专题：抛物线与圆综合探究题(含答案)

专题：抛物线与圆综合探究题

抛物线与圆综合探究题，综合性强，难度较大，通常都作为“压轴题”，解此类题通常需要熟练掌握抛物线与圆相关的基本知识和基本技能，求解时注意运用有关性质，进行综合、分析、探究解题思路。

例1、抛物线2

y ax bx c =++交x 轴于

A 、

B 两点，交y 轴于点

C ,已知抛物线的对称轴为1x =，

(3,0)B ,(0,3)C -， ⑴求二次函数2y ax bx c =++的解析式；⑵在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C 两点距离之差最大？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； ⑶平行于x 轴的一条直线交抛物线于M N 、两点，若以MN 为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆的半径．

解：（1）将(0,3)C -

代入c bx ax y ++=2

，得 3-=c ．将3-=c ，(3,0)B 代入c bx ax y ++=2

，

得 039=++c b a ．∵1x =是对称轴，∴12=-

．将（2）代入（1）得1=a ， 2-=b ．二次函数得解析式是322

--=x x y ．（2）AC 与对称轴的交点P 即为到B C 、的距离之差最大的点．∵C 点的坐标为

(0,3)-，A 点的坐标为(1,0)-，∴ 直线AC 的解析式是33--=x y ，

又对称轴为1x =，∴ 点P 的坐标(1,6)-．（3）设1(,)M x y 、

2(,)N x y ，所求圆的半径为r ，则 r x x 212=-，.(1) ∵ 对称轴为1x =，∴ 212=+x x ． .(2)由（1）、

（2）得：12+=r x ．.(3) 将(1,)N r y +代入解析式322

--=x x y ，得 3)1(2)1(2

-+-+=r r y ，.(4)

整理得： 42

-=r y ．由于 r=±y ，当0>y 时，042=--r r ，解得，21711+=

r ， 2

12-=r （舍去），当0

12--=r （舍去）．所以圆的半

径是2171+或2

171+-．

例2、已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=kx-4k 的图象与x 轴交于点A ，抛物线y ax bx c

=++2经过O 、A 两点。 ⑴试用含a 的代数式表示b ； ⑵设抛物线的顶点为D ，以D 为圆心，DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D 内，它所在的圆恰与OD 相切，求⊙D 半径的长及抛物线的解析式； ⑶设点B 是满足⑵中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点P ，使得∠∠POA OBA =43？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说

明理由。

（1）解法一：∵一次函数y

kx k =-4的图象与x 轴交于点A ∴点A 的坐标为

（4，0）∵抛物线

c bx ax y ++=2经过O 、A 两点04160=+=∴b a c ，a b 4-=∴ 解法二：

∵一次函数y kx k =-4的图象与x 轴交于点 A ∴点A 的坐标为（4，0）∵抛物线y ax bx c =++2经过O 、A 两点 ∴抛物线的对称轴为直线

x =2∴=-

=x b

22 （2）解：由抛物线的对称性可知，DO ＝DA ∴点O 在⊙D 上，且∠DOA ＝∠DAO 又由（1）知抛物线的解析式为

y ax ax =-24∴点D 的坐标为（24，-a ） ①当a >0时，如图1，设⊙D 被x 轴分得的劣弧为OmA

⌒，它沿x

轴翻折后所得劣弧为OnA ⌒，显然OnA ⌒

所在的圆与⊙D 关于x 轴对称，设它的圆心为D' ∴点D'与点D 也关于x 轴对称

∵点O 在⊙D'上，且OD 与⊙D'相切 ∴点O 为切点∴D'O ⊥OD ∴∠DOA ＝∠D'OA ＝45°∴△

ADO 为等腰直角三角形∴=OD 22∴点D 的纵坐标为-22

4-=-==∴-=-∴a b a a ， ∴抛物线的解析式为x x y 22

-= ②当a <0时，同理可得：22=OD 抛物

线的解析式为x x y 2212+-= 综上，⊙D 半径的长为22，抛物线的解析式为y x x =-12

22或x x y 2212

+-=

（3）解答：抛物线在x 轴上方的部分上存在点P ，使得OBA POA ∠∠3

= 设点P 的坐标为（x ，y ），且y ＞0 ①

当点P 在抛物线

y x x =

-1222上时（如图2） ∵点B 是⊙D 的优弧上的一点 ∴==?∠∠OBA ADO 1

45 ?==∴6034

OBA POA ∠∠ 过点P 作PE ⊥x 轴于点E x

y x

y OE

POE 360tan tan =∴?

=∴=

∴∠ 由

??-==x

x y x

y 22132

解得：???==?????+=+=00

3463242

211y x y x ，（舍去） ∴点P 的坐标为()

34632

4++， ②当点P 在抛物线y x x =-

+12

上时（如图3）同理可得，

y x =3

由

???+-==x x y x y 22132

解得：???==?????+-=-=00

3463242

211y x y x ，（舍去） ∴点P 的坐标为()

346324+--，综上，存在满足条件的点P ，点P 的坐标为

()34632

4++，或()

346324+--，

例3、如图，在直角坐标系中，⊙C 过原点O ，交x 轴于点A （2，0），交y 轴于点B （0

，。 ⑴求圆

心的坐标； ⑵抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 过O 、A 两点，且顶点在正比例函数 y

＝－

x 的图象上，求抛物线的解析式； ⑶过圆心C 作平行于x 轴的直线DE ，交⊙C 于D 、E 两点，试判断D 、E 两点是否在⑵中的抛物线上； ⑷若⑵中的抛物线上存在点P （x 0，y 0），满足∠APB 为钝角，求x 0的取值范围。

解：（1）∵⊙C 经过原点O ， ∴AB 为⊙C 的直径。 ∴C 为AB 的中点。过点C 作CH 垂直x 轴于点H ，则有CH ＝12OB

，OH ＝1

OA ＝1。∴圆心C 的坐标为（1

。

（2）∵抛物线过O 、A 两点，∴抛物线的对称轴为x ＝1。∵抛物线的顶点在直线y

＝－

3x 上， ∴顶点坐标为（1，

－3

）把这三点的坐标代入抛物线抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c ，得

0420c a b c a b c ?

?=??

++=??

?++=??

解

得

0a b c ?????

=??

=????

∴抛物线的解析式

为

233

y x x =-。

（3）∵OA ＝2，OB ＝

4AB =

=.即⊙C 的半径r ＝2。∴D （3

，E （－1

，

233

y x x =

-检验，知点D 、E 均在抛物线上（4）∵AB 为直径，∴当抛物线上的点P 在⊙C 的内部时，满足∠APB 为钝角。∴－1＜x 0＜0，或2＜x 0＜3。

例4、如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左

侧)，与y 轴交于点C 。 ⑴求抛物线的解析式及点A 、B 、C 的坐标； ⑵若直线y=kx+t 经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，试证明四边形CDAN 是平行四边形； ⑶点P 在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x 轴上方是否存在这样的P 点，使以P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）由抛物线的顶点是M （1，4），设解析式为2y a x 1 4 a 0＝（－）＋（＜）

又抛物线经过点N （2，3），所以23a 214＝（－）＋解得a ＝－1 所以所求抛物线的解析式为y ＝22

x 14x 2x 3.－（－）＋＝－＋＋令y ＝0，得2

x 2x 30－＋＋＝，解得：12x 1 x 3.＝－

，＝得A （－1，0） B （3，0）；令x ＝0，得y ＝3，所以 C （0，3）.

（2）直线y=kx+t 经过C 、M 两点，所以t 3

k t 4

?＝＋＝即k ＝1，t ＝3 直线解析式为y ＝x ＋3. 令y ＝0，

得x ＝－3，故D （－3，0） CD

＝连接AN ，过N 做x 轴的垂线，垂足为F. 设过A 、N 两点的直线

的解析式为y ＝mx ＋n ，则m n 0

2m n 3???

－＋＝＋＝解得m ＝1，n ＝1 所以过A 、N 两点的直线的解析式为y ＝x ＋1 所

以DC ∥AN. 在Rt △ANF 中，AN ＝3，NF ＝3，所以AN

＝所以DC ＝AN 。因此四边形CDAN 是平行四边形.

（3）假设在x 轴上方存在这样的P 点，使以P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，设P （1，u ）其中u ＞0，则PA 是圆的半径且222

PA u 2＝＋过P 做直线CD 的垂线，垂足为Q ，则PQ ＝PA 时以P 为圆心的圆与直线CD 相切。由第（2）小题易得：△MDE 为等腰直角三角形，故△PQM 也是等腰直角三角形，由

P （1，u ）得PE ＝u ， PM ＝|4-u|， PQ

|4-u|由22

PQ PA ＝得方程：

224u u 22（－）＝＋

，解得u 4±＝－，舍去负值u

＝4－－，符合题意的u

＝4－＋P 存在，其坐

标为（1

，4－＋.

例5、已知：如图，抛物线m x x y +-=

2312与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，∠ACB ＝90°，

⑴求m 的值及抛物线顶点坐标； ⑵过A 、B 、C 的三点的⊙M 交y 轴于另一点D ，连结DM 并延长交⊙M 于点E ，过E 点的⊙M 的切线分别交x 轴、y 轴于点F 、G ，求直线FG 的解析式； ⑶在条件⑵下，设P

为上的动点（P 不与C 、D 重合），连结PA 交y 轴于点H ，问是

否存在一个常数k ，始终满足AH ·AP ＝k ，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.

解：⑴由抛物线可知，点C 的坐标为（0，m ），且m ＜0. 设A （x 1，0），B （x 2，0）.则有x 1·x 2＝3m 又OC 是Rt △ABC 的斜边上的高，∴△AOC ∽△COB ∴

OC OA =

∴21x m m x -=--，即x 1·x 2＝－m 2

∴－m 2

＝3m ，解得 m ＝0 或m ＝－3 而m ＜0，故只能取m ＝－3 这时，

4)3(3

33323122--=--=

x x x y 故抛物线的顶点坐标为（3，－4） ⑵解法一：由已知可得：M （3，0），A （－3，0），B （33，0），C （0,－3），D （0， 3） ∵

抛物线的对称轴是x ＝3，也是⊙M 的对称轴，连结CE ∵DE 是⊙M 的直径，∴∠DCE ＝90°，∴直线x ＝3，

垂直平分CE ，∴E 点的坐标为（23，－3） ∵

==OD OM OC OA ，∠AOC ＝∠DOM ＝90°，∴∠ACO ＝∠MDO ＝30°，∴AC ∥DE ∵AC ⊥CB ，∴CB ⊥DE 又FG ⊥DE ， ∴FG ∥CB 由B （33，0）、C （0，－3）

两点的坐标易求直线CB 的解析式为：y ＝

x 33－3 可设直线FG 的解析式为y ＝x 3

3＋n ，把（23，－3）代入求得n ＝－5故直线FG 的解析式为y ＝

x 3

－5 解法二：令y ＝0，解

x x 3

32312-－3＝0得x 1＝－3，x 2＝33 ，即A （－3，0），B （33，0）根据圆的对称性，易知：：⊙M 半径为23， M （3，0）在Rt △BOC 中，∠BOC ＝90°，OB ＝33，，OC ＝3∴∠CBO ＝30°，同理，∠ODM ＝30°。而∠BME ＝∠DMO ，∠DOM ＝90°，∴DE ⊥BC ∵DE ⊥FG ， ∴BC ∥FG ∴∠EFM ＝∠CBO ＝30°在Rt △EFM 中，∠MEF ＝90°，ME ＝23，∠FEM ＝30°，∴MF ＝43，∴OF

＝OM ＋MF ＝53，∴F 点的坐标为（53，0）在Rt △OFG 中，OG ＝OF ·tan30°＝53×

＝5∴G 点的坐标为（0，－5）∴直线 FG 的解析式为y ＝

x 3

－5 （解法二的评分标准参照解法一酌定）

⑶解法一：存在常数k ＝12，满足AH ·AP ＝12 连结CP 由垂径定理可知?

?=AC AD ，∴∠P ＝∠ACH

（或利用∠P ＝∠ABC ＝∠ACO ）又∵∠CAH ＝∠PAC ，∴△ACH ∽△APC ∴

AP AH AC =

即AC 2＝AH ·AP 在Rt △AOC 中，AC 2＝AO 2＋OC 2

＝（3）2

＋32

＝12（或利用AC 2