信息安全数学基础第一阶段知识总结

信息安全数学基础第一阶段知识总结

第一章 整数的可除性

一 整除的概念和欧几里得除法 1 整除的概念

定义1 设a 、b 是两个整数，其中b ≠0如果存在一个整数 q 使得等式 a=bq 成立，就称b 整除a 或者a 被b 整除，记作b|a ，并把b 叫作a 的因数，把a 叫作b 的倍数.这时，q 也是a 的因数，

我们常常将q 写成a ／b 或

否则，就称b 不能整除a 或者a 不能被b 整除，记作a

b.

2整除的基本性质

(1)当b 遍历整数a 的所有因数时，-b 也遍历整数a 的所有因数.

(2)当b 遍历整数a 的所有因数时，a/b 也遍历整数a 的所有因数.

(3)设b ，c 都是非零整数， (i)若b|a ，则|b|||a|. (ii)若b|a ，则bc|ac. (iii)若b|a ，则1<|b|≤|a|. 3整除的相关定理

a

b

(1) 设a ，b ≠0，c ≠0是三个整数.若c|b ，b|a ，则c|a. (2) 设a ，b ，c ≠0是三个整数，若c|a ，c|b ，则c|a ±b (3) 设a ，b ，c 是三个整数.若c|a ，c|b 则对任意整数s ，t ，有c|sa+tb.

(4) 若整数a 1 , …,a n 都是整数c ≠0的倍数，则对任意n 个整数s 1，…，s n ，整数 是c 的倍数 (5) 设a ，b 都是非零整数.若a|b ，b|a ，则a=±b (6) 设a, b , c 是三个整数，且b ≠0，c ≠0，如果(a , c)=1,则

(ab , c)=(b , c)

(7) 设a , b , c 是三个整数，且c ≠0，如果c ｜ab , (a , c) = 1, 则c | b.

(8) 设p 是素数，若p |ab , 则p |a 或p|b

(9) 设a 1 , …,a n 是n 个整数，p 是素数，若p| a 1 …a n ,则p 一定整除某一个a k

二 整数的表示

主要掌握二进制、十进制、十六进制等的相互转化. 三 最大公因数和最小公倍数 (一)最大公因数 1．最大公因数的概念

n n a

s a s ++ 1

1

定义：设是个整数，若使得，则称为的一个因数．公因数中最大的一个称为的最大公因数．记作.

若,则称互素．

若,则称两两互素．

思考：1．由两两互素，能否导出

2．由能否导出两两互素？

2．最大公因数的存在性

(1)若不全为零，则最大公因数存在并且

(2)若全为零，则任何整数都是它的公因数．这时，它们没有最大公因数．

3．求两个正整数的最大公因数．

定理1：设任意三个不全为零的整数，且则

辗转相除法

由带余除法得

(1)

……

因为每进行一次带余除法，余数至少减少1，且是有限整数，故经过有限次带余除法后，总可以得到一个余数是零的情况，即

由(1)知，

定理2：任意两个正整数,则是(1)中最后一个不等于零的余数．

定理3：任意两个正整数的任意公因数都是的因数．4．性质

定理4：任意两个正整数，则存在整数，使得

成立

定理5：设是不全为零的整数．

(i)若则

(ii)若则

(iii)若是任意整数，则

从上面定理我们很容易得到下面几个常用结论：

①

②且

③

④

5．求两个以上正整数的最大公因数

设

则有下面的定理：

定理6：若是个正整数，则

只需证①是的一个公因数．②是的公因数中最大一个

例求

解：

6．求两个正整数的最大公因数的线性组合（重点掌握）方法一运用辗转相除法求最大公因数的逆过程；

方法二补充的方法

方法三运用列表法求解

(二) 最小公倍数

1．最小公倍数的定义

定义：是个整数，如果对于整数，有

,那么叫做的一个公倍数．在的一切公倍数中最小一个正整数，叫做最小公倍

数．记作．

2．最小公倍数的性质．

定理1：设是任给的两个正整数，则

(i)的所有公倍数都是的倍数．

(ii)

定理2：设正整数是的一个公倍数，则

3．求两个以上整数的最小公倍数

定理3：设是个正整数, 若

则

只需证：①是的一个公倍数，即,

②设是的任一公倍数,则

例1 求

解：

又

四素数算术基本定理

1．素数、合数的概念

定义：一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它的本身，我们就称它为素数，否则就称为合数．

2．性质

定理1：设是大于1的整数，则至少有一个素因数，并且当

是合数时，若是它大于1的最小正因数，则

p ，都定理2设n是一个正整数，如果对所有地素数n

有

p n,则n一定是素数.

求素数的基本方法：爱拉托斯散筛法。

定理3：设是素数，是任意整数，则

(i) 或(ii) 若则或

3．素数的个数

定理4：素数的个数是无穷的．

4．算术基本定理

定理5任一整数n>1都可以表示成素数的乘积，且在不考虑乘积顺序的情况下，该表达式是唯一的.即

n= p1… p s , p1≤… ≤p s , (1)

其中p i是素数，并且若n = q1…q t , q1≤… ≤q t , 其中q j是素数，则s= t , p i = q j, 1 ≤i ≤s.

推论1：设是任一大于1的整数，且

为素数，且则是的正因数的充分必要条件是

推论2：且

为素数．

则

第二章同余

一同余概念和基本性质

<一>、同余的定义．

定义：如果用去除两个整数所得的余数相同，则称整数关于模同余，记作如果余数不同，则称

关于模不同余，记作.

定理1：整数关于模同余充分必要条件是<二>、性质．

定理2：同余关系是一种等价关系，即满足

(1)自反性：

(2)对称性：若

(3)传递性：若

定理3：若

则：

定理4：若且则定理5：若且则定理6：若，则

定理7：若且则

定理8：若则

定理9设整数n有十进制表示式：

n = a k 10k + a k-1 10k-1+ … + a1 10 + a0 , 0≤a i <10则 3 | n的充分必要条件是 3 | a k+ … + a0 ;

而9 |n 的充分必要条件是9 | a k+ … + a0 .

定理10设整数n有1000进制表示式：

n = a k 1000k + …+ a1 1000 + a0 , 0≤a i <1000

则7(或11，或13)|n的充分必要条件是7(或11，或13)能整除整数

( a0 + a2 + …) –( a1 + a3 + …)

例1：求7除的余数．

解：

除的余数为4．

例2：求的个位数．

解：

的个位数为．

二完全剩余系和互素剩余系

<一>、剩余类．

1．定义1：设是一个给定的正整数．

则叫做模的剩余类．

定理1：设是模的剩余类，则有(1)中每一个整数必属于这个类中的一个,且仅属于一个．

(2)中任意两个整数属于同一类的充要条件是

<二>、完全剩余系

1．定义2：在模的剩余类中各取一个数

则个整数称为模的一组完全剩

余系．

任意个连续的整数一定构成模的一组完全剩余系．

2．形成完全剩余系的充要条件．

定理2：个整数形成模的完全剩余系的充要条件是：

3．完全剩余系的性质．

定理3：若则当遍历模的完全剩余系时，则

也遍历模的完全剩余系．

定理4 设m是一个正整数，a是满足(a,m)=1的整数，则存在整数a’

1 ≤a’

定理5：若当分别遍历模的完全剩余系时,则也遍历模的完全剩余系．

例1：问是否构成模的完全剩余系？

解：

是的一个排列．

能构成模的一组完全剩余系．

<三> 简化剩余系

1、简化剩余类、简化剩余系概念．

定义3：若模的某一剩余类里的数与互素，则把它称为模的一

个互素剩余类．在与模互素的全部剩余类中，各取出一整

数组成的系，叫做模的一组简化剩余系．在完全剩余系中所有与模互素的整数构成模的简化剩余系．

2．简化剩余系的个数．

定义4：欧拉函数是定义在正整数集上的函数，的值等

于

序列

与互素的个数．

为素数

定理6：个整数构成模

的简化剩余系的充要条件是

定理7：若

遍历模的简化剩余系，则

也遍历模的

简化剩余系

定理8设 m 1 ，m 2 是互素的两个正整数，如果x 1 , x 2 分别遍历模 m 1 和 m 2 的简化剩余系，则m 2x 1 + m 1x 2 遍历模m 1 m 2 的简化剩余系.

定理9：若

，则

∏

∏

--=-===

n p k

n

p a k

a a

p p n p n n p p p

n n s |1|1)

1

1()11()11()(101 ?则有标准因数分解式为

设正整数定理

<三>欧拉定理 费马小定理 威尔逊定理

1．

欧拉定理 设m 是大于1的整数，如果a 是满足

(a , m)=1的整数，则

)m mod (1a

)

m (≡?

2．费马定理 设p 是一个素数，则对任意整数a ,我们有

a p ≡a (mod p) 3．（wilson ）设p 是一个素数.则

)p mod (1)!1p (-≡-

<四>模重复平方计算法 主要掌握运用该方法解题过程

第三章 同余式

1．同余式的定义

定义1 设m 是一个正整数，设f(x)为多项式

其中a i 是整数，则 f(x) ≡0( mod m ) (1)叫作模m 同余式 .

若

n a 0 (mod m), 则n 叫做f(x)的次数，记作degf .此时，

(1)式又叫做模m 的n 次同余式.

2．同余式的解、解数及通解表达式

定理 1 设m 是一个正整数，a 是满足a m 的整数则一次同余式

ax ≡b (mod m)有解的充分必要条件是(a , m)|b ,而且， 当同余式有解时，其解数为d =( a , m).

定理2设m 是一个正整数，a 是满足(a,m)=1的整数，则一次同余式 ax ≡ 1(mod m)有唯一解x ≡a ’(mod m).

定理3 设m 是一个正整数，a 是满足(a,m)|b 的整数，则一次同余式 ax ≡ b(mod m) 的全部解为

1n n a x a x a )x (f +++=

.

1)m ,a (,,1,0t )m mod ()m ,a (m t ))m ,a (m mod ()m ,a (a )m ,a (b x 1

-=+???

? ????? ???≡- 3．中国剩余定理

定理1 (中国剩余定理)设k 1m ,,m 是k 个两两互素的正整数，则对任意的整数k 1b ,,b ，同余式组

)

1()m mod (b x )m mod (b x k

k 11???

??≡≡

一定有解，且解是唯一的

例1 计算

).77 mod (21000000

解一 利用 2.4定理 1(Euler 定理 )及模重复平方计算法直接计算.

因为77＝7·11，,60)11()7()77(=?=???所以由2.4 定理1(Euler 定理)，)77 mod (1260

≡，又

1000000＝16666·60＋40，所以

)77 mod (22)2(2404016666601000000≡?=，设m=77,b=2,令

a=1.

将40写成二进制，40＝23 ＋ 25 ，运用模重复平方法，我们依次计算如下：

(1)

)77(mod 4,1,02100≡≡≡==b b a a n 计算

(2) n 1 = 0, 计算 )77 mod (16b b ,1a a 21201≡≡≡=

(3) n 2 = 0, 计算

)77 mod (25b b ,1a a 22

312≡≡≡=

(4) n 3 = 1, 计算 )77 mod (9b b ,25b a a 2

34323≡≡≡?=

(5) n 4 = 0 , 计算

)77 mod (4b b ,25a a 24

534≡≡≡= (6) n 6 = 1 , 计算 )77 23(mod b a a 5

45≡?= 最后，计算出

)77 mod (2321000000

≡

解二 令1000000

2x =，因为77=7·11，所以计算x(mod

77)

等价于求解同余式组??

?≡≡)

11 mod (b x )77 mod (b x

21 因为Euler 定理给出

)7 mod (1226)7(≡≡?，以及1000000=166666·6+4，所

以

)7 mod (22)2(2b 4166666610000001≡?≡≡.

令 77m m m ,11m ,7m 2121=?===，7m M ,11m M 1221====

分别求解同余式 )11 mod (17M ),7 mod (111M '2'

1

≡≡，得

到

8M ,2M '2'1== 故x ≡2·11·2+8·7·1≡100≡23(mod

77)

因此，21000000 ≡23(mod 77) 例2：解同余式组

解：

原同余式组有解且同解于

两两互素

同余式组有惟一解．

原同余式组的解为

第四章 二次同余式与平方剩余

1．二次同余式的定义

定义1 设m 是正整数，若同余式1)m ,a (),m mod (a x 2

=≡

有解，则a 叫做模m 的平方剩余(二次剩余)；否则，a 叫做模m 的平方非剩余(或二次非剩余).

2.

模为奇素数的平方剩余和平方非剩余

讨论模为素数p 的二次同余式1),(),(mod 2

=≡p a p a x

定理1（欧拉判别条件）设p 是奇素数，(a, p)=1, 则 ( i ) a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是

);(mod 12

1p a

p ≡-

(ii) a 是模p 的平方非剩余的充分必要条件是

);(mod 12

1p a

p -≡-并且当a 是模p 的平方剩余时，同

余式(1)恰有二解.

定理2 设p 是奇素数，则模p 的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余的个数各为(p-1)/2,且(p-1)/2个平方剩余与序列：

2

2

2

)

2

1(,,2,1-p 中的一个数同余.且仅与一个数同余. 例1 利用定理判断

3.勒让德符号

定义1

设p 是素数，定义勒让德符号如下：

???

??=a

p p a p a |0

1,1)p a (若，的平方非剩余是模，若－的平方剩余是模若 欧拉判别法则 设p 是奇素数，则对任意整数

a,

)p mod (a p a 21

p -≡??

? ?? 常用定理及结论

设p 是奇素数，则 (1)

1p 1=??

? ?? (2) 2

1p )1(p 1--=??

?

??-

(3)??

?≡≡=???

??-4)

3(mod p , 1-)4 mod (1p ,1p 1若若

(4)

;p a p p a ??

? ??=??? ??+ (5)

;p b p a p ab ??

? ????? ??=??? ?? (6) 设(a, p) =1, 则

1p a 2=??

? ?? (7) 设p 是奇素数，如果整数a, b 满足 a ≡ b(mod p),则

??

? ??=??? ??p b p a (8)81

2p )1(p 2--=???

? ?? (9)互倒定律

若p,q 是互素奇素数，则

??

? ??-=??? ??-?-q p )1(p q 2

1

q 21p 例1??

? ????? ????? ??=

??? ??5355335325330 ，而

1

53553553)1(5351

32353353)1(5331)1(53221

5321521

532138

1532-=??

? ??=??? ??=??? ??-=??? ??-=??

? ??=??? ??=??? ??-=??? ??-=-=??

?

??-?--?--

所以15355335325330-=??

? ????? ????? ??=??? ??

第五章 指数与原根

一 指数 1．指数的定义

定义1 设m>1是整数 ，a 是与m 互素的正整数，则使得

)(mod 1m a e

≡成立的最小正整数e 叫做a 对模m 的指数，记作

)(a ord m

.

2．指数的性质

定理1 设m>1是整数，a 是与m 互素的整数，则整数d 使