2018中考数学-二次函数性质综合题

第二部分 题型研究

题型二 二次函数性质综合题

类型二 二次项系数不确定型

针对演练

1. (2013杭州)已知抛物线y 1＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A 、B (点A 、B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，

且点A 、C 在一次函数y 2＝43

x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．

2. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2－2mx －2(m ≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B .

(1)求点A ，B 的坐标；

(2)若抛物线在－2≤x ≤3的区间上的最小值为－3，求m 的值；

(3)设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，且该抛物线在－2＜x ＜－1这一段位于直线l 的上方，在2＜x ＜3这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．

第2题图

3. 已知二次函数y ＝kx 2

＋(3k ＋2)x ＋2k ＋2.

(1)若二次函数图象经过直线y ＝x －1与x 轴的交点，求此时抛物线的解析式；

(2)点A (x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是函数图象上的两个点，若满足x 1＋x 2＝－3，试比较y 1和y 2的大小关系．

4. (2012杭州)在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1，k)和点B(－1，－k)．

(1)当k＝－2时，求反比例函数的解析式；

(2)要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

(3)设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

考向2) 函数类型不确定型(杭州：2015.20，2014.23，2012.18)

针对演练

1. (2012杭州)当k分别取－1，1，2时，函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由，若有，请求出最大值．

2. (2015杭州)设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．

(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；

(2)根据图象，写出你发现的一条结论；

(3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．

第2题图

3. (2011杭州)设函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1(k为实数)．

(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，画出这两个特殊函数的图象；

(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；

(3)对任意负．

实数k ，当x ＜m 时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值．

4. 已知函数y ＝(k －1)x 2＋x －k ＋2(k 为常数)．

(1)求证：不论k 为何值，该函数的图象与x 轴总有交点；

(2)当k 为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与x 轴的另一个交点；

(3)试问该函数是否存在最小值－3？若存在，求出此时的k 值；若不存在，请说明理由．

5. 已知关于x 的函数y ＝kx 2＋(2k －1)x －2(k 为常数)．

(1) 试说明：无论k 取什么值，此函数图象一定经过(－2，0)；

(2) 在x >0时，若要使y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；

(3) 若该函数图象为抛物线，将其向上平移2个单位后，平移前后图象、对称轴和y 轴围成的图形面积为4，求此时k 的值．

6. 关于x 的函数y ＝2kx 2

＋(1－k )x －1－k (k 是实数)，探索发现了以下四条结论：

①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；

②当k ＝－3时，函数图象的顶点坐标是(13，83)； ③当k>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32

； ④当k ≠0时，函数图象总经过两个定点．

请你判断四条结论的真假，并说明理由．

答案

1. 解：∵点C 在一次函数y 2＝43

x ＋n 的图象上，线段OC 长为8，∴n ＝±8， ①当n ＝8时，一次函数为y 2＝43

x ＋8，当y ＝0时，x ＝－6，求得点A 的坐标为A (－6，0)，

∵抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A，B(点A，B在原点O两侧)，与y轴相交于点C，且线段AB长为16，

∴这时抛物线开口向下，B(10，0)；

如解图①所示，抛物线的对称轴是x ＝2，

由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≥2；

第1题解图①

②当n ＝－8时，一次函数为y 2＝4

3

x －8，当y ＝0时，x ＝6，求得点A 的坐标为(6，0)， ∵抛物线y 1＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A ，B (点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且线段AB 长为16，

∴这时抛物线开口向上，B (－10，0)，

如解图②所示，抛物线的对称轴是x ＝－2，由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≤－2；

第1题解图②

综合以上两种情况可得：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≥2或x ≤－2.

2. 解：(1)当x ＝0时，y ＝－2，

∴A (0，－2)，

∵抛物线的对称轴为直线x ＝－－2m 2m

＝1， ∴B (1，0)；

(2)易知抛物线y ＝mx 2

－2mx －2的对称轴为x ＝1，

当m ＞0时，抛物线开口向上，

∵－2≤x ≤3，∴y 最小值在x ＝1处取得，y 最小值＝－m －2，

∴－m －2＝－3，∴m ＝1，

当m ＜0时，抛物线开口向下，

y 最小值在x ＝－2处取得，即8m －2＝－3，∴m ＝－18.

故m 的值为1或－18

. (3)易得A 点关于对称轴直线x ＝1的对称点A ′(2，－2)，

则直线l 经过A′、B ，

设直线l 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，

则?

????2k ＋b ＝－2k ＋b ＝0， 解得?

????k ＝－2b ＝2， ∴直线l 的解析式为y ＝－2x ＋2；

∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，

∴抛物线在2＜x ＜3这一段与在－1＜x ＜0这一段关于对称轴对称，

则抛物线在－2＜x ＜－1这一段位于直线l 的上方，在－1＜x ＜0这一段位于直线l 的下方， ∴抛物线与直线l 的交点的横坐标为－1，

当x ＝－1时，y ＝－2×(－1)＋2＝4，

∴抛物线过点(－1，4)，

当x ＝－1时，m ＋2m －2＝4，

解得m ＝2，

∴抛物线的解析式为y ＝2x 2

－4x －2.

3. 解：(1)∵直线y ＝x －1与x 轴的交点为(1，0)，y ＝kx 2＋(3k ＋2)x ＋2k ＋2经过点(1，0)， ∴0＝k ＋3k ＋2＋2k ＋2，

∴6k ＋4＝0，即k ＝－23. ∴抛物线的解析式为y ＝－23x 2＋23

. (2)∵点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是二次函数图象上两个点，

∴y 1＝kx 21＋(3k ＋2)x 1＋2k ＋2，y 2＝kx 2

2＋(3k ＋2)x 2＋2k ＋2，

两式相减，得y1－y2＝[kx21＋(3k＋2)x1＋2k＋2]－[kx22＋(3k＋2)x2＋2k＋2] ＝k(x1＋x2)(x1－x2)＋(3k＋2)(x1－x2)

＝－3k(x1－x2)＋(3k＋2)(x1－x2)

＝2(x1－x2)，

当x1＞x2时，y1＞y2；

当x 1＝x 2时，y 1＝y 2；

当x 1＜x 2时，y 1＜y 2；

4. 解：(1)∵点A (1，k )在反比例函数图象上，

∴设反比例函数为y ＝k x ， ∵k ＝－2，∴y ＝－2

x

； (2)要使得反比例函数是y 随着x 的增大而增大，

∴k <0.

而对于二次函数y ＝kx 2＋kx －k ，其对称轴为x ＝－12

， 要使二次函数满足上述条件，在k <0的情况下，

则x 必须在对称轴的左边，

即x <－12

时，才能使得y 随着x 的增大而增大； 综上所述，则k <0，且x<－12

时，反比例函数与二次函数都是y 随着x 的增大而增大； (3)由(2)可得Q (－12，－54

k )；

第4题解图

∵A 点与B 点关于原点对称，

∴原点O 平分AB .

又∵直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半，

∴OQ ＝OA ＝OB .

作AD ⊥OC ，QC ⊥OC ，OQ ＝CQ 2＋OC 2＝2516k 2＋14

. 而OA ＝AD 2＋OD 2＝1＋k 2， ∴14＋25

16k 2＝1＋k 2，

则k ＝233或k ＝－23

3.