分式题型分类练习题

分式的运算

（一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义

【例1】下列代数式中：y

x y

x y x y x b a b a y x x -++-+--1

,

,,21,22π，是分式的有： .

题型二：考查分式有意义的条件

【例2】当x 有何值时，下列分式有意义

（1）

4

4+-x x （2）

2

32+x x （3）

1

22-x （4）

3||6--x x

（5）x

x 11-

题型三：考查分式的值为0的条件

【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.

（1）

3

1

+-x x （2）

4

2||2

--x x （3）

6

5322

2----x x x x

题型四：考查分式的值为正、负的条件

【例4】（1）当x 为何值时，分式

x

-84为正； （2）当x 为何值时，分式2

)1(35-+-x x 为负；

（3）当x 为何值时，分式

3

2+-x x 为非负数.

练习：

1．当x 取何值时，下列分式有意义：

（1）

3

||61

-x

（2）

1

)1(32++-x x （3）

x

111+

2．当x 为何值时，下列分式的值为零：

（1）4

|

1|5+--x x

（2）

5

62522+--x x x

3．解下列不等式 （1）

01

2

||≤+-x x （2）

03

252

>+++x x x

（二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：M

B M A M B M A B A ÷÷=??=

2．分式的变号法则：

b

a

b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

（1）y x y

x 4

1313221+- （2）

b

a b

a +-04.003.02.0

题型二：分数的系数变号

【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

（1）

y

x y

x --+-

（2）b

a a ---

（3）b

a ---

题型三：化简求值题

【例3】已知：511=+

y x

，求

y

xy x y

xy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y

x

11

+

. 【例4】已知：21=-x

x ，求221

x

x +的值.

【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求

y

x 241

-的值. 练习：

1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.

（1）

y

x y

x 5.008.02.003.0+-

（2）b a b

a 10

141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1

242

++x x x 的值.

3．已知：311=-b a ，求

a

ab b b

ab a ---+232的值.

4．若0106222=+-++b b a a ，求b

a b

a 532+-的值. 5．如果21<

x x x |

||1|1+

---. （三）分式的运算

1．确定最简公分母的方法：

①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.

2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；

②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.

题型一：通分

【例1】将下列各式分别通分.

（1）c

b a

c a b ab c 225,

3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）

2

2,

21,

1

2

2

2

--+--x x x

x x

x x ； （4）a

a -+21

,

2

题型二：约分

【例2】约分： （1）

3

22016xy y x -；（3）n m m n --2

2；（3）6

222---+x x x x .

题型三：分式的混合运算

【例3】计算：

（1）4

2232)()()(a

bc ab c c b a ÷-?-；

（2）2

2233)()()3(

x

y x y y x y x a +-÷-?+； （3）

m

n m

n m n m n n m ---+-+22；

（4）11

2

---a a a ；

（5）8

7

4321814121111x x x x x x x x +-

+-+-+--； （6）)5)(3(1

)3)(1(1)1)(1(1+++

++++-x x x x x x ； （7）)12()2

1444

(222+-?--+--x x

x x x x x

题型四：化简求值题

【例4】先化简后求值

（1）已知：1-=x ，求分子)]1

21()144[(4

8

122x x x x -÷-+--的值；

（2）已知：432z y x ==，求22232z

y x xz

yz xy ++-+的值；

（3）已知：0132=+-a a ，试求)1

)(1

(2

2a a a a --的值.

题型五：求待定字母的值

【例5】若1

11

312-+

+=

--x N

x M x x ，试求N M ,的值. 练习：

1．计算

（1）)

1(23

2)1(21)1(252+-+

+--++a a a a a a ； （2）a b ab

b b a a ---

-222； （3）

b

a c c

b a

c b c b a c b a c b a ---++-+---++-232；

（4）b

a b b a ++-2

2；

（5）)4)(4(b

a ab

b a b a ab b a +-+-+-； （6）

2

12

1111x x x ++

++-； （7）

)

2)(1(1

)3)(1(2)3)(2(1--+

-----x x x x x x . 2．先化简后求值

（1）11

124212

22-÷+--?+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a . （2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(

y

x

x y x y x xy y x ÷-?+÷-的值.

3．已知：

1

21)12)(1(45--

-=---x B

x A x x x ，试求A 、B 的值. 4．当a 为何整数时，代数式

2

805

399++a a 的值是整数，并求出这个整数值. （四）、整数指数幂与科学记数法 题型一：运用整数指数幂计算

【例1】计算：（1）3132)()(---?bc a （2）2322123)5()3(z xy z y x ---?

（3）24

2

53])

()

()()([

b a b a b a b a +--+-- （4）6223)(])()[(--+?-?+y x y x y x

题型二：化简求值题

【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值. 题型三：科学记数法的计算

【例3】计算：（1）223)102.8()103(--???；（2）3223)102()104(--?÷?. 练习：

1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|3

1|)51()5131(?-+-+-÷?-- （2）322231)()3(-----?n m n m （3）

2

32

32222)

()3()()2(--??ab b a b a ab

（4）

2

1222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x

2．已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值. 第二讲 分式方程

（一）分式方程题型分析

题型一：用常规方法解分式方程

【例1】解下列分式方程 （1）

x

x 311=-；（2）

0132=--x x ；（3）11

4

112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.

题型二：特殊方法解分式方程

【例2】解下列方程 （1）

44

41=+++x

x x x ； （2）

5

6

9108967+++

++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，6

1167++=++x x x .

【例3】解下列方程组 题型三：求待定字母的值

【例4】若关于x 的分式方程3

132--=-x m

x 有增根，求m 的值. 【例5】若分式方程12

2-=-+x a

x 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：03

2>-=

a

x 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a . 题型四：解含有字母系数的方程

【例6】解关于x 的方程

提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c . 题型五：列分式方程解应用题

练习：

1．解下列方程： （1）021211=-++-x x

x x ； （2）3

4

23-=--x x x ； （3）223

22=--+x x x ； （4）1

7137222

2--+

=--

+x x x x x

x （5）2

1

23524245--+=--x x x x

（6）4

1

215111++

+=+++x x x x

（7）

6

8

11792--+

-+=--+-x x x x x x x x

2．解关于x 的方程： （1）b x

a

211+

=)2(a b ≠；（2）)(11b a x

b

b x a a ≠+=+.

3．如果解关于x 的方程

2

22-=+-x x

x k 会产生增根，求k 的值.

4．当k 为何值时，关于x 的方程1)

2)(1(23++-=++x x k

x x 的解为非负数. 5．已知关于x 的分式方程

a x a =++1

1

2无解，试求a 的值. （二）分式方程的特殊解法

解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：

一、交叉相乘法

例1．解方程：2

3

1+=

x x

二、化归法

例2．解方程：01

2112=---x x 三、左边通分法

例3：解方程：871

78=----x x x 四、分子对等法

例4．解方程：)(11b a x

b b x a a

≠+=+

五、观察比较法

例5．解方程：4

17

425254=-+-x x x x

六、分离常数法

例6．解方程：87

329821+++

++=+++++x x x x x x x x

七、分组通分法

例7．解方程：

41

315121+++=+++x x x x （三）分式方程求待定字母值的方法

例1．若分式方程

x

m

x x -=

--221无解，求m 的值。

例2．若关于x 的方程1

1122+=

-+-x x

x k x x 不会产生增根，求k 的值。 例3．若关于x 分式方程4

3

2212

-=++-x x k x 有增根，求k 的值。 例4．若关于x 的方程

1

151221--=

+-+

-x k x

x k x

x 有增根1=x ，求k 的值。

分式

题型一： （1） 1．如果分式

21

1

x x +-无意义，则x 应等于（ ）

A. －1

B. 1

C. 2

D. 0 2.若分式

212

()()

x x x +--的值为0，则x 的取值范围为 （ ）

(A) 21x x =-=或 (B) 1x = (C) 2x ≠± (D) 2x ≠

3．把分式0.1220.30.25x x -+的x 系数化为整数，那么0.122

0.30.25x x

-+= ．

4．不改变分式的值，使231

72

x x x -+-+-的分子和分母中x 的最高次项的系数都是正数，

应该是（ ）

A. 23172x x x ++-

B. 23172x x x ---

C. 23172x x x +-+

D. 231

72x x x --+

5．将分式11341123a b

a b +-化简，结果为（ ） A. a b a b +- B. 3423a b a b +- C. 4364a b a b +- D. 4364a b a b

--

6、已知m x 21+=，m y 21

1+=，则y 等于（ ）

A 、x -2

B 、1-x x

C 、1

2-+x x D 、11

-+x x

7．已知22440x xy y -+=，那么分式 的值等于________________；

8．若02x <<，化简|2||2|

22x x x x

---

--得（ ） A. －2 B. 2 C. 0 D. 1 9．

531333Ax B x x x x x

+-=+---，则A=________,B=_____________.

10．. 如果x ＞y ＞0，那么

11y y

x x

+-+的值是 （ ） (A) 0 (B) 正数 (C) 负数 (D) 不能确定 题型二： 1．解下列方程：

（1）

572x x =- （2）32221221x x x x --+=-- （3）．1122x x x x +-=-+ （4）．141

43=-+--x x x （5）3233x x x

--=-- （6）22

13111x x x x --=-- （7）．关于x 的方程233

4

ax a x +=- 的解是x = 1, 则a = ____________ 题型三：

x y

x y

+-

1.若方程1

211

m x x -=-+无解，则m 的值为____________ 2．若

1044m x

x x

--=--无解，则m 的值为____________ 3．关于x 的方程223

242mx x x x +=

--+会产生增根，则m 为____________ 4．若关于x 的方程21

11x m x x ++=

--产生增根，则 m ＝____________； 5．若分式方程4

24-+

=-x a

x x 有增根，则a 的值为____________； 6．k 取何值时，方程x x k

x x x x +=+-+2

11

2会产生增根？ 题型四：

1．计算

（1）2ab ÷23()b a - （2）222224693a a a a a a a

+-÷-+- （3）

4222x x x ++-- （4）2

3()224

x x x x x x -÷-+- （5）()2

1a a a a

-÷- （6）22

144422a a a a a --?-+- 2．计算

（1） 先化简，再求值：

2

21

42

a a a ---，其中a=-1 （2） 当56,1949x y =-=-时，代数式442222

2x y y x

x xy y x y --?-++的值为多少？

（3） 若2410x x -+=，求22

1

x x +的值： （4）．已知13x x -=，则分式221

x x +的值为 ．

（5）．先化简，再求值：

2142442

a a a a a a a a ---??-÷ ?

++++??，其中a 满足：2210a a +-= （6）有这样一道题“计算

222211

1x x x x x x x

-+-÷--+的值，其中2005x =”。甲同学把条件 "x=2005”错抄成”x=2050"，但他的计算结果也是正确的，你说这是怎么回事？试一

试，你就会有收获。 题型五：

1、 在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V 1千米，下坡时的速度为每小时V 2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（ ） A 、

22

1v v +千米 B 、2121v v v v +千米 C 、2

1212v v v v +千米 D 、无法确定 2．赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完．当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是----------------（ ）

A ．

21140140-+x x ＝14 B ．21280

280++

x x ＝14 C ．21

140140++

x x ＝14 D ．2110

10++x x ＝1 3、 A 、B 两地相距48千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则可列方程（ ） A 、9448448=-++x x B 、9448448=-++x x C 、9448=+x D 、9496496=-++x x

4．计算机生产车间制造a 个零件，原计划每天造x 个，后来供货要每天多造b 个，则

可

提前几天完成？

5．甲、乙二人分别从相距16千米的A 、B 两地同时相向而行．甲出发4小时甲比乙每小时乙相遇，若甲的速度是乙的速度的2倍，那么甲，乙两人的速度各是多少？ 6．有一项工作需要在规定日期内完成，如果甲单独做，刚好如期完成；如果乙单独做，就要超过规定日期3天。现在由甲、乙两人合做2天，剩下的工作由乙单独做，刚好如期完成，问规定日期是几天

7.某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书。施工一天，需付甲工程队工程款万元, 乙工程队工程款万元。工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算：

（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；

（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；

（3）若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成。在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？

8．铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了元，购进苹果数量是试销时的2倍．

（1）试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?

（2）如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七折（“七折”即定价的70﹪）售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？

9．金泉街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所

需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程

再由甲、乙两队合作30天可以完成.

(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？

(2)已知甲队每天的施工费用为万元，乙队每天的施工费用为万元.工程预算的施工费用为50万元.为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由.

10．在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．

（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？

（2）甲队施工一天，需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程