低调整率的广义AVL树及其统一重平衡方法
低调整率的广义A VL树及其统一重平衡方法
摘要针对传统A VL（AdelsonVelskii and Landis树重平衡算法代码量大、流程复杂、调整率过高的问题，提出一种统一重平衡算法，并提出广义AVL树的概念。统一重平衡算法能对A VL树的失衡节点进行自动分类、调整，取消了传统重平衡方法中的四种旋转操作。广义AVL树放松了A VL 树的平衡约束，允许左右子树树高相差不超过N（N≥1，当更新操作（插入/删除执行后，广义A VL树只在平衡约束条件不满足时采用统一重平衡算法进行调整。理论分析与实验结果表明，广义AVL树的调整率随着N的增大而显著降低：N为5时，调整率低于4%；N为13时调整率低于千分之一。广义A VL树的调整率远低于红黑树等经典数据结构，适合并发应用。
关键词
文献标志码 A
0引言
现有绝大部分数据结构技术都是串行数据结构技术。随着多核处理器的普及，如何在并发环境下高效地实现这些技术显得十分重要[1]。其中有序词典数据结构获得较多的研究[2]，主要包括跳跃表和维持对数高度的平衡二叉搜索树。由于不需要对结构进行经常性的调整，跳跃表已经成为应用最
广泛的并发词典技术[1-9]。最近，研究人员还开发出了具有良好并发性能的红黑树[2]、A VL（AdelsonVelskii and Landis 树[3]和伸展树[4]。早期的并发A VL树是通过解耦更新操作和重平衡操作来实现的[5]，更新操作时不进行调整，但记录下平衡约束的破坏情况，当可以进行调整时，恢复所有的平衡约束；近几年，软件事务性内存技术用于A VL树[3]、红黑树[2]和伸展树[4]获得了良好的效果；国内学者通过对副本节点进行操作而数据节点保持不变，开发了一种无锁并发链表算法[6]，基于节点重用策略进行了无锁并发技术在二叉搜索树中研究[7]。
所有这些研究都是基于经典串行数据结构，通过增加一些新方法或新技术使之适应并发应用。要使经典数据结构能更好地适用于并发应用，不能仅局限于实现环节，还可对它们进行改造，但这方面的研究报告/论文很少。适合于并发应用的数据结构一般有以下两大特点或之一：1在更新操作过程中较少地对原有结构进行调整；2调整具有局域性。本文提出的广义A VL树具有非常低的调整率，已经可以达到万次更新操作只需一次重平衡操作的程度；尽管调整时其局域性略差，但平摊到单次操作，其影响的节点还是非常少的。
1A VL树的统一重平衡方法
当A VL树的左右子树树高相差超过1时，就需要调整以使树重归于平衡。重平衡调整分4种情况进行旋转：左旋、
右旋、左旋再右旋、右旋再左旋。这种分类重平衡的方法非常有效，红黑树和AA树（Arne Andersson tree的双红和双黑调整也是这么处理的。但该方法也有两个缺点
1实现调整算法时，代码量大且流程繁杂，因此容易出错且调试困难；2该方法没有通用性，对于如左右子树高度相差超过2的强失衡的情况，采用分类重平衡方法将导致太多的分类情况，这将极大地增加理解和编程的复杂度，因此该方法不适合处理强失衡的情况。
A VL树的失衡节点左右子树高度相差2，因此只需向失衡节点更深的子树方向进行搜素，一定可以得到一个子节点和一个孙节点。把这三个节点及其四棵子树按完全二叉树的方式进行重排，即可使失衡的节点重新回归平衡，如图1所示。这7个节点可以叫“3+4”节点，清华大学邓俊辉提出的“3+4”重构方法就是这样的重平衡方法[10]，但该方法仍然采用分类方法实现。类似的调整方法在文献[11]中叫填空法、在文献[12]中叫选择调整法。
图片
图1A VL树重平衡的4种情况
本文提出的统一重平衡方法，采用自动计算分类的形式，对“3+4”节点进行调整，该方法流程简洁且代码量小。用有8个指针的节点指针数组p[8]收集“3+4”节点信息，如图1所示。图1中的数字为节点编号，1号节点为失衡节
点，用p[1]存储；2号节点为1号节点较深的子节点，用p[2]存储；5号节点为1号节点较浅的子节点，用p[5]保存，其他依此类推，并用p[0]存储失衡节点的父节点指针。重平衡后，为了方便重构二叉树，将重平衡后的结果（节点编号按完全二叉树的层序进行存储。需要重平衡的情况有4种，可以用二维数组tb[4][8]来存储，具体数据为：{ {0，2，3，1，4，7，6，5}，{0，3，2，1，6，4，7，5}，{0，3，1，2，5，4，7，6}，{0，2，1，3，5，6，4，7} }。重构时，从二维数组提取分类数据，如分类情况1的数据为idx[]={0，3，2，1，6，4，7，5}，其中，“1”是第3个数据，“7”是第6个数据（6=2*3，“5”是第7个数据（7=2*3+1；这意味p[1]的左子树是p[7]、p[1]的右子树是p[5]，其他依此类推。不难发现，重构可以这样进行，p[ idx[i] ]的左子树是
p[ idx[2*i] ]、右子树是p[ idx[2*i+1] ]。计算分类情况可以采用Huffman编码的方式，向更深的子树搜索时向左编码0、向右编码1，如图1各子图左半部分所示。按完全二叉树重排后的二叉树如图1各子图右半部分所示。
算法1A VL树的统一重平衡算法。
有序号的程序――――――――――Shift+Alt+Y
程序前
输入：失衡节点、失衡节点的父节点。
输出：调整前后的高度改变信息。
1
保留失衡节点的高度
2
计算分类号kase（初值为0及收集“3+4”节点信息
a p[1]=失衡节点
b for i=1 to 2
如果p[i]的左子树更深
p[i+1]=p[i]的左子树
p[i+4]=p[i]的右子树kase=2*kase
否则
p[i+1]=p[i]的右子树
p[i+4]=p[i]的左子树
kase=2*kase+1
c p[4]=p[3]的左子树
p[7]=p[3]的右子树
3
从二维数组tb中提取按完全二叉树重排“3+4”节点的数据
idx=tb[kase]；
4
依据完全二叉树的形式重构二叉树
for i=3 to 1
p[ idx[i] ]的左子树是p[ idx[2*i] ]
p[ idx[i] ]的右子树是p[ idx[2*i+1] ]
5
更新重平衡后的二叉树高度
for i=3 to 1
更新p[ idx[i] ]的高度
6
如果失衡节点的父节点为空，树的根节点为p[ idx[1] ]，结束
7
重建失衡节点的父节点与p[ idx[1] ]的连接，左右连接方向与原连接方向（与p[1]连接相同
程序后
算法1不仅消去了左旋、右旋和两种双旋的操作，也不用进行分类处理，非常适合扩展到强失衡的情况。采用
C++11，只需要不到50句的程序就可以实现以上算法。
第3期
江顺亮等：低调整率的广义A VL树及其统一重平衡方法计算机应用第35卷
2放松平衡约束的广义A VL树及其统一重平衡方法
A VL树的平衡约束条件是左右子树的树高相差不超过1，本文提出的广义A VL树其基本思想是放松A VL树的平衡
约束，允许左右子树树高相差不超过N（N≥1，由此，可以获得一系列的A VLN树（N=1，2，3，4，…，其中A VL1树就是原始的A VL树。
2.1A VLN树的统一重平衡方法
实现广义A VL树的关键是：当平衡约束条件不满足时，采用统一重平衡方法进行调整。AVL1树的统一重平衡方法在算法1中已经详细阐述了。该方法可以扩展到N为任意值的A VLN树，即放松平衡约束的A VL树，N就是平衡约束数（失衡不超过N。首先，从不平衡的节点出发向更深的子树方向搜索获得N+1个子孙节点，这N+1个子孙节点一定存在，它们和不平衡节点构成了N+2个主干节点，与N+2
个主干节点相连的还有N+3个子树节点。其次，以完全二叉树的形式重排N+2个主干节点。最后，把N+3个子树节点和重排后的完全二叉树相连。具体算法，只需将算法1描述中的“2”“3”“4”“7”改为N+1、N+2、N+3、2N+5（参与算术运算的2除外，即“2*kase”和“2*i”中的“2”除外。存储节点重排信息的二维数组tb需要预先给定，大小为
tb[2N+1][2N+6]，N=1，2，3，4，5时的二维数组tb的大小分别为4*8、8*10、16*12、32*14、64*16。由于分类情况总数随着N每增加1而翻倍，因而重排节点所需的具体数据不能人工收集，必须由计算机自动计算。算法2给出了计算这些重排节点所需数据的过程。
算法2计算重排节点数所需数据算法。
有序号的程序――――――――――Shift+Alt+Y
程序前
输入：平衡约束数N，收集到的节点p[i]，i=1 to 2N+5。输出：重排节点的数据idx[i]，i=1 to 2N+5。
1
对p[i]进行排序，排序结果的下标存入数组ut
采用中序遍历的方法计算
a id=1，i=1
b 递归函数，参数i
c 如果i>N+2，则ut[id++]=i，退出；
d 如果p[i+1]等于p[i]的左子树，则
转b，递归调用，参数i+1；
ut[id++]=i；
ut[id++]=i+navl+3；
e 否则
ut[id++]=i+navl+3；
ut[id++]=i；
转b，递归调用，参数i+1；
注：id++指id先参与运算、后自增1
2
对层序标号的2N+5个节点组成的完全二叉排序树进行
排序，排序结果的下标存入数组ct
采用中序遍历的方法计算
a id=1，i=1
b 递归函数，参数i
c 如果i>2N+5，则退出；
d 转b，递归调用，参数2*i；
e ct[id++]=i；
f 转b，递归调用，参数2*i+1；
3
依据ut和ct计算idx
for i=1 to 2N+5
idx[ct[i] ] = ut[i]
程序后
重排节点的过程其实是构建严格平衡二叉树的过程[13]，本文的严格平衡二叉树采用完全二叉树。采用C++11的lamda函数，计算算法2中idx的方法只需不到40句语句就可实现，代码简洁易理解。
计算这些重排节点所需数据的算法由三部分组成，图2显示了A VL2树调整时所需数据的计算过程（图中数字仍为节点编号。
图片
图2重排A VL2节点所需数据的计算示意图
2.2统一重平衡方法的调整情况
经典的AVL树重平衡后，树的高度或降低1或维持不变。但A VLN树重平衡后，树的高度变化较大。被调整节点的父节点有可能出现比较大的平衡约束破坏；另外，在已经不平衡的地方继续插入节点也可能导致更严重的不平衡，这有可能会出现超过重平衡调整的能力。以A VL3树为例，树的高度可以维持不变、降低2、降低1，还可能出现高度增加1
的情况。重平衡后，有可能仍然不满足平衡约束，有的是被调整的整体不满足平衡约束，如图3（a所示；有的是被调整的局部不满足平衡约束，如图3（b所示，键值为9的节点不满足平衡约束。图片
图3A VL3重平衡后仍然失衡示意图
如果被调整的整体不满足平衡约束，可以继续调整直至满足平衡约束，如图3（a所示。但在局部进行调整将有可能导致父节点出现新的平衡约束破坏，继续进行调整又可能导致新的局部不平衡，从而出现死循环，因此不建议进行局部重平衡。事实上，放松平衡约束本身也可以包括二叉树中可以出现少量不满足平衡约束的节点。这些少量的节点不会累积，而是会随着节点的插入/删除而自然消失，或随新的重平衡而消失；因此，少量不满足平衡约束的节点存在不会影响整体性能。
3结果与分析
本文利用C++11编制模板程序测试算法，基于CodeBlocks 13.2，Window 8.1操作系统，G3220T双核处理器，内存为4GB。采用红黑树和树堆（Treap进行比较。本文主要对操作的调整率进行比较。由于N为偶数的A VLN树与A VL（N+1树性能相似，本文只讨论N为奇数的A VLN 树，且只讨论到N=19，因为更大的N对性能几乎没有改善且树更易成为严重失衡的二叉树。
3.1插入操作的性能分析
插入性能分析将0～1048575的有序数据，共220个，随机打乱进行连续插入。主要比较4个性能指标：树的高度、平均内部路径长度（Average Internal Path Length，AIPL、调整率和运行时间。AIPL是所有节点到根节点的平均长度，节点总数相同的情况下，AIPL越小查找性能越好。调整率是插入/删除操作后为了维持二叉树的基本平衡而对二叉树
结构进行调整的比率，对于A VLN树意味着插入/删除调用统一重平衡操作的几率，而对于红黑树和树堆则意味着需要旋转的几率。表1显示了100次运算的平均结果。
表格（有表名
表1A VLN树插入操作的性能比较
树类型树高AIPL调整率/%运行时间/ms
A VL124.019.446.581359
A VL328.420.110.031430
A VL532.721.13.241442
A VL736.422.11.351452
A VL939.522.90.521466
A VL1142.323.80.211492
A VL1344.324.60.091497
A VL1546.125.10.041508
A VL1747.425.50.011472
A VL1948.125.60.011428
红黑树25.019.538.84914
树堆49.925.666.671116
由于A VLN树的节点需要更新高度数据，且更新的频率和向上传播的深度都远大于调整的频率和深度，因此A VLN 树的运行时间最长，约比红黑树多50%，比Treap多30%。但A VLN树的运行时间受N的影响不大，A VL1树的运行时间比其他A VLN树少10%，其他的变化在5%以内。N增大以后，A VLN树的高度和AIPL都会增大，插入时需要更多的时间，但另一方面，A VLN需要调整的几率相比而言更小，从而抵消了插入时增加的运行时间消耗。就查找性能而言，A VLN树随着平衡约束的进一步放松其查找性能虽在下降，但下降幅度在逐渐减少，其查找性能虽不如红黑树，但始终强于Treap。
在高并发应用中，推迟重平衡技术[5]插入时只在叶子节
点处进行追加，然后更新祖先节点的高度，如出现新的平衡约束破坏，再进行调整，以便使插入和查找操作可以并发进行。低调整率的思路与推迟重平衡的技术思路不同，它是尽量减少重平衡的操作，从而使高并发得以进行。AVLN树的调整率随N的增大衰减很快，N每增加2、调整率衰减到原有的40%左右。其调整率可以达到非常低的值，A VL13树的调整率低于千分之一，这就是说，一千次插入操作，平均只需一次对原有结构进行调整；A VL15树的调整率已低于万分之一。
A VLN树低调整率的根本原因是允许不平衡累积，只有不平衡累积到一定程度时才进行调整，在累积过程中，很多不平衡会相互抵消，从而消亡，这与统计学中的多个随机变量相加获得大数的概率非常低的原理相似。重平衡调整后，如果从根节点到某个节点的路径改变了，则认为该节点受到影响。由于允许不平衡累积，单次调整影响的节点数会比较多，A VLN树随N的增大受重平衡调整操作影响的节点数呈幂率增长，大约是N增加1该数增加30%。但其调整率衰减快，通过插入构建一棵二叉排序树，受重平衡调整影响的节点累计总数很少。A VL5树的累计总次数只有红黑树的50%左右，A VL17树只有红黑树的2.5%左右。
树高也是二叉排序树查找性能的一个重要指标，它表征着最坏情况下的查找性能。A VLN树树高的理论下限是完全
二叉树的树高，即h=lb（NN，NN为节点总数。A VLN树树高的理论上限由节点总数F（h与树高h的递推公式决定：F （h=F（h-1+F（h-N-1，N=1时该公式就是斐波那契递推公式，由该递推公式可以获得h=d*lb（NN，系数d取决于N，而且可以用简易的计算方法求得，具体数据见表2。由A VLN 树的实验数据估算的系数d列在表2的“计算值”行。实验数据只有理论上限的38%～83%，而且N愈大该百分比愈小。因此，完全可以说A VLN树的重平衡策略是成功的，查找性能在可控和合理的范围。
表格（有表名
表2A VLN树树高与节点总数公式中的系数
树类型下限计算值树类型下限计算值
A VL11.4401.201A VL114.3452.114
A VL32.1511.422A VL134.8262.215
A VL52.7631.635A VL155.2872.305
A VL73.3211.818A VL175.7392.370
A VL93.8461.976A VL196.1812.405
3.2删除操作的性能分析
删除操作和插入操作的主要区别是删除的节点不仅有
叶子节点也有内部节点，但插入的节点都是叶子节点。为了更好地考察广义A VL树的调整率，本文删除的内部节点都是数据节点。表3中的数据是先随机插入220个节点，然后随
机删除这些节点，重复100次的平均结果。删除内部节点时，用一个叶子节点替代该节点，再删除这个叶子节点。这样的方案与内部节点既可以是数据节点也可以是分支节点的方
案[3]相比，需要更多的调整，因此可以更好地考察调整率。如果不考虑替代节点路径改变这一点，则删除过程的调整率会比插入过程的调整率有所下降，这样的删除过程调整率见表3。可以看出，随机删除节点从而删除整棵树的运行时间与随机插入节点从而构建一棵树的运行时间基本相当，
A VLN树、红黑树和Treap都是如此。
表格（有表名
表3删除操作的性能比较
树类型调整率/%路径改变节点数运行时间/ms
A VL124.66316.01460
A VL35.16617.01288
A VL51.36830.01288
A VL70.64352.01331
A VL90.25380.01317
A VL110.111140.01348
A VL130.051219.01367
A VL150.025395.01417
A VL170.010641.01382
A VL190.004832.01360
红黑树46.4724.4976
Treap66.6603.11358
3.3A VLN树的混合运用
A VLN树的N可随时修改，因此当高并发时可采用较大的N，低并发时采用较小的N。为了检验A VLN树的混合N 的效果，先用A VL13方法插入大部分节点，然后用A VL1
方法插入其余节点，100次运行的平均结果见表4。实验数据表明，采用A VL1方法插入少量节点可有效地改善树的总体不平衡情况，树高和AIPL都有明显下降，尤其树高下降明显。当树中存在较多的左右不平衡节点时，采用A VL1方法插入节点，会有效地改善树中的不平衡情况。
少数节点用A VL1方法的删除操作也可有效地改善树中的不平衡状况。按不同比例使用A VL1的结果也列在表4中。相同比例的情况下，用A VL1方法删除节点比插入节点能更有效地改善已有的不平衡情况。如果混合A VL13和A VL1
是在构建树的过程中随机选择，这种方式比先用A VL13后用A VL1的效果更好。大量的运算表明，A VL1方法的使用愈早效果愈好。
表格（有表名
表4先用A VL13插入后用A VL1插入/删除的效果
A VL1/%
插入操作
树高AIPL等价性能
删除操作
树高AIPL等价性能
0.044.824.7A VL1344.424.6A VL13
0.136.923.4A VL1133.822.3A VL9
0.234.122.5A VL932.321.8A VL7
1.030.721.7A VL729.321.0A VL5
5.028.120.9A VL32
6.820.3A VL3
20.025.520.1A VL325.419.8A VL3
100.024.019.4A VL125.219.3A VL1
4结语
本文的实验数据说明，广义A VL树在放松平衡约束之后，A VLN树的调整率显著下降，N越大，调整率越低，A VL5的调整率已远低于红黑树，A VL13的调整率已低于千分之一。尽管A VLN树的查找性能随着N的增大在下降，但直至N=19时，其性能始终强于Treap。尽管在N较大时单次调整影响的节点数较多，但由于低调整率，构建一棵二叉树累计影响的节点数还是随N的增大而减少。本文提出的统一重平衡方法，编写流程简单、不易出错，N可以随时改变，较之同类其他数据结构具有较大编程和应用的灵活性。
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数据结构课程设计AVL树实现及其分析实验报告
算法与数据结构 课程设计报告 题目: A VLree的实现及分析 班级: 12计算机1 学号: 1200303132 姓名: 熊成毅 成绩: 2013年12月31日
一、AVLree的实现及分析 AVL 树是平衡的二元查找树。一株平衡的二元查找树就是指对其每一个节点，其左子树和右子树的高度只差不超过1. 编写程序实现AVL树的判别；并实现AVL树的ADT，包括其上的基本操作；节点的加入和删除。BSt和AVL的差别就在平衡性上，所以AVL的操作关键要考虑如何在保持二元查找树定义条件下对二元树进行平衡化。 （1）编写AVL树的判别程序，并判别一个人元查找数是否为AVL树。二元查找树用其先序遍历结果表示，如：5,2,1,3,7,8. （2）实现AVL树的ADT，包括其上的基本操作：节点的加入和删除，另外包括将一般二元查找树转变为AVL树的操作。 二、设计思想（宋体，三号加粗） 任意给定一组数据，设计一个算法，建立一棵平衡二叉树，对它进行查找、插入、删除等操作。平衡二叉树ADT结构如下： typedef struct{ Status key; }ElemType; typedef struct BSTNode{ ElemType data; Status bf; struct BSTNode *lchild,*rchild; }BSTNode,*BSTree; 给出一组数据，通过 InsertAVL(BSTree &T, ElemType e, Status &taller)插入算法，构建平衡二叉树，若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点，则插入一个数据元素为e的新结点，并返回1，否则返回0。若因插入而使二叉排序树失去平衡，则作平衡旋转处理，布尔变量taller反映T长高与否。 在此算法中，利用到递归算法和 LeftBalance(BSTree &T)左平衡处理，RightBalance(BSTree &T)右平衡处理。进而实现构建平衡二叉树，使其左子树和右子树的高度之差不超过1. LeftBalance(BSTree &T）对以指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理。本算法结束时，指针T指向新的根结点。 RightBalance(BSTree &T)// 对以指针T所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理。本算法结束时，指针T指向新的根结点。 R_Rotate(BSTree &p)对以*p为根的二叉排序树作右旋处理，处理之后p指向新的树根结点，即旋转处理之前的左子树的根结点 L_Rotate(BSTree &p)对以p↑为根的二叉排序树作左旋处理，处理之后p指向新的树
数据结构查找习题及复习资料
第9章查找 一、单选题 1.对一棵二叉搜索树按（）遍历，可得到结点值从小到大的排列序列。 A. 先序 B. 中序 C. 后序 D. 层次 2.从具有n个结点的二叉搜索树中查找一个元素时，在平均情况下的时间复杂度大致为（）。 A. O(n) B. O(1) C. O(logn) D. O(n2) 3.从具有n个结点的二叉搜索树中查找一个元素时，在最坏情况下的时间复杂度为（）。 A. O(n) B. O(1) C. O(logn) D. O(n2) 4.在二叉搜索树中插入一个结点的时间复杂度为（）。 A. O(1) B. O(n) C. O(logn) D. O(n2) 5.分别以下列序列构造二叉搜索树，与用其它三个序列所构造的结果不同的是（）。 A．（100，80，90，60，120，110，130） B.（100，120，110，130，80，60，90） C.（100，60，80，90，120，110，130） D.（100，80，60，90，120，130，110） 6.在一棵AVL树中，每个结点的平衡因子的取值范围是（）。 A. -1~1 B. -2~2 C. 1~2 D. 0~1 7.根据一组关键字（56，42，50，64，48）依次插入结点生成一棵A VL树，当插入到值 为（）的结点时需要进行旋转调整。 A. 42 B. 50 C. 64 D. 48 8.深度为4的A VL树至少有（）个结点。 A．9 B. 8 C. 7 D. 6 9.一棵深度为k的A VL树，其每个分支结点的平衡因子均为0，则该平衡二叉树共有（） 个结点。 A.2k-1-1 B.2k-1+1 C.2k-1 D.2k 10.在A VL树中插入一个结点后造成了不平衡，设最低的不平衡结点为A，并已知A的左 孩子的平衡因子为0，右孩子的平衡因子为1，则应作（）型调整以使其平衡。 A. LL B. LR C. RL D. RR 二、判断题
数据结构课程设计题目
《数据结构》课程设计题目 1. 排序算法的性能分析 问题描述 设计一个测试程序，比较几种内部排序算法的关键字比较次数和移动次数以取得直观感受。 基本要求 （1）对冒泡排序、直接排序、选择排序、箱子排序、堆排序、快速排序及归并排序算法进行比较。 （2）待排序表的表长不小于100，表中数据随机产生，至少用5组不同数据作比较，比较指标：关键字参加比较次数和关键字的移动次数（关键字交换记为3次移动）。 （3）输出比较结果。 选做内容 （1）对不同表长进行比较。 （2）验证各算法的稳定性。 （3）输出界面的优化。 2. 排序算法思想的可视化演示—1 基本要求 排序数据随机产生，针对随机案例，对冒泡排序、箱子排序、堆排序、归并算法，提供排序执行过程的动态图形演示。 3. 排序算法思想的可视化演示—2 基本要求 排序数据随机产生，针对随机案例，，对插入排序、选择排序、基数排序、快速排序算法，提供排序执行过程的动态图形演示。 4. 线性表的实现与分析 基本要求 ①设计并实现线性表。 ②线性表分别采取数组（公式化描述）、单链表、双向链表、间接寻址存储方 式 ③针对随机产生的线性表实例，实现线性表的插入、删除、搜索操作动态演示(图 形演示)。 5. 等价类实现及其应用 问题描述：某工厂有一台机器能够执行n个任务，任务i的释放时间为r i（是一个整数），最后期限为d i（也是整数）。在该机上完成每个任务都需要一个单元的时间。一种可行的调
度方案是为每个任务分配相应的时间段，使得任务i的时间段正好位于释放时间和最后期限之间。一个时间段不允许分配给多个任务。 基本要求： 使用等价类实现以上机器调度问题。 等价类分别采取两种数据结构实现。 6. 一元稀疏多项式计算器 问题描述 设计一个一元稀疏多项式简单计算器。 基本要求 一元稀疏多项式简单计算器的基本功能是： （1）输入并建立多项式； （2）输出多项式，输出形式为整数序列：n，c1，e1，c2，e2，…,c n，e n，其中n是多项式的项数，c i，e i，分别是第i项的系数和指数，序列按指数降序排序； （3）多项式a和b相加，建立多项式a+b； （4）多项式a和b相减，建立多项式a-b； （5）计算多项式在x处的值； （6）计算器的仿真界面（选做） 7. 长整数的代数计算 问题描述 应用线性数据结构解决长整数的计算问题。设计数据结构完成长整数的表示和存储，并编写算法来实现两长整数的加、减、乘、除等基本代数运算。 基本要求 ①长整数长度在一百位以上。 ②实现两长整数在取余操作下的加、减、乘、除操作，即实现算法来求解a+b mod n, a-b mod n, a?b mod n, a÷b mod n。 ③输入输出均在文件中。 ④分析算法的时空复杂性。 8. 敢死队问题。 有M个敢死队员要炸掉敌人的一碉堡，谁都不想去，排长决定用轮回数数的办法来决定哪个战士去执行任务。如果前一个战士没完成任务，则要再派一个战士上去。现给每个战士编一个号，大家围坐成一圈，随便从某一个战士开始计数，当数到5时，对应的战士就去执行任务，且此战士不再参加下一轮计数。如果此战士没完成任务，再从下一个战士开始数数，被数到第5时，此战士接着去执行任务。以此类推，直到任务完成为止。排长是不愿意去的，假设排长为1号，请你设计一程序，求出从第几号战士开始计数才能让排长最后一个留下来而不去执行任务。 要求：至少采用两种不同的数据结构的方法实现。 9. 简单计算器
Python数据结构——AVL树的实现_光环大数据Python培训
https://www.360docs.net/doc/b72446891.html, Python数据结构——AVL树的实现_光环大数据Python培训 我们已经证明，保持 AVL 树的平衡将会使性能得到很大的提升，那我们看看如何在程序中向树插入一个新的键值。因为所有的新键是作为叶节点插入树的，而新叶子的平衡因子为零，所以我们对新插入的节点不作调整。不过一旦有新叶子的插入我们必须更新其父节点的平衡因子。新叶子会如何影响父节点的平衡因子取决于叶节点是左子节点还是右子节点。如果新节点是右子节点，父节点的平衡因子减 1。如果新节点是左子节点，父节点的平衡因子将加 1。这种关系可以递归地应用于新节点的前两个节点，并有可能影响到之前的每一个甚至是根节点。由于这是一个递归的过程，我们看看更新平衡因子的两个基本条件： 递归调用已到达树的根。 父节点的平衡因子已调整为零。一旦子树平衡因子为零，那么父节点的平衡因子不会发生改变。 我们将实现 AVL 树的子类BinarySearchTree。首先，我们将重写_put方法，并写一个新的辅助方法updateBalance。这些方法如Listing 1 所示。除了第 7 行和第 13 行对 updateBalance的调用，你会注意到_put和简单的二叉搜索树的定义完全相同。 Listing 1 updateBalance方法完成了大部分功能，实现了我们刚提到的递归过程。这个再平衡方法首先检查当前节点是否完全不平衡，以至于需要重新平衡(第 16 行)。如果当前节点需要再平衡，那么只需要对当前节点进行再平衡，而不需要
https://www.360docs.net/doc/b72446891.html, 进一步更新父节点。如果当前节点不需要再平衡，那么父节点的平衡因子就需要调整。如果父节点的平衡因子不为零，算法通过父节点递归调用updateBalance 方法继续递归到树的根。 当对一棵树进行再平衡是必要的，我们该怎么做呢?高效的再平衡是使 AVL 树能够很好地执行而不牺牲性能的关键。为了让 AVL 树恢复平衡，我们会在树上执行一个或多个“旋转”(rotation)。 为了了解什么是旋转，让我们看一个很简单的例子。思考一下图 3 的左边的树。这棵树是不平衡的，平衡因子为 -2。为了让这棵树平衡我们将根的子树节点 A 进行左旋转。 图 3：使用左旋转变换不平衡树 执行左旋转我们需要做到以下几点： 使右节点(B)成为子树的根。 移动旧的根节点(A)到新根的左节点。 如果新根(B)原来有左节点，那么让原来B的左节点成为新根左节点(A)的右节点。 注：由于新根(B)是 A 的右节点，在这种情况下，移动后的 A 的右节点一定是空的。我们不用多想就可以给移动后的 A 直接添加右节点。 虽然这个过程概念上看起来简单，但实现时的细节有点棘手，因为要保持二叉搜索树的所有性质，必须以绝对正确的顺序把节点移来移去。此外，我们需要确保更新了所有的父节点。让我们看一个稍微复杂的树来说明右旋转。图 4 的左侧展现了一棵“左重”的树，根的平衡因子为 2。执行一个正确的右旋转，我
数据结构-实验4-建立AVL树
哈尔滨工业大学计算机科学与技术学院 实验报告 课程名称：数据结构与算法 课程类型：必修 实验项目名称：查找结构与排序算法实验题目：建立A VL树
目录 目录 (2) 一、实验目的 (3) 二、实验要求及实验环境 (3) 1.实验要求： (3) 2.实验环境： (3) 三、设计思想 (3) 1．逻辑设计 (3) (1)平衡查找二叉树 (3) (2)平衡因子 (4) (3)失衡情况与修正操作 (4) 2．物理设计 (5) (1)存储结构 (5) (2)建立平衡二叉查找树 (6) (3)插入新结点 (6) (4)删除结点 (11) 四、测试结果 (15) 五、系统不足与经验体会 (15) 六、附录：源代码（带注释） (16)
一、实验目的 通过实现A VL树的建立、插入与删除，掌握A VL树结构。 二、实验要求及实验环境 1.实验要求： 要求： 1.具有插入（建立）、删除和查找功能 2.插入操作应包括四种类型的平衡化处理 3.删除操作应包括四种类型的平衡化处理并且包括多次平衡化处理 4.能体现操作前后二叉树的形态及其变化 2.实验环境： Microsoft Windows7, Code：：Blocks 10.05 三、设计思想 1．逻辑设计 (1)平衡查找二叉树 平衡二叉树的定义是： 平衡二叉树或为空树，或满足下列特征： A若其左子树非空，则左子树上所有结点的关键字值都小于根节点关键字值B若其右子树非空，则右子树上所有结点的关键字值都大于根节点关键字值C根节点的左右子树高度之差的绝对值不超过1 D根节点的左子树和右子树仍为A VL树 平衡查找二叉树不会退化为线性链表，因此时间复杂度比较稳定。
Java中AVL平衡二叉树实现Map (仿照TreeMap和TreeSet)
Java中A VL平衡二叉树实现Map (仿照TreeMap和TreeSet) 1、下面是AVLTreeMap的实现 package com; import java.io.IOException; import java.util.*; public class AVLTreeMap
《数据结构与操作系统》试题.doc
谢谢阅读一、单项选择题：1～40小题，每小题2分，共80分。在每小题给出的四 个选项中，请选出一项最符合题目要求的。 1.在下面的程序段中，时间复杂度为（）。 int fun( int n) { if( n = = 1 ) return 1; return n * fun( n - 1 ); } A．O( 2n ) B．0(nlogn) C．0(n2) D．O(n) 2.下列排序算法中，平均时间复杂度最小的是（）。 A．归并排序B．起泡排序 C．简单选择排序 D．直接插入排序 3.关于线性表的描述正确的是（）。 A. 采用顺序存储时，随机存取的时间复杂度是O(1) B. 采用链式存储时，随机存取的时间复杂度是O(1) C. 采用顺序存储时，其存储地址一定是不连续的 D. 采用链式存储时，其存储地址一定是不连续的 4.往队列中输入序列{1,2,3,4}，然后出队1个数字，则出队的数字是（）。 A．4 B．3 C．1 D．不确定 5.往栈中输入序列{1,2,3,4}，然后出栈1个数字，则出栈的数字是（）。 A．4 B．3 C．1 D．不确定 6.假设二叉排序（查找）树上有n个节点，树的高度为h，则查找的平均 时间复杂度是（）。 A．O( n ) B．0(nlogn) C．0(logn) D．O(h) 7.有10个节点的无向图，至少需要多少条边才能成为一个连通图（）。 A．5 B．45 C．9 D．10 8.关于邻接矩阵，下列说法中错误的是（）。 A．有向图的邻接矩阵不一定是对称矩阵 B. 无向图的邻接矩阵不一定是对称矩阵 C．若图G的邻接矩阵是对称的，则G不一定是无向图 D．若图G的邻接矩阵是对称的，则G不一定是有向图 9.折半查找算法中查找的时间复杂度是（）。 A．O( n ) B．0(nlogn) C．0(logn) D．O(n2) 谢谢阅读
计算机习题-树
1.某二叉树的前序序列和后序序列正好相反，则该二叉树一定是（b） 的二叉树。 A空或只有一个结点B任一结点无左子树 C高度等于其结点数D任一结点无右子树解：前序遍历：根、左子树、右子树 后序遍历：左子树、右子树、根 2.在一棵二叉树的二叉链表中，空指针域数等于非空指针域数加 （ 2 ）。 解：二叉链表中有n个结点时，一定存在2n个指针域，n+1个空链域，则非空链域为n-1个，所以，空链域=非空链域+2 3.假定一棵树的广义表表示为A(B(C,D(E,F,G),H(I,J)))，则度为3、2、 0的结点数分别为_2____、___1___和___6___个。 4.一棵树的广义表表示为a (b (c, d (e, f), g (h) ), i (j, k (x, y) )) 结点f 的层数为（3）。假定根结点的层数为0。 5.一棵完全二叉树按层次遍历的序列为ＡＢＣＤＥＦＧＨＩ，则在 后序遍历中结点Ｂ的直接后继是Ｆ。( yes) 6.树的后根遍历序列等同于该树对应的二叉树的（中序遍历）． 7.具有5层结点的A VL树至少有（9）个结点。 8.在树中，如果从结点K出发，存在两条分别到达K`，K``的长度 相等的路径，则结点K`，K``互为兄弟。（no） 9.一棵二叉树的广义表表示为a(b(c,d),e(f(,g)))，它含有双亲结点 （4 ）个，单分支结点（2 ）个，叶子结点（3 ）个。
10.二叉树根结点的层次为1，所有含有15个结点的二叉树中，最小 高度是（4 ）。 11.由二叉树结点的先根序列和后根序列可以唯一地确定一棵二叉 树。( no ) 12.若二叉树有7个度为2的结点，试问有（8 ）个终端结点。 13.完全二叉树的某结点若无左孩子，则必是叶结点。( yes ) 14.二叉树的后序遍历序列中，任意一个结点均处在其子树结点的后 面。( yes ) 15.设结点x和结点y是二叉树T中的任意两个结点，若在先根序列 中x在y之前，而在后根序列中x在y之后，则x和y的关系是（）。 16.树存储时采用双亲表示法时，求某个结点的孩子时需要遍历整个 结构，（yes ）。 17.设一棵二叉树结点的先根序列为ABDECFGH，中根序列为 DEBAFCHG，则二叉树中叶子结点是（E F H）。 18.树存储时采用的二叉链表表示法，又叫做（孩子兄弟表示法）。 19.一棵有n（n≥1）个结点的d叉树，若用多重链表表示，树中每个 结点都有d个链域，则在树的nd个链域中，有n（d-1）+1个是空链域，只有n-1个是非空链域。（yes ） 20.若有一个结点是某二叉树子树的中序遍历序列中的最后一个接 点，则它必是该子树的前序遍历序列中的最后一个结点。( no ) 21.一棵有124个叶结点的完全二叉树，最多有（247 ）个结点.
AVL树的插入和删除
A VL树的插入 再向一颗本来是高度平衡的A VL树中插入一个新节点是，如果树中的某个节点的平衡因子的绝对值|bf|>1，则出现了不平衡，需要做平衡化处理。 设新插入的节点为p,从节点p到根节点的路径上，每个节点为根的子树的高度都可能增加1,因此在每执行一次二叉搜索树的插入运算后，都需要从新插入的节点p开始，沿该节点的插入路径向根节点方向回溯，修改各节点的平衡因子，调整子树的高度，恢复被破换的平衡性质。 新节点p的平衡因子为0。现在考察它的父节点pr,若p是pr的右子女，则pr的平衡因子增加1,否则pr的平衡因子减少1,按照修改后pr的平衡因子值有三种情况： 1、节点pr的平衡因子为0,说明刚才是在pr的较矮的子树上插入了新节点，节点 pr处平衡，且高度没有增减，此时从pr到根的路径上各节点为根的子树高度 不变，从而各各节点的平衡因子不变，可以结束重新平衡化的处理，返回主程 序。 2、节点pr的平衡因子绝对值bf=1，说明插入前pr的平衡因子是0,插入新节点后， 以pr为根的子树没有失去平衡，不需要平衡化旋转，但该子树的高度增加，还 需从节点pr向根的方向回溯，继续考察节点pr的父节点的平衡状态。 3、节点pr的平衡因子的绝对值bf=2，说明新节点在较高的子树上插入，造成了 不平很，需要做平衡化旋转，分两种情况考虑： 3.1 若节点pr的bf=2，说明右子树高，结合其右子女q的bf分别处理: 1\若q的bf=1，执行左单旋转； 2\若q的bf=-1, 执行先右后左双旋转 3.2 若节点pr的bf=-2，说明左子树高,结合其左子女q的bf分别处理： 1\若q的bf=-1，执行右单旋转； 2\若q的bf= 1, 执行先左后右双旋转 A VL树的删除 若删除节点后破坏了A VL树的平衡，则需要进行平衡旋转 1、如果被删除节点p有两个子女节点，首先搜索p在中序下的直接前驱q（也可 以是直接后继）,再把节点q的内容传送给节点p,问题转移到删除节点q，把节 点q当做被删除节点p，它是只有一个子女的节点。 2、如果被删除节点p最多只有一个子女q，可以简单的把p的父节点pr中原来指 向的指针该指到q,如果节点p没有子女，p父节点pr的相应指针为NULL，然 后将原来的节点pr为根的子树的高度减1,并沿pr通向根的路径反向追踪高度 的这一变化对路径上各节点的影响； 考察节点q的父节点pr，若q是pr的左子女,则pr的平衡因子增加1,否则减少1,根据修改后的pr的平衡因子,按三种情况分别进行处理： (1)pr的平衡因子原来为0,在它的左子树或右子树被缩短后，则它的平衡因子改为 1或-1,由于以pr为根的子树高度没有改变，从pr到根节点的路径上所有节点 都不需要调整，此时可结束本次删除的重新平衡过程。 (2)节点pr的平衡因子原不为0，且较高的子树被缩短，则p的平衡因子改为0， 此时pr为根的子树平衡，但其高度减1,为此需要继续考察节点pr的父节点的 平衡状态， (3)节点pr的平衡因子原不为0，且较矮的子树被缩短，则在节点pr发生不平衡，
AVL树插入删除
AVL树插入删除 AVL树是一种平衡二叉树，其每个节点的左右子树高度最多差1，空树高度定为-1，当左右的高度超过1，即失去了平衡，不是AVL树了。 private static class AVLNode
《数据结构》习题集：第9章查找(第1次更新2019-5)
第9章查找 一、选择题 1.顺序查找一个共有n个元素的线性表，其时间复杂度为（），折半查找一个具有n个元素的有序表，其时间复 杂度为（）。【＊，★】 A.O(n) B. O(log2n) C. O(n2) D. O(nlog2n) 2.在对长度为n的顺序存储的有序表进行折半查找，对应的折半查找判定树的高度为（）。【＊，★】 A.n B. C. D. 3.采用顺序查找方式查找长度为n的线性表时，平均查找长度为（）。【＊】 A.n B. n/2 C. (n+1)/2 D. (n-1)/2 4.采用折半查找方法检索长度为n的有序表，检索每个元素的平均比较次数（）对应判定树的高度（设高度大于 等于2）。【＊＊】 A.小于 B. 大于 C. 等于 D. 大于等于 5.已知有序表（13，18，24，35，47，50，62，83，90，115，134），当折半查找值为90的元素时，查找成功 的比较次数为（）。【＊】 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.对线性表进行折半查找时，要求线性表必须（）。【＊】 A.以顺序方式存储 B. 以链接方式存储 C.以顺序方式存储，且结点按关键字有序排序 D. 以链接方式存储，且结点按关键字有序排序 7.顺序查找法适合于存储结构为（）的查找表。【＊】 A.散列存储 B. 顺序或链接存储 C. 压缩存储 D. 索引存储 8.采用分块查找时，若线性表中共有625个元素，查找每个元素的概率相同，假设采用顺序查找来确定结点所在 的块时，每块应分（）个结点最佳。【＊＊】 A.10 B. 25 C. 6 D. 625 9.从键盘依次输入关键字的值：t、u、r、b、o、p、a、s、c、l，建立二叉排序树，则其先序遍历序列为（）， 中序遍历序列为（）。【＊＊，★】 A.abcloprstu B. alcpobsrut C. trbaoclpsu D. trubsaocpl 10.折半查找和二叉排序树的时间性能（）。【＊】 A.相同 B. 不相同 11.一棵深度为k的平衡二叉树，其每个非终端结点的平衡因子均为0，则该树共有（）个结点。 A.2k-1-1 B. 2k-1 C. 2k-1+1 D. 2k-1 12.利用逐点插入法建立序列{50，72，43，85，75，20，35，45，65，30}对应的二叉排序树以后，查找元素35要
2015年计算机考研真题解析解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试 计算机学科专业基础综合试题 一、单项选择题：140小题，每小题2分，共80分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。请在答题卡上将所选项的字母涂黑。 1．已知程序如下： int s(int n) { return (n<=0) ? 0 : s(n-1) +n; } void main() { cout<< s(1); } 程序运行时使用栈来保存调用过程的信息，自栈底到栈顶保存的信息一次对应的是A．main()->S(1)->S(0) B．S(0)->S(1)->main() C．m ain()->S(0)->S(1) D．S(1)->S(0)->main() 【参考答案】D 【考查知识点】栈的基本概念和函数调用的原理。 2．先序序列为a,b,c,d的不同二叉树的个数是 A．13 B．14 C．15 D．16 【参考答案】C 【考查知识点】二叉树的基本概念。 3．下列选项给出的是从根分别到达两个叶节点路径上的权值序列，能属于同一棵哈夫曼树的是 A．24，10，5和24，10，7 B．24，10，5和24，12，7 C．24，10，10和24，14，11 D．24，10，5和24，14，6 【参考答案】C 【考查知识点】哈夫曼树的原理。 4．现在有一颗无重复关键字的平衡二叉树（A VL树）,对其进行中序遍历可得到一个降序序列。下列关于该平衡二叉树的叙述中，正确的是 A．根节点的度一定为2 B．树中最小元素一定是叶节点 C．最后插入的元素一定是叶节点D．树中最大元素一定是无左子树
【考查知识点】树的中序遍历和A VL树的基本概念。 5．设有向图G=(V,E)，顶点集V={V0,V1,V2,V3}，边集E={
AVL树的最少节点数
AVL树的最少节点数 今天考试数据结构考试前有这么道题： 高为h 的AVL（平衡二叉树）至少有几个节点。 但是可是给我难住了，当时真是眼前一蒙，但是自己还是迎着头皮钻研了一下，做出来了结果 首先，avl树的节点个数怎么计算 第一我们画出来一层的也就是只有一个节点 然后画出来两层的两个节点 以上都是至少所以后来我们计算有三层的时候，可以增加一个节点A，A的左子树就是两层的至少得情况右子树就是一层的情况，这样全部就是平衡的情况，而且数目最少，同时还满足平衡二叉树的条件：即左右子树的高度差不超过1. 这样我们得到了递推公式 A(n+2)=A(n+1)+A(n)+1; 1式 A(n+3)=A(n+2)+A(n+1)+1; 2式 数学里面学过特征根方程在数列求解递推公式和求解时候用到 这里就不再赘述了，高中数学知识 2式减1式，得出来
B(n+2)=B(n+1)+B(n);就是著名的斐波那契数列最后求得就是这个东西而A(n+1)-A(n)=B(n);就是说在求出来A就好了 根据特征根的有 x2=x+1 求出来的特征根满足 B n=sa1n+Ta2n 这时，带入b1=1，b2=2 得到结果是s=5 5+5 然后求得A时候有 A n?A n?1= B n?1 A n?1?A n?2= B n?2 … … A2?A1=B1 叠加起来就是对左边求和 A=3+5 5+5 1?1+5 2 n?1 1+5 2 3?5 5?5 1?1?5 2 n?1 1?5 2 +1 在这里求和结果就不再化简了 这里就是对结果进行了计算机的模拟贴出来模拟结果如下只显示前10项
这个结果在百度维基百科上面也能查到，就是斐波那契数列的后一项减去１写出我们写的斐波那契数列结果 5 5+5× 1+5n+1 + 5 5?5 × 1?5n+1 ?1 附代码如下（C++） #include
数据结构习题
练习题1 . 1、简述下列术语：数据、数据元素、数据结构、存储结构、数据类型和抽象数据类型。 2、线性表、树、图这三种数据结构在逻辑上有什么特点？ 3、分析下列程序段的时间的复杂度 （1）for(I=1;I<=n;I++) for(j=1;j<=n;j++) s++; (2) for(I=1;I<=n;I++) for(j=1;j<=I;j++) s++; (3)for(I=0;I 低调整率的广义A VL树及其统一重平衡方法 摘要针对传统A VL（AdelsonVelskii and Landis树重平衡算法代码量大、流程复杂、调整率过高的问题，提出一种统一重平衡算法，并提出广义AVL树的概念。统一重平衡算法能对A VL树的失衡节点进行自动分类、调整，取消了传统重平衡方法中的四种旋转操作。广义AVL树放松了A VL 树的平衡约束，允许左右子树树高相差不超过N（N≥1，当更新操作（插入/删除执行后，广义A VL树只在平衡约束条件不满足时采用统一重平衡算法进行调整。理论分析与实验结果表明，广义AVL树的调整率随着N的增大而显著降低：N为5时，调整率低于4%；N为13时调整率低于千分之一。广义A VL树的调整率远低于红黑树等经典数据结构，适合并发应用。 关键词 文献标志码 A 0引言 现有绝大部分数据结构技术都是串行数据结构技术。随着多核处理器的普及，如何在并发环境下高效地实现这些技术显得十分重要[1]。其中有序词典数据结构获得较多的研究[2]，主要包括跳跃表和维持对数高度的平衡二叉搜索树。由于不需要对结构进行经常性的调整，跳跃表已经成为应用最 广泛的并发词典技术[1-9]。最近，研究人员还开发出了具有良好并发性能的红黑树[2]、A VL（AdelsonVelskii and Landis 树[3]和伸展树[4]。早期的并发A VL树是通过解耦更新操作和重平衡操作来实现的[5]，更新操作时不进行调整，但记录下平衡约束的破坏情况，当可以进行调整时，恢复所有的平衡约束；近几年，软件事务性内存技术用于A VL树[3]、红黑树[2]和伸展树[4]获得了良好的效果；国内学者通过对副本节点进行操作而数据节点保持不变，开发了一种无锁并发链表算法[6]，基于节点重用策略进行了无锁并发技术在二叉搜索树中研究[7]。 所有这些研究都是基于经典串行数据结构，通过增加一些新方法或新技术使之适应并发应用。要使经典数据结构能更好地适用于并发应用，不能仅局限于实现环节，还可对它们进行改造，但这方面的研究报告/论文很少。适合于并发应用的数据结构一般有以下两大特点或之一：1在更新操作过程中较少地对原有结构进行调整；2调整具有局域性。本文提出的广义A VL树具有非常低的调整率，已经可以达到万次更新操作只需一次重平衡操作的程度；尽管调整时其局域性略差，但平摊到单次操作，其影响的节点还是非常少的。 1A VL树的统一重平衡方法 当A VL树的左右子树树高相差超过1时，就需要调整以使树重归于平衡。重平衡调整分4种情况进行旋转：左旋、 平衡二叉树关于树的深度是平衡的，具有较高的检索效率。平衡二叉树或是一棵空树，或是具有下列性质的二叉排序树：其左子树和右子树都是平衡二叉树，而且左右子树深度之差绝对值不超过1. 由此引出了平衡因子（balance factor）的概念，bf定义为该结点的左子树的深度减去右子树的深度（有些书是右子树深度减去左子树深度，我是按照左子树减去右子树来计算的，下面的代码也是这样定义的），所以平衡二叉树的结点的平衡因子只可能是-1，0，1 ，某个结点的平衡因子绝对值大于1，该二叉树就不平衡。 平衡二叉树在出现不平衡状态的时候，要进行平衡旋转处理，有四种平衡旋转处理（单向右旋处理，单向左旋处理，双向旋转（先左后右）处理，双向旋转（先右后左）处理），归根到底是两种（单向左旋处理和单向右旋处理）。 文件"tree.h" view plain 1.#include 平衡二叉树（AVL）查找、插入和删除 小组成员： 陈静101070009 陈丹璐101070006 陈娇101070008 目录 平衡二叉树（AVL） (1) 查找、插入和删除 (1) 问题描述 (2) 设计说明 (3) （一）ADT (3) （二）算法思想 (5) （三）数据结构 (12) （四）程序结构与流程 (13) 运行平台及开发工具 (15) I/O格式 (15) 算法复杂度分析 (18) 源代码 (18) 小结 (37) 问题描述 利用平衡二叉树实现一个动态查找表。 （1）实现动态查找表的三种基本功能：查找、插入和删除。 （2）初始时，平衡二叉树为空树，操作界面给出创建、查找、插入和删除和退出五种操作供选择。每种操作均要提示输入关键字。创建时，根据提示输入数据，以-1为输入数据的结束标志，若输入数据重复，则给出已存在相同关键字的提示，并不将其插入到二叉树中。在查找时，如果查找的关键字不存在，则显示不存在查找的关键字，若存在则显示存在要查找的关键字。插入时首先检验原二叉树中是否已存在相同第3 页共38 页- 3 -的关键字，若没有则进行插入并输出二叉树，若有则给出已有相同关键字的提醒。删除时首先检验原二叉树中是否存在要删除的关键字，若有则进行删除后并输出二叉树，若没有则给出不存在要删除的关键字的提醒。 （3）平衡二叉树的显示采用中序遍历的方法输出，还可以根据输出数据是否有序验证对平衡二叉树的操作是否正确。 设计说明 （一）ADT ADT BalancedBinaryTree{ 数据对象D：D是具有相同特性的数据元素的集合。各个数据元素均含有类型相同，可唯一标志的数据元素的关键字。 数据关系R：数据元素同属一个集合。 基本操作P： void R_Rotate(BSTree &p); 初始条件：二叉树存在，且关键字插入到以*p为根的二叉树的左子树的左孩子上； 操作结果：对以*p为根的二叉排序树作右旋处理 java数据结构与算法之平衡二叉树 (A VL树)的设计与实现 普通二叉查找树的问题 在开篇，我们提到过，普通二叉树（二叉查找树）在操作的时间复杂度上不一定遵循O(㏒n)，也有可能是O(n)，这是为什么呢？在上一篇中，我们明明插入都按照一定规则比较的呀，其实那是因为我们在上篇测试时执行了随机插入的操作，如果此时利用上篇实现的二叉搜索树将一段已排序好的数据一个个插入后，就会发现如下情况了： 从图中我们可以发现，把已排序的1-9数据进行正序和倒序插入后，树的结构已变成单向左子树或者右子树了，如果我们在往里插入已排序的数据，那么单向左子树或者右子树越来越长，此时已跟单链表没有什么区别了，因此对此结构的操作时间复杂度自然就由O(㏒n)变成O(n)了，这也就是普通二叉查找树不是严格意义上O(㏒n)的原因。那么该如何解决这个问题呢？事实上一种解决的办法就是要有一个称为平衡的附加结构条件即：任何结点的深度不得过深，而这种数据结构就是我们本篇要分析的平衡二叉树（A VL），它本身也是一种二叉查找树，只不过不会出现前面我们分析的情形罢了，接下来我们就来分析一下这棵平衡二叉树。 平衡二叉树的定义 通过上面的分析，我们明白的普通二叉查找树的不足，也知道了如何去解决这个缺点，即构建树时要求任何结点的深度不得过深（子树高度相差不超过1），而最终这棵树就是平衡二叉树（Balanced Binary Tree），它是G.M. Adelson-V elsky 和 E.M. Landis在1962年在论文中发表的，因此又叫A VL树。这里我们还需要明确一个概念，A VL树只是实现平衡二叉树的一种方法，它还有很多的其他实现方法如红黑树、替罪羊树、Treap、伸展树等，后面我们还会分析其他树的实现。ok~，接着来了解一下A VL树的特性：一棵A VL树是其每个结点的左子树和右子树的高度最多相差1的二叉查找树(空树的高度为-1)，这个差值也称为平衡因子（其取值可以是1，0，-1，平衡因子是某个结点左右子树层数的差值，有的书上定义是左边减去右边，有的书上定义是右边减去左边，这样可能会有正负的区别，但是这个并不影响我们对平衡二叉树的讨论）。如下图低调整率的广义AVL树及其统一重平衡方法
平衡二叉树(AVL树)的基本操作(附有示意图)
平衡二叉树(AVL)的查找、插入和删除
java数据结构与算法之平衡二叉树(AVL树)的设计与实现