数学小知识集锦
数学小知识集锦：
1、早在2000多年前，我们的祖先就用磁石制作了指示方向的仪器，这种仪器就是司南。
2、最早使用小圆点作为小数点的是德国的数学家，叫克拉维斯。4、“七巧板”是我国古代的一种拼板玩具，由七块可以拼成一个大正方形的薄板组成，拼出来的图案变化万千，后来传到国外叫做唐图。
5、传说早在四千五百年前，我们的祖先就用刻漏来计时。
6、中国是最早使用四舍五入法进行计算的国家。
7、欧几里得最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展为欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。
8、中国南北朝时代南朝数学家、天文学家、物理学家祖冲之把圆周率数值推算到了第7位数。
9、荷兰数学家卢道夫把圆周率推算到了第35位。
10、有“力学之父”美称的阿基米德流传于世的数学著作有10余种，阿基米德曾说过：给我一个支点，我可以翘起地球。这句话告诉我们：要有勇气去寻找这个支点，要用于寻找真理。
11、笛卡儿堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。所建立的解析几何在数学史上具有划时代的意义。
12、“数学天才”高斯是德国的数学家。高斯10岁时算出布特纳给学生们出的将1到100的所有整数加起来的算术题，布特纳当时给孩
子们出的是一道更难的加法题：81297+81495+81693+…+100899。说完高斯也算完并把写有答案的小石板交了上去，当时只有他写的答案是正确的。
13、阿拉伯数字1、2、3、4、5、6、7、8、9是印度人发明的。
14、被誉为“数学界的莎士比亚”的四大数学家分别是欧拉、阿基米德、牛顿、高斯。
15、被人们誉为电子计算机之父的是美籍匈牙利数学家是诺伊曼。
16、西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形，可以看出中国古代人在数学上的领先地位。
17、著名的“陈氏定理”是由我国著名的数学家陈景润创立的，被人们亲切的称为“数学王子”。
18、数字“0”最早是中国发明创造的。
19、《算经十书》中国汉唐以来陆续出现的十部数学著作的汇编册。唐代在国立大学设置了算学，以十部数学著作作教科书使用。这十部算经是：〈周髀算经〉、〈九章算术〉、〈孙子算经〉、〈五曹算经〉、〈夏侯阳算经〉、〈张邱建算经〉、〈海岛算经〉、〈五经算术〉、〈缀术〉、〈辑古算经〉。
20、莱昂哈德·欧拉是瑞士数学家和物理学家。欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：y = F(x)，他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。
21、中国著名的数学家有陈景润、祖冲之、谷超豪、苏步青、华罗庚
等。
22、我们使用的乘法口诀称九九歌。
23、中国是最早提出和使用小数的国家。
24、人们把12345679叫做“缺8数”。
25、目前最大的数字是：古戈尔（google），相当于10的100次方。
26、常用的计数法有：手指参加计算、口头计算、二位进制（中国最古老的计数法）、二十位进制、数“正”法、是进制计数法等等。
27、亩是面积单位，1亩约等于167平方米。
28、最早使用分数的是中国。
29、十六世纪中叶，意大利物理学家伽利略从教堂中的吊灯中受到启示，发明了摆钟，从此钟表就诞生了。不过，当时钟表极其简陋，只有一根指示“小时”的时针，只有到了十八世纪才出现了分针，秒针是在十九世纪才出现的。
30、我国的陆地面积是960万平方千米。
31、比毫米还要小的长度单位有：丝米、微米、纳米。
32、球自转一周为一日，地球自转一周（360度）时间为23小时56分04秒，比我们平常所说的“一个白天和一个黑夜为一日计24小时”少一点。人类自己感觉不到地球在自转，故习惯于把日出日落到再次日出称之为一日。一日划分为24小时是古埃及人制定的。每小时又划分为60分钟，每分钟又分为60秒。
33、在中国古代半斤=8两，1斤=16两。
34、三阶幻方又称：九宫格。
35、在温州曾经出现过的数学家有：苏步青、谷超豪、姜立夫、徐贤修、柯召、姜伯驹、李邦河、杨忠道、项武忠
36、常用的数学运算定律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律、减法性质、除法性质等等。
37、秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现。《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。
38、八分之七（打一成语）为七上八下。
39、商家出示：打七折优惠与买二送一活动，应该是买二送一更优惠。
40、停战谈判——解释为两个数学名词是商与和。
41、一天,法国数学家蒲丰请许多朋友到家里,做了一次试验.蒲丰在桌子上铺好一张大白纸,白纸上画满了等距离的平行线,他又拿出很多等长的小针,小针的长度都是平行线的一半.蒲丰说:“请大家把这些小针往这张白纸上随便仍吧！”客人们按他说的做了。蒲丰的统计结果是：大家共掷2212次，其中小针与纸上平行线相交704次，2210÷704≈3.142。蒲丰说：“这个数是π的近似值。每次都会得到圆周率的近似值，而且投掷的次数越多，求出的圆周率近似值越精确。”这就是著名的“蒲丰试验”。
42、1981年的一个夏日，在印度举行了一场心算比赛。表演者是印度的一位37岁的妇女，她的名字叫沙贡塔娜。当天，她要以惊人的
心算能力，与一台先进的电子计算机展开竞赛。工作人员写出一个201位的大数，让求这个数的23次方根。运算结果，沙贡塔娜只用了50秒钟就向观众报出了正确的答案。而计算机为了得出同样的答数，必须输入两万条指令，再进行计算，花费的时间比沙贡塔娜要多得多。这一奇闻，在国际上引起了轰动，沙贡塔娜被称为“数学魔术家”。
43、华罗庚出生于江苏省，从小喜欢数学，而且非常聪明。1930年，19岁的华罗庚到清华大学读书。华罗庚在清华四年中，在熊庆来教授的指导下，刻苦学习，一连发表了十几篇论文，后来又被派到英国留学，获得博士学位。他对数论有很深的研究，得出了著名的华氏定理。他特别注意理论联系实际，走遍了20多个省、市、自治区，动员群众把优选法用于农业生产。
记者在一次采访时问他：“你最大的愿望是什么？”
他不加思索地回答：“工作到最后一天。”他的确为科学辛劳工作的最后一天，实现了自己的诺言。
44、美国的克雷数学研究所于2000年5月24日在巴黎宣布了众多数学家评选的结果:对七个“千禧年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。
“千年大奖问题”公布以来，在世界数学界产生了强烈反响。这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。不少国家的数学家正在组织联合攻关。
可以预期，“千年大奖问题”将会改变新世纪数学发展的历史进程。
45、唐诗中的“数字”
欣赏唐诗，常常发现许多含有数字的句子，这些简单的数字就它本身来说，既无形象，也不能抒情言志，但经诗人妙笔点化，却能创造出各种美妙的艺术境界，表达出无穷的妙趣。
“两人对酌山花开，一杯一杯复一杯。我醉欲眠卿且去，明朝有意抱琴来。”这是李白的《山中与幽人对酌》。诗得首句写“两人对酌”，对酌者是意气相投的“幽人”，于是乎“一杯一杯复一杯”地开怀畅饮了，接连重复三次“一杯”，不但极写饮酒之多，而且极写快意之至，读者仿佛看到了那痛饮狂歌的情景，听到了“将进酒，杯莫停”（《将进酒》）那兴高采烈的劝酒的声音，以至于诗人“我醉欲眠卿且去”，一个随心所欲，恣情纵饮，超凡脱俗的艺术形象挥之欲出。
“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。窗含西岭千秋雪。门泊东吴万里船。”这是杜甫的即景小诗《绝句》。“两个”写鸟儿在新绿的柳枝上成双成对歌唱，呈现出一派愉悦的景色。“一行”则写出白鹭在“青天”的映衬下，自然成行，无比优美的飞翔姿态。“千秋”言雪景时间之长。“万里”言船景空间之广，给读者以无穷的联想。这首诗一句一景，一景一个数字，构成了一个优美、和谐的意境。诗人真是视通万里，思接千载，胸怀广阔，让读者叹为观止。
“黄河远上白云间，一片孤城万仞山。羌笛何须怨杨柳，春风不度玉门关。”这是王之涣《凉州词》。这首诗通过对边塞景物的描绘，
反映了戍边将士艰苦的征战生活和思乡之情，表达了作者对广大战士的深切同情。首联的两句诗写黄河向远处延伸直上云天，一座孤城坐落在万仞高山之中，极力渲染西北边地辽阔、萧疏的特点，借景物描写衬托征人戍守边塞凄凉忧怨的心情。千岩迭障中的孤城，用“一”来修饰，和后面的“万”形成强烈对比，愈显出城地的孤危，勾画出一幅荒寒萧索的景象。
“万木冻欲折，孤根暖独回。前村深雪里，昨夜一枝开。风递幽香出，禽窥素燕来。明年如应律，先发望春台。”这是齐己的五言律诗《早梅》。齐己曾就这首诗求教于郑谷，，诗的第二联原为“前村深雪里，昨夜数枝开。”郑谷读后说：“‘数枝’非‘早’也，未若‘一枝’佳。”齐己深为佩服，便将“数枝”改为“一枝”，并称齐己为“一字师”，这虽属传说，但说明“一枝”两字是极为精彩的一笔。这首诗的立意在于“早”：一场大雪过后，万物被积雪所盖，唯见一枝坚毅的梅花蓓蕾初放。
“一”在此表示少，但突出的却是”早”，而“一枝开”使人联想到“昂首怒放花万朵”，其中蕴含的对梅花顽强生命力的赞颂又自在言外。“一”字妙用，切合了“早梅”的立意，在全诗中起到了画龙点睛的作用。
唐诗中运用数字的例子是不胜枚举的，仅此文一斑，我们便可窥见数字在诗人笔下所产生的审美情趣是多么神奇。
46、战争中的数学应用
一、方程在海湾战争中的应用
1991年海湾战争时，有一个问题放在美军计划人员面前，如果伊拉克把科威特的油井全部烧掉，那么冲天的黑烟会造成严重的后果，这还不只是污染，满天烟尘，阳光不能照到地面，就会引起气温下降，如果失去控制，造成全球性的气候变化，可能造成不可挽回的生态与经济后果。五角大楼因此委托一家公司研究这个问题，这个公司利用流体力学的基本方程以及热量传递的方程建立数学模型，经过计算机仿真，得出结论，认为点燃所有的油井后果是严重的，但只会波及到海湾地区以至伊朗南部、印度和巴基斯坦北部，不至于产生全球性的后果。这对美国军方计划海湾战争起了相当的作用，所以有人说：“第一次世界大战是化学战争(炸药)，第二次世界大战是物理学战争(为原子弹)，而海湾战争是数学战争。”
二、巴顿的战舰与浪高
军事边缘参数是军事信息的一个重要分支，它是以概率论、统计学和模拟试验为基础，通过对地形、天侯、波浪、水文等自然情况和作战双方兵力兵器的测试计算，在一般人都认为无法克服、甚至容易处于劣势的险恶环境中，发现实际上可以通过计算运筹，利用各种自然条件的基本战术参数的最高极限或最低极限，如通过计算山地的坡度、河水的深度、雨雪风暴等来驾驭战争险象，提供战争胜利的一种科学依据。
1942年10月，巴顿将军率领4万多美军，乘100艘战舰，直奔距离美国4000公里的摩洛哥，在11月8日凌时晨登陆。11月4日，海面上突然刮起西北大风，惊涛骇浪使舰艇倾斜达42°。直到11月6
日天气仍无好转。华盛顿总部担心舰队会因大风而全军覆没，电令巴顿的舰队改在地中海沿海的任何其他港口登陆。巴顿回电：不管天气如何，我将按原计划行动。
11月7日午夜，海面突然息浪静，巴顿军团按计划登陆成功。事后人们说这是侥幸取胜，这位“血胆将军”拿将士的生命作赌注。
其实，巴顿将军在出发前就和气象学家详细研究了摩洛哥海域风浪变化的规律和相关参数，知道11月4日至7日该海域虽然有大风，但根据该海域往常最大浪高波长和舰艇的比例关系，恰恰达不到翻船的程序，不会对整个舰队造成危险。相反，11月8日却是一个有利于登陆的好天气。巴顿正是利用科学预测和可靠边缘参数，抓住“可怕的机会”，突然出现在敌人面前。
三、山本五十六输在换弹的五分钟
在战争中，有时候忽略了一个小小的数据，也会招致整个战局的失利。二战中日本联合舰队司令山本五十六也是一位“要么全赢，要么输个精光”的“拼命将军”。在中途岛海战中，当日本舰队发现按计划空袭失利，海面出现美军航空母舰时，山本五十六不听同僚的合理建议，妄图一举歼灭敌方，根本不考虑美军4舰载飞机可能先行攻击可能。他命令停在甲板上的飞机卸下炸弹换上鱼雷起飞攻击美舰，只图靠鱼雷击沉航空母舰获得最大的打击效果，不考虑飞机在换装鱼雷的过程中可能遭到美机攻击的后果，因为飞机换弹的最快时间是五分钟。
结果，在把炸弹换装鱼雷的五分钟内，日舰和“躺在甲板上的飞机”变成了活靶，受到迅速起飞的美军舰载飞机的“全面屠杀”。日本舰
队损失惨重。从此，日本在太平洋海域由战略进攻转入了战略防御。战后，有些军事评论家把日本联合舰队在中途岛海战失败原因之一归咎于那“错误的五分钟”。可见，忽略了这个看似很小的时间因素的损失是多么重大。
47、算盘是我国劳动人民很早创造的一种计算工具。但我国最早的计算工具并非算盘,而是“算筹”。算筹是用、竹或木制成的小棒,用它的多少与纵横排列可以记数,按一定的方法可用它进行多种运算。早在两千多年前的春秋战国时期,人们就普遍使用它作加、减、乘、除、开方、解方程等运算,这称之为“筹算”.。用算筹进行这样复杂的运算,在世界数学史上也是最早的。直到明代,它才被珠算所代替。我国最早的绘圈工具在小学数学七、九册初步几何知识中,常提到直尺、角尺、三角板、圆规等多种现代绘图工具。可我国古代最早使用的绘图工具是什么? 我国古代最早使用的绘图工具是“规”和“矩”，“规”就是圆规。甲骨文中的“规”字,形状象一个人在执规画圆,可见其起源很早。“矩”由长短两尺合成,相交成直角,有的还连上一杆,使其坚固它是画方形的工具。
48、时间的单位是小时，角度的单位是度，从表面上看，它们完全没有关系。可是，为什么它们都分成分、秒等名称相同的小单位呢？为什么又都用六十进位制呢？
我们仔细研究一下，就知道这两种量是紧密联系着的。原来，古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了。譬如研究昼夜的变化，就要观察地球的自转，这里自转的角度和
时间是紧密地联系在一起的。因为历法需要的精确度较高，时间的单位"小时"、角度的单位"度"都嫌太大，必须进一步研究它们的小数。时间和角度都要求它们的小数单位具有这样的性质：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成为它的整数倍。以1/60作为单位，就正好具有这个性质。譬如：1/2等于30个1/60，1/3等于20个1/60，1/4等于15个1/60……
数学上习惯把这个1/60的单位叫做"分"，用符号"′"来表示；把1分的1/60的单位叫做"秒"，用符号"″"来表示。时间和角度都用分、秒作小数单位。
这个小数的进位制在表示有些数字时很方便。例如常遇到的1/3，在十进位制里要变成无限小数，但在这种进位制中就是一个整数。
这种六十进位制（严格地说是六十退位制）的小数记数法，在天文历法方面已长久地为全世界的科学家们所习惯，所以也就一直沿用到今天。
48、圆形，是一个看来简单，实际上是很奇妙的圆形。
古代人最早是从太阳，从阴历十五的月亮得到圆的概念的。一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很圆。
以后到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。
当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺缍或陶纺缍。
古代人还发现圆的木头滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的
时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多。
大约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子--圆的木盘。大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。
会作圆，但不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义："一中同长也"。意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330-前275年）给圆下定义要早100年。
圆周率，也就是圆周与直径的比值，是一个非常奇特的数。
《周髀算经》上说"径一周三"，把圆周率看成3，这只是一个近似值。美索不达来亚人在作第一个轮子的时候，也只知道圆周率是3。
魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注。他发现"径一周三"只是圆内接正六边形周长和直径的比值。他创立了割圆术，认为圆内接正多连形边数无限增加时，周长就越逼近圆周长。他算到圆内接正3072边形的圆周率，π= 3927/1250。刘徽已经把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就。
祖冲之（公元429-500年）在前人的计算基础上继续推算，求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，是世界上最早的七位小数精确值，他还用两个分数值来表示圆周率：22/7称为约率，355/113称
为密率。
在欧洲，直到1000年后的十六世纪，德国人鄂图（公元1573年）和安托尼兹才得到这个数值。
现在有了电子计算机，圆周率已经算到了小数点后一千万以上了。
49、1742年6月7日由德国数学家哥德巴赫给大数学家欧拉的信中，提出把自然数表示成素数之和的猜想，人们把他们的书信往来归纳为两点：
（1）每个不小于6的偶数都是两个奇素数之和。例如，6=3+3，8=5+3，100=3+97，……。
（2）每个不小于 9 的奇数都是三个奇素数之和，例如，9=3+3+3，15=3+7+5，……99=3+7+89，……。
这就是著名的哥德巴赫猜想。从 1742年到现在200多年来，这个问题吸引了无数的数学家为之努力，取得不少成果，虽然至今没有最后证明哥德巴赫猜想，但在证明过程中所产生的数学方法，推动了数学的发展。
为了解决这个问题，就要检验每个自然数都成立。由于自然数有无限多个，所以一一验证是办不到的，因此，一位著名数学家说：哥德巴赫猜想的困难程度，可以和任何没有解决的数学问题相匹敌。也有人把哥德巴赫猜想比作数学王冠上的明珠。
为了摘取这颗明珠，数学家们采用了各种方法，其一是用筛法转化成殆素数问题（所谓殆素数就是素因数的个数不超过某一素数的自然数），即证明每一个充分大的偶数都是素因数个数分别不超
过 a 与 b 的两个殆素数之和，记为（a+b）。哥德巴赫猜想本质上就是最终要证明（1+1）成立。数学家们经过艰苦卓绝的工作，先后已证明了（9+9），（7+7），（6+6），（5+5），……（1+5），（1+4），（1+3），到1966年我国数学家陈景润证明了（1+2），即证明了每一个充分大的偶数都是一个偶数与一个素因数的个数不超过2的殆素数之和。离（1+1）只有一步之遥了，但这又是十分艰难的一步，然而（1+1）仍是一个未解决的问题。
50、在漫长的历史长河中，随着社会的发展和科技的进步，人类进行运算时所运用的工具，也经历了由简单到复杂，由低级向高级的发展变化。这一演变过程，反映了人类认识世界、改造世界的艰辛历程和广阔前景。
现在我们溯本求源，看一看计算工具是怎样演化的：
1．石块、贝壳计数
原始社会，人类智力低下，当时把石块放进皮袋，或用贝壳串成珠子，用“一一对应”的方法，计算需要计数的物品。
2．结绳计数
就是在长绳上打结记事或计数，这比用石块贝壳方便了许多。
3．手指计数
人类的十个手指是个天生的“计数器”。原始人不穿鞋袜，再加上十个足趾，计数的范围就更大了。至今，有些民族还用“手”表示“五”，用“人”表示“二十”，据推测，“十进制”被广泛运用，很可能与手指计数有关。
4．小棒计数
利用木、竹、骨制成小棒记数，在我国称为“算筹”。它可以随意移动、摆放，较之上述各种计算工具就更加优越了，因而，沿用的时间较长。刘徽用它把圆周率计算到3.1410，祖冲之更计算到小数点后第七位。在欧洲，后来发展到在木片上刻上条纹，表示债务或税款。劈开后债务双方各存一半，结帐时拼合验证无误，则被认可。
5．珠算
珠算是以圆珠代替“算筹”，并将其连成整体，简化了操作过程，运用时更加得心应手。它起源于中国，元代末年(1366年)陶宗义著《南村辍耕录》中，最初提到“算盘”一词，并说“拨之则动”。十五世纪《鲁班木经》中，详细记载了算盘的制作方法。
到了现代，一种新型的电子算盘已经问世，它把算盘与电子计算器的长处集为一体，是一种中外结合的新型计算工具。
6．计算尺
公元1520年，英国人甘特发明了计算尺，运用到一些特殊的运算中，快速、省时。
7．手摇计算机
最早的手摇计算机是法国数学家巴斯嘉在1642年制造的。它用一个个齿轮表示数字，以齿轮间的咬合装置实现进位，低位齿轮转十圈，高位齿轮转一圈。后来，经过逐步改进，使它既能做加、减法，又能做乘、除法了，运算的操作更加简捷、快速。
8．电子计算机
随着近代高科技的发展，电子计算机在二十世纪应运而生。它的出现是“人类文明最光辉的成就之一”，标志着“第二次工业革命的开始”。其运算效率和精确度之高，是史无前例的。在此之前，英国数学家桑克斯用了22年的精力，把圆周率π算到小数点后707位，以至在他死后，人们在其墓碑上刻着π的707位数值，表达了对他的毅力和精神的钦佩。
51、表示数与数、式与式或式与数之间的某种关系的特定符号，叫做关系符号。有等号、大于号、小于号、约等于号、不等号等等。
等号：表示两个数或两个式或数与式相等的符号，记作“=”，读作“等于”。例如：3+2=5，读作三加二等于五。第一个使用符号“=”表示相等的是英国数学家雷科德。
大于号：表示一个数（或式）比另一个数（或式）大的符号，记作“＞”，读作“大于”。例如：6＞5，读作六大于五。
小于号：表示一个数（或式）比另一个数（或式）小的符号，记作“＜”，读作“小于”。例如：5＜6，读作五小于六。大于号和小于号是英国数学家哈里奥特于17世纪首先使用的。
约等于号：表明两个数（或式）大约相等的符号，记作“≈”，读作“约等于”。例如：π≈3.14，读作π约等于三点一四。
不等号：表示两个数（或式）不相等的符号，记作“≠”，读作“不等于”。例如4+3≠9，读作四加三不等于九。
52、自然数是从表示“有”多少的需要中产生的。在实践中还常常遇到没有物体的情况。例如：盘子里一个苹果也没有。为了表示“没有”，
就产生了一个新的数“零”。
“零”是一个数，记作“0”，“0”是整数，但不是自然数，它比所有的自然数都小。“0”作为一个单独的数，不仅可以表示“没有”，而且是一个有完全确定意义的数，是一个起着很多重要作用的数。具体作用有：
（1）表示数的某位上没有单位，起到占位的作用。例如：103.04，表示十位和十分位上一个单位也没有。 0.10为近似数时，表示精确到百分位。 5.00元表示特别的单价是5元整。
（2）表示某些数量的界限。例如在数轴上0是正数与负数的界限。“0”既不是正数，也不是负数。在摄氏温度计上“0”是零上温度与零下温度的分界。
（3）表示温度。在通常情况下水结冰的温度为摄氏“0”度。说今天的气温为零度，并不是指今天没有温度。
（4）表示起点。如在刻度尺上，刻度的起点为“0”。从甲城到乙城的公路上，靠近路边竖有里程碑，每隔1千米竖一个，开始第一个桩子上刻的是“0”，表明这是这段公路的起点。
在四则运算中，零有着特殊的性质。
（1）任何数与0相加都得原来的数。例如：5+0=5，0+32=32。
（2）任何数减去0都得原来的数。例如：5-0=5，42-0=42。
（3）相同的两个数相减，差等于0。例如：5-5=0，428-428=0。
（4）任何数与0相乘，积等于0。例如：5×0=0，0×78=0 （5）0除以任何自然数，商都等于0。例如：0÷5=0，0÷345=0。
因此0是任意自然数的倍数。
（6）0不能作除数。因为任何自然数除以零，都得不到准确的商。例如：5÷0，找不到一个数与 0 相乘可以得 5。零除以零时有无数个商，因为任何数与0相乘都能得到0，所以像5÷0、0÷0都无意义。
53、全体自然数可以分为三类：
（1）只能被“1”和它本身整除的数叫素数，如：2、3、5、7、11……。
（2）除了“1”和它本身以外，还能被其他数整除的数叫合数，如：4、6、8、9……。
（3）“1”既不是素数也不是合数。
有人要问，“1”也只能被1和它本身整除，为什么不能算素数呢？而且“1”算作素数后，全体自然数分成素数和合数两类，岂不是更简单吗？
这要从分解素因数谈起。比如，1001能被哪些数整除，其实质是将1001分解素因数，由 1001=7×11×13，而且只有这一种分解结果，知道 1001 除了被1和它本身整除以外，还能被7、11、13整除。若把“1”也算作素数，那么1001分解素因数就会出现下面一些结果：1001=7×11×13
1001=1×7×11×13
1001=1×1×7×11×13
……
也就是说，分解式中可随便添上几个因数“1”。这样做，一方面
对求1001的因数毫无必要，另一方面分解素因素结果不唯一，又增添了不必要的麻烦。因此“1”不算作素数。
54、自然数是在人类的生产和生活实践中逐渐产生的。人类认识自然数的过程是相当长的。在远古时代，人类在捕鱼、狩猎和采集果实的劳动中产生了计数的需要。起初人们用手指、绳结、刻痕、石子或木棒等实物来计数。例如：表示捕获了3只羊，就伸出3个手指；用 5个小石子表示捕捞了5条鱼；一些人外出捕猎，出去1天，家里的人就在绳子上打1个结，用绳结的个数来表示外出的天数。这样经过较长时间，随着生产和交换的不断增多以及语言的发展，渐渐地把数从具体事物中抽象出来，先有数目1，以后逐次加1，得到 2、3、4……，这样逐渐产生和形成了自然数。因此，可以把自然数定义为，在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、3、4、5、6……叫做自然数。自然数的单位是“1”，任何自然数都是由若干个“1”组成的。自然数有无限多个，1是最小的自然数，没有最大的自然数
55、表示计算方法的符号叫做运算符号。如四则计算中的＋、－、×、÷等。
加号“＋”是加法符号，表示相加。
减号“－”是减法符号，表示相减。
“＋”与“－”这两个符号是德国数学家威特曼在1489年他的著作《简算与速算》一书中首先使用的。在 1514 年被荷兰数学家赫克作为代数运算符号，后又经法国数学家韦达的宣传和提倡，开始普及，直到1630年，才获得大家的公认。
乘号“×”是乘法符号，表示相乘。1631年，英国数学家奥特轩特提出用符号“×”表示相乘。乘法是表示增加的另一种方法，所以把“＋”号斜过来。另一个乘法符号“·”是德国数学家莱布尼兹首先使用的。
除号“÷”是除法符号，表示相除。除号“÷”是三百多年前瑞士数学家拉哈首先使用的，用一条横线把两个圆点分开恰好表示了平均分的意思。
法国的一位科学家他雷兰提出了制定一个世界各国通用长度单位的建议，那就是米。
在生活中，我们经常会用到1、2、3、4、5、6、7、8、9这些数字。那么你知道这些数字是谁发明的吗？
这些数字符号原来是古代印度人发明的，后来传到阿拉伯，又从阿拉伯传到欧洲，欧洲人误以为是阿拉伯人发明的，就把它们叫做“阿拉伯数字”，因为流传了许多年，人们叫得顺口，所以至今人们仍然将错就错，把这些古代印度人发明的数字符号叫做阿拉伯数字。
等号与不等号的发明权属于英国人。
"+"号是由拉丁文"et"（"和"的意思）演变而来的。十六世纪，意大利科学家塔塔里亚用意大利文"più"（加的意思）的第一个字母表示加，草为"μ"最后都变成了"+"号。
"-"号是从拉丁文"minus"（"减"的意思）演变来的，简写m，再省略掉字母，就成了"-"了。
大于号"〉"和小于号"〈"，是1631年英国著名代数学家赫锐奥特
高考数学常用公式及结论200条(一)【天利】
高考数学常用公式及结论200条（一） 湖北省黄石二中 杨志明 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11()f x N M N > --. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
数学分析试题
（六）一年级《数学分析》考试题 一 判断题：（满分10分，每小题2分） 1、设数列{}n a 递增且a a n n =∞ →lim （有限），则有{}n a a sup =； （ ） 2、设数列)(x f 在点0x 的某领域)(0x U 内有定义，若对)(00x U x n ∈?，当0x x n →时， 数列{})(n x f 都收敛于同一极限，则函数)(x f 在带点0x 连续；（ ） 3、设数列)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，若存在实数A ，使0→?x 时，)()()(00x o x A x f x x f ?=?--?+，则)(0'x f 存在且A x f =)(0'；（ ） 4、若0)()(2'1'==x f x f ，)(0)(2''1''x f x f ，则有)()(21x f x f ；（ ） 5、设?+=c x F dx x f )()(，?+=c x G dx x g )()(,则当)()(x G x F ≠时，有)()(x g x f ≠； （ ） 二 填空题：（满分15分，每小题3分） 1、∑+=+=1 61291n k n k n a ， =∞ →n n a lim ； 2、函数3 ln 3)(--=x x x f 全部间断点是 ； 3、)1ln()(2x x f +=，已知56)2()(lim 000=--→h h x f x f h ，=0x ； 4、函数193)(23+--=x x x x f 的既递减又下凸的区间是 ； 5、?+=c x dx x f 2sin )(，?=dx x xf )(' ； 三 计算题：（满分36分，每小题6分） 1、111 1lim 30-+-+→x x x ； 2、求函数54 )15(4)(+-=x x x f 的极值； 3、?+12x x dx ； 4、?++dx x x )1ln(2 ；
小学数学学习方法总结归纳集锦
小学数学学习方法总结归纳集锦 学习方法，并没有统一的规定，因个人条件不同，时代不同，环境不同，选取的方法也不同。以下是精心收集整理的小学数学学习方法总结,下面就和大家分享，来欣赏一下吧。 小学数学学习方法总结1 养成不懂就问的习惯 有些题目孩子不懂，家长要耐心地解释题目的意思，鼓励孩子不懂就问。但是家长不要直接把答案告诉他，我想只要你把题目解释清楚，孩子是能够自己解答的。 我发现成绩不够理想的孩子，往往依赖性比较强，不愿独立思考，课堂上要么等着老师讲解，要么转来转去指望其他同学。这些同学在家里做作业也肯定很拖拉。家长要注意正确引导。 二年级学生已入学一年，有了一定的学习习惯的基础，但由于年龄特点，在数学学习上容易存在以下几个方面的不足： 一、注意力方面： 学生年龄小，有意识的注意力差，持久性也不长，一节课40分钟，很难坚持到底，往往听了一半就思想就开起了小差，或东张西望，随意说话，或小动作不停。 二、听讲方面： 不能倾听是许多低年级学生的通病。但学生的自我表现欲较强，往往一句话还没有来得及听完整，一知半解时便抢着回答，听不进老
师的建议和其他同学的发言。 三、看和写的方面： 粗心马虎，经常把题看不完整、把数左右看颠倒或上下看错行、把运算符号看错，或把图看不全面。写的时候精力不够集中，算对的却抄错，书写不认真，书面不整洁，写完不检查。 四、想的方面： 二年级学生思维发展还不全面，没有系统性，以直观形象思维为主，遇到需要逻辑思维或考察空间想象能力的问题，思维跟不上，脑子里转不过来弯，便会不知所措，应付塞责。 五、语言方面： 由于生活经验和积累的词汇少，语言单调、直白，即使明白了算理，口头表达时也常常说不清、道不明。 小学数学学习方法总结2 第一，重视听讲。在课堂上，老师讲授的一般都是新的知识内容，所以要紧跟着老师的思路走，积极的开展自己的思维，看看老师讲的解题思路与自己所想的有什么不同，通过思考进一步的去提高自己的数学能力。 第二，及时复习。复习的时候要把老师当天讲的内容都消化掉，做到不堆积问题，把老师在课上讲的知识点都去回顾一遍，熟练掌握公式的推理过程，尽量通过自己的记忆去回顾，实在搞不懂就去翻下书。 第三，多做题。学好数学就必须多做题，这是为了掌握各种不同
高中数学重要结论集锦
高中数学重要结论集锦 1.函数()y f x =的图象的对称性: ①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-= ②函数()y f x =的图象关于直2 a b x +=对称()()f a x f b x ?+=-()()f a b x f x ?+-=. ③函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ?=-- 函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ? =-- 2.两个函数图象的对称性: ①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m += 对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- 3. 分数指数幂 m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. 1m n m n a a - = （0,,a m n N *>∈，且1n >） 4. 对数的换底公式 log log log m a m N N a =.推论 log log m n a a n b b m =. 对数恒等式log a N a N =（0,1a a >≠） 5. 若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，* N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。如下图所示： k k k k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ 其前n 项和公式 1()2n n n a a s += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+- 5. 若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为' 12-n S ， 则'1212--=n n n n S S b a 。等比数列{}n a 的通项公式1 *11()n n n a a a q q n N q -==?∈； 等比数列{}n a 的变通项公式m n m n q a a -= 其前n 项的和公式11 (1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=?或11,11,1n n a a q q q s na q -?≠? -=??=? 6． 同角三角函数的基本关系式 22 sin cos 1θθ+=，tan θ=θ θ cos sin ，tan 1cot θθ?= . 2 21 1tan cos αα +=
数学分析试卷及答案6套
数学分析-1样题(一) 一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n n n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) lim ()u b f u A →= 用εδ-定义证明, lim [()]x a f g x A →=. 三. (10分)证明数列{}n x : cos1cos 2 cos 1223 (1) n n x n n = +++ ???+收敛. 四. (12分)证明函数1 ()f x x = 在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b 使2 lim (1)0x x x ax b →+∞ -+-=. 八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42 -的最大值与最小值. 九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使 2 4 ()()()() f f b f a b a ζ''≥ --. 数学分析-1样题(二) 一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a a =, 1()n n a a a n N +=+ ∈, 其中a 是一给定的正常 数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=.
小学数学教学10个案例分析
——小学数学教学案例分析 案例 1《除法的初步认识》教学片段 学生被分为6人一小组，每人手上有6根小棒。 A教学： 师：大家手上都有6根小棒。平均分成三份，每份是多少呢？生动手操作。 师：好！把刚才操作的过程在小组中交流一下。 B教学： 师：大家手上都有一些小棒，试着按要求进行平均分操作。要求是：平均分成1份，2份，3份，4份，5份，6份，并且不能损坏小棒。看那组最迅速。 学生开始分。有的很快地分好，有的开始小声议论。师：有困难吗？ 生1：平均分成4份不好分。生2：平均分成5份也不好分。 师：是啊！有的多，有的少，不是平均分。最好怎么办呢？（生……） 师：好！同组内的小棒可以相互借调。再试试看。（生活动。） 师：哪个小组愿意来交流一下，你们的4份是怎么平均分的？分析：学生是由于需要而主动地合作交流，还是被老师安排去合作交流，两种心态会产生不同的效果。怎样激发学生合作交流的积极主动性？我感觉有两点值得我们去关注： 1、让问题更具有思考性和探索性。数学教学中的合作交流不能等同于日常随意性的谈话，它应具有一定的学习目标的指向性，是为解决某个具体的问题而进行的合作与交流。因此，教学中要不断地让学生产生思维的困惑，让他们在思维的压力下，主动地想到与别人的合作与交流。案例教学中，把6根小棒平均分成3份，只有1种分法，让他们交流什么呢？只会不断地重复。而要把6根小棒平均分成4份、5份，却是个伤脑筋的事。老师建议重新调剂，怎样调剂呢？小组成员之间必然要交流和合作。特别是平均分成4份，需要另一个人全部拿出，或者有4人拿出一根，剩下一位同学拿出2根，其间的讨论一定会热烈。“方便别人，也就方便了自己”，在这里不是很好地得到了体现吗？！ 2、以组间竞争促组内合作。竞争和合作并不是一对相互排斥的概念，而是可以相互促进的。培养学生的合作意识、集体观念，可以通过竞争的机制去增强学生对集体的责任感和荣誉感，即用外部的压力去促进内部的团结。案例的B教学，引进了小组之间的竞争机制，这样就会促使小组成员之间主动地采取分工合作的方式，而无须再由老师去安排合作，组织交流。试想，在案例的B教学中，如果老师说的是“看哪位同学最快？”，他们之间的合作交流状况将会如何呢？所以在小组学习后全班交流的时候，老师关注的一定要是小组的整体意见而非个人。评判也应以小组为单位。 案例2《角的初步认识》教学片段： 课始。 A教学： 师：同学们，大家知道，这是什么图形吗？生：是角。 师：真好！在生活中哪些地方有角呢？生：…… B教学： 师：同学们，咱们今天一起研究角的有关知识。我知道，几天前，每个小组都进行了有关角的资料的收集，并进行了一定的整理。现在用你们喜爱的方式来交流一下，好吗？ 各个小组代表开始交流。 分析：一节课中究竟安排几次小组学习为宜呢？我们经常这样讨论着。细细分析这种讨论，它其实是把合作交流局限在教学环节之上。试想，一节课都让学生在小组内合作交流，又有何妨呢？下节课再整理归纳就是了！打破知识的分割，建立一种大的课程观和教学观，我们完全可以在课堂内探索更大时空的合作与交流。同时，合作交流不能仅仅限于课内，学习小组不能是课内象集体，课外如“散兵”。课外的合作交流，更能发挥学生的积极性，更能调动他们的集体荣誉感。让我们从整体着眼，从形成氛围和培养习惯入手，积极地将学生学习数学的过程变成一种师生不断“对话”与“协作”的过程，让合作交流的学习方式发挥出它更大的效应。 案例3： 一位教师上“退位减法”的复习课时，创设了这样的情景，让人体会颇深。（1）直接大方地出示了6道题目，其中2道退位题。请你看一看，你能不能一眼就看出哪些是退位的，哪些不是退位的。（培养学生对数学较为敏感的知觉能力就在这样简短的问话里得以深刻体现。） （2）动笔做，互相检查。我们也来开个儿童医院，请你们把最容易得病的算式拿上来，我们一起来会诊，最后请学生们给得病的算式开个小处方。在这里老师提了个要求：请你用一句话来告诉病人应该注意什么。（改错题的呈现方式有很多，这里用的是“治病情境”。老师没有停留在热闹的场景中，而是专注于让学生总结错误的原因和改错的方法。（3）自己出一道退位减法题给同桌做。 （4）老师出题：3000—（）；再请每人写一道题。……
初中数学100个学习方法
初中数学100个学习方法 1.学好数学要抓住三个“基本”：基本的概念要清楚，基本的规律要熟悉，基本的方法要熟练。 2.做完题目后一定要认真总结，做到举一反三，这样，以后遇到同一类的问题是就不会花费太多的时间和精力了。 3.一定要全面了解数学概念，不能以偏概全。 4.学习概念的最终目的是能运用概念来解决具体问题，因此，要主动运用所学的数学概念来分析，解决有关的数学问题。 5.要掌握各种题型的解题方法，在练习中有意识的地去总结，慢慢地培养适合自己的分析习惯。 6.要主动提高综合分析问题的能力，借助文字阅读去分析理解。 7.在学习中，要有意识地注意知识的迁移，培养解决问题的能力。 8.要将所学知识贯穿在一起形成系统，我们可以运用类比联系法。 9.将各章节中的内容互相联系，不同章节之间互相类比，真正将前后知识融会贯通，连为一体，这样能帮助我们系统深刻地理解知识体系和内容。 10.在数学学习中可以利用口诀将相近的概念或规律进行比较，搞清楚它们的相同点，区别和联系，从而加深理解和记忆。弄清数学知识间的相互联系，透彻理解概念，知道其推导过程，使知识条理化，系统化。 11.学习数学，不仅要关注题型，更要关注典型题型。 12.对于数学学科中的某些原理，定理，公式，不仅要记住它的结论，而且要了解这个结论是如何得出的。 13.学习数学，要熟记并正确地叙述概念和规律性内容。 14.在学习中要注意理解，开拓思路，变抽象为具体，逐渐培养自己学习数学的兴趣。 15.适当地对概念进行分类，可以使所学的内容化繁为简，重点突出，脉络分明，便于进行分析，比较，综合，概念。 16.数学学习最忌讳的就是对所学的知识模糊不清，各知识点混淆在一起，为了避免这一状况，同学们要学会写“知识结构小结”。 17.学会对题型题目的拆分和组合，学会从多角度，多方面来分析和解决典型题目，从中概括出基本题型和基本规律方法。
数学分析试题集锦
June21,2006 2002 1.(10) lim x→0( sin x1?cos x . 2.(10)a≥0x1=√2+x n n=1,2,... lim n→∞ x n 3.(10)f(x)[a,a+α]x∈[a,a+α]f(x+α)?f(x)= 1 1?x2+arcsin x f′(x). 5.(10)u(x,y)u ?2u ?x?y + ?2u x2+y2dx dy dz,?z=
x2+y2+z2=az(a>0) 8.(10) ∞ n=1ln cos1 ln(1+x2) 2 √ (2).{n . ?x (4). L(e y+x)dx+(xe y?2y)dy.L O(0,0),A(0,1),B(1,2) O B OAB. √ 2.(15)f(x)=3
4. 15 f (x )[0,1] sup 0 (5).e x=1+x+x2 n1 4≤e x+y?2. 5.(12)F(x)= Γf(xyz)dxdydy,f V={(x,y,z)|0≤x≤t,0≤y≤t,0≤z≤t}(t>0), F′(t)=3 a+n √ 2 n(a>0,b>0) (2).lim n→∞ 10x n√ 2 0dx 3 . (5).F(t)= x2+y2+z2=t2f(x,y,z)dS, f(x,y,z)= x2+y2,z≥ x2+y2 《平均数》教学案例 师：你们喜欢什么球类运动？ 生1：我喜欢足球。 生2：篮球。 生3：乒乓球。 师：由于受到场地的限制，我们只能在这里进行一次拍 球比赛，你们看怎么样？ 生：好。 师：那我们以这里为界，一分为二，这边算一队，那边算一队。第一件事，先给自己的队起一个自己喜欢的名字，然后派一个代表把名字写在黑板上。第二件事，咱们得商量商量，这么多小朋友参加比赛怎么个比法，你们得出点儿主意。听懂了吗？（学生七嘴八舌商量开了，一分钟后，一个同学在黑板上写了“胜利队”。另一对也写了“凯旋队”） 师：行行行。队名产生了，那咱们怎么比呢？ 生：选出每个队最厉害的一位参加比赛。 师：那你们选吧，再挑一个裁判，每队再请一个小朋友 记录。 预备，开始！20秒后，老师喊停，然后统计：“凯旋队”： 30，“胜利队”：29。 下面我宣布，本次比赛胜利者为“凯旋队”。“胜利队”服 不服气？ “胜利队”：不服气！ 师：为什么？ 生：就一个人能代表我们吗？应该每队再选几个。 师：我建议每队再选三个人，好吗？ （每队三人继续比赛，老师把每个人的拍球数写在黑板上。) 师：下面用最快的速度算出“胜利队”和“凯旋队”的总数 各是多少，报数。 生;118,124. 师：现在胜利者是“凯旋队”，可以吗？ 生：不可以。 （这时，老师走到胜利队同学面前。） 师：别急，虽然现在咱们落后，但老师决定加入“胜利队”，欢迎吗？ 胜利队：欢迎！ 师：现在把老师拍的22个加进来，算一算一共多少个？生;140个。 师;下面我宣布，今天的胜利者是“胜利队”。 生：不同意！ 师：为什么？ 生;胜利队有5次拍球机会，我们只有4次，不公平。 高考数学常用结论集锦 一. 函数 1.函数 ()y f x =的图象的对称性: ①. 函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-= ②. 函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ?=-- 2.两个函数图象的对称性: ①. 函数 ()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②. 函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m +=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③. 函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④. 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- 3. 对数的换底公式 log log log m a m N N a =. 推论 log log m n a a n b b m =. 对数恒等式log a N a N =（0,1a a >≠） 4. 导数： ⑴导数定义：f(x)在点x 0处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(000 00 ； ⑵常见函数的导数公式: ①' C 0=；②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=；④. x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )(' =；⑥x x e e =')(；⑦'1(log )log a a x e x =；⑧. x x 1)(ln '= ； ⑶导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2 v v u v u v u v u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='± 二.数列 1. 若数列 {}n a 是等差数列，n S 是其前 n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。如图所示： k k k k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ 其前n 项和公式 1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+21 1()22d n a d n =+- 5. 若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ，则'1 212--=n n n n S S b a 。 等比数列 {}n a 的通项公式1*11()n n n a a a q q n N q -== ?∈；等比数列{}n a 的变通项公式m n m n q a a -= 其前n 项的和公式 11 (1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=?或11,11,1n n a a q q q s na q -?≠? -=??=? 三.三角函数 1． 同角三角函数的基本关系式 2 2sin cos 1θθ+=，tan θ=θ θ cos sin ，tan 1cot θθ ?=2 211tan cos αα += 2. 正弦、余弦的诱导公式： 2 12(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n n co n απαα-?-?+=??-?为偶数为奇数 212(1)s ,s()2(1)sin ,n n co n n co n απαα+?-?+=??-? 为偶数为奇数 即:奇变偶不变,符号看象限,如cos()sin ,sin()cos 22 sin()sin ,cos()cos π π ααααπααπαα +=-+ =-=-=- 3. 和角与差角公式：sin()sin cos cos sin α βαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±= . 22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 《数学分析》――参考答案及评分标准 一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解： 11 (,)f x y y x = =， 因此二重极限为0.……(4分) 因为011x y x →+ 与011 y y x →+均不存在， 故二次极限均不存在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+??=? 所确定的隐函数,其中f 和F 分别 具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解： 对两方程分别关于x 求偏导: ， ……(4分) 。 解此方程组并整理得()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-='++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。 设,,22 y x y x y w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-==== 。 ……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得： 2222w w w μμν ??+ =???。 ……(9分) 4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中 目标函数: 222S rh r ππ=+表, ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=?? 小学数学优秀教学案例反思 人人学习有价值的数学，人人都能获得必须的数学。人们在学习、生活、解决问题的过程中，经常需要进行调查、收集、整理数据，对现象、事实作出全面的、规律性的描述和分析，并以此为依据，作出决策和预测。统计是课程标准规定的四个领域之一，它在日常生活、生产和科研中有着很广泛的应用。依据课程标准的要求和教材所提示的活动方式资源，我们应从儿童的兴趣和生活经验出发，灵活选取素材进行教学，使学生学会一些统计的知识。以下我将对《统计》一课的教学案例进行分析。 统计同学们喜欢吃的水果 师：过几天我们要迎来小学的第一个“六一”儿童节了，我们准备召开一个联欢会，老师想为大家买一些水果。可是班费有限，只能买2种，买什么好呢？ 生1：可以用举手的方法来决定买什么水果。 生2：可以投票，大家喜欢什么水果，就买什么水果。 师：你喜欢什么水果？生纷纷举手说自己喜欢的水果。 师：大家喜欢的水果有这么多，怎么办？请小组讨论 生汇报：用统计的方法，看同学们喜欢第一、第二多的水果是哪两种，就买那两种。 师：好，就用这种方法进行统计。下面大家依次上来，用准备好的星星贴在你喜欢的水果的图片上。 学生上台用星星贴在自己喜欢的水果的图片上。 师：你们看哪两种水果最多人喜欢？这下你们知道买什么水果吗？（生齐声说） 师：那我们就买这2种水果。生活中用统计的方法可以解决很多问题，刚才我们用统计的方法解决“买水果”的问题。今后你们可以运用所学的统计知识去解决生活中的一些问题。 分析： 这个案例能贴近学生生活，从学生感兴趣的事例中选取素材进行教学。案例中，教师创设良好的学习情境，让学生从熟悉有趣的“庆六一”开联欢会买水果这件生活中的小事出发。由于学生喜欢的水果很多，可是只能买2种水果，产生进行统计活动的需要，必须从同学们喜欢的水果中选取最多人喜欢的2种水果。只有通过统计才能确定买哪2种水果。让学生经历收集信息、处理信息的过程，逐步体会统计的必要性。在这样一个良好的情境中，学生积极主动地探索、合作、交流，课堂成了学生创造灵感的空间。 体会与反思：课标强调学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、 最全的小学数学学习方法100条，你要的这里都有！ 1.学好数学要抓住三个“基本”：基本的概念要清楚，基本的规律要熟悉，基本的方法要熟练。 2.做完题目后一定要认真总结，做到举一反三，这样，以后遇到同一类的问题是就不会花费太多的时间和精力了。 3.一定要全面了解数学概念，不能以偏概全。 4.学习概念的最终目的是能运用概念来解决具体问题，因此，要主动运用所学的数学概念来分析，解决有关的数学问题。 5.要掌握各种题型的解题方法，在练习中有意识的地去总结，慢慢地培养适合自己的分析习惯。 6.要主动提高综合分析问题的能力，借助文字阅读去分析理解。 7.在学习中，要有意识地注意知识的迁移，培养解决问题的能力。 8.要将所学知识贯穿在一起形成系统，我们可以运用类比联系法。 9.将各章节中的内容互相联系，不同章节之间互相类比，真正将前后知识融会贯通，连为一体，这样能帮助我们系统深刻地理解知识体系和内容。 10.在数学学习中可以利用口诀将相近的概念或规律进行比较，搞清楚它们的相同点，区别和联系，从而加深理解和记忆。弄清数学知识间的相互联系，透彻理解概念，知道其推导过程，使知识条理化，系统化。 11.学习数学，不仅要关注题型，更要关注典型题型。 12.对于数学学科中的某些原理，定理，公式，不仅要记住它的结论，而且要了解这个结论是如何得出的。 13.学习数学，要熟记并正确地叙述概念和规律性内容。 14.在学习中要注意理解，开拓思路，变抽象为具体，逐渐培养自己学习数学的兴趣。 15.适当地对概念进行分类，可以使所学的内容化繁为简，重点突出，脉络分明，便于进行分析，比较，综合，概念。 16.数学学习最忌讳的就是对所学的知识模糊不清，各知识点混淆在一起，为了避免这一状况，同学们要学会写“知识结构小结”。 17.学会对题型题目的拆分和组合，学会从多角度，多方面来分析和解决典型题目，从中概括出基本题型和基本规律方法。 1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 2U U A B A A B B A B C B C A =?=???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 3. 若Ａ={123,,n a a a a },则Ａ的子集有2n 个,真子集有(2n －1)个,非空真子集有(2n －2)个 4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;② 顶点式 2()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 三次函数的解析式的三种形式①一般式32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠ ②零点式123()()()()(0)f x a x x x x x x a =---≠ 5.设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6.函数()y f x =的图象的对称性: ①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-= ②函数()y f x =的图象关于直2 a b x +=对称()()f a x f b x ?+=-()()f a b x f x ?+-=. ③函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ?=-- 函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ? =-- 7.两个函数图象的对称性: ①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m += 对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- ⑤函数)(x f y =和)(1 x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 8.分数指数幂 m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. 1 m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 9. log (0,1,0)b a N b a N a a N =?=>≠>. log log log a a a M N MN +=(0.1,0,0)a a M N >≠>> log log log a a a M M N N -=(0.1,0,0)a a M N >≠>> 《数学分析Ⅱ》期中考试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、曲线2x 2 +3y 2 + z 2 =9, z 2 =3x 2 + y 2 在点 ( 1, -1, 2 )的法平面方程是（ 1 ） A 、8x+10y+7z-12=0； B 、8x+10y+7z+12=0； C 、8x -10y+7z-12=0； D 、8x+10y+7z+12=0 2、L 为单位圆周，则 L y ds =? （ 4 ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3、L 为从( 1, 1, 1 )到( 2, 3, 4 )的直线段，则 L zdx xdz +? = （ 3 ） A 、3 B 、5 C 、7 D 、9 4、 ()1 3x y x y dxdy +≤+?? =（ 2 ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 5、 02 11(,)y dy f x y dx --? ? ，改变积分顺序得（ 1 ） A 、2 110 (,)x dx f x y dy -?? B 、2 111(,)x dx f x y dy --?? C 、 2 11 (,)x dx f x y dy +? ? D 、2 11 1 (,)x dx f x y dy +-?? 6、V=[-2, 5]?[-3, 3]?[0,1]，则 2()V xy z dv +??? =（ 3 ） A 、1 B 、7 C 、14 D 、21 7、密度为1的均匀单位圆盘对于它的直径的转动惯量为( 4 ) A 、π B 、 π/2 C 、π/3 D 、π/4 8、曲面S 为上半单位球面z =S yzdxdz ?? =（ 2 ） A 、π/2 B 、 π/4 C 、π/6 D 、π/8 9、函数2 3 u x y xz =++的梯度场在（1,1,1）的旋度为（ 2 ） A 、（1,1,1） B 、（0,0,0） C 、（1,0,1） D 、（0,1,1） 10、下面反常积分收敛的有（ 3 ）个。 0cos x e xdx -∞ ? ，10 ? ，3cos ln x dx x +∞?，20?，1+∞? A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 二、填空题（28分，每空4分） 1、区域Ω由1z =与22 z x y =+围成的有界闭区域，则 (,,)f x y z dv Ω ??? 在直角坐标下的三 次积分为 柱坐标下三次积分 小学数学教学案例分析3篇 “比较分数大小”案例分析〖案例〗师：比较分数的大小时，常会遇到哪几种情形？大家能分别举一个例子吗？生1：同分母的分数相比较。如和。生2：同分子的分数相比较。如和。生3：分母和分子都不相同的分数相比较。如和。师：请大家分别说出这三种类型的分数大小比较的方法。（小组讨论，指名汇报。）生4：同分母分数相比较，分子较大的分数大。如>。生5：分子相同的分数，分母较小的分数大。如>。生6：分母和分子都不相同的分数，要先通分，变成同分母的分数，再比较大小。如和，=，=，因为，所以>。生10：我觉得分母和分子都不相同的分数，不一定要先通分或约分再比较。如和，因为比单位“1”少，而比单位“1”少，因为>，所以>。（师和生共同为他鼓掌。）生11：分母和分子不相同的数，还可以先化成同分子的分数再比较。如和,=,=，因为<，所以<。（学生们不约而同地为之鼓掌）师：刚才三位同学提出了比较分母和分子都不相同的分数的独特方法，你们觉得这些方法，哪种最简便？生12：能约分的，先约分再比较，显得简便。生13：有些分数不能先约分再比较。我认为先化成同分子的分数再比较，显得简便。如和，化成和，比通分成和，数目显得小，因此来得简便。生14：既然先化成同分子的显得简便，那么为什么课本上都讲先通分，再比较呢？……〖评析〗建构主义认为，知识的获得不是由传递完成的，知识只能在综合的学习情境中被交流。从上面的教学过程中可以看到，学生在自身的数学学习实践中都已积累了一定的数学活动经验，在合作与交流中充分发挥了“学习共同体”的作用。在合作与交流中，学生把自己对分数大小比较时积累的感性经验表述出来，使同伴们具体、清晰地区分比较分数大小的不同类型和多种方法，尤其是有几位学生还提出了与书本上介绍的方法不相同，却也十分科学、有效的方法。如课本中对分子和分母都不相同的分数大小比较，一般采用通分的方法，而学生们经过讨论与交流，根据自己的学习经验分别提出了先约分再比较，先把分子化相同再比较以及联系分数意义逆向思考来比较等等富有创造性的方法。在合作与交流中，学生们通过分组讨论与大组汇报，把比较分数大小的方法进行了有序的梳理，通过分类、举 初一数学学习方法集锦 1数学概念的学习方法： ①读概论，记住名称或符号; ②阅读背诵定义，掌握特性; ③举出正反实例，体会概念反映的范围; ④进行练习，准确地判断; ⑤与其他概念相比较，弄清概念间的关系。 2数学公式的学习方法： ①正确书写公式，记住公式中字母间的关系; ②懂得公式的来龙去脉，掌握推导过程; ③用数字验算公式，在公式具体化过程中体会公式中反映的规律; ④将公式进行各种变换，了解其不同的变化形式; ⑤变化公式中的字母所蕴含的内容，达到自如地应用公式。 3数学定理的学习方法： ①背诵定理; ②分清定理的条件和结论; ③理解定理的证明过程; ④应用定理证明有关问题; ⑤体会定理与有关定理和概念的内在关系。课堂上你争取要做到以下几点：对于老师讲到的知识点，你用比较显眼的彩笔在书本上将知识点勾画出来，勾画的过程不是简简单单的画个符号或是直线之类的，重要是你在勾画过程中用眼再记忆一遍知识点，加深你对知识的理解和掌握。同时也方便你以后复习时能事半功倍。课堂上老师可能会举一些具有代表性的例题，如果老师举的例题书上没有而且很典 型，那么你就必须准备一本精致的笔记本去把这些例题分章节的记录下来!如果课堂上没来得及记全的话，下课后及时找到老师把例题记录下来。千万不要害羞，想想看，哪怕一天记一道题目，一个月就是三十道题目，三年下来，那个笔记本就是 你自己的题库了哦。记课堂笔记，记笔记服从听讲，要结合教材来记，要掌握记录 时机;记要点、记疑问、记易错点、记解题思路和方法、记老师所补充的内容;记小结、记 课后思考题。记是为听和思服务的。记笔记有助于将知识简化、深化、系统化。如果对于 课堂上老师讲到的知识不会时要做好标记，下课后及时去问老师或者同学。什么认真听讲，积极发言。 数学怎么说都是理科性很强的一门学科，所以要想数学学好，做题目是万万不能少 的。做题目的量不宜过多，但结合我的经历来说，题目做多远远好于题目做少，所以你 就需要有恒心的去做题目，但也不能盲目的做，自己哪一方面掌握的不好就多做哪一方面 的知识习题;什么练习册、课堂作业之类的，那都是每个学生都应该完 成的，所以你要是想学的比人家好，那你就得准备一本不是学校统一发的教辅，适 当的做好教辅上的题目。学了后面忘了前面这就等于白学，一个人数学学的好的原因就在 于她忘记的少，知识掌握的牢固。所以，杜绝遗忘知识，你就至少成功一半了，克服遗忘，首先，做题是少不了的，其次，就是学会自我总结，晚上睡觉前躺在床上想想今天学了什 么呀，回忆下课堂的情景，或者随便的翻翻课本，看看自己勾画出的一些知识点。学会定 时间的复习，要有计划，因为老师不可能对你的学习一切包办。所以复习是 很重要的，你可以先翻开数学书前面的目录，对着每章节的题目来尽力回忆里面所 包含的知识点，回忆不出来的或者不太清楚的在翻到一章节仔细复习。在这方法在考前是 很管用的。除此之外你得准备一本错题集。记录下你平时考卷、练习册等等上面所做错 的题目，可能这个会很耗时间，但是需要你的坚持，这对方便复习很管用。 预习是课前对要讲的数学内容进行了解，以便掌握听课的主动权。由于预习是学生独 立学习的尝试，对学习内容是否正确理解，能否把握其重点，关键等，都能在听课中得到 检验，矫正，有利于提高我们的学习能力和养成自学的习惯，所以它是数学学习中的重要 一环。数学学科具有很强的逻辑性和连贯性，新知识往往是建立在旧知识的基础上。因此，预习时就要找出学习新知识所需的知识，并进行回忆或重新温习，一旦发现旧知识掌握得 不好，甚至不理解时，就要及时补上，克服因没有掌握好或遗忘带来的学习障碍，为顺利 学习新内容创造条件。否则由于掌握旧知识的缺陷，从而造成学习的困难。 预习时，一般采用边阅读，边思考，边书写的方式，把内容的要点联系划出来，写下 自己的看法或弄不懂的地方与问题，从而确定听课时要解决的主要问题，以提高听课效率。在时间的安排上，预习一般放在复习和作业之后进行，即做完功课后，把下次课要学的内 容看一遍，其要求则根据当时具体情况灵活掌握。如果时间允许，做做练习题;时间不允许，可以少思考一些问题，不必强求一律。 根据课程设置七年级的同学在预习上应该具备更多的时间，所以同学们在初中刚开 始一定要养成预习的学习习惯。 在校期间，听课是学生学习数学的主要形式。在教师的指导，启发，帮助下学习，可 以少走弯路，能在较短的时间内获得大量系统的数学知识，否则事倍功半，难以提高效率。所以听课是学好数学的关键，听课时主要是处理好“听”，“思”，“记”的关系。小学数学教学优秀案例集锦
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