2017-2018高中数学选修2-2分层训练4-5-3定积分的概念湘教版

4．5.3 定积分的概念

一、基础达标

1．下列命题不正确的是

( )

A ．若f (x )是连续的奇函数，则

B ．若f (x )是连续的偶函数，则

C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则??a

b f (x )d x >0

D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且??a b f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正

答案 D

2．直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3＋sin x 围成的平面图形的面积可表示为

( )

A.

B ．2??01(x 3＋sin x )d x

C ．

D.??0

1(x 3＋sin x )d x 答案 B

3．已知??a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，??a b g (x )d x ＝10，则??a

b f (x )d x 等于

( )

A ．8

B ．10

C ．18

D ．不确定 答案 A

4．已知定积分??06f (x )d x ＝8，则f (x )为奇函数，则??-6

6f (x )d x ＝

( )

A ．0

B ．16

C ．12

D ．8

答案 A

5．根据定积分的几何意义，用积分表示如图所示各图的阴影部分的面积， S ＝________.

答案 ??a b [f 1(x )－f 2(x )]d x (两图积分式相同)

6．由定积分的几何意义，定积分

sin x d x 表示________．

答案 由直线x ＝0，x ＝π

2，y ＝0和曲线y ＝sin x 围成的曲边梯形的面积 7．根据定积分的几何意义推出下列积分的值．

(1)

x d x ；(2)

cos x d x .

解 若x ∈[a ，b ]时，f (x )≥0，则??a b f (x )d x 的几何意义是表示由直线x ＝a ，x=b

y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的平面图形的面积；若x ∈[a ，b ]时，f (x )≤0，则??a b f (x )d x

表示所围成的图形面积的负值．

(1)如图①，x d x ＝－A 1＋A 1＝0.

(2)如图②，cos x d x ＝A 1－A 2＋A 3＝0.

二、能力提升

8．和式1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋1

2n ，当n →∞时的极限值用定积分式子可表示为

( )

A.??011x d x

B.??011x ＋1d x

C.??011x －1d x

D.??0

11x ＋2d x

答案 B

9.??01x 2d x ＝13，??12x 2d x ＝7

3，则??0

2x 2d x ＝________. 答案 83

10．图1，图2用定积分可表示为________，________.

答案

f (x )d x －??1

3f (x )d x ，

f (x )d x

11．有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为ρ(x )＝2x (取细棒所在直线为x 轴，细棒的一端为原点)，棱长为l ，试用定积分表示细棒的质量m ，并求出m 的值．

解 细棒的质量m ＝??01ρ(x )d x ＝??012x d x .而??012x d x 表

示由直线y ＝2x ，x ＝l ，x ＝0及x 轴所围成的图形面积，如图所示． ∴??0

1

2x d x ＝1

2×l ×2l ＝l 2. 即m ＝l 2. 三、探究与创新

12．求定积分

x 2d x 的值．

解 将区间[－1,2]等分成n 个区间，则每个区间的长度为3

n . 每个小区间的面积ΔS i ＝(－1＋3i n )23

n . 面积和S n ＝∑i ＝1

n (－1＋3i n )23

n

＝∑i ＝1

n

(1＋9i 2n 2－6i n )3

n ＝[n ＋9n 2n (n ＋1)(2n ＋1)6－6n ×n (n ＋1)2]3n

＝3＋92(1＋1n )(2＋1n )－9(1＋1n ) 当n →∞时，S n →3＋9

2×2－9＝3. ∴x 2d x ＝3.