高考数学专题指数函数、对数函数、幂函数试题及其答案详解
指数函数、对数函数、幂函数专题
1．函数()3(02)x
f x x =<≤值域为（ ）
A ．(0)+∞，
B ．(19]，
C ．(01)，
D ．[9)+∞，
2．给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，()()
()1()()
f x f y f x y f x f y ++=-．下列
函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A ．()3x
f x =
B ．()sin f x x =
C ．2()log f x x =
D ．()tan f x x =
3．以下四个数中的最大者是（ ）
A ．（ln2）2
B ．ln （ln2）
C ．ln 2
D ．ln2 4．若A=}82
2|{2<≤∈-x
Z x ，B=}1|log ||{2>∈x R x ，则)(C R B A I 的元素个数为（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 5．设2
()lg(
)1f x a x
=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞U
6．对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2
()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假：
命题甲：(2)f x +是偶函数；
命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数．
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ）
A ．①③
B ．①②
C ．③
D ．②
7．函数y=1
21
2+-x x 是（ ）
（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数
8．设,,a b c 均为正数，且11222
112log ,log ,log ,22b c
a
a b c ????
=== ? ?????则（ ）
A.a b c <<
B.c b a <<
C.c a b <<
D.b a c <<
9．已知函数x
x f -=
11
)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则M I N （ ） A ．{}1>x x B ．{}1 11<<-x x D ．? 10．设a ∈{－1，1， 2 1 ，3}，则使函数y=x a 的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A ．1，3 B ．－1，1 C ．－1，3 D ．－1，1，3 11．设函数)(x f 定义在实数集上，它的图象关于直线x =1对称，且当1≥x 时，)(x f =13-x ，则有（ ） A ．)31(f <)23(f <)32(f B ．)32(f <)23(f <)31 (f C ．)32(f <)31(f <)23(f D ． )23(f <)32(f <)3 1(f 12．函数()???>+-≤-=1 ,341 ,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 13．函数)(x f =x 2log 1+与)(x g =1 2 +-x 在同一直角坐标系下的图象大致是（ ） 14．设1>a ，函数)(x f =x a log 在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为 2 1 ，则a =（ ） A ．2 B ．2 C ．22 D ．4 15．若1>a ，且y a x a a y a x log log -<---，则x 与y 之间的大小关系是（ ） A ．0>>y x B ．0>=y x C ．0>>x y D ．无法确定 16．函数|1|| |ln --=x e y x 的图象大致是（ ） 17．函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x x =>的图象关于直线y x =对称，则()f x =____________。 18．函数()()lg 43 x f x x -= -的定义域为_________。 19．设函数24log (1)(3)y x x =+-≥，则其反函数的定义域为_________。 20．方程96370x x -?-=的解是_________。 21．若函数2 ()()x f x e μ--=（e 是自然对数的底数）的最大值是m ，且()f x 是偶函数，则m μ+=________． 22．已知函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象如图，则函数x a y ?? ? ??=1的图象可能是________ 23．设x x f a log )(=（0>a 且1≠a ），若1)()()(21=+++n x f x f x f Λ（+ ∈R x i ，n i ,,2,1Λ=）， 则)()()(3 3231n x f x f x f +++Λ的值等于________。 24．将函数2log y x =的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，则C 2的解析式为________。 25．若函数y=lg （ax 2+2x+1）的值域为R ，则实数a 的取值范围为________。 26．若函数y=log 2（kx 2+4kx +3）的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________。 27．给出下列四个命题： ①函数x a y =（0>a 且1≠a ）与函数x a a y log =（0>a 且1≠a ）的定义域相同； ②函数3x y =和x y 3=的值域相同； ③函数1 21 21-+=x y 与x x x y 2)21(2?+=都是奇函数； ④函数2 )1(-=x y 与1 2 -=x y 在区间),0[+∞上都是增函数。 其中正确命题的序号是：__________。（把你认为正确的命题序号都填上） 28．直线a x =（0>a ）与函数x y ??? ??=31、x y ?? ? ??=21、x y 2=、x y 10=的图像依次交于A 、B 、C 、D 四点，则这四点从上到下的排列次序是________。 29．若关于x 的方程m x x =?-+-+-|1|| 1|5425 有实根，则实数m 的取值范围是________。 30．已知lgx+lgy=2lg （x －2y ），求y x 2 log 的值。 31．根据函数|12|-=x y 的图象判断：当实数m 为何值时，方程m x =-|12|无解有一解有两解 32．已知1x 是方程xlgx=2008的根，2x 是方程x ·10x =2008的根，求12x x 的值． 33．已知实数a 、b 、c 满足2b=a+c ，且满足2lg （b －1）=lg （a+1）+lg （c －1），同时a+b+c=15，求实数a 、b 、c 的值。 34．已知x x x f a -+=11log )()1,0(≠>a a 。 （1）求)(x f 的定义域；（2）判断)(x f 的奇偶性；（3）求使0)(>x f 的x 的取值范围。 35．已知函数x x f x f 2lo g )1 (1)(?+=。 （1）求函数)(x f 的解析式；（2）求)2(f 的值；（3）解方程)2()(f x f =。 36．已知函数)(log )(x a a a x f -=（1>a ）。 （1）求)(x f 的定义域、值域；（2）判断)(x f 的单调性； （3）解不等式)()2(21 x f x f >--。 指数函数、对数函数、幂函数专题 1．函数()3(02)x f x x =<≤值域为（ ） A ．(0)+∞， B ．(19]， C ．(01)， D ．[9)+∞， B ；[解析] 函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为(19]，。 2．给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，()() ()1()() f x f y f x y f x f y ++=-．下 列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ） A ．()3x f x = B ．()sin f x x = C ．2()log f x x = D ．()tan f x x = B ；[解析] 依据指、对数函数的性质可以发现A 满足()()()f x y f x f y +=， C 满足 ()()()f xy f x f y =+，而D 满足()() ()1()() f x f y f x y f x f y ++= -，B 不满足其中任何一个等式。 3．以下四个数中的最大者是（ ） A ．（ln2）2 B ．ln （ln2） C ．ln 2 D ．ln2 D ；[解析] ∵0ln 21<<，∴ln （ln2）<0，（ln2）2 2 1 ln2 4．若A=}82 2|{2<≤∈-x Z x ，B=}1|log ||{2>∈x R x ，则)(C R B A I 的元素个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 C ；[解析] 由于A=}82 2|{2<≤∈-x Z x =}321|{<-≤∈x Z x =}11|{≤<-∈x Z x =｛0，1｝，而 B=}1|log ||{2>∈x R x =}22 1 0|{>< <∈x x R x 或，那么)(C R B A I =｛0，1｝ ，则)(C R B A I 的元素个数为2个。 [考点透析] 从指数函数与对数函数的单调性入手，解答相关的不等式，再根据集合的运算加以分析和判断，得出对应集合的元素个数问题。 5．设2 ()lg( )1f x a x =+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞U A ；[解析] 由10)0(-==a f 得，011lg )(<-+=x x x f ，得?????? ?<-+>-+1 11011x x x x ，01<<-∴x 。 [考点透析]根据对数函数中的奇偶性问题，结合对数函数的性质，求解相关的不等式问题，要注意首要 条件是对数函数的真数必须大于零的前提条件。 6．对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2 ()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假： 命题甲：(2)f x +是偶函数； 命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数． 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ） A ．①③ B ．①② C ．③ D ．② D ；[解析] 函数①()lg(21)f x x =-+，函数(2)f x +=lg(||1)x +是偶函数；且()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；但对命题丙：(2)()f x f x +-=||1 lg(||1)lg(|2|1)lg |2|1 x x x x ++--+=-+在x ∈(－∞,0)时，(||1)12 lg lg lg(1)(|2|1)213 x x x x x +-+==+-+-+-为减函数，排除函数①，对于函数③， ()cos(2)f x x =+函数(2)cos(2)f x x +=+不是偶函数，排除函数③，只有函数②2()(2)f x x =-符合 要求。 [考点透析]根据对数函数、幂函数、三角函数的相关性质来分析判断相关的命题，也是高考中比较常见的问题之一，正确处理对应函数的单调性与奇偶性问题。 7．函数y=1 21 2+-x x 是（ ）A （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 8．设,,a b c 均为正数，且11222 112log ,log ,log ,22b c a a b c ???? === ? ?????则（ ） A.a b c << B.c b a << C.c a b << D.b a c << A ；[解析] 由122log a a =可知0a >21a ?>121log 102a a ?>?<<，由12 1log 2b b ?? = ???可知 0b >?12 0log 1b <<112b ?<<，由21log 2c c ?? = ???可知0c >20log 112c c ?< [考点透析] 根据指、对数函数的性质及其相关的知识来处理一些数或式的大小关系是全面考察多个基本初等函数比较常用的方法之一。关键是掌握对应函数的基本性质及其应用。 9．已知函数x x f -= 11 )(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则M I N （ ） A ．{}1>x x B ．{}1 11<<-x x D ．? C ；[解析] 依题意可得函数x x f -= 11 )(的定义域M=}01|{>-x x =}1|{ 所以M I N=}1|{ 11<<-x x 。 [考点透析] 本题以函数为载体，重点考查幂函数与对数函数的定义域，集合的交集的概念及其运算等基础知识，灵活而不难． 10．设a ∈{－1，1， 2 1 ，3}，则使函数y=x a 的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A ．1，3 B ．－1，1 C ．－1，3 D ．－1，1，3 A ；[解析] 观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。 [考点透析] 根据幂函数的性质加以比较，从而得以判断．熟练掌握一些常用函数的图象与性质，可以比较快速地判断奇偶性问题．特别是指数函数、对数函数、幂函数及其一些简单函数的基本性质． 11．设函数)(x f 定义在实数集上，它的图象关于直线x =1对称，且当1≥x 时，)(x f =13-x ，则有（ ） A ．)31(f <)23(f <)32(f B ．)32(f <)23(f <)31 (f C ．)32(f <)31(f <)23(f D ． )23(f <)32(f <)3 1(f B ；[解析] 当1≥x 时，)(x f =13-x ，其图象是函数x y 3=向下平移一个单位而得到的1≥x 时图象部 分，如图所示， 又函数)(x f 的图象关于直线x =1对称，那么函数)(x f 的图象如下图中的实线部分， 即函数)(x f 在区间)1,(-∞上是单调减少函数， 又)23(f =)21(f ，而 322131<<，则有)32()21()31(f f f >>，即)32(f <)23(f <)3 1(f ． [考点透析] 利用指数函数的图象结合题目中相应的条件加以分析，通过图象可以非常直观地判断对应的性质关系． 12．函数()?? ?>+-≤-=1 ,341 ,442 x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 B ；[解析] 函数()? ??>+-≤-=1,341 ,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象如下： 根据以上图形，可以判断两函数的图象之间有三个交点。 [考点透析] 作出分段函数与对数函数的相应图象，根据对应的交点情况加以判断。指数函数与对数函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图象的工具作用。特别注意指数函数与对数函数的图象关于直线x y =对称。在求解过程中注意数形结合可以使解题过程更加简捷易懂。 13．函数)(x f =x 2log 1+与)(x g =1 2 +-x 在同一直角坐标系下的图象大致是（ ） C ；[解析] 函数)(x f =x 2log 1+的图象是由函数x y 2log =的图象向上平移1个单位而得来的；又由于)(x g =1 2 +-x =) 1(2 --x ，则函数)(x g =1 2 +-x 的图象是由函数x y -=2 的图象向右平移1个单位而得来的； 故两函数在同一直角坐标系下的图象大致是：C 。 [考点透析] 根据函数表达式与基本初等函数之间的关系，结合函数图象的平移法则，得出相应的正确判断。 14．设1>a ，函数)(x f =x a log 在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为 2 1 ，则a =（ ） A ．2 B ．2 C ．22 D ．4 D ；[解析] 由于1>a ，函数)(x f =x a log 在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为 2 1， 那么a a a a log 2log -=21，即2log a =2 1 ，解得221 =a ，即a =4。 [考点透析] 根据对数函数的单调性，函数)(x f =x a log 在区间]2,[a a 的端点上取得最值，由1>a 知函数在对应的区间上为增函数。 15．若1>a ，且y a x a a y a x log log -<---，则x 与y 之间的大小关系是（ ） A ．0>>y x B ．0>=y x C ．0>>x y D ．无法确定 A ；[解析] 通过整体性思想，设x a x f a x log )(-=-，我们知道当1>a 时，函数x a y -=1与函数 x y a log 2-=在区间),0(+∞上都是减函数，那么函数x a x f a x log )(-=-在区间),0(+∞上也是减函数， 那么问题就转化为)()(y f x f <，由于函数x a x f a x log )(-=-在区间),0(+∞上也是减函数，那么就有 0>>y x 。 [考点透析] 这个不等式两边都由底数为a 的指数函数与对数函数组成，且变量又不相同，一直很难下手。通过整体思维，结合指数函数与对数函数的性质加以分析，可以巧妙地转化角度，达到判断的目的。 16．函数|1|| |ln --=x e y x 的图象大致是（ ） D ；[解析] 函数|1|| |ln --=x e y x 可转化为????? ≥<<-+=1, 11 0,11x x x x y ，根据解析式可先排除（A ），（C ），又当10< [考点透析] 把相应的含有指数函数和对数函数的关系式，加以巧妙转化，转化成相应的分段函数，结 合分段函数的定义域和基本函数的图象加以分析求解和判断。 17．函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x x =>的图象关于直线y x =对称，则()f x =____________。 ()f x =3()x x ∈R ；[解析] 函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x x =>的图象关于直线y x =对 称，则()f x 与函数3log (0)y x x =>互为反函数，()f x =3()x x ∈R 。 [考点透析]对数函数与指数函数互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称，在实际应用中经常会碰到，要加以重视。 18．函数()()lg 43 x f x x -= -的定义域为_________。 {}34≠ 30x x ->??-≠? {}34≠ [考点透析] 考察对数函数中的定义域问题，关键是结合对数函数中的真数大于零的条件，结合其他相关条件来分析判断相关的定义域问题。 19．设函数24log (1)(3)y x x =+-≥，则其反函数的定义域为_________。 [5，+∞）；[解析] 反函数的定义即为原函数的值域，由x ≥3得x-1≥2，所以1)1(log 2≥-x ，所以y ≥5，反函数的定义域为[5，+∞），填[5，+∞）。 [考点透析]根据互为反函数的两个函数之间的性质：反函数的定义即为原函数的值域，结合对应的对数函数的值域问题分析相应反函数的定义域问题。 20．方程96370x x -?-=的解是_________。 3log 7x =；[解析] 2(3)63703731x x x x -?-=?==-或（舍去），3log 7x ∴=。 [考点透析]求解对应的指数方程，要根据相应的题目条件，转化为对应的方程加以分析求解，同时要注意题目中对应的指数式的值大于零的条件。 21．若函数2 ()()x f x e μ--=（e 是自然对数的底数）的最大值是m ，且()f x 是偶函数，则m μ+=________． 1；[解析] 2 2 ()() 1()x x f x e e μμ---?? == ??? ，设() ()2 0t x t μ=-≥，此时1()t f x e ?? = ??? 是减函数，则最大 值是0 11m e ?? == ??? ，又()f x 是偶函数，则0μ=，∴1m μ+=． [考点透析] 根据函数的特征，结合指数函数的最值问题，函数的奇偶性问题来解决有关的参数，进而解得对应的值。研究指数函数性质的方法，强调数形结合，强调函数图象研究性质中的作用,注意从特殊到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养。 22．已知函数x a y =（0>a 且1≠a ）的图象如图，则函数x a y ?? ? ??=1的图象可能是________。 D ；[解析] 根据函数x a y =的图象可知1>a ，那么对应函数x a y ?? ? ??=1的图象是D 。 [考点透析]根据对应指数函数的图象特征，分析对应的底数1>a ，再根据指数函数的特征分析相应的图象问题。 23．设x x f a log )(=（0>a 且1≠a ），若1)()()(21=+++n x f x f x f Λ（+ ∈R x i ，n i ,,2,1Λ=）， 则)()()(3 3231n x f x f x f +++Λ的值等于________。 3；[解析] 由于)()()(21n x f x f x f +++Λ=n a a a x x x log log log 21+++Λ=)(log 21n a x x x Λ=1，而 )()()(33231n x f x f x f +++Λ=3 3231log log log n a a a x x x +++Λ=321)(log n a x x x Λ=3)(log 21n a x x x Λ=3 [考点透析]根据对数函数的关系式，以及对数函数的特征加以分析求解对应的对数式问题，关键是加以合理地转化。 24．将函数2log y x =的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，则C 2的解析式为________。 1)1(log 2++=x y ；[解析] 将函数2log y x =的图象向左平移一个单位，得到图象C 1所对应的解析式 为)1(log 2+=x y ；要此基础上，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，则C 2的解析式为 )1(log 12+=-x y 。 [考点透析]根据函数图象平移变换的规律加以分析判断平移问题，一般可以结合“左加右减，上减下加”的规律加以应用。 25．若函数y=lg （ax 2+2x+1）的值域为R ，则实数a 的取值范围为________。 [0，1]；[解析] 由于函数y=lg （ax 2+2x+1）的值域为R ?（0，+∞）?{u （x ）|u （x ）=ax 2+2x+1}，当a=0时，u （x ）=2x+1的值域为R ，符合题意；当?? ? ≥-=?>0 440a a 时，即10≤ [考点透析]通过引入变元，结合原函数的值域为R ，转化为u （x ）的问题来分析，要根据二次项系数的取值情况加以分类解析。 26．若函数y=log 2（kx 2+4kx +3）的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________。 ?? ? ???43,0；[解析] 函数y=log 2（kx 2+4kx +3）的定义域为R ?kx 2+4kx +3>0恒成立，当k=0时，3>0恒成立； 当?? ?<-=?>0 121602 k k k 时，即43 0< 析。 27．给出下列四个命题： ①函数x a y =（0>a 且1≠a ）与函数x a a y log =（0>a 且1≠a ）的定义域相同； ②函数3x y =和x y 3=的值域相同； ③函数1 21 21-+=x y 与x x x y 2)21(2?+=都是奇函数； ④函数2 )1(-=x y 与1 2 -=x y 在区间),0[+∞上都是增函数。 其中正确命题的序号是：__________。（把你认为正确的命题序号都填上） ①、③；[解析] 在①中，函数x a y =（0>a 且1≠a ）与函数x a a y log =（0>a 且1≠a ）的定 义域都是R ，则结论正确；在②中，函数3x y =的值域为R ，x y 3=的值域为+ R ，则结论错误；在③中， 函数1 2121-+=x y 与x x x y 2)21(2?+=都是奇函数，则结论正确；在④中，函数2 )1(-=x y 在),1[+∞上是增函数，1 2 -=x y 在R 上是增函数，则结论错误。 [考点透析]综合考察指数函数、对数函数、幂函数的定义、定义域、值域、函数性质等相关内容。 28．直线a x =（0>a ）与函数x y ??? ??=31、x y ?? ? ??=21、x y 2=、x y 10=的图像依次交于A 、B 、C 、D 四点，则这四点从上到下的排列次序是________。 D 、C 、B 、A ；[解析] 结合四个指数函数各自的图象特征可知这四点从上到下的排列次序是D 、C 、B 、A 。 [考点透析]结合指数函数的图象规律，充分考察不同的底数情况下的指数函数的图象特征问题，加以判断对应的交点的上下顺序问题。 29．若关于x 的方程m x x =?-+-+-|1|| 1|5425 有实根，则实数m 的取值范围是________。 {m|4-≥m }；[解析] 令| 1|5+-=x y ，则有10≤ 1|5425 得 042=--m y y ，根据题意，由于042=--m y y 有实根，则0)(4)4(2≥---=?m ，解得4-≥m 。 [考点透析]通过换元，把指数方程转化为一元二次方程来分析求解，关键要注意换元中对应的参数y 的取值范围，为求解其他参数问题作好铺垫。 30．已知lgx+lgy=2lg （x －2y ），求y x 2 log 的值。 [分析] 考虑到对数式去掉对数符号后，要保证x >0，y >0，x －2y >0这些条件成立。假如x=y ，则有x －2y=－x <0，这与对数的定义不符，从而导致多解。 [解析] 因为lgx+lgy=2lg （x －2y ），所以xy=（x －2y ）2， 即x 2－5xy+4y 2=0，所以（x －y ）（x －4y ）=0，解得x=y 或x=4y ， 又因为x >0，y >0，x －2y >0，所以x=y 不符合条件，应舍去， 所以 y x =4，即y x 2 log =4log 2 =4。 [考点透析] 在对数式log a N 中，必须满足a >0，a ≠1且N >0这几个条件。在解决对数问题时，要重视这几个隐含条件，以免造成遗漏或多解。 31．根据函数|12|-=x y 的图象判断：当实数m 为何值时，方程m x =-|12|无解有一解有两解 [分析] 可以充分结合指数函数的图象加以判断．可以把这个问题加以转换，将求方程m x =-|12|的解的个数转化为两个函数|12|-=x y 与m y =的图象交点个数去理解。 [解析] 函数|12|-=x y 的图象可由指数函数x y 2=的图象先向下平移一个单位，然后再作x 轴下方的部分关于x 轴对称图形，如下图所示， 函数m y =的图象是与x 轴平行的直线， 观察两图象的关系可知： 当0 =-|12|无解； 当0=m 或1≥m 时，两函数图象只有一个公共点，所以方程m x =-|12|有一解； 当10< =-|12|有两解． [考点透析]由于方程解的个数与它们对应的函数图象交点个数是相等的，所以对于含字母方程解的个数讨论，往往用数形结合方法加以求解，准确作出相应函数的图象是正确解题的前提和关键． 32．已知1x 是方程xlgx=2008的根，2x 是方程x ·10x =2008的根，求12x x 的值． [分析] 观察此题，易看到题中存在lg x 和10x ，从而联想到函数1y gx =与10x y =．而1x 可以看成 1y gx =和x y 2008= 交点的横坐标，同样2x 可看成10x y =和x y 2008=交点的横坐标，若利用函数1y gx =与10x y =的对称性，此题便迎刃而解了． [解析] 令1a y gx =，x y b 2008 = ，设其交点坐标为11(,)x y ， 同样令10x c y =，它与x y b 2008=的交点的横坐标为22(,)x y ， 由于反比例函数关于直线y x =对称，则有11(,)x y 和22(,)x y 关于直线y x =对称， 点11(,)x y 即点12(,)x x 应该在函数x y b 2008 = 上，所以有12x x =2008． [考点透析] 中学数学未要求掌握超越方程的求解，故解题中方程是不可能的．而有效的利用指数函数和对数函数的性质进行解题此题就不难了，否则此题是一个典型的难题．以上求解过程不能算此题超纲． 33．已知实数a 、b 、c 满足2b=a+c ，且满足2lg （b －1）=lg （a+1）+lg （c －1），同时a+b+c=15，求实数a 、b 、c 的值。 [分析] 在解题过程中，遇到求某数的平方根时，一般应求出两个值来，再根据题设条件来决定取舍，如果仅仅取算术平方根，那么往往会出现漏解。 [解析] 因为2b=a+c ，a+b+c=15，所以3b=15，即b=5， 由于2b=a+c=10，则可设a=5－d ，c=5+d ， 因为2lg （b －1）=lg （a+1）+lg （c －1）， 所以2lg4=lg （6－d ）+lg （4+d ），即16=25－（d －1）2，则有（d －1）2=9， 所以d －1=±3，则d=4或d=－2， 所以实数a 、b 、c 的值分别为1，5，9或7，5，3。 34．已知x x x f a -+=11log )()1,0(≠>a a 。 （1）求)(x f 的定义域；（2）判断)(x f 的奇偶性；（3）求使0)(>x f 的x 的取值范围。 [解析] （1） 011>-+x x ，即01 1 <-+x x ，等价于0)1)(1(<-+x x ，得11<<-x ， 所以)(x f 的定义域是)1,1(-； （2）x x x x x f x f a a +-+-+=-+11log 11log )()(=1log a =0， 所以)()(x f x f -=-，即)(x f 为奇函数； （3）由0)(>x f ，得011log >-+x x a ， 当1>a 时，有 111>-+x x ，解得10< x x ，解得01<<-x ； 故当1>a 时，)1,0(∈x ；当10< 35．已知函数x x f x f 2lo g )1 (1)(?+=。 （1）求函数)(x f 的解析式；（2）求)2(f 的值；（3）解方程)2()(f x f =。 [解析] （1）由于x x f x f 2lo g )1(1)(?+=， 上式中，以 x 1代x 可得：x x f x f 1log )(1)1(2?+=，则有x x f x f 2log )(1)1 (?-=， 把x x f x f 2log )(1)1(?-=代入x x f x f 2lo g )1 (1)(?+=可得： x x x f x f 22log ]log )(1[1)(??-+=，解得x x x f 2 22log 1log 1)(++= ； （2）由（1）得x x x f 2 22log 1log 1)(++= ，则12 log 12log 1)2(2 22=++= f ； （3）由（1）得x x x f 222log 1log 1)(++=，则（2）得1)2(=f ， 则有1)2(log 1log 1)(2 22==++= f x x x f ，即x x 2 22log 1log 1+=+， 解得0log 2=x 或1log 2=x ，所以原方程的解为：1=x 或2=x 。 [考点透析]对于给定抽象函数关系式求解对应的函数解析式，要合理选取比较适合的方法加以分析处理，关键是要结合抽象函数关系式的特征，这里用到的是以 x 1 代x 的方式来达到求解函数解析式的目的。 36．已知函数)(log )(x a a a x f -=（1>a ）。 （1）求)(x f 的定义域、值域；（2）判断)(x f 的单调性； （3）解不等式)()2(21 x f x f >--。 [分析]根据对数函数的特征，分析相应的定义域问题，同时结合指数函数的特征，综合分析值域与单调性问题，综合反函数、不等式等相关内容，考察相关的不等式问题。 [解析] （1）要使函数)(log )(x a a a x f -=（1>a ）有意义，则需要满足0>-x a a ， 即a a x <，又1>a ，解得1 又1log )(log =<-a a a a x a ，即1)( （2）令x a a -=μ，由于1>a ，则x a a -=μ在)1,(-∞上是减函数， 又μa y log =是增函数，所以函数)(log )(x a a a x f -=在)1,(-∞上是减函数； （3）设)(log x a a a y -=，则x y a a a -=，所以y x a a a -=，即)(log y a a a x -=， 所以函数)(x f 的反函数为)(log )(1 x a a a x f -=-， 由于)()2(21 x f x f >--，得)(log )(log 2 2 x a x a a a a a ->--， 由于1>a ，则x x a a a a ->--2 2，即x x a a <-2 2， 所以x x <-22 ，解得21<<-x ， 而函数)(x f 的定义域为)1,(-∞，故原不等式的解集为}11|{<<-x x 。 [考点透析] 主要考查指数函数与对数函数相关的定义域、值域、图象以及主要性质，应用指数函数与对数函数的性质比较两个数的大小，以及解指数不等式与对数不等式等。 高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2.指数函数的图象和性质 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x )31(y = （2）x )2 1 (y = （3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y = 【指数函数性质应用经典例题】 例1．设a 是实数， 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+，试证明：对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 证明：设1212,,x x R x x ∈<，则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++， 由于指数函数2x y =在R 上是增函数， 且12x x <， 所以1222x x < 即1 2220x x -<， 又由20x >， 得1 1 20x +>，2120x +>， ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <， 所以，对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >， 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根． C 咨询电话：4006-211-001 WWW r haOfangfa COm 1 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 a . 1及O ：：： a ：：： 1两种不同情况。 1、指数函数： 定义：函数y =a x a . 0且a --1叫指数函数。 定义域为R 底数是常数，指数是自变量。 认识。 图象特征 函数性质 （1）图象都位于X 轴上方； （1）X 取任何实数值时，都有 a X A0 ； （2）图象都经过点（0, 1）； （2）无论a 取任何正数，X = 0时，y = 1 ； （3） y — 2 ， y — 10在第一象限内的纵坐 \ > 0 ,贝U a X A 1 （3）当 a > 1 时，｛ →, X 标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于 1， < < 0 ,贝U a <1 X A 0 ,贝U a x V 1 y = — ［的图象正好相反； 当 0 ca c1 时，< X ￡ 0 ,贝U a x A 1 k （4） y =2X ， y=10X 的图象自左到右逐渐 （4）当a >1时，y =a x 是增函数， 当0cac1时，y=a x 是减函数。 为什么要求函数 y = a 中的a 必须a . 0且a = 1。 X 因为若a ：：;0 时, X 1、对三个指数函数 a = 0 ， y = 0 a =1 时，y = 1 =1x 的反函数不存在, y =a x ，y =Iog a X 在 上升，y = f l］的图象逐渐下降。 k2 J ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y=2x和y=10x相交于（0，1）， 的图象在y =2x的图象的上方，当X ：：：0 ,刚好相反，故有1 0 2. 22及10 ^ ：：： 2 ^。 步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a tl = N（a . 0且a ■■ 1）,那么数b就叫做以a为底的对数，记作b = Iog a N （a是底数，N是 真数，log a N是对数式。） 由于N ^a b . 0故log a N中N必须大于0。 当N为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如: 分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成 比较好办。 解：设Iog 0.32 X ■? 0 时，y = 10 % ②y =2x与y X 的图象关于y轴对称。 ③通过y = 2 X X 三个函数图象，可以画出任意一个函数y = a 示意图，如y =3x的图象，一定位于y =2x和y =IO x两个图象的中间，且过点（0, 1）,从而y = X 也由关于y轴的对称性，可得的示意图，即通过有限个函数的图象进 再改写为指数式就 高考数学（指数、对数、幂函数）知识点总结2 整理人：沈兴灿 审核人：沈兴灿 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质(1) (0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈. (2)()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈.(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈. （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ；规律：底数a 保持不变 3注意对数的书写格式． 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化。规律：底数a 保持不变 幂值 真数 （二）对数的运算性质 (1)负数和零没有对数； (2)1的对数是0，即01log =a (a ＞0,且a ≠1)；特殊地：ln10= (3)底的对数是1，即1log =a a (a ＞0,且a ≠1)；特别地：ln 1e = （三）对数运算法则。若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1log = （5）对数的换底公式 log log log m a m N N a = (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n b b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). a b b a log 1 log = (a ＞0,且 b ＞0). （6）指数恒等式：a N a N l o g = （由②N log b ①N a a b ==，,将②代入①得a N a N l o g =） 2.9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 1.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算； 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 1.幂的有关概念 (1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 48476Λ个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ (2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； (3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> (4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ 3.根式 （1）根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈，那么x 叫做a 的n 次方根，用 n a 表 示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 (2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4.指数函数： （1）定义：y=a x (a >0且a ≠1)，叫指数函数，x 是自变量，y 是x 的函数。 （2）图象： 幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案 如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作 logaN=b， 其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式． 练习1 把下列指数式写成对数形式： 练习2 把下列对数形式写成指数形式： 练习3 求下列各式的值： 因为22=4，所以以2为底4的对数等于2． 因为53=125，所以以5为底125的对数等于3． 师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？ 生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R． 师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．） 生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab=N中N总是正数． 师：要特别强调的是：零和负数没有对数． 师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？ 生：因为若a＜0，则N取某些值时，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，b不存在，如log02不存在；当N为0时，b可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N 不为1时，b不存在，如log13不存在，N为1时，b可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1． 师：（板书）对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……． 练习4 计算下列对数： lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125． 师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想． 生：2log24=4．这是因为log24=2，而22=4． 生：3log327=27．这是因为log327=3，而33=27． 生：10lg105=105． 生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125． alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线） 证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab=alogaN=N． 师：你是根据什么证明对数恒等式的？ 生：根据对数定义． 师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知 2020-2021学年高一数学单元知识梳理：指数函数与对数函数 1．指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化． 2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时， 函数的单调性及图象特点． 3．比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较． 4．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间． 5．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数形结合能快速解决问题． 6．方程的解与函数的零点：方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点． 7．零点判断法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 注意：由f(a)f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点或不变号零点．若f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点． 8．二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择． 9．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 一、指数、对数函数的典型问题及求解策略 指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以已学函数的单 2015高考数学专题复习：指数函数 一，定义： 函数 叫做指数函数， R x ∈ 指出下列哪些是指数函数 （1）x y 4= （2）4 x y = （3）x y 4-= （4）x y )4(-= （5）x y π= （6）24x y = （7）x x y = （8） )121 ()12(≠> -=a a a y x 且. 填空：1.=?n m a a 2.=n a a 3. ()=m ab 4.=-m a = 5.=m n a 6.=- m n a 7.() =n m a = 8.= ? ? ? ??-m b a ()x a x f =，则有()()=?n f m f ()()=n f m f ()()=n m f 指出下列函数所经过象限及值域： （1）131 -=+x y （2）21 - =-x e y （3）23.0-=x y ()14+=x y π 练习： 1.下列命题中，正确的是 （ ） A ．函数x y 2=，当0 （4）91 32 2≥-x （5）124 32<--x x （6）3 3135≤?? ? ??-x 4.计算： （1）=3 28 (2)=- 2 1 25 (3)=??? ??-5 21 (4)=??? ??3 5 278 (5) 3 264- (6) =??32 3a a a (7) = ??2 3 3 2 a a a a (8) 2 133 2 3 121 )()1.0()4()4 1(---- ?b a ab = ( ) ()2 14 06 3 4 3383213212015238116--??? ??--+-+?+ ?? ? ??--= ==-+x x 10,25102则 (11) ==-x x 10,25102则 5.已知10<a ，且1≠a )的图像必经过点 9.（1）函数()x f 对任意实数满足()()()y x f y f x f +=?，且()643=f ，求)0(f ，)1(f ，)3(-f 的值. （2）函数)(x f 满足：对任意的实数b a ,，都有,2)1(),()()(=?=+f b f a f b a f 且则)3()0(f f += 10.作出函数 x y 3=的图像并求值域 若函数 ()11x m f x a =+ -是奇函数，则m =__________ 12.若函数 )10(1)(≠>-+=a a b a x f x 且的图像经过第二、三、四象限，则一定有 （ ） A ．010><>b a 且 C ．010<<b a 且 13.函数b x a x f -=)(的图像如图，其中b a ,为常数，则下列结论正确的是 （ ） A ．0,1<>b a B ．0,1>>b a C ．0,10>< ２．9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 １.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算; 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 １.幂的有关概念 （1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ （2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； （3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> （4)0的正分数指数幂等于0，０的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ ３．根式 （1)根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈,那么x 叫做a 的n 次方根,用 n a 表示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 （2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4．指数函数： （1)定义：y=a x (a >0且a ≠１),叫指数函数,ｘ是自变量，ｙ 是x 的函数。 （2）图象: 【教学设计中学数学】 区县雁塔区 学校西安市航天中学 姓名贾红云 联系方式 邮编710100 《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计 一、设计理念 《普通高中数学课程标准》明确指出：“学生的数学学习活动，不应该只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应该倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等信息数学的方式；课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律以及学生的认知规律，体现从具体到抽象，特殊到一般的原则；教学应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉等”。本节课是北师大版高中数学必修Ⅰ第三章第6节内容，本节专门研究指数函数、幂函数、对数函数的增长的比较，目的是探讨不同类型的函数模型，在描述实际增长问题时的不同变化趋势，通过本节课的学习，可以引导学生积极地开展观察、思考和探究活动，利用几何画板这种信息技术工具，可以让学生从动态的角度直观观察指数函数、幂函数、对数函数增长情况的差异，使学生有机会接触一些过去难以接触到的数学知识和数学思想，并为学生提供了学数学、用数学的机会，体现了发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。 二、教学目标 1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性； 2．能借助信息技术，利用函数图像和表格，对几种常见增长类型的函数增长的情况进行比较，体会它们增长的差异； 3.体验指数函数、幂函数、对数函数与现实世界的密切联系及其在刻画实际问题中的作用，体会数学的价值. 三、教学重难点 教学重点：认识指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含 义。 教学难点：比较指数函数、幂函数、对数函数增长的差异 四、教学准备 ⒈提醒学生带计算器； ⒉制作教学用幻灯片； ⒊安装软件：几何画板 ，准备多媒体演示设备 五、教学过程 ㈠基本环节 ⒈创设情景，引起悬念 杰米和韦伯的故事 一个叫杰米的百万富翁，一天，碰上一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说，我想和你定个合同，我将在整整一个月中每天给你 10万元，而你第一天只需给我一分钱，而后每一天给我的钱是前一天的两倍。杰米说：“真的？！你说话算数？” 合同开始生效了，杰米欣喜若狂。第一天杰米支出一分钱，收入10万元；第二天，杰米支出2分钱，收入10万元；第三天，杰米支出4分钱，收入10万元；第四天，杰米支出8分钱，收入10万元…..到了第二十天，杰米共得到200万元，而韦伯才得到1048575分，共10000元多点。杰米想：要是合同定两个月、三个月多好！ 你愿意自己是杰米还是韦伯？ 【设计意图】创设情景，构造问题悬念，激发兴趣，明确学习目标 ⒉复习旧知，提出问题 图1-1 图1-2 图1-3 ⑴ 如图1-1，当a 时，指数函数x y a =是单调 函数，并且对于0x >，当底数a 越大时，其 函数值的增长就越 ； ⑵ 如图1-2当a 时，对数函数log a y x =是单调 函数，并且对1x >时，当底数a 越 时 其函数值的增长就越快； ⑶ 如图1-3当0x >，0n >时，幂函数n y x =是增函数，并且对于1x >，当n 越 时，其函数值 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==，log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x =1 4 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1， 但y x =1的反函数不存在，因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ? ? ?=21210，，的图 象的认识。 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0 时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及 10222--<。 ②y x =2与y x =?? ?? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ?? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中 间，且过点()01，，从而y x =?? ???13也由关于y 轴的对称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即 通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =log （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 （2）对数恒等式： 由a N b N b a ==()log ()12 将（2）代入（1）得a N a N log = 运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算： () 313 2 -log 解：原式==?? ?? ?-=3 131 2 222 13 1 3 log log 。 （3）对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则： ①()()log log log a a a MN M N M N R =+∈+ ， ②()log log log a a a M N M N M N R =-∈+ ， ③()()log log a n a N n N N R =∈+ ④()log log a n a N n N N R =∈+ 1 指数函数、对数函数及幂函数 Ⅰ.指数与指数函数 1.指数运算法则：（1）r s r s a a a +=； （2）()s r rs a a =； （3）()r r r ab a b =； （4）m n m n a a =； （5）1 m n n m a a - = （6）,||,n n a n a a n ?=? ?奇偶 2. 指数函数： 【基础过关】 类型一：指数运算的计算题 指数函数 0 此类习题应牢记指数函数的基本运算法则，注意分数指数幂与根式的互化，在根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便 1、526+的平方根是______________________ 2、 已知2=n a ，16=mn a ，则m 的值为………………………………………………( ) A ．3 B ．4 C ．3 a D ．6 a 3、化简 22 1 () 2b a b a ab b b a +---+-的结果是………………………………( ) A 、a a b -- B 、a b a -- C 、b a a -- D 、2b b a a +-- 4、已知0.001a =，求：413 3 3 223 33 8(12)24a a b b a a a b b -÷-++=_________________ 5、已知1 3x x -+=，求（1）1 12 2 x x - +=________________（2）332 2 x x -+=_________________ 6、若22y y x x -+=，其中1,0x y ><，则 y y x x --=______________ 类型二：指数函数的定义域、表达式 指数函数的定义域主要涉及根式的定义域，注意到负数没有偶次方根；此外应牢记指数函数 的图像及性质 函数) (x f a y =的定义域与)(x f 的定义域相同 1、若集合A={ 113x x y -= },B={ 21},x s x A B =-?= 则____________________ 2、如果函数()y f x =的定义域是[1,2],那么函数 1(2)x y f -=的定义域是________ 3、下列函数式中，满足f(x+1)=1 2f(x)的是……………………………………………( ) 专题九 指数函数 【高频考点解读】 1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的函数模型． 【热点题型】 题型一 指数函数性质的考查 例1、求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝????23－|x ＋1|；(2)y ＝2 x 2x ＋1 ；(3)y ＝. 【提分秘籍】 解决与指数函数的性质问题时应注意 (1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如0,1判断． (2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用． 【举一反三】 已知函数f (x )＝ . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． 【热点题型】 题型二指数函数的图象及应用 例2、(1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是() (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 【答案】(1)A(2)[－1,1] 【提分秘籍】 1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． 2．y＝a x，y＝|a x|，y＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关系： y＝a x与y＝|a x|是同一函数的不同表现形式． 函数y＝a|x|与y＝a x不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同． 【举一反三】 当a≠0时,函数y=ax+b和y=b ax的图象只可能是下图中的( ) 【热点题型】 题型三分类讨论思想在指数函数中的应用 例3、设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 ⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴ n a =． ． 4．a 的n 次方根的性质 一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ． 5．例题分析： 例1．求下列各式的值： （1）() 338- （2） ()210- （3）()44 3π- （4） ()()b a b a >-2解：略。 例2．已知,0<N n n ,1， 化简：()()n n n n b a b a ++-． 解：当n 是奇数时，原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时，原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以，()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 ． 例3．计算：407407-++ 解：407407-++52)25()25(22=-++= 例4．求值： 54 925-+． 解：549 25-+4 25254 5 49252 ）（-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=）（ （二）分数指数幂 1．分数指数幂： ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）() n k kn a a =对分数指数幂也适用， 例如：若0a >，则3 223233a a a ???== ??? ，4 554544a a a ???== ???， 23a = 4 5 a =． 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次 方根，其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 指数与指数幂的运算 【学习目标】 1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算. 2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质． 4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指 数型函数、对数型函数进行变形处理. 5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数 与对数函数互为反函数(a ＞0，a ≠1). 【要点梳理】 要点一、幂的概念及运算性质 1.整数指数幂的概念及运算性质 2.分数指数幂的概念及运算性质 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且 m n 为既约分数，分数指数幂可如下定义： 3．运算法则 当a ＞0,b ＞0时有： （1）n m n m a a a +=?； （2）()mn n m a a =； （3）()0≠>=-a n m a a a n m n m ，； （4）()m m m b a ab =. 要点诠释： (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； (2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-； (3)幂指数不能随便约分.如2 142 )4()4(-≠-. 要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义： 若x n =y(n ∈N * ，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根，即x=n y . n 为奇数时， y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ； n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为n y ±；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为00n =. 2．两个等式 （1）当1n >且*n N ∈时， ()n n a a =； （2）???=)(||) (,为偶数为奇数n a n a a n n 要点诠释： ①计算根式的结果关键取决于根指数n 的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误． ②指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算． 负指数幂化为正指数幂的倒数． 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如 )，先要化成假分数（如15/4）， 指数函数 一、选择题（共17小题；共85分） 1. 已知 a =(?12)?1 ，b =2?12 ，c =(12)?1 2 ，d =2?1，则此四数中最大的是 ( ) A. a B. b C. c D. d 2. 已知 a = √5?1 2 ，函数 f (x )=a x ，若实数 m ，n 满足 f (m )>f (n ) ，则 m ，n 的关系为 ( ) A. m +n <0 B. m +n >0 C. m >n D. m 精品资料 欢迎下载 第四章《指数函数与对数函数》测试卷 一、填空题 1. （ ） A 、118 4 23? B 、314 4 23? C 、213 4 23? D 、8 4 23? 2. =??4 36482（ ） A 、4 B 、8152 C 、2 72 D 、8 3. 函数()f x = （ ） A.（1，3） B. [-∞，3] C. [3，+∞] D. R 4. 3log 81= （ ） A 、2 B 、4 C 、2- D 、-4 5. 指数函数的图象经过点)27,2 3(，则其解析式是 （ ） A 、x y 3= B 、x y )3 1(= C 、x y 9= D 、x y )9 1(= 6. 下列函数在区间（0，+∞）上是减函数的是 （ ） A 、12y x = B 、3 1x y = C 、2y x -= D 、2 y x = 7. 将25628 =写成对数式 （ ） A 、2256log 8= B 、28log 256= C 、8256log 2= D 、2562log 8= 8. 将ln a = b (a >0) 写成指数式 （ ） A 、10 b = a B 、e b = a C 、 a b = e D 、 e a = b 9. 求值2 2ln log 16lg 0.1e +-等于（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 10. 如果32log (log )1x =，那么x =（ ） A 、8 B 、9 C 、2 D 、3 11. 函数x x f lg 21)(-= 的定义域为（ ） A 、(,10) -∞ -(10,)+∞ B 、（-10，10） C 、（0，100） D 、（-100,100） 12. 3 0.7、3log 0.7、0.7 3 的大小关系是（ ） A 、30.730.73log 0.7 << B 、30.730.7log 0.73<< C 、 30.7 3log 0.70.73<< D 、 0.73 3log 0.730.7<< 二、填空题： 1．用不等号连接： （1）5log 2 6l o g 2 ，（2）若n m 33>，则m n ；（3）35.0 36.0 2. 若43x =， 3 4 log 4=y ，则x y += ； 3. 方程x x 28 )3 1 (3 2--=的解集为______________； 4. 若x x f 2)2(=，则=)8(f ； 三、解答题 1.. 解下列不等式： （1）0)3(log 3<-x （2）14 3log 高考数学-指数函数图像和性质及经典例题
对数指数函数公式全集
最新指数对数幂函数知识点总结
高考数学指数指数函数
幂函数、指数函数和对数函数_对数及其运算法则_教案
高中数学指数函数与对数函数
高考数学专题复习 指数对数幂函数
高考数学指数指数函数
指数函数对数函数幂函数增长速度的比较教学设计
指数、对数函数公式
指数、对数及幂函数
2015高考数学二轮复习热点题型专题九 指数函数
《指数函数和对数函数》知识点汇总及习题详解)
指数函数与对数函数知识点总结
指数对数幂函数总结归纳
高考数学：指数函数
中职数学指数函数与对数函数试卷