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数学回归课本材料

集合与函数（必修1）

一、重点知识

1、集合的概念、运算、性质

①理解集合中元素的意义

．．．．．是解决集合问题的关键，区分集合中元素的形式：如：?Skip Record If...?—函数的定义域；?Skip Record If...?—函数的值域；?Skip Record If...?—函数图象上的点集；

②已知集合A、B，当?Skip Record If...?时，你是否注意到“极端”情况：?Skip Record If...?或?Skip Record If...?；?Skip Record If...?或求集合的子集时是否忘记?Skip Record If...?？

③含n个元素的集合的子集个数为2n,真子集个数为2n－1；

④A∩B=A?Skip Record If...?A∪B=B?Skip Record If...?A?Skip Record If...?B?Skip Record If...?C U B?Skip Record If...?C U A?Skip Record If...?A∩C U B=?Skip Record If...??Skip Record If...?C U A∪B=U；

⑤补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题；

⑥数形结合

．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决。

2、映射的概念：关键词：每唯一单值对应

3、函数的概念、三要素及其相互关系，函数的表示方法（列表法、图象法、解析法）

Ⅰ判定相同函数:定义域相同且对应法则相同

Ⅱ求函数解析式的常用方法：

⑴待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：?Skip Record If...?；顶点式：?Skip Record If...?；零点式：?Skip Record If...?）。如P93.13

⑵代换（配凑）法――已知形如?Skip Record If...?的表达式，求?Skip Record If...?的表达式.这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即?Skip Record If...?的定义域应是?Skip Record If...?的值域。

⑶方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于?Skip Record If...?及另外一个函数的方程组。

Ⅲ求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;零指数幂的底数?);实际问题有意义;

若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x∈[a,b]时g(x)的值域．

Ⅳ求值域:

①配方法：

②逆求法（反求法）：

③换元法：

④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑤不等式法――利用基本不等式?Skip Record If...?求函数的最值。

⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

⑧判别式法：

⑨导数法;分离参数法;

4、函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、最值性）

奇偶性（对称性）：f(x)是偶函数?Skip Record If...?f(-x)=f(x)=f(|x|)；f(x)是奇函数?Skip Record If...?f(-x)=-f(x)；定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0)；定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。

①如果函数?Skip Record If...?对于一切?Skip Record If...?，都有?Skip Record If...?，那么函数?Skip Record If...?的图象关于直线?Skip Record If...?对称 ?Skip Record If...?是偶函数；

②若都有?Skip Record If...?，那么函数?Skip Record If...?的图象关于直线?Skip Record If...?对称；函数?Skip Record If...?与函数?Skip Record If...?的图象关于直线?Skip Record If...?对称；特例:函数?Skip Record If...?与函数?Skip Record If...?的图象关于直线?Skip Record If...?对称.

③如果函数?Skip Record If...?对于一切?Skip Record If...?，都有?Skip Record If...?，那么函数

?Skip Record If...?是周期函数，T=2a；

④如果函数?Skip Record If...?对于一切?Skip Record If...?，都有?Skip Record If...?，那么函数

?Skip Record If...?的图象关于点（?Skip Record If...?）对称.

⑤函数?Skip Record If...?与函数?Skip Record If...?的图象关于直线?Skip Record If...?对称；函数?Skip Record If...?与函数?Skip Record If...?的图象关于直线?Skip Record If...?对称；函数

?Skip Record If...?与函数?Skip Record If...?的图象关于坐标原点对称；

⑥若奇函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上是增函数，则?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上也是增函数；若偶函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上是增函数，则?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上是减函数；

提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上

函数图像变换规律：

①函数?Skip Record If...??Skip Record If...?的图象是把?Skip Record If...?的图象沿x轴向左平移a个单位得到的；函数?Skip Record If...?(?Skip Record If...?的图象是把?Skip Record If...?的图象沿x轴向右平移?Skip Record If...?个单位得到的；

②函数?Skip Record If...?+a?Skip Record If...?的图象是把?Skip Record If...?助图象沿y轴向上平移a个单位得到的；函数?Skip Record If...?+a?Skip Record If...?的图象是把?Skip Record If...?助图象沿y轴向下平移?Skip Record If...?个单位得到的。

③函数?Skip Record If...??Skip Record If...?的图象是把函数?Skip Record If...?的图象沿x轴伸

缩为原来的?Skip Record If...?得到的；

④函数?Skip Record If...??Skip Record If...?的图象是把函数?Skip Record If...?的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的.

单调性：

①定义法②导数法

根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)用导数研究函数单调性时，一定要注意“?Skip Record If...?>0(或?Skip Record If...?<0)是该函数在给定区间上单调递增（减）的必要条件。

5、指数式、对数式：

?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?。

6、常见基本函数如一次函数、二次函数、反比例函数、分式函数?Skip Record If...?、双曲线型函数?Skip Record If...?、幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质

7、函数的零点与方程的根的关系，什么叫二分法？其理论根据是什么？

8、有关分段函数、复合函数、抽象函数的概念及常见处理方法：

抽象函数的单调性、奇偶性一定要紧扣函数性质利用单调性、奇偶性的定义求解。同时，要领会借助函数单调性利用不等关系证明等式的重要方法：f(a)≥b且f(a)≤b f(a)=b。

求解抽象函数问题的常用方法是：

借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数：

①正比例函数型：?Skip Record If...? ---------------?Skip Record If...?；

②幂函数型：?Skip Record If...? --------------?Skip Record If...?，?Skip Record If...?；

③指数函数型：?Skip Record If...? ----------?Skip Record If...?，?Skip Record If...?；

④对数函数型：?Skip Record If...? ---?Skip Record If...?，?Skip Record If...?；

⑤三角函数型：?Skip Record If...? ----- ?Skip Record If...?。

二、重要提示

1.求函数解析式时，你注明定义域了吗？研究函数性质时，你是否坚持定义域优先的原

则？

2.判断函数的奇偶性，应先考虑定义域，然后再利用定义进行判断

3.证明函数单调性的方法有哪几种？其基本的步骤是什么？

4.运用（单调性、奇偶性、周期性等）定义进行证明和判断时，你是否遵循了“正面论证，

反例否定”的原则？

5.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零

且不等于1）字母底数还需讨论。

6.二次函数①三种形式:一般式f(x)=ax2+bx+c(轴-b/2a,a≠0,顶点?);顶点式f(x)=a(x-h)2+k;零点

式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(轴?);b=0偶函数;

③区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系;

④实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;

7.反比例函数:?Skip Record If...?平移?Skip Record If...??Skip Record If...?(中心为(b,a))

8.你是否养成了作函数图象的习惯，做到“脑中有图，心中有图”了吗？能作出常见的几种

函数图象吗？

9.函数的图象关于两点对称或关于两条平行于y轴的直线对称对周期性有何决定作用？

⑴类比“三角函数图像”得：

①若?Skip Record If...?图像有两条对称轴?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?必是周期函数，且一周期为?Skip Record If...?；

②若?Skip Record If...?图像有两个对称中心?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?是周期函数，且一周期为?Skip Record If...?；

③如果函数?Skip Record If...?的图像有一个对称中心?Skip Record If...?和一条对称轴?Skip Record If...?，则函数?Skip Record If...?必是周期函数，且一周期为?Skip Record If...?；

⑵由周期函数的定义“函数?Skip Record If...?满足?Skip Record If...??Skip Record If...?，则

?Skip Record If...?是周期为?Skip Record If...?的周期函数”得：①函数?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?是周期为2?Skip Record If...?的周期函数；②若?Skip Record If...?恒成立，则?Skip Record If...?；③若?Skip Record If...?恒成立，则?Skip Record If...?.

10.函数?Skip Record If...?的图象能作出来吗？它有哪些重要的作用？

11.“实系数一元二次方程?Skip Record If...?有实数解”转化为“?Skip Record If...?”，你是否注

意到必须?Skip Record If...?；当a=0时，“方程有解”不能转化为?Skip Record If...?．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？例如：?Skip Record If...?对一切?Skip Record If...?恒成立，求a的取值范围，你讨论了a＝2的情况了吗？

12.求二次函数的最值问题时你注意到x的取值范围了吗？

例：已知(x+2)2+?Skip Record If...?=1,求x2+y2的取值范围。（由于(x+2)2+?Skip Record If...?=1得(x+2)2=1-?Skip Record If...?≤1，∴-3≤x≤-1从而当x=-1时x2+y2有最小值1。x2+y2的取值范围是[1, ?Skip Record If...?]）

1.恒成立问题:分离参数法、构造函数法。

三、重要习题

P14.10 P17.10 ,13 P29. 10 P31.4 P32. 6 ，13 P35.例2 P37. 7 P40. 4 P43.4 ,6

P53.例5 P55. 5,6,11 P71. 12 P73. 5 P88. 1、2、3、4 P93. 2,4 ,19,21,22 、28、30, 31

数列（必修5）

知识纲要：

1、数列的定义及通项公式

2、等差、等比数列的定义及通项公式，前n项和公式

3、等差、等比数列的性质

4、特殊数列的求和（裂项相消，错位相减，倒序相加，分组求和）

重点题目与题型

P31例3P35求等差数列通项公式的方法P36思考 P37练习 5

P37例5 P38练习 2，3 P39习题 2，4，5，6，8，10，12

P41 例2，例3 P42思考 P43例5，例6 P45练习4，习题 6，7，9，12，13

P49求等比数列通项公式的方法 P50练习2，4 例题 9 P51练习 1

P52 习题5，6，9，11 P54例2 P55例5P56习题 5，6，7，8并请同学们关注一下斐波那契数列

P62复习题 4，7，8，11

不等式（必修5）

知识纲要

1、一元二次不等式的解法（注意含参问题）

2、二元一次不等式表示的平面的区域和线性规划问题的应用

3、基本不等式的应用（证明和求最值）[正、定、等]

重点题目和题型