162二次根式的乘除(3)
16.2 二次根式的乘除(3)
第三课时
教学内容
最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．
教学目标
理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．
通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．
重难点关键
1．重点：最简二次根式的运用．
2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）
1．计算（1
（2
，（3
2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，?那么它们的传播半径的比是_________．
．
二、探索新知
观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：
1．被开方数不含分母；
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．
学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．
老师点评：不是．
2
==.
例1．(1)
例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．
B A C
解：因为AB2=AC2+BC2
所以
13
2
====6.5（cm）
因此AB的长为6.5cm．
三、巩固练习
课本
11
p练习：（2）、（3）。
四、应用拓展
例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
1
21
=
-
-1，
=
，
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
+
）
）的值．
分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．
解：原式=
……
+1）
=
）
）
=2002-1=2001
五、归纳小结
本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．
六、布置作业
1．课堂：习题16.2：（6）③、④；（7）、（9）。
2．家庭：习题16.2： (8)；（10）。
二次根式的乘除法
二次根式的乘除法 二. 重点、难点： 1. 重点： （1）掌握二次根式乘、除法法则，并会运用法则进行计算； （2）能够利用二次根式乘、除法法则对根式进行化简； （3）能够将二次根式化简成“最简二次根式”。 2. 难点： （1）理解最简二次根式的概念； （2）能够运用积的算术平方根的性质、二次根式的除法法则将二次根式化简成“最简二次根式”。 三. 知识梳理： 1. 二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。 说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数； （2）（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥0）； （≥0，≥0，≥0，≥0）。 （3）等式（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即（≥0，≥0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。 2. 二次根式的除法 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）。 说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，≥0，在分母中，因此＞0； （2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）； （3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。 3. 最简二次根式 一个二次根式如果满足下列两个条件： （1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式； （2）被开方数中不含分母。 这样的二次根式叫做最简二次根式。 说明： （1）这两个条件必须同时满足，才是最简二次根式； （2）被开方数若是多项式，需利用因式分解法把它们化成乘积式，再进行化简； （3）二次根式化简到最后，二次根式不能出现在分母中，即分母中要不含二次根式。 【典型例题】 例1. 求下列式子中有意义的x的取值范围。 （1） （2）
二次根式乘除法 (含答案)
一、知识聚焦： 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 5．最简二次根式： 符合以下两个条件：（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。6．分母有理化：把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化” 二、经典例题： 例1．化简 (1)0 x ≥y ,0≥ 例2．计算 (1)15 5?3 2 ? 2 例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： (1)= (2)× 例4．化简： (1))0 ,0 (> x)0 x ≥y ≥y >b ,0 (≥ a)0 (> ,0 例5．计算： ÷（4 例6．下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
(1)b a 23 (2) 2 3ab (3)22y x + (4))(b a b a >- (5)5 (6)xy 8 例7. 把下列各式化为最简二次根式： (1)12 (2)b a 245 (3)x y x 2 例8. 把下列各式分母有理化 (1) 例9. 比较3223和两个实数的大小 答案： 例 例2. （1（2）303 （3）（4）6 例3. (1)不正确． ×3=6 (2) 例4.（1）8 3 （2）a b 38 （3）y x 83 （4）y x 135 例5.（1）2 （2）23 （3）2 （4）22 例6．(3)，(4)，(5)是，其它不是 例7．(1)23, (2) b a 53, (3) xy x 例8. (1)21 144- (2) b a b a a ++2 例9. 3223> 三、基础演练： 1.计算①②3 × 2.化简:
专题162二次根式的乘除八年级数学人教版下册
第十六章 二次根式 16.2 二次根式的乘除 1．二次根式的乘法法则 （1）一般地，二次根式的乘法法则是： __________(00)a b a b =≥≥，． 语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数__________． 在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a ，b 均为非负数这一条件． 000)a b c abc a b c =≥≥≥，，． ②00)b d bd b d =≥≥，，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数； ③乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用． （2）二次根式乘法法则的逆用 (00)ab a b a b =≥≥，． 语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积． 公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足a ≥0，b ≥0．实际上，a ≥0，b ≥0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab ≥0即可． 二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替使用． (0000)abcd a b c d a b c d =≥≥≥≥，，，． 运用这个性质可以化简二次根式：如果一个二次根式的被开方数有的因数（式）是完全平方数（式），(00)ab a b a b = ≥≥，2(0)a a a =≥将这些因数（式） “开方”出来，从而将二次根式化简． 利用积的算术平方根的性质化简的步骤： ①将被开方数进行因数分解或因式分解；
②应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来． 2．二次根式的除法法则 （1）一般地，二次根式的除法法则是： 0__________0)a b =≥，． 语言叙述：二次根式相除，把被开方数__________，根指数不变． 【注意】①a ≥0，b >0时，式子才成立，若a ，b 都是负数，虽然0a b >范围内无意义；若b =0，a b 则号无意义．学-科网 ②如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数． ③二次根式的运算结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式． （2）二次根式除法法则的逆用 00)a b =≥>， ★语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根． 公式中的a ，b 表示的代数式必频满足a ≥0，b >0，a ≥0，b >0是限制公式右边的，对公式的左边，只要 0a b ≥且0b ≠即可． 利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为“（a ≥0，b >0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可． 3．最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． （1）被开方数不含__________； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 【拓展】分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化．
人教版八年级下册数学 16.2 二次根式的乘除法 同步检测
16.2 二次根式的乘除法 同步检测 一、选择题 1. 下列计算正确的是（ ） A ．×= B ．x 8÷x 2=x 4 C ．（2a ）3=6a 3 D ．3a 5?2a 3=6a 6 2.当a <0, b <0时，化简3350a b 得（ ） A ．50ab ab B.-50ab ab C.52ab ab D. 52ab ab - 3.在2222,,6,0.162 x x y x y +中，最简二次根式有（ ） A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个 4. 化简二次根式3a -的正确结果是（ ）． A ．a a -- B ．a a - C ．a a D ．a a - 5.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．24 B ．36 C ．a b D ．4a + 6. 已知，化简二次根式的正确结果为（ ）. A. B. C. D. 二. 填空题 7. 计算： = ． 8. 等式成立的条件是 ． 9．计算：(1)=_______； (2)=________. 10.化简：（1111a a +2411a a a +11.22x x --2(1)x -12.有如下判断： （1）110y xy x =155=1 (3)5552424 =+
(4)332363?= （5）222516541-=-= （6）a b a b ?=?成立的条件是,a b 同号.其中正确的有_____个. 三 综合题 13.计算（1） （2） ． 14.把下列各式化成最简二次根式. (1) ； (2)； (3)； (4)； (5) 15.先化简，再求值：(3a ）(3(6)a a a --，其中152a =.
学案二162二次根式的乘除
二次根式的除法学习目标 1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。 2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。学习重点、难点掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。重点：正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。难点：学习过程（一）复习回顾 1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质 368ab612ab 3（×（2-4（1））） 2、计算： ，1 =_________ =________3、填空1161616）2=________ =________（，363644）3=_________ =________（，1616（二）提出问题： 1、二次根式的除法法则是什么？如何归纳出这一法则的？ 2、如何二次根式的除法法则进行计算？ 3、商的算术平方根有什么性质？ 4、如何运用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简？ （三）自主学习 自学课本内容，完成下面的题目： 1、由“知识回顾3题”可得规律： 49164916 ______ ______ _______ 3616163616162、利用计算器计算填空: 223）=______ =_________））（=_________（23 （1435 223223规律： _____________ _____543543 4 共页第1 页
3、根据大家的练习和解答，我们可以得到二次根式的除法法则： 。 把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质： 。 （四）合作交流 1、自学课本例3，仿照例题完成下面的题目： 1312?）计算：（1（）2283 题目：题 2、自学课本例4，仿照例完成下面的6）2 化简：（1（264a9 （五）精讲点拨 1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数， 被开方数之商为被开方数。 2、化简二次根式达到的要求： （1）被开方数不含分母； （2）分母中不含有二次根式。 （六）拓展延伸 阅读下列运算过程： 52533221????，53355?33?5数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母 有理化”。 21=_________ （２）=_________ 利用上述方法化简：(1)326 110) =___ ___ (３) =_____ ___ (４1252 2 第页共4 页
【八年级】八年级数学下册162第2课时二次根式的除法学案新版新人教版
【关键字】八年级 第2课时二次根式的除法 【学习目标】 1．掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算． 2．能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算． 【学习重点】 二次根式除法公式的理解、运用和逆运用． 【学习难点】 发现规律，归纳出二次根式的除法公式． 情景导入生成问题 旧知回顾： 计算下列各题，观察有什么规律？ (1)＝，＝，＝； (2)＝，＝，＝. 自学互研生成能力 【自主探究】 阅读教材P8，完成下面的内容： 思考：你发现什么规律？ 解：＝(a≥0，b>0)． 归纳：一般地：＝(a≥0，b>0)；＝(a≥0，b>0)． 【合作探究】 1．化简：＝＝＝2；＝＝＝. 2．计算：(1)9÷3×；(2)a2··b÷. 解：(1)原式＝9××＝18； (2)原式＝a2·b＝. 【自主探究】 阅读教材P8，完成下面的内容： 化简：(1)；(2)(a>0，b>0，c>0)． 解：(1)原式＝＝＝；(2)＝＝. 【合作探究】 1．若＝，则a的取值范围是( C ) A．a<2 B．a≤2 C．0≤a<2 D．a≥0 2．(济宁中考)如果ab>0，a＋b<0，那么下面各式：①＝；②·＝1；③÷＝－b.其中正确的是( B ) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【自主探究】 阅读教材P9，完成下面的内容： 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由． (1)；(2)；(3)；(4)；(5). 解：(1)(2)(4)(5)不是最简二次根式．
∵＝3含有开得尽的数，被开方数含有分母；＝被开方数含有分母；＝被开方数含有分母和开得尽的数． 是最简二次根式，被开方数既不含分母，也不含能开得尽的数． 【合作探究】 先化简，再求值：＋÷，其中a ＝1＋. 解：原式＝＋×＝＋＝. 当a ＝1＋时，原式＝＝. 交流展示 生成新知 【交流预展】 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 【展示提升】 知识模块一 二次根式的除法法则 知识模块二 商的算术平方根的性质 知识模块三 最简二次根式 检测反馈 达成目标 【当堂检测】 1．下列二次根式中的最简二次根式是( A ) A .30 B .12 C .8 D . 12 2．计算：(1)2－1＋20÷5＝52 ；(2)－53÷554＝－ 3．已知a ＋b ＝－3，ab ＝2，求b a ＋a b 的值． 解：∵a＋b ＝－3，ab ＝2，∴a<0，b<0. b a ＋a b ＝ab －a ＋ab －b ＝－（a ＋b ）ab ab ＝－－322＝32 2. 【课后检测】见学生用书 课后反思 查漏补缺 1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________ 此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！
§162二次根式的乘除法(1)
§16.2 二次根式 2. 二次根式的乘除法(1) (万群) 一、教学目标 1. 使学生能够掌握二次根式的乘法运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘法运算． 2. 使学生掌握积的算术平方根的性质，会根据这一性质熟练地化简二次根式． 3. 培养学生合情推理能力． 二、教学重点 会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行简单的二次根式的乘法运算． 三、教学难点 二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用． 四、教学过程 (一) 引入新课 1. 观察下面的例子： (1)4×25＝2×5＝10； 4?＝100＝10． 25 4?． 于是可以得到：4×25＝25 (2)16×9＝4×3＝12； 16?＝144＝12． 9 16?． 于是可以得到：16×9＝9 2. 由学生归纳得出结论： 由前面所举特殊例子，引导学生总结出：一般有a ab b a． ?b = ,0 (≥ ≥ )0
(二) 新课 1. 二次根式的乘法 注意：(1) 二次根式的乘法，可以直接利用公式)0,0(≥≥=?b a ab b a ； (2) 运算的结果，应该尽量化简． 2. 例1 计算： (1) 7×6； (2) 2 1 ×32． 解：(1) 7×6＝67?＝42． (2) 2 1×32＝3221 ?＝16＝4． 等式)0,0(≥≥=?b a ab b a ，也可以写成)0,0(≥≥?=b a b a ab ，利用它可以进行二次根式的化简，例如)0(22≥=?=a b a b a b a ．利用这个性质可以对二次根式进行变形：将因式适当改变后移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内． 例2 化简 (1)12； (2)34a ． 解：(1) 12＝3232323422=?=?=?． (2) 34a ＝a a a a a a 22422=?=??． 3. 让学生思考：不查表，比较23与32的大小． 学生讨论得出： 法一： 23＝1829=?， 32＝1234=?． 因为18＞12， 所以 1218>， 所以 23＞32．