湖北省武汉市青山区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
湖北省武汉市青山区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.半径为1cm，中心角为150°的弧长为()
A. 2
3cm B. 2π
3
cm C. 5
6
cm D. 5π
6
cm
2.若α是第四象限的角，则π?α是()
A. 第一象限的角
B. 第二象限的角
C. 第三象限的角
D. 第四象限的角
3.已知角α的终边与单位圆的交点为M(1
2
,y)，则cosα=()
A. 0
B. 1
2C. √2
2
D. 1
4.角α为第二象限角，则α
2
为第()象限角
A. 一
B. 二
C. 一或四
D. 一或三
5.已知α∈[0,2π)，cosα+3sinα=√10，则tanα=()
A. ?3
B. 3或1
3C. 3 D. 1
3
6.sin5π
6
=()
A. ?√3
2B. ?1
2
C. 1
2
D. √3
2
7.sin49°sin19°+cos19°sin41°=()
A. 1
2B. ?1
2
C. √3
2
D. ?√3
2
8.已知点P(1,√2)是角α终边上一点，则cos(π
6
?α)等于()
A. 3+√6
6B. 3?√6
6
C. ?3+√6
6
D. √6?3
6
9.△ABC中，看sin2A=sin2B，则△ABC是()
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰或直角三角形
D. 等腰直角三角形
10.函数f(x)=?sin(ωx+φ)(|φ|<π,ω>0)的部分图象如图所示，则
φ=()
A. π
3
B. ?π
3
C. ?2π
3
D. π3或?2π
3
11. 设α∈(0,π
2),β∈(0,π
2),且tanβ=
1+sinαcosa
，则( )
A. α?3β=?π
2 B. α?2β=?π
2 C. α+3β=π
2
D. α+2β=π
2
12. 已知f(x)=sinωx +√3cosωx(ω>0)在区间
上单调递增，则ω的取值范围是( )
A. (0,2
3]
B. (0,2
3]∪[7,263] C. [7,26
3]∪[50
3,19]
D. (0,2
3]∪[50
3,19]
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 函数y =√?sin x
3的定义域是________．
14. 化简(√3tan12°?3)
(4cos 212°?2)sin12°= ______ ．
15. 若劣弧AB ?
所在圆O 的半径为r ，所对的圆心角为2π3.若扇形OAB 的周长为4+
4π3
，则半径
r = ，扇形OAB 的面积为 ．
16. 已知cosθ=?√2
10，θ∈(π
2,π)，则cos (θ?π
4)=__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 一只正常的时钟，自零点开始到分针与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少？
18. 已知cosα=?4
5，且α为第三象限角，求sin(5π+α)，tan(π?α)，sin 4α+cos 4α的值．
19.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π
2
)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y=g(x)的图象．若y=
g(x)图象的一个对称中心为(5π
12
,0)，求θ的最小值．
(3)说明函数f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到的．
20.已知函数f(x)=4cosx?sin(x+π
6
)?1．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间[?π
6,π
4
]上的最大值和最小值．
21.已知tan(α+β)=2tanβ，求证3sinα=sin(α+2β).
22.已知函数f(x)=sin2x+asinx+3?a，x∈[0,π]．
(1)求f(x)的最小值g(a)；
(2)若f(x)在[0,π]上有零点，求a的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：
本题主要考查弧长公式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握弧长公式l=αr，属于基础题．由题意知半径r=1cm，中心角α=150°，由弧长公式l=αr即可求出．
解：已知半径r=1cm，中心角α=150°=5
6
π，
由弧长公式l=αr=5
6
πcm，
故选：D．
2.答案：C
解析：
本题考查象限角、轴线角，考查学生计算能力，是基础题．
先求出α的表达式，再求?α的范围，然后求出π?α的范围．
解：若α是第四象限的角，即：2kπ?1
2
π<α<2kπk∈Z
所以2kπ
2
π，k∈Z
2kπ+π<π?α<2kπ+3π
2
k∈Z
故选C．
3.答案：B
解析：
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．
解：角α的终边与单位圆的交点为M(1
2,y)，则cosα=1
2
，
故选B．
4.答案：D
解析：
本题主要考查象限角的判断，属基础题.认清每一象限角的特征是关键．解：∵角α为第二象限角，
即2kπ+π
2
<α<2kπ+π,(k∈Z)，
则kπ+π
4<α
2
2 ,(k∈Z)， 当k为偶数，即当k=2n，n∈Z时，2nπ+π 4<α 2 <2nπ+π 2 ,(n∈Z)，α 2 为第一象限角， 当k为奇数，即当k=2n+1，n∈Z时，2nπ+5π 4<α 2 <2nπ+3π 2 ,(n∈Z)，α 2 为第三象限角， 所以α 2 为第一或三象限角． 故选D． 5.答案：C 解析： 【分析】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于中档题． 【解答】解：∵(cosα+3sinα)2=10，∴cos2α+6sinαcosα+9sin2α=10， ∴cos2α+6sinαcosα+9sin2α cos2α+sin2α =10， ∴1+6tanα+9tan2α 1+tan2α =10， ∴tanα=3， 故选C． 6.答案：C 解析：解：sin5π 6=sin(π?π 6 )=sinπ 6 =1 2 ． 故选：C． 原式中的角度变形后利用诱导公式化简即可得到结果． 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 7.答案：C 解析： 本题考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 由已知利用诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可求解． 解：sin49°sin19°+cos19°sin41° =sin49°sin19°+cos19°cos49° =cos(49°?19°)=cos30°=√3 2 ． 故选：C． 8.答案：A 解析： 本题考查任意角的三角函数及两角和与差的三角函数，由任意角的三角函数定义，求出sinα，cosα，然后利用两角差的余弦求解即可． 解：因为点P(1,√2)是角α终边上一点， 所以r=|OP|=√12+(√2)2=√3， 所以可得sinα=y r =√6 3 ,cosα=x r =√3 3 ， 所以cos(π 6?α)=cosπ 6 cosα+sinπ 6 sinα? =√3 2×√3 3 +1 2 ×√6 3 =3+√6 6 ． 故选A．9.答案：C 解析： 此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦函数的图象与性质，以及等腰三角形的判定，解题的关键是挖掘题设信息，借助三角函数的基本公式和基本性质找到边与边或角与角之间的关系．由两角的正弦值相等及A和B为三角形的内角，得到两角2A和2B相等或互补，即A与B相等或互余，进而确定出三角形的形状． 【解答】解：∵sin2A=sin2B，且A和B为三角形的内角， ∴2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°， 则△ABC是等腰或直角三角形． 故选C． 10.答案：C 解析： 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于基础题． 由函数f(x)的部分图象，即可求得T、ω和φ的值． 解：由函数f(x)=?sin(ωx+φ)的部分图象知， T=4×(7π 12?π 3 )=π，又ω>0， ∴ω=2π T =2， 当x=7π 12 时， f(7π 12)=?sin(2×7π 12 +φ)=?1， 即7π 6+φ=π 2 +2kπ，， 解得φ=?2π 3 +2kπ，， 又|φ|<π，∴φ=?2π 3 ． 故选C． 11.答案：B 解析： 本题主要考查同角三角函数j 基本关系、诱导公式和两角差的正弦公式.先把已知式子化为sinβ cosβ= 1+sinαcosα ，再变形为sinβcosα=cosβ+cosβsinα得出sin (β?α)=sin (π 2?β)，由此即可求出结果． 解：∵tanβ=1+sinαcosα ， ∴sinβ cosβ= 1+sinαcosα ， ∴sinβcosα=cosβ+cosβsinα， ∴sin (β?α)=cosβ， ∴sin (β?α)=sin (π 2 ?β) ∵α∈(0,π 2)，β∈(0,π 2)， ∴?π 2<β?α<π 2， ∴β?α=π 2?β， ∴α?2β=?π2． 故选B ． 12.答案：B 解析： 本题主要考查正弦函数的图象与性质，两角和与差的三角函数公式，考查运算求解能力，属于中档题． 由两角和的正弦公式，可得，根据正弦函数的图象与性质 进行求解即可． 解： ， 因为f (x )在区间上单调递增， 所以 ， 所以0<ω≤12， 故排除C 、D ； 令ω=8， 因为，所以， 此时在区间[π 6,π 4 ]上单调递增，满足题意， 因此排除A； 故选B． 13.答案：[6kπ?3π,6kπ](k∈Z) 解析： 本题考查三角函数的定义域及性质，属于基础题． 根据函数有意义的条件得到?sin x 3 ≥0，进而根据三角函数的定义域及性质进行计算即可． 解：要使函数y=√?sin x 3 有意义， 需满足?sin x 3 ≥0， 即sin x 3 ≤0， 需使?π+2kπ≤x 3 ≤2kπ，k∈Z， 解得：6kπ?3π≤x≤6kπ，k∈Z， 所以函数y=√?sin x 3 的定义域是[6kπ?3π,6kπ](k∈Z)， 故答案为[6kπ?3π,6kπ](k∈Z)． 14.答案：?4√3 解析：解：∵(√3tan12°?3) (4cos212°?2)sin12°=√3(sin12°?√3cos12°) 2sin12°cos12°cos24° =2√3sin(12°?60°) 1 2 sin48° =?4√3 故答案为?4√3 利用二倍角公式及两角和与差的公式进行化简，可根据特殊角的使用，巧妙解决问题． 本题主要考查倍角公式的应用．此类题往往与三角函数中其他常用公式如诱导公式、两角和公式等一块考查．应注意灵活掌握． 15.答案：2;4π 3 解析： 本题考查扇形面积公式及弧长公式，属于基础题． 由弧长公式及扇形OAB的周长为4+4π 3 ，求出r，然后利用扇形面积公式求解即可． 解：因为劣弧AB?所在圆O的半径为r，所对的圆心角为2π 3，扇形OAB的周长为4+4π 3 所以， 解得r=2， 所以扇形OAB的面积为． 故答案为2;4π 3 ． 16.答案：3 5 解析： 根据已知条件求出sinθ，再代入两角差的余弦公式． 本题考查两角差的余弦公式． ∵cosθ=?√2 10?,θ∈(π 2 ,π)， ∴sinθ=√1?cos2θ=7√2 10 ， ∴cos(θ?π 4)=cosθcos?π 4 +sinθsinπ 4 =√2 2 ×6√2 10 =3 5 ， 故答案为3 5 ． 17.答案：24π 11 解析：自零点开始到分针与时针再一次重合，设时针转过的时间为x小时，则2πx?2π=π 6 x，解得 x=12 11，∴分针所转过的角的弧度数是12 11 ×2π=24π 11 .答：分针所转过的角的弧度数是24π 11 ． 18.答案：解：∵cosα=?4 5，且α为第三象限角， ∴sinα=?√1?cos 2α=?3 5 ， ∴sin(5π+α)?sinα=3 5，tan(π?α)=?tanα=?sinα cosα=?3 4， 则sin 4α+cos 4α=1?2sin 2αcos 2α=1?2×9 25×16 25=337 625． 解析：由cosα的值及α为第三象限角，利用同角三角函数间基本关系求出sinα的值，进而确定出tanα的值，所求式子各项利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简，将各自的值代入计算即可求出值． 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 19.答案：解：(1)根据表中已知数据，解得A =5，ω=2，φ=?π 6，数据补全如下表： 且函数解析式为f(x)=5sin (2x ?π 6)． (2)由(1)知f(x)=5sin (2x ?π 6)，则g(x)=5sin (2x +2θ?π 6)． 因为函数y =sinx 图象的对称中心为(kπ,0)，k ∈Z ， 令2x +2θ?π 6=kπ,k ∈Z ， 解得x = kπ2 +π 12?θ,k ∈Z ． 由于函数y =g(x)的图象关于点(5π 12,0)成中心对称． 所以令kπ 2+π 12?θ= 5π12 ， 解得θ=kπ 2?π 3 ,k∈Z． 由θ>0可知，当k=1时，θ取得最小值π 6 ． (3)把y=sinx的图象上所有的点向右平移π 6个单位长度，得到y=sin(x?π 6 )的图象，再把y= sin(x?π 6)的图象上的点的横坐标缩短到原来的1 2 倍(纵坐标不变)，得到y=sin(2x?π 6 )的图象，最 后把y=sin(2x?π 6)上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，即可得到y=5sin(2x?π 6 ) 的图象． 解析：本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查． (1)根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=?π 6 .从而可补全数据，解得函数表达式为f(x)= 5sin(2x?π 6 ); (2)由(1)及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律得g(x)=5sin(2x+2θ?π 6).令2x+2θ?π 6 =kπ， 解得x=kπ 2+π 12 ?θ，k∈Z.令kπ 2 +π 12 ?θ=5π 12 ，解得θ=kπ 2 ?π 3 ，k∈Z.由θ>0可得解． (3)根据函数图象的平移规律求解即可．20.答案：解： ， (1)T=2π 2 =π，最小正周期为π； (2)因为x∈[?π 6,π 4 ]， 所以2x+π 6∈[?π 6 ,2π 3 ]， 所以当2x+π 6=π 2 ，即x=π 6 时，f(x)取最大值为2； 当2x+π 6=?π 6 ，即x=?π 6 时，f(x)取最小值为?1． 解析：本题考查两角和与差的三角函数公式及二倍角公式与辅助角公式及正弦函数的性质，属于基础题目． (1)先利用两角和与差的三角函数公式及二倍角公式与辅助角公式化简f(x)，再由三角函数的性质得出最小正周期； (2)利用正弦函数的性质得出函数f(x)在区间上的最值即可． 21.答案：解：由tan(α+β)=2tanβ，可得sin(α+β) cos(α+β)=2sinβ cosβ ， ∴sin(α+β)?cosβ=2cos(α+β)?sinβ． ∵sin(α+2β)=sin[(α+β)+β]=sin(α+β)?cosβ+cos(α+β)?sinβ =2cos(α+β)?sinβ+cos(α+β)?sinβ=3cos(α+β)?sinβ， sinα=sin[(α+β)?β]=sin(α+β)?cosβ?cos(α+β)?sinβ =2cos(α+β)?sinβ?cos(α+β)?sinβ=cos(α+β)?sinβ， ∴3sinα=sin(α+2β). 解析：本题考查了同角三角函数的基本关系以及两角和差的三角函数，属于基础题． 首先由同角三角函数的基本关系将切化为弦，再通过凑角及两角和差的三角函数即可证得结果．22.答案：解：(1)∵f(x)=sin2x+asinx+3?a =(sinx+a 2)2?a2 4 +3?a， ，，当时，即时， 则sinx=0时，f(x)取得最小值g(a)=3?a； 当0≤?a 2 ≤1时，即?2≤a≤0时， 则时，f(x)取得最小值；当时，即时， 则sinx=1时，f(x)取得最小值g(a)=4， 综上可得，g(a)={3?a,a>0 ?a2 4+3?a,?2≤a≤0 4,a ； ，， 由f(x)=0，可得，令，则a(1?t)=t2+3， 当t=1时，等式显然不成立，故t≠1， 则a=t2+3 1?t ， 令m=1?t，则m∈(0,1]， 则a=(1?m)2+3 m =m+4 m ?2， 由函数的单调性易得在(0,1]上，a随m的增大而减小， ∴a≥3． 解析：本题考查三角函数的值域，考查了二次函数最值的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，属于中档题． (1)利用三角函数的值域，二次函数的性质，分类讨论，求得f(x)的最小值g(a)； (2)通过换元，分离参数利用单调性求解．