图象关于点（0，0）对称， 当 a=-1 时，两函数 y=f（t）、y=g（t）的图象有且只有一个交点，此而满足题意， 当 a＜-1 时，两函数 y=f（t）、y=g（t）的图象有两个交点，此而不合题意， 当-1＜a＜0 时，两函数 y=f（t）、y=g（t）的图象没有交点，此而不合题意， 所以 a=-1 为所求， 故选：A． 由函数的对称性得：令 f（t）=2019|t|+a，g（t）=asint，则 y=f（t）在 t=0 时取最小值 1+a， 又函数 y=g（t）的图象关于点（0，0）对称， 由分类讨论的数学思想方法得：分别讨论当 a=-1 时，当 a＜-1 时，当-1＜a＜0 时，两函 数 y=f（t）、y=g（t）的图象的交点个数即可得解， 本题考查了函数的对称性及函数图象的交点，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属 难度较大的题型
12.答案：A
解析：解：为三棱柱 ABC-A1B1C1 的五个面所在的平面截球面所得的圆的大小相同，
所以该三棱柱的底面是等边三角形，设三棱柱底面边长为 a，高为 h，截面圆的半径为
r，球半径为 R，
∵球 O 的面积为 20π，4πR2=20π，解得
，
底面和侧面截得的圆的大小相同，
∴
，
∴
，①
又∵
，②
由①②得
，h=2，
三棱柱的体积为
．
故选：A． 由题意可知该三棱柱的底面是等边三角形，设三棱柱底面边长为 a，高为 h，截面圆的
半径为 r，球半径为 R，可得
，
，从而得到结果．
空间几何体与球接、切问题的求解方法 （1）求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问 题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求 解． （2）若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA=a， PB=b，PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 4R2=a2+b2+c2 求 解．
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13.答案：
解析：【分析】 本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力.先根据约束条件画出可行域， 再利用几何意义求最值，z=2x-3y 直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的 截距最值即可． 【解答】 解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，
令 z=2x-3y，则
，
作出直线 l：
，平移直线 l，由图可得，
当直线经过点 C 时，直线在 y 轴上的截距最大， 此时 z=2x-3y 取得最小值，
由
，可得
，即
，
∴z=2x-3y 的最小值是
．
故答案为： ．
14.答案：
解析：解：∵| |=1， =（
|
|=2，
∴
=4，
），
∴ ∴则 在 方向上的投影为： 故答案为：- ．
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对向量的模两边平方得到数量积，代入投影公式得到结果． 本题考查平面向量的数量积的性质，考查向量的模，向量的投影的概念，考查运算能力， 属于基础题．
15.答案：
解析：解：将 y=sin（x ）的图象向右平移 φ 个单位后（φ＞0），可得 y=sin（x-φ ） 的图象； 又因为得到 y=cosx=sin（x+ ）的图象，∴sin（x+ ）=sin（x-φ ），∴ =2kπ-φ- ，k∈Z，
∴φ=2kπ- ，则当 k=1 时，φ 取得最小值为 ，
故答案为： ． 利用函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，求得 φ 的最小值． 本题主要考查了三角函数的图象变换，诱导公式、考查了函数与方程思想，属于中档题．
16.答案：32018
解析：解：依题意
=1×22018+0×22017+0×22016+……+0×20=2018，可以理解为在 1×22018
后的 2018 个数位上，有 2018 选择 0，∴f（22018）=22018，
=1×22018+0×22017+……+0×21+1×20=2017，可以理解为在 1×22018 后的 2018 个数
位上，有 2017 选择 0，∴f（22018+1）=22017， 根据计数原理，在 f（22018），f（22018+1），f（22018+2），…，f（22019-1）中等于 22017
共有 个，
同理在 f（22018），f（22018+1），f（22018+2），…，f（22019-1）中等于 22016 的共有
个， ……
在 f（22018），f（22018+1），f（22018+2），…，f（22019-1）中等于 20 的有
个．
所以 f（22018）+f（22018+1）+f（22018+2）+…+f（22019-1）
=
+
+……+
=（1+2）2018=32018．
故填：32018． 根据计数原理将原式转化为求和问题，再用二项式定理处理． 本题考查了二进制，计数原理，二项式定理等知识，综合性强，难度大，属于难题．
17.答案：解：（1）f（x）=sin2 sinx- = + - = sin（x- ）．
由题意 0＜A＜π，
则 A- ∈（- ， ），可得：sin（A- ）∈（- ，1]．
可得：f（A）的取值范围为（- ， ]．
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（2）方法一：由题意知： sin（A- ）=0，
∴A- =kπ，k∈Z， ∴A= +kπ，k∈Z． 又∵A 为锐角， ∴A= ．
由余弦定理及三角形的面积得：
，解得 b=2．
方法二：2sin =sin（ -C）+ sinC，且 C＞A，可得 C= ，则△ABC 为等腰直角三角形，
由于： b2=2， 所以：b=2．
解析：（1）由题易得 f（x）= sin（x- ），利用正弦函数的图象与性质可得 f（A）的 取值范围； （2）利用 f（A）=0，可得 A= ，结合余弦定理及三角形的面积公式可得结果． 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活 转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方 向． 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化． 第三步：求结果．
18.答案：（1）证明：取 CF 的中点 H，连结 EH．
∵H 是 CF 的中点，G 是 CD 的中点．
∴GH∥FD，GH= FD．
又 AE∥DF，AE= DF．
∴AE∥GH，AE=GH． ∴四边形 AGHE 是平行四边形，∴AG∥EH． 又∵AG?平面 EFCB，EH?平面 EFCB． ∴AG∥平面 EFCB． （2）∵平面 BEFC⊥平面 AEFD，CF⊥EF， 平面 AEFD∩平面 EFCB=EF，CF 平面 BEFC，
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∴CF⊥平面 AEFD．且 EF 平面 AEFD，FD 平面 AEFD， ∴CF⊥EF，CF⊥FD． ∵AE∥DF，AE⊥EF，∴EF⊥DF． 以 F 为原点，分别以 FE、FD、FC 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 F-xyz， 则 E（1，0，0），F（0，0，0），D（0，2，0），C（0，0，1），A（1，1，0），B （1，0，1），G（0，1， ），
∴ =（-1，0， ）， =（0，-1，0）．
设平面 AGE 的一个法向量为 =（x，y，z）
，则
，即
，
令 z=2，得 =（1，0，2）． 又 =（0，-1，1），∴cos＜ ＞= = ． ∴直线 AB 与平面 AGE 所成角的正弦值为 ．
解析：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查 空间向量坐标法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． （1）取 CF 的中点 H，连结 EH，证明四边形 AGHE 为平行四边形即可得出 AG∥EH， 故而 AG∥平面 BCFE； （2）以 F 为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出直线 AB 与平面 AGE 所成角的正弦值．
19.答案：解：甲乙两人对决，若甲更强，则其胜率 p＞ ．
采用三局两胜制时，若甲最终获胜，其胜局情况是： “甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”． 而这三种结局互不相容，于是由独立性得甲最终获胜的概率为：
，
采用五局三胜制，若甲最终获胜，至少需比赛 3 局，且最后一局必须是甲胜， 而前面甲需胜二局，由独立性得五局三胜制下甲最终获胜的概率为：
（1-p）+
．
而 p2-p1=p2（6p3-15p2+12p-3）=3p2（p-1）2（2p-1）． ∵p＞ ，∴p2＞p1，即五局三胜的条件下甲最终获胜的可能更大． ∴五局三胜制更能选拔出最强的选手．
解析：分别求出三局两胜制甲胜的概率和五局三胜制甲胜的概率，由此能得到采用“五 局三胜制”对甲有利． 本题考查概率的求法及应用，考查 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算 公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.答案：解：（1）法 1：抛物线 C：x2=4y 的准线为 l：y=-1，故可设点 G（a，-1），
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由 x2=4y，得
，所以
．所以直线 GA 的斜率为 ．
因为点 A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线 C 上，所以
．
所以直线 GA 的方程为
因为点 G（a，-1），在直线 GA 上，
所以
，即
． ．
同理，可知
．
所以 x1，x2 是方程 x2-2ax-4=0 的两个根，所以 x1x2=-4．
又
，所以 x1x2+y1y2=-3 为定值．
法 2：设过点 G（a，-1），且与抛物线 C 相切的切线方程为 y+1=k（x-a），
由
，消去 y 得 x2-4kx+4ka+4=0，
由△=16k2-4（4ak+4）=0，化简得 k2-ak-1=0，所以 k1k2=-1．
由 x2=4y，得
，所以
．所以直线 GA 的斜率为 ．
直线 GB 的斜率为
．
所以
，即 x1x2=-4．
又
，所以 x1x2+y1y2=-3 为定值．
（2）存在，由（1）知
．
不妨设 x1＜x2，则 x1=-2，x2=2，即 A（-2，1），B（2，1）． 设设 M（xM，yM），N（xN，yN）．
则
，两式作差，可得（x1-xM）（x1+xM）=4（y1-yM），
所以直线 AM 的斜率为
，同理可得
，
因为 AM⊥MN，所以
，
整理得 xM?xN-2（xM+xN）+20=0，又，①
又因为因为
，两式作差，可得（xM-xN）（xM+xN）=4（yM-yN），
从而可得直线 MN 的斜率为
，
所以直线 MN 的方程为
，
化简可得 4y=（xM+xN）x-xMxN， 将①代入上式得 4y=（xM+xN）x-2（xM+xN）+20，
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整理得 4（y-5）=（xM+xN）（x-2）． 所以直线 MN 过定点（2，5），即 P 点的坐标为（2，5）． 【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法 （1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与 参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定 点； （2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
解析：（1）求导，求得直线 PA 的方程，将 P 代入直线方程，求得
，
同理可知
．则 x1，x2 是方程 x2-2ax-4=0 的两个根，则由韦达定理求得 x1x2，
y1y2 的值，即可求证 x1x2+y1y2 为定值；
（2）设 M（xM，yM），N（xN，yN）．利用点差法可得
，同理可得
，
结合垂直关系可得 xM?xN-2（xM+xN）+20=0，又因为
，两式作差，可得（xM-xN）
（xM+xN）=4（yM-yN），
，从而可得结果．
本题主要考查圆锥曲线中定点问题的常见解法，假设定点坐标，根据题意选择参数，建 立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组， 以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；属于较难题目．
21.答案：解：（1）由题意知，函数 f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=lnx-ax， 令 f′（x）=0，可得 lnx-ax=0，
∴a= ，令 h（x）= ，
则由题可知直线 y=a 与函数 h（x）的图象有两个不同的交点，
h′（x）= ，令 h′（x）=0，得 x=e，
可知 h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
h（x）max=h（e）= ，
当 x 趋向于+∞时，h（x）趋向于零，
故实数 a 的取值范围为（0， ）．
（2）当 a=2 时，f（x）=xlnx-x2+2-x， k（x-2）+g（x）＜f（x），即 k（x-2）＜xlnx+x，
因为 x＞2，所以 k＜
，
令 F（x）=
（x＞2），
则 F′（x）=
，
令 m（x）=x-4-2lnx（x＞2），
则 m′（x）=1- ＞0，
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所以 m（x）在（2，+∞）上单调递增， m（8）=4-2ln8＜4-lne2=0， m（10）=6-2ln10＞6-2lne3=0， 故函数 m（x）在（8，10）上唯一的零点 x0， 即 x0-4-2lnx0=0， 故当 2＜x＜x0 时，m（x）＜0，即 F′（x）＜0， 当 x0＜x 时，F′（x）＞0，
所以 F（x）min=F（x0）=
=
=，
所以 k＜ ，因为 x0∈（8，10），所以 ∈（4，5）， 所以 k 的最大值为 4．
解析：（1）求出函数的导数，得到 a= ，令 h（x）= ，根据函数的单调性求出 a 的
范围即可；
（2）代入 a 的值，问题转化为 k＜
，令 F（x）=
（x＞2），求出函数的导
数，根据函数的单调性求出 k 的最大值即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化
思想，分类讨论思想，是一道综合题．
22.答案：解（1）曲线 C1 化为普通方程为 x+y+3=0，是一条直线，
对于曲线 C2：由 x=ρcosθ 及 x2+y2=ρ2 代入曲线 C2 的极坐标方程得其直角坐标方程为 x2+y2-2x+a=0，即为（x-1）2+y2=1-a．
当 a＜1，曲线 C2 是以（1，0）为圆心，
为半径的圆．
当 a=1，曲线 C2 表示一点（1，0）．
当 a＞1，曲线 C2 不存在．
（2）由（1）知曲线 C1 化为普通方程为 x+y+3=0，
令 x=0，y=-3；y=0，x=-3，所以 A（-3，0），B（0，-3），
又由题可知 a＜1，曲线 C2：（x-1）2+y2=1-a，
由直线与圆相切可知 = ，
解得 a=-7，此时 C2：（x-1）2+y2=8， 所以（S△PAB）max= |AB|?2R= ×3 × 所以△PAB 面积的最大值为 12．
=12，
解析：（1）曲线 C1 化为普通方程，表示一条直线；曲线 C2 化为普通对 a 分类讨论明 确轨迹的形态； （2）先求出 A，B 的坐标，得到|AB|，利用圆的切线求出圆上点到直线的最大距离，即 可得到结果． 本题考查三角形面积最值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等 基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
23.答案：解：（1）依题意得 f（x）=
，
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于是得
或
或
；
解得 x＜- ，或 x＞0；
即不等式 f（x）＞2 的解集为{x|x＜- 或 x＞0}；
（2）g（x）=f（x）+f（-x）=|x-1|+|x+1|+（|2x+1|+|2x-1|）≥|（x-1）-（x+1）|+|（2x+1）（2x-1）|=4，
当且仅当
，即 x∈[- ， ]时取等号，
若对于任意的 x∈R，不等式|k-1|＜g（x）恒成立，则|k-1|＜g（x）min=4， 所以-4＜k-1＜4，解得-3＜k＜5，即实数 k 的取值范围为（-3，5）．
解析：（1）讨论 x 的取值范围，解不等式组即可得到结果； （2）不等式|k-1|＜g（x）恒成立即|x-1|＜g（x）min 恒成立，求函数的最小值即可． 本题考查了解绝对值不等式的应用问题问题，也考查了不等式恒成立求参数的范围问 题，考查了分类讨论思想，转化思想，是中档题．
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