高考常用不等式全面总结

高考常用不等式

（1）基本不等式：,a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．

（2）均值不等式：,a b R +∈

?2a b

+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．

（3）分式不等式：ab m n >>>>000，，，则 b a b m a m a n b n a b <++<<++<1 （4）证明不等式常用方法：

比较法、综合法、分析法、反证法、换元法、判别式法、放缩法、数学归纳法

（5）放缩法常用不等式：

n x x

x x x e x x x x x x x x x x n x 11)1(,211),0(1,)1ln(1,tan sin ,3tan 13+

<++<+>+><+<+<<-

> （6）调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数

()a b

a b a b a b a b a b R 22222+≥+≥≥+∈+， 当且仅当时等号成立。a b =

（7）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>

()ab ca b b c c a a b R 222

++≥++∈，当且仅当时取等号。a b c == （8）理解绝对值不等式的几何意义 ①b a b a b a +≤+≤-

②∣a －b ∣≤∣a －c ∣＋∣c －b ∣；

③∣ax ＋b ∣≤c ；∣ax ＋b ∣≥c ；∣x －a ∣＋∣x －b ∣≥c.

（9）柯西不等式的几种不同形式

①柯西不等式向量形式：|α|·|β|≥|α·β|.

②22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈

③平面三角不等式

.

＋

≥ （10）贝努利不等式：（数学归纳法证明）

nx x n +>+1)1(，n x x ,0,1≠->为大于1的正整数