2020届云师大附中高三高考适应性月考(一)数学(文)试题(解析版)

2020届云师大附中高三高考适应性月考（一）

数学（文）试题

一、单选题 1．已知集合(){}2

,A x y y x ==，(){}

2

2,1B x y x

y =+=，则集合A B 中元素的个数为

（ ） A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

【答案】C 【解析】作出函数2y x 和圆221x y +=的图象，观察两曲线的交点个数，可得出集合A B

的元素个数. 【详解】

如下图所示，由函数2y x 与圆221x y +=的图象有两个交点，

因此，集合A

B 含有两个元素，故选：C.

【点睛】

本题考查集合的元素个数，考查曲线的交点个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

2．瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程：cos sin ix e x i x =+，根据三角方程，计算1i e π+的值为（ ） A ．1- B ．0

C ．1

D ．i

【答案】B

【解析】根据复数的三角方程将复数i e π表示为复数的一般形式，然后利用复数的加法法则可得出结果. 【详解】

由cos sin ix e x i x =+，则1cos sin 1110i e i πππ+=++=-+=，故选B. 【点睛】

本题考查复数的加法运算，解题的关键就是理解题中复数三角方程的定义，考查计算能力，

属于基础题.

3．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调査了100位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A ．0.5 B ．0.6

C ．0.7

D ．0.8

【答案】C

【解析】作出韦恩图，根据题中的信息得出样本中使用共享单车和移动支付的学生人数，将人数除以100可得出所求结果. 【详解】

根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，

因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值70

0.7100

=，故选：C. 【点睛】

本题考查韦恩图的应用，同时也考查了频率的计算，考查数据处理能力，属于中等题.

4．已知x 、y 满足的约束条件02300x x y y ≥??

+-≥??≥?

22x y + ）

A ．

35

5

B 25

C 3

D 5【答案】A

【解析】作出不等式组作表示的可行域，22x y +22x y +的最小值为原点到直线230x y +-=的距离，由此可得出结果. 【详解】

作出不等式组02300x x y y ≥??

+-≥??≥?

所表示的可行域如下图所示：

()()

22

2200x y x y +=

-+-的几何意义为可行域内的点到点()0,0的距离，

过点O 作直线230x y +-=的垂线OH ，则22x y +的最小值为22

35

5

12OH ==

+， 故选：A. 【点睛】

本题考查线性规划问题，考查距离型非线性函数的最值问题，要理解非线性目标函数的几何意义，借助数形结合思想进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5．函数()cos ln f x x x =-的零点个数是（ ） A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B

【解析】在平面直角坐标系内作出函数cos y x =与函数ln y x =的图象，观察两函数的交点个数，即为函数()cos ln f x x x =-的零点个数. 【详解】

令()0f x =，得cos ln x x =，则函数()y f x =的的零点个数等价于函数cos y x =与函数

ln y x =图象的交点个数，如下图所示：

由图象知cos y x =与ln y x =的交点个数为2， 因此，函数()y f x =的零点个数也为2，故选：B. 【点睛】

本题考查函数零点个数问题，常用的方法有两种：一种是代数法，另一种是图象法，转化为两个函数的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

6．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则7891011a a a a a ++++=（ ） A ．40 B ．60

C ．80

D ．100

【答案】D

【解析】利用等差中项的性质得出9a 的值，再利用等差中项的性质可得出

7891011a a a a a ++++的值.

【详解】

由等差中项的性质可得5139240a a a +==，920a ∴=，

因此，()()7891011711810995100a a a a a a a a a a a ++++=++++==，故选：D. 【点睛】

本题考查等差中项性质的应用，在求解等差数列的问题时，常用基本量法与等差数列性质来进行求解，考查计算能力，属于中等题. 7．函数sin y x x =的大致图象为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】考查函数sin y x x =的奇偶性以及该函数在区间()0,π上的函数值符号进行排除，可得出正确选项. 【详解】

设()sin f x x x =，该函数的定义域为R ，且()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，所以，函数()sin f x x x =为偶函数，排除A 、C 选项，且当0πx <<时，sin 0x >，此时()0f x >， 排除D 选项，故选：B. 【点睛】

本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号等基本要素进行逐一排除，考查推理能力，属于中等题.

8．如图，执行程序框图后，输出的结果是（ ）

A ．140

B ．204

C ．245

D ．300

【答案】B

【解析】根据程序框图列举出算法的每一步，可得出输出结果. 【详解】

18n =>不成立，执行第一次循环，211b ==，011s =+=，112n =+=； 28n =>不成立，执行第二次循环，224b ==，145s =+=，213n =+=； 38n =>不成立，执行第三次循环，239b ==，5914s =+=，314n =+=； 48n =>不成立，执行第四次循环，2416b ==，141630s =+=，415n =+=； 58n =>不成立，执行第五次循环，2525b ==，302555s =+=，516n =+=； 68n =>不成立，执行第六次循环，2636b ==，553691s =+=，617n =+=； 78n =>不成立，执行第七次循环，2749b ==，9149140s =+=，718=+=n ； 88n =>不成立，执行第八次循环，2864b ==，14064204s =+=，819n =+=； 98n =>成立，跳出循环体，输出s 的值为204，故选B.

【点睛】

本题考查程序框图运行结果的计算，一般利用算法程序框图将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于中等题.

9．已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的

1

2

，纵坐标扩大为原来的3倍，再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则

函数()g x 的周期可以为（ ） A ．

2

π B ．π

C ．

32

π D ．2π

【答案】B

【解析】先利用三角函数图象变换规律得出函数()y g x =的解析式，然后由绝对值变换可得出函数()y g x =的最小正周期. 【详解】

()sin f x x =，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的1

2，可得到函数

sin 2y x =的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数3sin 2y x =的图象，再把所得图象向上平移1个単位长度，得到()3sin 21g x x =+，由绝对

值变换可知，函数()y g x =的最小正周期为22

T π

π==，故选B. 【点睛】

本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.

10．若函数()2

f x ax =与函数()ln

g x x =存在公共点()P m n ,，并且在()P m n ,处具有公

共切线，则实数a =（ ） A ．

1e

B ．

2e

C ．

12e

D ．

32e

【答案】C

【解析】由题意得出()()

()()

f m

g m f m g m ?=??=''??，解此方程组，可得出实数a 的值.

【详解】

因为()2f x ax =，所以()2f x ax '=；由()ln g x x =，得()1

g x x

'=

. 因为()2

f x ax =与()ln

g x x =在它们的公共点()P m n ,处具有公共切线，

则()()()()f m g m f m g m ?=??=''??，即2ln 12am m

am m ?=??=?

?

，解得12m a e ?=??=??

，故选：C. 【点睛】

本题考查两函数在公共点处有公切线问题，解题时要将问题转化为在公共点处函数值和导数值分别相等，并利用方程组求解，考查化归与转化思想以及方程思想的应用，属于中等题.

11．阿波罗尼斯（约公元前262190-年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A 、

B 间的距离为2，动点P 满足

2PA PB

=，则22PA PB +的最小值为（ ）

A ．36242-

B ．48242-

C ．362

D ．242

【答案】A

【解析】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，得出点A 、B 的坐标，设点(),P x y ，利用两点间的距离公式结合条件

2PA PB

=得出点P 的轨

迹方程，然后利用坐标法计算出22PA PB +的表达式，再利用数形结合思想可求出

22PA PB +的最小值.

【详解】

以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线y 轴，建立直角坐标系，

则()1,0A -、()10

B ,，设(),P x y ，2PA PB

=，222

2

(1)2(1)x y x y

++∴

=-+，

两边平方并整理得()2

22261038x y x x y +-+=?-+=， 所以P 点的轨迹是以()3,0为圆心，22为半径的圆， 则有(

)2

2

22

2

2222PA PB x y

OP

+=++=+，如下图所示：

当点P 为圆与x 轴的交点（靠近原点）时，此时，OP 取最小值，且322OP =- 因此，(2

2

2

2322236242PA PB +≥?-+=- A.

【点睛】

本题考查动点的轨迹方程的求法，考查坐标法的应用，解题的关键就是利用数形结合思想，将代数式转化为距离求解，考查数形结合思想的应用以及运算求解能力，属于中等题. 12．四边形ABDC 是菱形，60BAC ∠=，3AB =，沿对角线BC 翻折后，二面角

A BC D --的余弦值为1

3

-，则三棱锥D ABC -的外接球的体积为（ ）

A ．5π

B ．6π

C ．7π

D ．22π

【答案】B

【解析】取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，利用二面角的定义得出1

cos 3

AMD ∠=-

，并设2AMD θ∠=，计算出tan θ的值，可得出2OO 的长度和2DO 的长度，然后利用勾股定理得出三棱锥D ABC -外接球的半径

R ，最后利用球体体积公式可计算出结果.

【详解】

如下图所示，取BC 的中点为M ，设球心O 在平面ABC 内的射影为1O ，在平面BCD 内的射影为2O ，则二面角A BC D --的平面角为AMD ∠，3AB =，

所以32DM =

，2213DO DM ==，21

2

O M =，设2AMD θ∠=， 则21cos 22cos 13

θθ=-=-，21cos 3θ∴=，则2

2sin 3θ=，2tan 2θ∴=，

tan 2θ∴=222tan 2

OO O M θ∴=?=

， 球O 的半径22226

R DO OO =+=

，所求外接球的体积为2

46632V ππ?=?= ??

， 故选：B. 【点睛】

本题考查外接球体积的计算，同时也考查了二面角的定义，解题的关键就是要找出球心的位置，并分析几何图形的形状，借助相关定理进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

二、填空题

13．已知a 、b 为单位向量，,3

a b π

=，则2a b +=____________.

【解析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算()

2

22a b a b +=+，可得出结果.

【详解】

由于a 、b 为单位向量，,3

a b π

<>=，则1a b ==，且1cos ,2

a b a b a b ?=?<>=

，

因此，(

)

2

2

2

2224441a b a b

a a

b b +=

+=+?+=?=，

. 【点睛】

本题考查利用平面向量的数量积计算向量的模，在计算向量的模时，一般将向量的模进行平方，结合平面向量数量积的运算律和定义来进行计算，考查计算能力，属于中等题.s 14．等比数列{}n a 的首项11a =，48a =，则4S =___________. 【答案】15

【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题中条件求出q 的值，再利用等比数列求和公式可计算出4S 的值. 【详解】

11a =，48a =，所以3

4

1

8a q a ==，所以2q

，因此，()()4414111215112

a q S q

-?-=

=

=--，

故答案为：15. 【点睛】

本题考查等比数列求和，对于等比数列，一般是通过建立首项和公比的方程组，求出这两个量，再结合相关公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.

15．设1F 、2F 为椭圆C :2

214

x y +=的两个焦点，M 为C 上点，122F MF π∠=，则12

F MF ?的面积为______. 【答案】1

【解析】利用勾股定理和椭圆的定义列等式求出12MF MF ?的值，

然后利用三角形的面积公

式可计算出12F MF ?的面积. 【详解】

由题意可知，2a =，1b =，223c a b =-=，则12223F F c ==. 如下图，由题意知122

F MF π

∠=

，由勾股定理得22

2

12

1212MF MF F F +==，

由椭圆定义得1224MF MF a +==，

将该等式两边平方得2

2

1122216MF MF MF MF +?+=，122MF MF ∴?=，

因此，12F MF ?的面积为121211

2122

F MF S MF MF ?=

?=?=，故答案为1.

【点睛】

本题考查椭圆焦点三角形面积的计算，解题时应充分利用椭圆的定义与余弦定理求解，并结合三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.

16．边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111D C B A 的中心，N 为下底面

ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的

封闭图象的面积为_____. 【答案】

【解析】作出图形，设正方体底面ABCD 的中心为点O ，可得出MO ⊥平面ABCD ，由直线与平面所成角的定义得出tan 2MNO ∠=，可得出1

2

ON =

，从而可知点N 的轨迹是半径为

1

2

的圆，然后利用圆的面积公式可得出结果. 【详解】 如下图所示，

由题意知，M 在底面ABCD 内的投影为底面ABCD 的中心O ，连接ON ， 则MNO ∠即为直线MN 与底面ABCD 所成的角，所以，tan 2OM

MNO ON

∠==， 则1

2ON =

，所以N 的轨迹是以底面ABCD 的中心O 为圆心，以12

为半径的圆， 因此，N 的轨迹围成的封闭图象的面积为2

124S ππ??=?= ???

，故答案为：4π. 【点睛】

本题考查立体几何中的轨迹问题，同时也考查直线与平面所成角的定义，解题时要熟悉几种常见曲线的定义，考查空间想象能力，属于中等题.

三、解答题

17．某调研机构，对本地[]22,50岁的人群随机抽取200人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有100人为“低碳族”，该100人的年龄情况对应的频率分布直方图如图.

（1）根据频率分布直方图，估计这100名“低碳族”年龄的平均值，中位数；

（2）若在“低碳族”且年龄在[)30,34、[)34,38的两组人群中，用分层抽样的方法抽取30人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？

【答案】（1）平均值为36，中位数为36；（2）年龄在[)30,34的8人，在[)34,38的22人. 【解析】（1）将频率分布直方图中每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，再将这些乘积相加可得出平均值，利用中位数左右两边的矩形面积和均为0.5计算出矩形的面积； （2）先计算出年龄在[)30,34、[)34,38的频率之比，再利用分层抽样的特点得出样本中年龄段在[)30,34、[)34,38的人数. 【详解】

（1）100位“低碳族”的年龄平均值x 为

240.04280.08320.16360.44

x =?+?+?+?400.16440.1480.0235.9236+?+?+?=≈，

设中位数为a ，前三个矩形的面积为0.040.080.160.28++=， 前四个矩形的面积为0.040.080.160.440.72+++=，则()34,38a ∈， 由题意可得()0.28340.110.5a +-?=，解得36a =，因此，中位数为36； （2）年龄在[)30,34、[)34,38的频率分别为0.0440.16?=，0.1140.44?=， 频率之比为0.16:0.444:11=，所抽取的30人中，年龄在[)30,34的人数为4

30815

?=， 年龄在[)34,38的人数为11

302215

?=. 【点睛】

本题考查频率分布直方图中平均数和中位数的计算，同时也考查了分层抽样相关的计算，考查计算能力，属于基础题.

18．在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π?

?=- ??

?.

（1）求角B 的大小；

（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ?的最大值.

【答案】（1）

3π；（2）【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π?

?

=- ??

?

，再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；

（2）由中线向量得出2BD BA BC =+，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出ABC ?面积的最大值. 【详解】

（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π??=- ???得sin sin sin cos 6B A A B π?

?=- ??

?，

由()0,A π∈知sin 0A >，

则1sin cos sin 622

B B B B π?

?

=-

=+ ??

?，化简得sin B B =，tan B ∴=.

又()0,B π∈，因此，3

B π

=

；

（2）如下图，由13sin 24

ABC S ac B ac ?=

=，

又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+， 等式两边平方得2

2

2

42BD BC BC BA BA =+?+， 所以2222423a c BA BC a c ac ac =++?=++≥， 则43ac ≤

，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ?的面积最大值为343

433

?=. 【点睛】

本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题，对于三角形的中线计算，可以利用中线向量进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

19．如图甲，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，224CD AB BC ===，过A 点作AE CD ⊥，垂足为E ，现将ADE ?沿AE 折叠，使得DE EC ⊥.取AD 的中点F ，连接BF 、CF 、EF ，如图乙.

（1）求证：BC ⊥平面DEC ； （2）求三棱锥E FBC -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）

2

3

. 【解析】（1）可证明出//BC AE ，由折叠的性质得出AE CE ⊥，AE DE ⊥，利用直线与平

面垂直的判定定理得出AE ⊥平面DEC ，再由//BC AE ，可得出BC ⊥平面DEC ； （2）证明DE ⊥平面ABCE ，由E 为AD 的中点可知三棱锥F BCE -的高为

1

2

DE ，计算出BCE ?的面积，然后利用锥体体积公式可计算出三棱锥F BCE -的体积，即为所求结果. 【详解】

（1）在图甲中，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，BC CD ∴⊥，

AE CD ⊥，则//BC AE .

折叠后，在图乙中，AE CE ⊥，AE DE ⊥，又CE

DE E =，AE ∴⊥平面DCE .

//BC AE ，BC ∴⊥平面DCE ；

（2）由（1）知，DE AE ⊥，又DE CE ⊥，且AE CE E =，DE ∴⊥平面ABCE .

F 为AD 的中点，所以，三棱锥F BCE -的高为11

2122

DE =?=，

224CD AB BC ===，易知四边形ABCE 是矩形，则2CD AB ==，

BCE ?的面积为211

2222BCE S BC CE ?=?=?=，

因此，1112

123233

E FBC

F BCE BCE V V DE S --?==??=??=.

【点睛】

本题考查立体几何的翻折问题，考查直线与平面垂直的证明以及三棱锥体积的计算，在处理翻折问题时，要注意翻折前后相关直线的位置关系以及长度的变化，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

20．已知()x

f x e =，()ln

g x x =.

（1）令()()()h x f x g x =-，求证：()h x 有唯一的极值点；

（2）若点A 为函数()g x 上的任意一点，点B 为函数()g x 上的任意一点，求A 、B 两点之间距离的最小值.

【答案】（1）证明见解析；（22.

【解析】（1）求出函数()y h x =的导数，利用函数()y h x '=的单调性以及零点存在定理，说明函数()y h x '=在定义域上有唯一零点，再分析函数()y h x '=在该零点处函数值符号，

可得证函数()y h x =有唯一极值点；

（2）根据函数()x

f x e =与()ln

g x x =关于直线y x =，将直线y x =平移后与分别与曲线

()y f x =、()y g x =切于A 、B ，由此可得出AB 的最小值.

【详解】

（1）由题意知()ln x

h x e x =-，所以()1x

h x e x

'=-

， 由x

y e =单调递增，1

y x

=在()0,∞+上单调递减，()y h x '∴=在()0,∞+上单调递增， 又1202h e ??

'=-<

???

，()110h e '=->， 所以存在唯一的01,12x ??

∈

???

，使得()00h x '=， 当()00,x x ∈时，()00h x '<，函数()y h x =单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()00h x '>，函数()y h x =单调递增； 因此，函数()y h x =有唯一的极值点；

（2）由于()x

f x e =与()ln

g x x =互为反函数，两个函数图象关于直线y x =对称，

如下图，

将直线y x =平移使得平移后的直线与函数()y f x =的图象相切，()x

f x e '=，

令()1x

f x e '==，0x ∴=，可得点()0,1A .

将直线y x =平移使得平移后的直线与函数()y g x =的图象相切，()1

g x x

'=， 令()1

1g x x

'=

=，1x ∴=，可得点()10

B ,， 因此，A 、B ()()

22

01102-+-=【点睛】

本题考查函数极值点个数，同时也考查反函数对称性的应用，在求解函数极值点个数问题时，要结合导数的单调性与零点存在定理来分析求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

21．已知抛物线()2

:20E y px p =>，过其焦点F 的直线与抛物线相交于()11,A x y 、

()22,B x y 两点，满足124y y =-.

（1）求抛物线E 的方程；

（2）已知点C 的坐标为()2,0-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，求2212

11

k k +的最小值.

【答案】（1）2

4y x =；（2）

92

. 【解析】（1）设直线AB 的方程为2

p

x my =+

，将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立，消去x ，利用韦达定理并结合条件124y y =-可求出实数p 的值，由此得出抛物线E 的方程； （2）由（1）得出直线AB 的方程为1x my =+，将该直线方程与抛物线E 的方程联立，并

列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理得出221211k k +关于m 的表达式，可得出2212

11

k k +的最小值. 【详解】

（1）因为直线AB 过焦点,02p F ??

???

，设直线AB 的方程为2p x my =+，

将直线AB 的方程与抛物线E 的方程联立222p x my y px

?

=+

???=?，消去x 得2220y mpy p --=，

所以有2

124y y p =-=-，

0p >，2p ∴=，因此，抛物线E 的方程24y x =；

（2）由（1）知抛物线的焦点坐示为()1,0F ，设直线AB 的方程为1x my =+，

联立抛物线的方程2

440y my --=，所以124y y m +=，124y y =-，

则有1113m k y =+，22

13m k y =+， 因此22

2

22221212121211331111=269m m m m k k y y y y y y ????????+=+++++++ ? ? ? ?????????

()()22

1212222122212122484926926954162

y y y y m y y m

m m m m m y y y y +-++=+?+?=+?+?

=+-.

因此，当且仅当0m =时，221211k k +有最小值92

. 【点睛】

本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了直线与抛物线中的最值问题的求解，对于直线与抛物线的综合问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行计算，计算量较大，考查方程思想的应用，属于中等题. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin 3cos x y θ

θ=??

=?

（其中θ为参数）曲线2

C 的普通方程为2

214

x y +=，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程； （2）射线1l :000,

2πθθθ??

??=∈ ???????

依次与曲线1C 和曲线2C 交于A 、B 两点，射线2l :000,22ππθθθ??

??=+

∈

????

??

?

依次与曲线1C 和曲线2C 交于C 、D 两点，求AOC BOD

S S ??的最大值. 【答案】（1）1C 的极坐标方程为3ρ=，2C 的极坐标方程为2

22

4cos 4sin ρθθ

=

+；（2）45

8. 【解析】（1）将两曲线的方程均化为普通方程，然后由cos sin x y ρθ

ρθ=??=?

可将两曲线的方程化为

极坐标方程；

（2）作出图形，设点B 、D 的极坐标分别为()10,ρθ、20,2πρθ??

+ ??

?

，将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程可得出1ρ、2ρ的表达式，可得出121

2

BOD S ρρ?=，利用基本不等式可求出

AOC

BOD

S S ??的最大值. 【详解】

（1）由曲线1C 的参数方程为3sin 3cos x y θ

θ=??=?

（其中θ为参数），

所以曲线1C 的普通方程为2

2

9x y +=，

由cos sin x y ρθ

ρθ=??=?

则曲线1C 的极坐标方程为3ρ=.

又曲线2C 的普通方程为2

21

4

x y +=，

由cos sin x y ρθρθ=??

=?

，得曲线2C 的极坐标方程为2

22

4cos 4sin ρθθ=+； （2）如图，由题意知19

22

AOC S OA OC ?=

?=，

点B 、D 的极坐标分别为()10,ρθ、20,2πρθ?

?

+

??

?

， 将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得12200

cos 4sin ρθθ=

+，

2222

20000sin 4cos cos 4sin 22ρππθθθθ=

=

+???

?+++ ? ?

???

?，

1222220000

1122cos 4sin sin 4cos BOD S ρρθθθθ?=

?=++()()

22220000cos 4sin sin 4cos θθθθ=

++

()()2222

000099545cos 4sin sin 4cos 4

428

AOC BOD S S θθθθ??∴

=++≤?=， 当且仅当2222

0000cos 4sin sin 4cos θθθθ+=+，即04

θπ

=

，不等式取等号， 因此，AOC BOD S S ??的最大值为458

.

【点睛】

本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及利用极坐标解决最值问题，解题时要注意极坐标方程法的适用情况，考查运算求解能力，属于中等题. 23．已知函数()1f x x a x =-+-.

（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}

03x x ≤≤，求实数a 的值； （2）当2a = 时，若()1

42

2n

n f x +≥--对一切实数x 恒成立，求实数n 的取值范围.

【答案】（1）2a =；（2）(]2,log 3-∞.

【解析】（1）由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，可得出()()03

33f f ?=??=??

，

从而求出实数a 的值；

（2）利用绝对值三角不等式得出函数()y f x =的最小值为1，可得出14223n n +--≤，再令2n t =，可得出2230t t --≤，解出3t ≤，即23n ≤，从而可解出实数n 的取值范围. 【详解】

（1）由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，

则()()0333f f ?=??=??

，即13

323a a ?+=??-+=??，解得2a =；

（2）当2a =时，由绝对值三角不等式得()21211f x x x x x =-+-≥--+=， 又()1

42

2n

n f x +≥--对一切实数x 恒成立，所以11422n n +≥--，

令2n t =，化简得2230t t --≤，解得3t ≤， 所以2log 3n ≤，实数n 的取值范围为(]2,log 3-∞. 【点睛】

本题考查不等式的解集与不等式之间的关系，同时也考查了绝对值不等式恒成立，解题时根据不等式恒成立转化为函数的最值，并借助三角不等式求解，考查化归与转化思想，属于中等题.