八年级下册数学四边形专题

四边形知识要点以及典型例题

1.N边形以及四边形

性质：1）N边形的内角和为，外角和为，

2）四边形的内角和为，外角和为，

正多边形的定义：各条边都相等且各内角都相等的多边形叫正多边形.

1）正N边形的一个内角为，一个外角为，

2.平行四边形的性质以及判定

性质：1）平行四边形两组对边分别平行且相等.

2）平行四边形对角相等，邻角互补.

3）平行四边形对角线互相平分.

4）平行四边形是中心对称图形.

判定方法：1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

4）对角线互相平分的四边形是平行四边形.（容易忘记）

注意：其他还有一些判定平行四边形的方法，但都不能作为定理使用。如：“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，它显然是一个真命题，但不能作为定理使用.

3.中心对称图形

1）中心对称图形的定义以及常见的中心对称图形（平行四边形）

2）经过对称中心的直线把中心对称图形的面积二等分，对称点的连线段经过对称中心且被对称中心平分.

4.三角形的中位线以及中位线定理

中位线平行且等于第三边的一半。用来证明线段平行或长度关系

5.矩形的性质以及判定

性质：1）矩形具有平行四边形所具有的一切性质.

2）矩形的四个角都是直角.

3）矩形的对角线相等. （矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形）

4）既是轴对称图形又是中心对称图形

5）矩形的面积等于长乘以宽.

判定方法：1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

2）有三个角是直角的四边形是矩形.

3）对角线相等的平行四边形是矩形.

注意：其他还有一些判定矩形的方法，但都不能作为定理使用.

定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

6.菱形的性质以及判定

性质：1）菱形具有平行四边形所具有的一切性质.

2）菱形的四条边都相等.

3）菱形的对角线互相垂直并且每条对角线平分一组对角. （对角线把它分成四个直角三角形）

4）既是轴对称图形又是中心对称图形

5）菱形的面积等于对角线乘积的一半.（如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形的面积等于对角线乘积的一半）

判定方法：1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

2）四条边都相等的四边形是菱形.

3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形

注意：其他还有一些判定菱形的方法，但都不能作为定理使用.

7.正方形的性质以及判定

性质：1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形所具有的一切性质.

（正方形对角线把正方形分成四个等腰直角三角形）

判定方法；1）定义：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形. 2）矩形+有一组邻边相等 3）菱形+有一个角是直角

4）既是轴对称图形又是中心对称图形

注意：其他还有一些判定正方形的方法，但都不能作为定理使用. 8.梯形

等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个底角相等；等腰梯形的对角线相等. 等腰梯形的判定：1）证明两腰相等

2）同一底边上两个底角相等的梯形是等腰梯形.

关注：梯形中常见的几种辅助线的画法. 对角线相等的梯形是等腰梯形,但不能作为定理.

补充：梯形的中位线定理，尤其关注其证明方法. 典型例题：

1、如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD 点E 、F 为垂足，∠EAF=30°，AE=3cm ，AF=2cm ，求平行四边形ABCD 的周长.

2、如图，已知：两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，求证重叠部分为菱形.

3、已知：如图，四边形ABCD 中，∠ABC 和∠ADC=

90，E 、F 分别是对角线AC 、BD 的中点。求证：EF ⊥BD

4、某地有四个村庄A 、B 、C 、D ，它们正好位于一个正方形的四个顶点，正方形边长为a 米。计划在四个村庄联合架设一条电话线路，按照如下方案设计，如图中实线部分，求出所需电线长？

5、如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AD=3cm ，BC=7cm ，?DE?⊥BC

A C D E

F C

D A B 30° 30

° 30° 30° A

B C D E

F

于E ，试求DE 的长．

6、如图，已知四边形ACBD 中，AC ⊥BD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形EFGH 是矩形．

7、如图，在等腰梯形ABCD 中， M 、N 分别为AD 、BC 的中点，E 、F 分别为BM 、CM 的中点。

（1）求证：四边形MENF 是菱形； （2）若四边形MENF 是正方形，梯形ABCD 的高与底边BC 有何关系？

8、探索梯形中位线与上下底长度的关系

9、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕BD （对角线），再折叠使AD 边落在对角线BD 上，得折痕DG 。若DC ＝2，BC ＝1，求AG 的长。

10、如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，将矩形纸片如图折叠，使点B 与点D 重合，折痕为GH ，求GH 的长。

四边形专题

一、选择题

1．五边形的内角和与外角和的比是（ ）

A ．5：2

B ．2：3

C ．3：2

D ．2：5 2．不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设条件是（ ）

A ．AB=CD ，AD=BC

B ．AB ‖

CD

C ．AB=C

D ，AD ∥BC D ．AB ∥CD ，AD ∥BC

3中，边AB=a ，对角线AC=b, BD=c ，则a 、b 、c 的取值可以是下列的（ ） A ．a=4, b=6, c=8 B ．a=6, b=4, c=8 C ．a=8,b=4,c=6 D ．a=5,b=4,c=3 4、顺次连结四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是（ ）

A ．A

B ∥D

C B ．AC=B

D C ．AB=DC D ．AC BD

D 2 C

E 1

A G B

5．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF 的值为（ ） A ．

512 B ．2 C ．25 D ．5

13

6．下列命题中真命题的是（ ）

A ．有一组邻边相等的四边形是菱形

B ．对角线相等的四边形是矩形

C ．有一组对边平行的四边形是梯形

D ．对角线相等的菱形是正方形 7．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B 与∠C 互余，AD=5，BC=13，∠C=60°，则该梯形的面积是（ ）

A ．182

B ．318

C ．36

D ．362

8．直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD+BC ＜DC ，若腰DC 上有点P ，使AP ⊥BP ，则这样的点（ ）A ．不存在 B ．只有一个 C ．只有两个 D ．有无数个 二、填空题

9．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，若AC 平分∠DAB ，且AB=AE ，AC=AD ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ，②BC=DE ，③∠DBC=

2

1

∠DAB ，④△ABE 是正三角形，请写出正确结论的序号 。（把你认为正确结论的序号都填上） 10．已知AD ∥BC ，要使四边形ABCD 为平行四边形，还需要增加条件 。（只需填一个）

11．在平行四边形ABCD 中，若DB=DC ，∠C=70°，AE ⊥BD 于E ，则∠DAE= 。 12．折叠矩形的一边AD ，点D 落在BC 边上点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，DE 的长是 cm 。

13.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AC=5cm ，BD=12cm ，则梯形的中位线

长等于 cm.

14.在△ABC 中，BC=a,B 1、B 2、B 3、B 4是AB 边的五等分点；C 1、、C 2、C 3、C 4 是AC 边的五等分点，则B 1C 1+B 2C 2+B 3C 3+B 4C 4= 。

15．正方形ABCD 中，F 是AD 的中点，BF 与AC 交于点G ，则△BGC 与四边形CGFD 的面积之比是 。

16．梯形ABCD中，DC∥AB，将梯形对折，使点D、C分别落在AB上的D′, C′处，

折痕为EF，若CD=3cm，EF=4cm，则AD′+BC′= cm。

三、解答题

17.如图，在中，延长BA至E，使AE=AB，连结CE交AD于

F点。

（1）求证：AF=DF；（2）若ABCD =12，求S△AEF

18.如图，在中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，

DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G. 求证：

（1）AB=BH ；（2）AB2=GA·HE

19.△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，求证：AD⊥EF。

20. 如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，AF平分∠BAD交EC的延长

线于点F,求证:CA=EF

21.梯形ABCD中,AB∥CD,两对角线AC与BD相交于点O,且BD⊥AD,已知BC=CD=7,AD=213.

(1)求AB的长(2)求sin ∠DAC的值.

22.如图,梯形ABCD 中, AD ∥BC,AD=AB,梯形的高AE=

2

3

5,若S 梯形ABCD ：S △ABC =13:8,

且

40

1311=+BC AD ．(1)求∠B 的度数; (2)点M 在AC 上,DM 交BC 于F,当 S △ADM =32

3

125时,求作以CF 、DF 的长为根的一元二次方程。

参考答案与提示

一、1．C 2.C 3.A 4.D 5.A 6.D 7.B 8.C

二、9.② ③ 10.AD=BC, AB ∥DC, ∠A=∠D=180°, ∠B+∠C=180°，∠A=∠C ， ∠B=∠D 中任填一个即可 11.20° 12. 5 13. 6.5 14. 2 a 15.4:5 16. 2

三、17．（1）可证△AEF ≌△DCF 得AF=DF ； （2）3 18．（1）证△BEH ≌△DEC ，得BH=DC ，进而可得AB=BH 。 （2）证△BEH ∽△GBA 及BH=AB ，得AB 2=GA ·HE 。 19．证四边形AEDF 为菱形可得AD ⊥EF 。

21．过A 作AG ⊥BD 于G ，可证AG ∥EF ，∠GAF=∠F ，得∠CAD=∠BDA=∠BAG ，从而

∠GAF=∠CAF,得CA=CF 。

21．（1）作CE ∥DA 交AB 于E ，证BE=AE 。AB=14 （2）BD=12， DO ：OB=DC ：AB=1：2， ∴DO=4，AO=217，sin ∠DAC=

17

17

2． 22.(1) 由已知可得AD ：BC=5：8，设AD=5k ， BC=8k ，代入

,40

1311=+BC AD 得k=1．∴

2

AB （2）∵S △ACD =

AD 21·AE=,4325 ∴ADC ADM S S AC AM ÷÷==8

5

， ∴

35=MC AM ，又3

5==MC AM CF AD ，∴FC=3，BF=5． ∵AD=BF=5，∴四边形ABFD 为平行四边形，∴DF=AB=5，∴DF+CF=8，DF ·CF=15．故所求作的一元二次方程为x 2－8x+15=0.

（四边形典型题汇编）

65、四边形ABCD 中∠DAB ＝60

，∠B ＝∠D ＝Rt ∠，BC ＝1，CD ＝2，求对角线AC 的长

66、已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝2∠A ，求证：AB 2－BC 2

＝AB ×BC 67、如图已知△ABC 中，AD ⊥BC ，AB ＋CD ＝AC ＋BD ，求证：AB ＝AC 68、已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＞BC ，求证：AC ＞BD

69、已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE ＝a ，AF ＝b,且

S EFGH ＝

3

2

求：a b -的值

2 1

D A

B C B C A

A B C D A C

D G

70、已知△ABC 中，∠A ＝Rt ∠，M 是BC 的中点，E ，F 分别在AB ，ACME ⊥MF ，求

证：EF 2＝BE 2＋CF 2

71、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求∠APB

4和2，那么阴影部分的面积为＿73、如图，正方形的面积为256，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，Rt △CEF 的面积为200，则

BE 的值为

(

)

A 、10

B 、11

C 、12

D 、15

74、在口ABCD 中，E 是AD 的中点，若S 口ABCD =1，则图中阴影部分的面积为( ) A.31 B.51 C.61 D.8

1

75、在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE ＝2，AE ＝

2

3

BE ，P 是AC 上一动点，则PB ＋PE 的最小值是______. 34

76、如图，矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=10cm 。若在AC 、AB 上各取一点盟M 、N ，

则使BM+MN 的和达到最小值的点N 的位置应该是______． (作B 关于直线AC 的对称点B1，过E 作∠B 的垂线，垂足N 。) 77、如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，∠B+∠C=90°，EF=10，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，

则BC －AD ＝______.20

78、如图，正方形ABCD 的边长为1，P 为AB 上的点，Q 为AD 上的点且△APQ 的周

A B E

C D

F

F

长为2，

则∠PCQ=______度。45

79、如图设O 是等边三角形ABC

内一点已知∠AOB=115°，∠BOC=125°，则以OA ，OB ，OC 为边所构成的三角形的各内角的度数分别为_______。550

.600

.650

80、已知：如图在平行四边形ABCD 中，AE=CF ，BM=DN ，求证：四边形EMFN 是平行四边形

81、已知：如图，过正方形ABCD

延长线于G ，若H 是FG 的中点。求证：EC ⊥CH

82、如图，△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD ．求证：BD=CD ． 83、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、

F ．求证：∠DEN ＝∠F ．

84、BC 为一边，形P 到边85上的任一点，PF PF

86AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且AE ＝CF ．

求证：∠DPA ＝∠DPC ．

D B

A B

87、如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 、交BC 于E ，∠CAE=15o，那么∠

88、如图，口ABCD

中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，若CE=2

，DF=1，∠

EBF=60o，则

口ABCD 的面积为______。

89、如图，口ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD

于点M ，若△CBM

周长为a ，那么口ABCD 的周长为_____。 90、如图，矩形

ABCD 的长为a ，宽为b ，如果s 1=s

2=

2

1

(s 3+s 4)

，则s 4=_____。

91、如图，在口ABCD 中，E 在AC 上，AE=2EC ，F 在AB 上，BF=2AF ，如果△BEF

的面积为2，则

口ABCD 的面积是______。

92、如图，矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，现将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕EF 长为____。 93、如图，若四边形ABCD 是正方形，△CDE 是等边三角形，则∠EAB 的度数为______。 94、如图，正方形ABCD 中，CE ⊥MN ，∠MCE=35o，那么∠ANM 是（ ）。 A 、45o B 、55o C 、65o D 、75o 95、如图，正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是AD 上的一点，且AF=4

1

AD ，求证

F

B

E