高一数学教案：苏教版高一数学向量小结与复习1
第十咪时小姑与复习（一）
?教学目标
（一）知识目标
1?本身知识网络结构；
2. 向量概念；
3?向量的运算律；
4.重要的定理、公式.
（二）能力目标
1. 了解本章知识网络结构；
2. 进一步熟悉基本概念及运算律；
3. 理解重要定理、公式并能熟练应用；
4. 加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力
（三）德育目标
1. 认识事物之间的相互转化；
2. 培养学生的数学应用意识.
?教学重点
突出本章重、难点内容.
?教学难点
通过例题分析突出向量运算与实数运算的区别
?教学方法
自学辅导法
在给出本章的知识网络结构后，列出复习提纲，弓I导学生补充相关内容，同时加强学生对基本概念、基本运算律、重要定理、公式的熟悉程度
?教具准备
投影仪、幻灯片（三张）
第一张：本章知识网络图（记作§ 5.13.1 A）
第二张：向量运算法则（记作§ 5.13.1 B）
第三张：本节例题（记作§ 5.13.1 C〕
?教学过程
I .复习回顾
［师］前面一段，我们一起学习了向量的知识以及解斜三角形问题，并掌握了一定的分析问题解决问题的方法.这一节，我们开始对本章进行小结与复习
n .讲授新课
［师］首先我们通过投影屏幕来看向量知识的网络结构（给出幻灯片§ 5.13.1 A）
1?本章知识网络结构 2?本章重点及难点
(1) 本章的重点有向量的概念、运算及坐标表示，线段的定比分点，平移、正弦定理、 余弦定
理及其在解斜三角形中的应用；
(2) 本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用，已知两边和其中一边的对 角解斜
三角形等；
(3) 对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用 3. 向量的概念
(1 )向量的基本要素：大小和方向
?
(2) 向量的表示：几何表示法： AB , a ;坐标表示法：a = x i + y j =(x , y ). (3)
向量的长度：即向量的大小，记作 |a |.
(4) 特殊的向量：零向量 a = 0= |a |= 0. 单位向量a o 为单位向量 =|a o |= 1.
乂 = x 2
(5)
相等的向量：大小相等，方向相同( X 1, yj =
( X 2, y 2)=丿
y = y 2
(6)
平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量 .记作a II b .由于向
量可以进行任意的平移(即自由向量) ，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称
为共线向量. 4.向量的运算 (给出幻灯片§ 5.13.1 B ) 运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质 向 量 的 加 法
1. 平行四边形法则
2. 三角形法则
a + b
=(X 1 + X 2,『1 + y 2)
a +
b = b + a (a + b ) +
c = a + (b + c )
A B + B C = A C
向 量 的 减 法
三角形法则
a — b
=(X 1 — X 2, y 1 — y 2)
a —
b = a +(— b )
AB = -BA OB -OA=^AB
I R J
序移公式
段的定比分点
向蛊的坐标表詞_U
向量的加法与减法
5?重要定理、公式
(1)平面向量基本定理
e i, e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有对实数入i,入2,使a=入i e i+入2e2.
(2)两个向量平行的充要条件
a 〃b：= a=入b：二x i y2 —X2y i= 0.
(3)两个向量垂直的充要条件
a 丄b：= a ? b= 0= x i X2 + y i y2 = 0.
(4)线段的定比分点公式
设点P分有向线段RF2所成的比为入，即RP =入PF2，则
OP — OP i OP2 (线段的定比分点的向量公式)
i +扎i +扎
捲+扎x2
x = -----------
i +扎
y
i i +&
(线段定比分点的坐标公式)
当入=i时，得中点公式:
x —i —H ——OP = —(OR
+OP2)或
2
y =Xi X2
2
y i y2
2
(5)平移公式
设点P (x, y)按向量a =( h, k)平移后得到点P'( x', y'),则OP，= OP + a 或
x" = x +h,
y = y+k.
曲线y= f (x)按向量a=( h, k)平移后所得的曲线的函数解析式为:
y—k= f (x—h)
(6 )正、余弦定理
正弦定理：「& = c 仆.
sin A sin B sin C
余弦定理：a 2= b 2 + c 2- 2bccosA ,
2 2 2
b =
c + a — 2cacosB , c ?= a ?+ b ?— 2abcosC.
［师］下面我们通过例题分析来进一步熟悉向量知识的应用 (通过幻灯片§ 5.13.1 C 沿出卞i 」列也)
［例1］设坐标平面上有三点 A 、B 、C , i , j 分别是坐标平面上 x 轴，y 轴正方向的单位
m 存在，由A 、B 、C 三点共线二 AB // BC ：=存在实数入, 使AB =入BC ，从而建立方程来探索
解法一：假设满足条件的 m 存在，由A 、B 、C 三点共线，即 AB // BC , 、， —- —-
= 1 ???存在实数入，使AB =入BC , i — 2j =入(i + m j ),丿 hm = -2
?- m = — 2.
???当m =— 2时，A 、B 、C 三点共线.
解法二：假设满足条件的 m 存在，根据题意可知：i =( 1, 0), j =( 0,1) ? AB =( 1, 0)— 2 (0, 1) = ( 1,— 2),
BC =( 1, 0)+ m (0, 1) = ( 1, m ),
由A 、B 、C 三点共线，即 AB // BC , 故 1 ? m — 1( — 2)= 0，解得 m = — 2. ???当m =— 2时，A 、B 、C 三点共线.
评述：(1 )共线向量的充要条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中 各有特点，解题时可灵活选择；
(2 )本题是存在探索性问题，这类问题一般有两种思考方法，即假设存在法一一当存在 时；假设否定法一一当不存在时 .
川?课堂练习 1?判断题
(1) AB + BA = 0 ( * ) (2) 0 AB = 0 (
X )
(3) AB — AC = BC ( X )
向量，若向量 AB = i — 2j , BC = i + m j ,那么是否存在实数
m ，使A 、B 、C 三点共线.
分析：可以假设满足条件的
2?选择题
已知a, b为两个单位向量，下列四个命题中正确的是（）
A . a与b相等
B .如果a与b平行，那么a与b相等
C. a ? b= 1
D. a2= b2
答案：D
3?已知A、B、C是直线I上的顺次三点，指出向量AB、AC、BA、向相同的向量
4?已知AC为AB与AD的和向量，且AC = a, BD = b,分别用a、
1 1
解：AB = — (a —b), AD = — (a + b).
2 2
5. 已知ABCDEF为正六边形，且AB = a, AE = b,用a, b表示向量EF、FA、CD、AC、CE.
解：DE =—a, AD = a + b,
一1 一1
BC = — (a+ b), EF =—— (a+ b),
2 2
1 1
FA = - ( a—b), CD = (b- a),
2 2
—3 1—13
AC = — a+ b, CE = — b—a.
2 2 2 2
6. 已知点A (—3, —4)、B ( 5, —12)
(1 )求AB的坐标及| AB I；
(2)若OC =0A OB,OD =OA-OB,求OC 及OD 的坐标;
(3)求OA ? OB .
解: (1) AB =( 8, —8), | AB |= 8 一2
(2) OC =( 2, —16) , OD =(—8 , 8) CB中，哪些是方
答案：AB与AC方向相同, BA与CB方向相同
b 表示AB , AD .
DE、AD、BC、
(3) OA ? OB = 33.
IV?课时小结
［师］通过本节学习，要求大家在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练重要定理、公式的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力?V?课后作业
(一)课本P149复习参考题五7, 11, 13, 15, 17, 19.
(二)1?预习内容
(1)三角形的有关性质；
(2 )向量数量积的性质及坐标表示?
2?预习提纲
(1)向量加、减法基本原则的适用前提；
(2)向量数量积坐标表示的形式特点?
?板书设计
§ 5.13.1 小结与复习(一)
1. 向量知识网络结构
2?本章重难点归纳
(1)重点
(2)难点
3. 向量基本概念
4. 本章运算律、性质
5.1
?备课资料
1.三点共线的证明
对于三点共线的证明，可以利用向量共线的充要条件证明，也可利用定比分点知识证明因为，定比分点问题中所涉及的三个点必然共线，而三个点共线时，必然构成定比分点
［例1］已知 A (- 1,—1)、B (1, 3)、C (2, 5),求证A、B、C 三点共线.
- AR …1亠?2证明：设点B'( 1, y)是AC的一个分点，且妲=入，贝U 1 =」2
B C 1 + 丸
解得入=2.
_1+2汉5门
…y = = 3.
1+2
即点B '与点B重合.
???点 B '在AC 上,
???点 B 在AC 上,
??? A、B、C三点共线.
高一数学解三角形练习题
必修五 第一章 解三角形 一、选择题 1．已知A ，B 两地的距离为10 km ，B ，C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为( )． A ．10 km B ．103km C ．105km D ．107km 2．在△ABC 中，若2 cos A a ＝ 2 cos B b ＝2 cos C c ，则△ABC 是( )． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 3．三角形三边长为a ，b ，c ，且满足关系式(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，则c 边的对角等于( )． A ．15° B ．45° C ．60° D ．120° 4．在△ABC 中，三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝( )． A ．3∶2∶1 B ．2∶3∶1 C ．1∶2∶3 D ．1∶3∶2 5．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )． A ．△A 1 B 1 C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形 C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形 D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形 6．在△ABC 中，a ＝23，b ＝22，∠B ＝45°，则∠A 为( )． A ．30°或150° B ．60° C ．60°或120° D ．30°
高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （7）若ma mb =，则a b =。
苏教版数学高一苏教版必修42.5向量的应用
高中数学-打印版 最新版高中数学 2.5 向量的应用 一览众山小 诱学导入 材料：向量作为一种重要的工具,除了在数学中有广泛的应用之外,在物理学中也有广泛的应用,是研究物理问题的重要工具之一,如力、速度、加速度的合成与分解都与向量的合成与分解有关,由上节学习数量积的过程可知,功是力与位移的数量积.实际上在日常生活中有好多问题都可以用向量知识来解释.如“两个人同提一桶水,或共同提一个旅行包,夹角越大就越吃力”“在单杠上做引体向上时,两臂的夹角越小就越省力”等. 问题:你能用你所学解释这些现象吗？ 导入：为了确切地描述这一问题,就需要将这一物理问题转化成数学问题.不考虑物理因素,只考虑向量的平行四边形法则、力的平衡及直角三角形的知识即可解决问题. 温故知新 1.什么是向量加法的平行四边形法则？ 答:对于两个不共线的非零向量a 、b 分别作出OA =a ,OC =b ,以OA 、OC 为邻边作平行四边形OABC,则以O 为起点的对角线OB 就是向量a 与b 的和,这种求两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 2.平面向量基本定理的内容是什么？ 答:如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2使a =λ1e 1+λ2e 2. 3.直角三角形中锐角三角函数是怎样定义的？ 答:在初中我们利用直角三角形定义了锐角的三角函数,如图2-5-1,在Rt △ABC 中,锐角A 的三角函数定义如下: 图2-5-1 sinA= 斜边的对边A ∠;cosA=斜边的邻边A ∠;t a nA=邻边 的对边A A ∠∠.
高一数学-解三角形综合练习题
必修五 解三角形 一、选择题 1. 在ABC ?中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则::a b c 等于 （ ） A.1:2:3 B.3:2:1 C. D.2 2．在△ABC 中，222a b c bc =++ ，则A 等于 （ ） A ．60° B ．45° C ．120° D ．30° 3．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长 A. 1公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为 60，则底边长= （ ） A ．2 B ．2 3 C ．3 D ．32 5．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 （ ） A ．135< 一,向量重要结论 （1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=， 22||a a a a ?== （2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos |||| a b a b θ?= （3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈，使b a λ=。 （4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -= （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += （6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+，||||||a b a b ≥? （7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a b ?=1212x x y y + （8）、向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 （9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等 向量：长度相等且方向相同的向量。 （10）、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝ 0 ?｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的， 且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） （11）、单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜ 0a ｜＝1 （12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ，要会求出直线的斜率； （2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点; （4）给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; （5）给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出λλ++=1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ= （7） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知 AMB ∠是锐角。 （ 8）给出=??λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形; 高一数学向量的加法一 一．课题：向量的加法 二．教学目标：1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义； 2.熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量； 3.理解向量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用它们进行向量计算。 三．教学重、难点：1.如何作两向量的和向量； 2.向量加法定义的理解。 四．教学过程： （一）复习： 1．向量的概念、表示法。 2．平行向量、相等向量的概念。 3．已知O 点是正六边形ABCDEF 的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（ ） （A ）OB uuu r 、CD uuu r 、FE u u u r 、CB u u u r （B ）AB u u u r 、CD uuu r 、FA u u u r 、DE u u u r （C ）FE u u u r 、AB u u u r 、CB u u u r 、OF u u u r （D ）AF u u u r 、AB u u u r 、OC u u u r 、OD u u u r （二）新课讲解： 1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示：AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ． 规定：零向量与任一向量a r ，都有00a a a +=+=r r r r r ． 说明： ①共线向量的加法： a r b r a b +r r ②不共线向量的加法：如图（1），已知向量a r ，b r ，求作向量a b +r r . 作法：在平面内任取一点O （如图（2）），作OA a =u u u r r ，AB b =r r ，则OB a b =+u u u r r r . （1） （2） 2.向量加法的法则： （1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。 表示：AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ． （2）平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a r ，b r 为邻边作ABCD Y ，则 则以A 为起点的对角线AC u u u r 就是a r 与b r 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行 四边形法则。 b r a r O B A b r a r b r a r A B C D A B C 高中数学解三角形和平面向量试题 一、选择题： 1.在△ABC 中，若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于（ B ） A ．60o B ．60o 或 120o C ．30o D ．30o 或150o 2．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若c =2,b =6,B =120o ，则a 等于（ D ） A ．6 B ．2 C ．3 D ．2 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ，A=45°，2=b 则sinB=（ A ） A ． 1 2 B ．22 C ． 3 2 D ．1 4．ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若5 ,22 a b A B ==，则cos B =（ B ） A ． 53 B ．54 C ．55 D ．5 6 5．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ） A ．0 90 B ．0 60 C ．0 120 D ．0 150 6．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为（D ） A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中， b a B A =--cos 1cos 1，则△AB C 一定是（ A ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a=1， ABC S b ?=则,3等于（ C ） A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3则角C 大小为（ B ） A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ A ） A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地 的距离为（ D ）。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12．已知M 是△ABC 的BC 边上的中点，若向量AB =a ,AC = b ，则向量AM 等于（ C ） A ． 21(a －b ) B ．21(b －a ) C ．21( a ＋b ) D ．1 2 -(a ＋b ) 13．若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线，且 BC AB λ=则λ等于（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14．已知平面向量),2(),2,1(m -==，且∥，则32+=（ C ） A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 （ C ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16．(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( B ) A ．31-或 B.13-或 C ．3 D ． -1 17. 若|2|= ，2||= 且（-）⊥ ，则与的夹角是 （ B ） （A ） 6π （B ）4π （C ）3π （D ）π12 5 183 =b ， a 在 b 方向上的投影是2 3 ，则 b a ?是（ B ） A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19．若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ，且c a ⊥r r ，则向量a r 与b r 的夹角为( C ) （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150° 平面向量练习题 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21-a +23b B 、21a 23-b C 、23a 2 1-b D 、2 3-a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103(- = B 、)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或 C 、)2,6(-= D 、)2,6()2,6(或-= 3、已知k 3),2,3(),2,1(-+-==垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量=(2，1)， =(1，7)， =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ?的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1(-==分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos α,sin β)，b =(cos α ,sin β )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于α－β B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i θθsin 3cos 3+=，i -=∈),2 ,0(π θ。若用 来表示与的夹角，则 等于 （ ） A 、θ B 、 θπ +2 C 、 θπ -2 D 、θπ- 8、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是 （ ） A 、2 B 、3 C 、23 D 、 二、填空题 9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP ?取得最小值的点P 的坐标 高一数学向量几何人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容 向量几何 【典型例题】 [例1] 已知向量与反向，下列等式成立的是（ C ） -=- -=+ -=+ +=+ 解：利用向量加、减法的法则，当a 与b -为a 与b 长度之和。 [例2] 已知非零向量、、，条件甲：=++，条件乙：、、 组成三角形ABC ，则甲是乙的（ B ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 和Q 使，用向量的方法证明P 、A 、Q 三点共线 一. 选择题 1. 下列结论中正确的是（ ） A. 若AB 和>，且AB 与同向，则> B. =，则a 与b 的长度相等且共线 C. 对于任意向量a 、b +≤+ D. 不能与任何向量平行 2. 下面有四个式子：① =--)( ② =+ ③ -=-+)( ④ 0=- 则正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 3. 如图，点M 是ABC ?的重心，则-+为（ ） A. B. ME 4 C. MB 4 D. MF 4 7. 已知正方形ABCD 的边长为1，a AB =，b BC =，c AC ==++b （ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 22 8. 在平行四边形ABCD 中，设a AB =，b AD =，c AC =，d BD =，则下列等式不 9. 向量、 8= 12= +的最大值、最小值分别为 。 10. 设a 表示向正西北走10km ，b 表示正东北走5km ，c 表示正东南2km ，则c b a 52++ 试题答案 一. 1. C 2. A 3. D 提示：2=+ 22-== 4. C 提示：与共线的有：、、 5. B 提示：=-=- 6. D 7. D 8. B 二. 9. 20、4 10. 向东北走10km 提示：222)5(=+=++ 三. 11. 解：)(6 1 6131-+=+=+ =+= )(61-+=6 5 61+= OD OD CD OD CN OC ON 6 1 213121+=+=+= )(3 2 )(3232+=+== 2.2.3 向量的数乘（1） 一、课题：向量的数乘（1） 二、教学目标：1．掌握实数与向量的积的定义； 2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算； 3．理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线。 三、教学重、难点：1．实数与向量的积的定义及其运算律，向量共线的充要条件； 2．向量共线的充要条件及其应用。 四、教学过程： （一）复习： 已知非零向量a ，求作a a +和()()a a -+-． 如图：OB a a =+2a =，()()CE a a =-+-2a =-． （二）新课讲解： 1．实数与向量的积的定义： 一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度与方向规定如 下： （1）||||||a a λλ=； （2）当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同； 当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反； 当0λ= 时，0a λ=． 2．实数与向量的积的运算律： （1）()()a a λμλμ=（结合律）； （2）()a a a λμλμ+=+（第一分配律）； （3）a b λλλ+（a+b ）=（第二分配律）． 例 1 计算：（1）(3)4a -?； （2）3()2()a b a b a +---； （3） (23)(32)a b c a b c +---+． 解：（1）原式=12a -； （2）原式=5b ； （3）原式=52a b c -+-． 3．向量共线的充要条件： 定理：（向量共线的充要条件）向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得b a λ=． 例2 如图，已知3AD AB =，3DE BC =．试判断AC 与AE 是否共线． 解：∵333()3AE AD DE AB BC AB BC AC =+=+=+= ∴AC 与AE 共线． 例3 判断下列各题中的向量是否共线： a - E a a a O B A C D a - A B C D E 课题: §1．1．1正弦定理 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中， 角与边的等式关系。 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则 sin sin a b A B =， C 同理可得 sin sin c b C B =， b a 从而sin sin a b A B =sin c C = A c B 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C = [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例1．在?ABC 中，已知045A =，075B =，40a =cm ，解三角形。 例2．在?ABC 中，已知20=a cm ，202b =cm ，045A =，解三角形。 一、选择题： 1、下列说法正确的有( )个. ①零向量是没有方向的向量,②零向量的方向是任意的,③零向量与任一向量共线,④零向 量只能与零向量共线. A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 2、下列物理量中，不能称为向量的有( )个. ①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程 A．0 B．1 C．2 D．3 3、已知正方形ABCD的边长为1, = a , = b , = c,则| a+b+c|等于（） A．0 B．3 C．2 D．22 4、在平行四边形ABCD 中，设= a, = b，= c, = d,则下列不等式中不正确的是 （）A．a+b=c B．a－b=d C．b－a=d D．c－d=b－d 5、△ABC中,D,E,F分别是AB、BC、CD的中点,则－等于（） A．B ．C．D． 6、如图.点M是△ABC的重心,则MA+MB－MC为（） A．0 B．4 C ．4 D．4 7、在正六边形ABCDEF中,不与向量相等的是（） A ．+ B ．－ C ．+D．+ 8、a=－b是|a| = |b|的（） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分也非必要条件 二、填空题： 9、化简：+ + + + = ______. 10、若a =“向东走8公里”，b =“向北走8公里”，则| a + b |=___,a +b 的方向是_ ____. 11、已知D 、E 、F 分别是△ABC 中BC 、CA 、AB 上的点,且 = 3 1 , = 3 1 , = 3 1,设 = a , = b ,则 = __________. 12、向量a,b 满足：|a |=2,|a +b |=3,|a －b |=3,则|b |=_____. 三、解答题： 13、如图在正六边形ABCDEF 中，已知：= a , = b ,试用a 、b 表示向量 , , ， . 14、如图：若G 点是△ABC 的重心，求证： + + = 0 . 15、求证：|a +b | 2 +|a －b | 2 =2 (|a | 2+|b | 2). 16、如图 ABCD 是一个梯形,AB ∥CD 且AB=2CD,M,N 分别是DC 和AB 的中点,若 = a , = b ,试用a,b 表示 和 . 一、BCDBD DCA E 解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】 高一数学《平面向量》单元测试 姓名: 班级: 一、 选择题(共8小题,每题5分) 1. 下列命题正确的是 （ ） A ．单位向量都相等 B ． 任一向量与它的相反向量不相等 C ．平行向量不一定是共线向量 D ．模为0的向量与任意向量共线 2．已知向量a ＝（3,4），b ＝（sin α，cos α），且a ∥b ，则tan α等于（ ） A ．34 B ．34- C ．43 D ．43- 3．在以下关于向量的命题中，不正确的是 （ ） A ．若向量a =(x ，y )，向量b =(－y ，x )(x 、y ≠0)，则a ⊥b B ．四边形ABCD 是菱形的充要条件是=D C ，且||=|| C ．点G 是△ABC 的重心，则GA +GB +CG =0 D ．△ABC 中，AB 和的夹角等于180°－A 4．设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的横坐标为 （ ） A ．-9 B ．-6 C ．9 D ．6 5．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 6．在△ABC 中，A ＞B 是sin A ＞sin B 成立的什么条件（ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 7．若将函数x y 2sin =的图象按向量平移后得到函数)4 2sin(π-=x y -1的图象,则向量a 可以是： （ ） A ． )1,8(-π B ． )1,8(π- C ． )1,4(π D ．)1,4 (--π 8．在△ABC 中，已知S ABC ?===?则,3,1||,4||的值为（ ） A ．－2 B ．2 C ．±4 D ．±2 二、 填空题(共4小题,每题5分) 9．已知向量、的模分别为3，4，则｜-｜的取值范围为 ． 10．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120O ,而a 在e 方向上的投影为－2，则 a = . 11．设21e e 、是两个单位向量，它们的夹角是 60，则=+-?-)23()2(2121e e e e 12．在?ABC 中，a =5，b=3,C=0120,则=A sin 说明: (1) 具有方向的线段叫有向线段。有向线段的三要素：起点、 (2) 向量AB 的长度(或称模)：线段AB 的长度叫向量 方向和长度； AB 的长度，记作 |AB|. 3.单位向量、零向量、平行向量、相等向量、共线向量的定义： (1) 单位向量：长度为 1的向量叫单位向量，即* | AB ; (2) 零向量：长度为零的向量叫零向量，记作 0 ； 呻彳呻 (3) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作： 斗a//b// c ； (4) 相等向量：长度相等，方向相同的向量叫相等向量。即： a 二b ； (5) 说明: 共线向量: (1)规定：零向量与任一向量平行，记作 0//a ； (2)零向量与零向量相等，记作 0 =0 ； (3)任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。 4 .例题分析： 例1如图1,设O 是正六边厶ABCgEF 的中心，分别 写出图中与向「OA , OB , 00_相等的向量。 解:OA=CB=DQ =西；OB 二 DC 二 EO 二 OC =AB =ED =FO . 例2如图2,梯形ABCD 中, E ,三学别是腰A 空DC 的三等分点， 且|AD|=2 , |BC|=5，求|EF|. 解：分别取BE , CF 的中点分别记为 M , N , 1 | MN | (| EF | ■ BC) 1 ―* 1 -------- * 1 - (AD |EF | | BC |)B 2 2 9 4 由梯形的中位线定理知: 1 | EF | (AD MN ) 3 ?- 3|EF|」(2 5) 4 2 2 例3在直角坐标系 xoy 中，已知|OA| = 5 , OA 与x 轴正方向所成的角为 30，与y 轴正方向所成的角为 120 , 、课题：向量 、教学目标：1.理解向量的概念，掌握向量的二要素(长度、方向) 2.能正确地表示向量，初步学会求向量的模长; 3?注意向量的特点：可以平行移动(长度、方向确定，起点不确定) 三、教学重、难点：1 .向量、相等向量、共线向量的概念； 2 .向量的几何表示。 四、教学过程： (一)问题引入： 老鼠由A 向西北方向逃窜，如果猫由 (二)新课讲解： 1. 向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量。 2?向量的表示方法：(1)用有向线段表示； (2)用字母表示：a 试作出 2. 1.向量 B 向正东方向追赶，那么猫能否抓到老鼠？为什么? .?B (终 点) A 1 ) (图2) 解三角形的方法 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π< 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能 如图，在ABC ?中，已知a 、b 、A （1）若A 为钝角或直角，则当b a >时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A 为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b < 高中数学必修4知识点总结 平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母 表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a 向量的大小即向量的模（长 度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝ 0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚 是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都 可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由 于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大小相等，方向 相同),(),(2211y x y x 21 2 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r 高一平面向量测试题 一、选择题： 1.下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．)0,0(=a ρ )2,1(-=b ρ B ．)2,1(-=a ρ )4,2(-=b ρ C ．)5,3(=a ρ )10,6(=b ρ D ．)3,2(-=a ρ )9,6(=b ρ 2.已知向量)3,2(=→a ，)2,1(-=→b ，若→→+b n a m 与 →→-b a 2共线，则 n m 等于( ) A ．21-； B ．21； C ．2-； D ．2； 3.已知两个非零向量22),2,3(),6,3(,--=--=+则与=（ ） A ．－3 B ．－24 C ．21 D ．12。 4. 在四边形ABCD 中，2+=，--=4，35--=，则四边形ABCD 的形状是（ ）A ．长方形 B ．平行四边形 Ｃ．菱形 Ｄ．梯形 5.已知向量a =(x ,y), b =( -1,2 )，且a +b =（1，3），则a 等于（ ） A ． 2 B . 3 C. 5 D. 10 6.已知向量a = (-3 ,2 ) , b =(x, -4) , 若a//b ，则x=（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 7.下列式子中（其中的a 、b 、c 为平面向量），正确的是 （ ）A.=- B.a （b ·c ）= （a ·b ）c C.()()(,)a a λμλμλμ=∈R D ．00=? 8. 已知向量b a b a b a b a 与则满足,37|2|,3||,2||,= +==的夹角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 9.已知向量等于则垂直与若a b a n b n a ρρρρ,),,1(),,1(-==（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．4 10.(2,1),(3,4)a b →→==，则向量a b →→在向量方向上的投影为 （ ） A ． B ． 2 C ． D ．10 11.,,3AB a AC b BD DC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，用,a b r r 表示AD u u u r ，则AD =u u u r A B C D 第四课时向量的数乘 教学目标： 掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算 律，理解两个向量共线的条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行教学重点：实数与向量积的定义；实数与向量积的运算律； 教学难点： 对向量共线的理解? 教学过程： I ?复习回顾 前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算?这一节，我们将在加法运算基础上研究相 同向量和的简便计算及其推广? n ?讲授新课 在代数运算中，a+ a+ a = 3a,故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算? 已知非零向量a,我们作出a+ a + a和(一a) + (-a)+ (—a). 亠 A 5C ■崛?■?p N M Q 由图可知，OC= OA + AB+ BC= a + a+ a,我们把a+ a+ a记作3a，即OC = 3a，显然3a 的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即丨3a |= 3 | a | . 同样，由图可知，PN = PQ + QM + MN = (—a)+ (—a) + (—a),我们把(一a) + (—a)+ (—a)记作一3a,即PN = —3a,显然一3a的方向与a的方向相反，一3a的长度是a的长度的3 倍，即|— 3 a | = 3 | a | . 上述过程推广后即为实数与向量的积? 1?实数与向量的积 实数入与向量a的积是一个向量，记作扫，其长度和方向规定如下： (1) | 扫 | = | 入 || a | (2) 当X>0时，入a与a同向；当X< 0时，入a与a反向；当入=0时，^a= 0. 根据实数与向量 的积的定义，我们可以验证下面的运算律 2?实数与向量的积的运算律 ⑴入([B.)=(入?a (2) ( W?a = ?a+ ?a (3) 入(a+ b)= ?a+ 血 说明：对于运算律的验证要求学生通过作图来进行高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)
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