高中数学必修系列：10.4二项式定理(第二课时)

10.4.2 二项式定理(二)

●教学目标

(一)教学知识点

1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和.

2.“赋值法”.

(二)能力训练要求

1.掌握二项式系数的性质，并会简单应用.

2.学会用“赋值法”解决与二项式系数有关的问题.

(三)德育渗透目标

1.提高学生的数学素质.

2.树立由一般到特殊的意识.

●教学重点

1.二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.

(2)增减性：∵k

n C =

k k n 1+-1C -k n , ∴当k ＜2

1+n 时，二项式系数逐渐增大，由对称性知后半部分是逐渐减小的. (3)最大值：当n 为偶数时，中间一项(第2

n +1项)的二项式系数最大，最大值为2C n n . 当n 为奇数时，中间两项(第

21+n 项和第21+n +1项)的二项式系数相等，且同时取最大值，最大值为21

C -n n 或21

C +n n .

(4)各二项式系数和0

C n +1C n +2C n +…+r n C +…+n n C =2n .

2.“赋值法”在解题中的运用.

●教学难点

与二项展开式中系数最大项有关问题的求解.

●教学方法

发现法

●教具准备

投影片一张.

内容：课本P 107图10-9.

●教学过程

Ⅰ.复习回顾

［师生共同活动］

(a +b )n =0C n a n +1C n a n -1b 1+…+r n C a n-r b r +…n

n C b n .

T r +1=r n C a n-r b r .

Ⅱ.讲授新课

［师］通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数，(a +b )n 展开式的二项式系数，当n

不难发现，它有这样的规律：每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.

［师］能用我们所学知识解释一下吗？

［生］设这一数为r n 1C +,其肩上的数则为1C -r n 和r n C ，由组合数知识可知r n 1C +=1C -r n +r n C .

［师］上表可称为二项式系数表，早在我国南宋数学家1261年所著的《详解九章算术》中就有所记载，又称为杨辉三角.此表将二项式系数的性质表现得淋漓尽致.

(打出投影片)

［师］下面结合此表，来看一下二项式系数的主要性质.

同学们看出哪些性质？

［生］对称性.即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.

［师］为什么呢？

［生］因为m n C =m n n

-C . ［师］还有什么性质？

［生］增减性与最大值.

当k ＜

2

1+n 时，二项式系数是逐渐增大的； 当k ＞21+n 时，二项式系数是逐渐减小的. 当n 是偶数时，2C n n 最大；

当n 是奇数时, 21

C -n n ,21

C +n n 相等，且最大.

［师］上述性质与我们所学二次函数性质有相似之处，因此r n C 可看成是以r 为自变量

的函数f (r ),其定义域是{0,1,2,…,n }.

［师］可以解释上述性质吗？

［生］∵k n C =k

k k n n n n ?-+---)!1()1()2)(1( =1C -k n ·k k n )1(+-， ∴当k k n 1+-＞1，即k ＜21+n 时,1C C -k n

k

n ＞1,即k n C ＞1C -k

n .

当k k n 1+-＜1,即k ＞21+n 时，1C C -k n

k

n ＜1,即k n C ＜1C -k n . ［师］还有其他性质吗？

［生］∵(1+x )n =0

C n +1C n x +2C n x 2+…+r n C x r +…+n n C x n ,

当x =1时， 2n =0

C n +1C n +2C n +…+r n C +…+n n C ，

即(a +b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n .

［师］是否还可发现其他性质呢？

［生］在(a +b )n 的展开式中，

令a =1,b =-1,则可得

0=0

C n -1C n +2C n -3C n +…=(0C n +2C n +…)-(1C n +3C n +…)，

即0

C n +2C n +…=1C n +3C n +….

也就是说，在(a +b )n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的和.

［师］下面看怎样应用这些性质.

［例1］求(1+2x -3x 2)5的展开式中的x 5项的系数.

［师］这是一个关于三项式的展开式的问题，而三项式的展开式对于我们来讲，并无现成的公式可用，那么请大家思考一下如何解决？能否与我们刚学的二项式定理产生联系呢？

［生甲］我认为可以将(2x -3x 2)看作一项，用二项式定理展开，再考查各项中x 5项的系数，最后通过求和得到所求.

［生乙］我也尝试了甲同学的方法，但感觉各项中x 5项的系数有些烦琐.

［师］虽然此种解法较繁，但对于大家来说，能够熟悉二项式定理，熟悉二项式的展开式，熟悉二项式的通项的特点，所以，我还是提倡大家采用这种思路尝试下去，加深自己的体会.

［生丙］我注意到括号内的(1+2x -3x 2)恰好可以分解因式为(1-x )(1+3x ),故三项式可转化为两个二项式之积，分别展开后考查得到x 5项的多种情形：x 0·x 5,x 1·x 4,x 2·x 3,x 3·x 2,x 4·x 1,x 5·x 0，然后将两个二项展开式的系数对应相乘相加即可.

［师］很好，相对于解法一来讲，丙同学的解法就体现了解题方法的灵活性，即通过因式分解将三项式问题转化为二项式问题，其他同学注意体会.

解法一：∵(1+2x -3x 2)5=［1+(2x -3x 2)］5

=1+5(2x -3x 2)+10(2x -3x 2)2+10(2x -3x 2)3+5(2x -3x 2)4+(2x -3x 2)5

=1+5x (2-3x )+10x 2(2-3x )2+10x 3(2-3x )3+5x 4(2-3x )4+x 5(2-3x )5,

∴x 5项的系数为上式各项中含x 5项的系数和，即

1023C ·21·(-3)2+51

4C ·23·(-3)1+25=92.

解法二：∵(1+2x -3x 2)5=(1-x )5·(1+3x )5=(1-5x +10x 2-10x 3+5x 4-x 5)·

(1+15x +90x 2+270x 3+405x 4+243x 5),

∴展开式中x 5项的系数为

243-5×405+270×10-10×90+5×15-1=92.

［例2］求(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )16的展开式中x 3项的系数.

［师］请大家审读题目后，考虑如何获得含x 3项的系数.

［生甲］我认为可以求出每一项中含x 3项的系数，并注意发现其变化规律，依次为3

3C ,34C ,35C ,…,316C ，但是,33C ,34C ,…,316C 各项之和的求解较为复杂.

［师］甲同学的思路完全正确，大家可以一起考虑一下，看能否将甲同学的困惑解决呢？

［生丁］可以用我们前面所学的组合数性质，将3

3C +34C =44C +34C =45C ，再将

45

C +35C =46C ，以此类推，达到求和的目的. ［师］很好，乙同学求和的关键是将首项33

C 变为44C ，然后多次应用组合数的性质达到化简求和的目的，此解法能使我们得到一个启示，用式子表达，即

k

k C +k k 1C ++k k 2C ++…+k n C =11C ++k n ，大家在以后碰到相关题目时，可以尝试使用.

［师］下面大家继续思考，看能否想出其他的解决办法.

［生戊］我认为，可以将原式化简后再求x 3项的系数，具体做法是：把(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )16看作首项为(1+x )3,公比为(1+x )(当x ≠-1时)，项数为14的等比数列的前n 项和，由

等比数列前n 项和公式求和可得原式=x

x x 3

17)1()1(+-+,从上式可以看出只有(1+x )17展开式中含x 4的项与x 相除可得含x 3项，所以只需考查(1+x )17的展开式中含x 4的系数即可.

［生己］戊同学在叙述过程中提到x ≠-1时，(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )16可以看作等比数列前n 项和，那么当x =-1时又如何解释呢？

［生庚］我认为，由于此题的目的是求x 3项的系数，其中x 是任意的变量，而当x ≠-1时，求出的系数不失一般性，故不必考虑x =-1的情形.

［师］大家说得很好.同学们由此题联系到我们所学的数列求和方法，将表面的14个二项式问题转化为一个二项式问题，达到了化繁为简，化不熟悉为熟悉的目的，与第一种解法有异曲同工之妙.

［师］下面请大家写出完整的解答过程.

解法一：由题意(1+x )3,(1+x )4,…,(1+x )16的展开式中x 3项的系数依次为

33C ,34C ，…，316C ，

∴所求展开式中含x 3的项的系数为

3

3C +34C +35C +...+316C =(44C +34C )+35C + (316)

=(45C +35C )+…+316C =46C +…+316C =…=416C +316C =417C .

又4

17C =2380,

∴所求展开式中含x 3的系数为2380.

解法二：当x ≠-1时，(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )16可以看作是首项为(1+x )3,公比为(1+x ),项数为14的等比数列的前n 项和，由等比数列前n 项和的求和公式可得 原式=[]

1)1(1)1()1(143-+-++x x x =x x x 3

17)1()1(+-+.

显然只有(1+x )17展开式中x 4项与分母x 相除可得x 3项，∴含x 3项的系数为417C =2380.

Ⅲ.课堂练习

(学生练习，老师讲评)

课本P 109练习1～3.

1.(1)10

16C =1015C +915C =515C +915C =a +b ;

(2)49C =126;

(3)1

11C +311C +…+1111C =210=1024;

(4)原式=2

1221=+n n . 2.证明：∵0

C n +1C n +2C n +…+k n C +…+n n C =2n ,

0C n +2C n +…=1C n +3C n +…,

∴0

C n +1C n +2C n +…+k n C +…+n n C =(0C n +2C n +…)+(1C n +3C n +…)

=2(0

C n +2C n +…)

=2n .

∴0

C n +2C n +…+n n

C =22n

=2n -1. 评述：注意灵活利用二项式系数性质.

Ⅳ.课时小结

通过本节学习，需掌握二项式系数的三大性质：即对称性、增减性和最大值，及二项式系数之和.

Ⅴ.课后作业

(一)课本P 109习题10.4 4、5.

(二)预习提纲

如何利用二项式定理、通项公式及二项式系数性质解决相关问题？