函数及其表示方法B

函数及其表示方法

学习目标：

(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.

(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．

知识点总结：

一．函数与映射的概念

1．函数的定义域、值域

(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫作函数的________；函数值的________________叫作函数的值域．

(2)如果两个函数的________相同，并且__________完全一致，则这两个函数为相等函数．

2．函数的表示方法

表示函数的常用方法有________、________和________．

3．分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因__________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的______，其值域等于各段函数的值域的______，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

[拓展]

二．函数定义域的求法及使用范围

三．函数值域的求法及使用范围

四．函数解析式的求法

考点分析： 考点一 函数的概念

例1（1）已知集合{}1,2,3A =，{}4,5B =，则从A 到B 的函数()f x 有 个.

【答案】8

【解析】抓住函数的“取元的任意性，取值的唯一性”，利用列表方法确定函数的个数.

由表可知，这样的函数有8个，故填8.

例1（2）下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，为什么？

（1）0

)1x ()x (f -=；1)x (g = （2）x )x (f =；2x )x (g =

（3）2

x )x (f =；2

)1x ()x (g += （4）|x |)x (f =；2x )x (g =

【思路点拨】对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.

【答案】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是 【解析】

(1) ()()f x g x 与的定义域不同，前者是{}|1,x x x R ≠∈，后者是{}|0,x x x R ≠∈，因此是不同的

函数；

(2)()||g x x =，因此()()f x g x 与的对应关系不同，是不同的函数； (3) ()()f x g x 与的对应关系不同，因此是不相同的函数； (4) ()()f x g x 与的定义域相同，对应关系相同，是同一函数.

例1（3）判断下列对应哪些是从集合A 到集合B 的映射，哪些是从集合A 到集合B 的函数？ （1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x ，y ）|,x R y R ∈∈}，对应法则是：A 中的点与B 中的（x ，y ）对应．

（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：作三角形的外接圆； （3）A=N ，B={0，1}，对应法则是：除以2的余数；

（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，对应法则是f ：2x y x =→

（5）A={0，1，2}，B={0，1，12

}，对应法则是f ：x 1y x =→ 【思路点拨】根据映射定义分析是否满足“A 中任意”和“B 中唯一”． 【解析】

(1)是映射，不是函数，因为集合A 、B 不是数集，是点集；

(2)是映射，集合A 中的任意一个元素(三角形)，在集合B 中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；不是函数．

(3)是映射，也是函数，函数解析式为0,(2)

()1,(21)x n f x x n =?=?=+?

．

（4）是映射，也是函数．

（5）对于集合A 中的元素“0”，由对应法则“取倒数”后，在集合B 中没有元素与它对应，所以不是映射，也不是函数．

变式训练1

（1）下列各问的对应关系是否是给出的实数集R 上的一个函数？为什么？ （1）:f x →

2

,0,x x R x

≠∈； （2）:g x →y ，2,,y x x N y R =∈∈；

（3）:h *A B N ==，对任意的,x A ∈|3|x x →-.

【解析】（1）对于任意一个非零实数2,x x 被x 唯一确定，所以当0x ≠时，x →2

x 是函数，可表示为

2

()(0)f x x x

=≠.

（2）当4x =时，24y =，得2y =或2y =-，不是有唯一值和x 对应，所以x →y （2y x =）不是函数. （3）不是，因为当3x =时，在集合B 中不存在数值与之对应. （2）判断下列命题的真假

(1)y=x-1与1

x 1

x y 2+-=是同一函数；

(2)2x y =

与y=|x|是同一函数；

(3)2

33)x (y )x (y ==与是同一函数；

(4)?????<+≥-=)

0x (x x )0x (x x )x (f 22与g(x)=x 2

-|x|是同一函数.

【解析】从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题. （3）下列对应哪些是从A 到B 的映射？是从A 到B 的一一映射吗？是从A 到B 的函数吗？ (1)A=N ，B={1，-1}，f ：x →y=(-1)x

； (2)A=N ，B=N +，f ：x →y=|x-3|； (3)A=R ，B=R ，;x

1x

1y x :f -+=

→ (4)A=Z ，B=N ，f ：x →y=|x|； (5)A=N ，B=Z ，f ：x →y=|x|； (6)A=N ，B=N ，f ：x →y=|x|.

【答案】(1)、(4)、(5)、(6)是从A 到B 的映射也是从A 到B 的函数，但只有(6)是从A 到B 的一一映射；(2)、(3)不是从A 到B 的映射也不是从A 到B 的函数. 考点二 函数定义域的求法

例2（1）求下列函数的定义域(用区间表示).

(1)2-1

()-3x f x x =

；

(2)()f x =

(3)()f x =.

【思路点拨】由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围. (1)是分式，只要分母不为0即可；(2)是二次根式，需根式有意义；(3)只要使得根式和分式都有意义即可．

【答案】（1

）(,(3,3)(3,)-∞-+∞；（2）8,3??

+∞????

；（3）(]6,2-．

【解析】 (1)

21

()3

x f x x -=

-的定义域

为x 2

-3

≠

0，

(,(3,3)(3,)x ∴≠∴-∞-+∞定义域为：；

(2)88()-80,,33f x x x ??=≥≥

∴+∞????

3得，定义域为；

(3)(]202() 6,2

60-6

x x f x x x -≥≤??=∴-??+>>??得定义域为. 例2（2）已知函数()f x 的定义域为[1，2]，求函数(21)y f x =+的定义域；

（2）已知函数(21)y f x =+的定义域[1，2]，求函数()f x 的定义域； （3）已知函数(21)y f x =+的定义域[1，2]，求函数(21)y f x =-的定义域.

【思路点拨】（1）若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．（2）若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．

【答案】（1）[1，12

]；（2）[3，5]；（3）[2，3]．

【解析】（1）设21x t +=，由于函数()y f t =定义域为[1，2]，，故12t ≤≤，即1212x ≤+≤，解得102

x ≤≤，所以函数(21)y f x =+的定义域为[1，1

2

].

（2）设21x t +=，因为12x ≤≤，所以3215x ≤+≤，即35t ≤≤，函数()y f t =的定义域为[3，5] .由此得函数()y f x =的定义域为[3，5] .

（3）因为函数(21)y f x =+的定义域为[1，2]，即12x ≤≤，所以3215x ≤+≤，所以函数()y f x =的定义域为[3，5]，由3215x ≤-≤，得23x ≤≤，所以函数(21)y f x =-的定义域为[2，3] .

【总结升华】求抽象函数的定义域，一要理解定义域的含义是x 的取值范围；二要运用整体思想，也就是在同一对应关系f 下括号内的范围是一样的.

例2（3）函数y R ，则m 的范围是________．

解析：由条件知，x 2－x －m >0对x ∈R 恒成立，即Δ＝1＋4m ≤0，∴m ≤－1

4.

答案：(],4-∞- 变式训练2

（1）求下列函数的定义域（用区间表示）：

(1)3

f (x)|x 1|2

=

--；

(2)1

f (x)x 1

=

-；（3）()f x =【答案】（1）(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；（2）[)3,1(1,)-?+∞；（3）[]0,1． 【解析】

(1)当|x-1|-2=0，即x=-1或x=3时，

3

|x 1|2

--无意义，当|x-1|-2≠0，即x ≠-1且x ≠3时，分式

有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；

(2)要使函数有意义，须使x 10

x 3x 1x 30-≠?≥-≠?+≥?

，即且，所以函数的定义域是[)3,1(1,)-?+∞；

(3)要使函数有意义，须使1x 0,

x 0.

-≥??

≥?，所以函数的定义域为[]0,1.

（2）已知(1)f x +的定义域为[)2,3-，求1

(2)f x

+的定义域.

【答案】11,,32????

-∞+∞ ??????

【解析】

(1)f x +的定义域为[)2,3-，∴23x -≤<，∴114x -≤+<，∴1

124x

-≤

+<，解得：12x >或

13x ≤-，所以1(2)f x +的定义域为11,,32????

-∞+∞ ??????

.

（3）已知函数

y =的定义域为R ，求实数a 的取值范围.

【思路点拨】确定a 的取值范围，使之对任意x R ∈，都有2430ax ax ++≠，即方程2430ax ax ++=无实根.

【答案】30,4??

????

【解析】

当0a =时，2430ax ax ++≠对任意x R ∈恒成立.

当0a ≠时，要使2430ax ax ++≠恒成立，即方程2430ax ax ++=无实根.只需判别式

2(4)124(43)0a a a a ?=-=-<，于是304

a <<

. 综上，a 的取值范围是30,4??

????

.

考点三 求函数的值及值域

例3（1）已知f(x)=2x 2

-3x-25，g(x)=2x-5，求： (1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2))，g(f(2))； (3)f(g(x))，g(f(x))

【思路点拨】根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它

同理可得．

【答案】（1）-23，-1；（2）-20，-51；（3）8x 2

-46x+40，4x 2

-6x-55． 【解析】

(1)f(2)=2×22

-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；

(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2

-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51； (3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2

-3×(2x-5)-25=8x 2

-46x+40； g(f(x))=g(2x 2

-3x-25)=2×(2x 2

-3x-25)-5=4x 2

-6x-55.

例3（2）求值域(用区间表示)：(1)y=x 2

-2x+4，①[]4,1x ∈--；②[]2,3x ∈-；

2-2

(2)()-23; (3)()3

x f x x x f x x =+=

+. 【答案】（1）[3，12]；（2）)

2,?+∞?

；（3）(-∞，1)∪(1，+∞). 【解析】(1)法一：配方法求值域．

2224(1)3y x x x =-+=-+，①当[]4,1x ∈--时，max min 28,7y y ==，∴值域为[7，28]；②当

[]2,3x ∈-时，max min 12,3y y ==，∴值域为[3，12]．

法二：图象法求值域

二次函数图象（如下图）的开口向上，对称轴为1x =，所以函数在区间(],1-∞上单调递减，在区间

[)1,+∞上单调递增．所以①当[]4,1x ∈--时，值域为[7，28]；②当[]2,3x ∈-时，值域为[3，12]．

(2))

22-23(-1)22,2,y x x x ?=+=+≥+∞?值域为；

(3)-23-55

5

1-,0,13333

x x y y x x x x +=

==≠∴≠++++，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞). 变式训练3 求下列函数的值域：

（1）1y x =；（2）21

3

x y x +=-；（3）22

11x y x -=+；（4）254y x x =+- 【答案】（1）[)1,+∞；（2）{}|2y y ≠；（3）(]1,1-；（4）[]0,3． 【解析】（1）0,11x x ≥≥，即所求函数的值域为[)1,+∞；

（2）213x y x +=

-2672(3)77

2333x x x x x -+-+===+---，7

03

x ≠-，2y ∴≠，即函数的值域为{}|2y y ≠；

（3）2211x y x -=+2

2

11x

=-++

函数的定义域为R

22211,021x x ∴+≥∴<

≤+，2

2

1111x

∴-<-+≤+，(]1,1y ∴∈-，即函数的值域为(]1,1-．

（4）

5y =+=

20(2)99x ≤--+≤ ∴所求函数的值域为[]0,3．

类型四 函数解析式的求法 例4.求函数的解析式

(1)已知()f x 是二次函数，且(0)2,(1)()1f f x f x x =+-=-，求()f x ； (2)若f(2x-1)=x 2

，求f(x)；

（3）已知3()2()3f x f x x +-=+，求()f x . 【答案】（1）213

()222

f x x x =

-+；（2）21()(

)2

x f x +=；

（3）3

()5f x x =+． 【解析】求函数的表达式可由两种途径.

(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由(0)2,f =得2c =

由(1)()1f x f x x +-=-，得恒等式2ax+a+b=x-1,得1

3

,22

a b ==-

，故所求函数的解析式为213

()222

f x x x =

-+. (2) ∵f(2x-1)=x 2

，∴令t=2x-1，则1

2

t x +=

22

11()(

),()()22

t x f t f x ++∴=∴= （3）因为3()2()3f x f x x +-=+，①

x 用x -代替得3()2()3f x f x x -+=-+，②

由①②消去()f x -，得3

()5

f x x =+.

变式训练4

（1）已知f(x+1)=x 2

+4x+2，求f(x)． 【答案】f(x)=x 2

+2x-1．

【解析】(1)(法1)f(x+1)=x 2

+4x+2=(x+1)2

+2(x+1)-1 ∴f(x)=x 2

+2x-1；

(法2)令x+1=t ，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2

+4(t-1)+2=t 2

+2t-1 ∴f(x)=x 2

+2x-1； (法3)设f(x)=ax 2

+bx+c 则 f(x+1)=a(x+1)2

+b(x+1)+c ∴a(x+1)2

+b(x+1)+c=x 2

+4x+2

1x 2x )x (f 1c 2b 1a 2c b a 4b a 21a 2-+=∴??

?

??-===??????=++=+=∴；

考点五 分段函数 例5（1） 设函数3,100,

()[(5)],100,x x f x f f x x -≥?=?

+

求(89)f .

【思路点拨】这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换. 【答案】：98 【解析】

(89)((94))(((99)))f f f f f f ==

=((((104))))f f f f =(((101)))f f f =((98))(((103)))f f f f f ==((100))f f =(97)((102))(99)f f f f == =((104))(101)98f f f ==.

例5（2）如图所示，等腰梯形ABCD 的两底分别为02,,45AD a BC a BAD ==∠=，

作直线MN AD ⊥交AD 于M ，交折线ABCD 于N .设,AM x =试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数.

【思路点拨】此题是应用型问题，要求函数的表达式()y f x =，这样就需准确揭示,x y 之间的变化关系.依题意，可知随着直线MN 的移动，点N 分别落在梯形ABCD 的边AB 、BC 及CD 边上，有三种情况，所以需要分类解答.

【答案】2

22

21(0)221

3()28221532(2)242a x x a a y ax x a x ax a a x a ?≤≤??

?=-<≤??

?-+-<≤??

【解析】

作BH AD ⊥，H 为垂足，CG AD ⊥，G 为垂足，依题意，则有03,,452

2

a

AH AG a A D ==∠=∠= （1）当M 位于点H 的左侧时，N AB ∈， 由于0,45,AM x A MN x =∠=∴=

21(0)22

AMN a y S x x ?∴==

≤≤ （2）当M

位于点H 、G 之间时，由于

,,,22

a a AM x AH BN x ==

=- 2113

()()2222822

AMNB

a a a a y S x x ax x a ??∴==?+-=-<≤????直角梯形 （3）当M 位于点G 的右侧时，

由于,2,AM x DM MN a x ===-

211

(2)(2)222

ABCD a y S S a a a x ?∴=-=

?+--MDN 梯形 =22231

(44)42

a a ax x --+

=221532(2)242

x ax a a x a -+-<≤

综上有2

22

21(0)221

3()28221532(2)242a x x a a y ax x a x ax a a x a ?≤≤??

?=-<≤??

?-+-<≤??

变式训练5

如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着边线BCDA

由B （起点）向A （终点）运动.设点P 运动的路程为x ，APB ?的面积为y . （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）画出()y f x =的图象.

【解析】（1）2,04,8,48,224,812.x x y x x x ≤≤??

=<≤??-+<≤?

（2）当P 点在BC 边上运动时，即当04x ≤≤时，1

42;2

y x x =?= 当P 点在CD 边上运动时，即当48x <≤时，1

448;2y =

??= 当P 点在DA 边上运动时，即当812x <≤时，1

4(12)2(12)2242

y x x x =??-=-=-+，故为分段

函数. 家庭作业

1.(2018·杭州模拟)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________．

解析：由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；

当m ≠0时，则?

????

m >0，

Δ＝m 2

－4m ≤0，

解得0

P

D C

A

B

答案：[0,4]

2．函数224y x x =--+的值域是( )

A ．[2,2]-

B ．[1,2]

C ．[0,2]

D ．[2,2]- 【答案】C.

【解析】 22224(2)44,042,240x x x x x x x -+=--+≤≤-+≤-≤--+≤ 20242,02x x y ≤--+≤≤≤； 3．对于集合A 到集合B 的映射，有下述四个结论 (

)

①B 中的任何一个元素在A 中必有原象； ②A 中的不同元素在B 中的象也不同； ③A 中任何一个元素在B 中的象是唯一的； ④A 中任何一个元素在B 中可以有不同的象． 其中正确结论的个数是（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 【答案】A ．

【解析】由映射的概念知，只有③正确．

4．设{}{}|02,|12M x x N y y =≤≤=≤≤，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合M 到N 的函数关系的有 ( )个．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 【答案】A ．

【解析】由函数的定义知选A ．

5．已知函数2,0(),()(1)0,1,0x x f x f a f x x >?=+=?+≤?

若则实数a 的值等于（ ）

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3 【答案】A ．

【解析】该分段函数的二段各自的值域为(](),1,0-∞+∞，，()(1)2f a f =-=-

∴()12,3f a a a =+=-=-∴ 3a =-．

6．已知函数)2(+=x f y 定义域是]21

[，-，则y f x =-()21的定义域是( )

A ．

]2

5

1[， B ． [14]-， C ． []-55， D ． []-37， 【答案】A ．

【解析】 512,124,1214,12

x x x x -≤≤≤+≤≤-≤≤≤

； 7．向高为H 的水瓶里注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水

瓶的形状是图中的（ ）

7．【答案】B.

【解析】观察函数的图象发现，图象开始“增得快”，后来“增得慢”，A 、C 、D 都不具备此特性．也就是由函数的图象可知，随高度h 的增加，体积V 也增加，并且随单位高度h 的增加，选项A 的体积V 的增加量变大；选项B 的体积V 的增加量变小；选项C 的体积V 的增加量先变小后变大；选项D 的体积V 的增加量不变，故选B.

8

．

已

知

函

数

2

2

()1x f x x =

+，则

1111

(1)(2)()(3)()(4)()(2010)()2342010

f f f f f f f f f +++++++???++的值是（ ）

A ．2008

B ．2009

C ． 1

20092

D ． 2010

【答案】C ． 【解析】

11(2)()1,(3)()1,23f f f f +=+=???，11

(1)20092009200922

f ∴=+=+=原式．

9．若函数()y f x =的定义域是[]0,1，则函数()()()(2)01F x f x a f x a a =+++<<的定义域是 ．

【答案】1,22a a -??

-

????

解不等式组01,02 1.x a x a ≤+≤??≤+≤?得1,122

a x a a a x -≤≤-??

?--≤≤??，又11,

1,2222a a a a a a x ---<-<-∴-≤≤． 10．已知???<-≥=0

,10

,1)(x x x f ，则不等式(2)(2)5x x f x ++?+≤的解集是 ．

【答案】

【解析】3(,]2

-∞.

当320,2,(2)1,25,2,2

x x f x x x x +≥≥-+=++≤-≤≤

即则 当20,2,(2)1,25,2x x f x x x x +<<-+=---≤<-即则恒成立，即， ∴32

x ≤

. 11．设函数2()4,(),

()2(),()(),().

g x x x g x g x x x R f x g x x x g x ++

【答案】 【解析】()9,02,4??

-

+∞????

．

令()x g x <，即2

20x x -->，解得1x <-或2x >．令()x g x ≥，而2

20x x --≤，解得12x -≤≤，

故函数2

22(12),

()2(12).

x x x x f x x x x ?++<->?=?---≤≤??或当1x <-或2x >时，函数()(1)2f x f >-=；当12

x -≤≤时，函数1()()(1)2

f f x f ≤≤-，即9()04f x -

≤≤．故函数()f x 的值域是()9,02,4??-+∞????

．

12．已知

*

,a b N ∈，

()()(),(1)2,

f a b f a f b f +==则

(2)(3)(4)(2011)

(1)(2)(3)(2010)

f f f f f f f f +++???+= ． 【答案】4020

【解析】 令,1a x b ==，则由()()(),(1)2,f a b f a f b f +== 可得(1)(1)()2(),f x f f x f x +==即

(1)

2,()

f x f x +=分别令1,2,3,,2010x =???， 则

(2)(3)(4)(2011)

(1)(2)(3)(2010)

f f f f f f f f +++???+ =2+2+2+…+2=2010×2=4020

13．当m 为何值时，方程2

4||5,x x m -+=（1）无解；（2）有两个实数解；（3）有三个实数解；（4）有四个实数解．

【解析】设2

124||5,y x x y m =-+=，则该方程解的个数问题即可转化为两个函数图象的交点个数问

题来处理．

设2

14||5,y x x =-+

则21245,0,45,0.x x x y x x x ?-+≥?=?++

画出函数的图象，如右图．

再画出函数2y m =的图象．由图象可以看出：

（1）当1m <时，两个函数图象没有交点，故原方程无解．

（2）当1m =或5m >时，两个函数图象由两个交点，故原方程有两个解． （3）当5m =时，两个函数图象有三个交点，故原方程有三个解． （4）当15m <<时，两个函数图象有四个交点，故原方程有四个解．

14．已知函数2

()f x ax bx c =++，且满足(0)0,(1)()1,f f x f x x =+-=+求()f x 的值域． 【答案】1,8??-+∞????

【解析】由(0)0f =得0c =，从而2

()f x ax bx =+

由(1)()1,f x f x x +-=+得2

2

(1)(1)1,a x b x ax bx x +++--=+ 整理得21ax a b x ++=+，

x R ∈，21,1

a a

b =?∴?

+=?，解得1

2a b ==. 2211111()()22228f x x x x ∴=

+=+-，()f x 的值域为1,8??

-+∞????

. 15．设,A B 两地相距260km ，汽车以52/km h 的速度从A 地到B 地，在B 地停留1.5h 后，再以65/km h 的速度返回到A 地．试将汽车离开A 地后行走的路程s 表示为时间t 的函数．

【答案】52,260,5 6.526065( 6.5),6.510.5t s t t t ≤??

=≤≤??+-<≤?

0t<5

16．已知函数对任意的实数,a b ，都有()()()f ab f a f b =+成立． （1）求(0),(1)f f 的值；

（2）求证：1()()0(0)f f x x x

+=≠；

（3）若(2),(3)(,)f m f n m n ==均为常数，求(36)f 的值． 【解析】（1）不妨设0,a b == 则应用(00)(0)(0),f f f ?=+ 从而得(0)0f =，设1a b ==， 则应有(11)(1)(1),f f f ?=+

(1)0f ∴=.

（2）证明：当0x ≠时，注意到11x x ?=，于是11

(1)()()()f f x f x f x x

=?=+，而(1)0,f = 所以1

()()0(0)f x f x x

+=≠.

（3）题设中有(2),(3)f m f n ==，因此需将36转化，注意到36=2

2

23?，因此，

2222(36)(23)(2)(3)(22)(33)f f f f f f =?=+=?+?=2(2)2(3)2()f f m n +=+.