激光粒度测量原理

激光粒度测量原理

（丹东市百特仪器有限公司王永全）

引言

目前，在颗粒粒度测量仪器中，激光衍射式粒度测量仪已得到广泛应用，特别是在国外，该种仪器已取得一致公认。其显著特点是：测量精度高、反应速度快、重复性好、可测粒径范围广、可进行非接触测量等。

国内对于该类型仪器的研究和生产都相对不足。而我国的市场需求量又十分巨大，每年都需大量进口国外的仪器。国外仪器比较昂贵，价格最低的也在5万美元左右。保守一点估计，我国每年至少需100台，那么每年用于该类型仪器的外汇最少也有500万美元。

近年来我们研制成功了多种型号的激光粒度测量仪。它们的只要性能与国外同类产品相当，而价格却不到其十分之一左右。

激光衍射式粒度测量仪的测量原理

我们所研制的激光粒度测量仪的工作原理基于夫朗和费（Fraunhofer）衍射和米（Mie）氏散射理论相结合。物理光学推论，颗粒对于入射光的散射服从经典的米氏理论。米氏散射理论是麦克斯韦电磁波方程组的严格数学解，夫朗和费衍射只是严格米氏散射理论的一种近似。适用于当被测颗粒的直径远大于入射光的波长时的情况。夫朗和费衍射假定光源和接收屏幕都距离衍射屏无穷远，从理论上考虑，夫朗和费衍射在应用中要相对简单。

低能源半导体激光器发出波长为0.6328微米的单色光，经空间滤波和扩束透镜，滤去杂光形成直径最大10mm的平行单色光束。该光束照射测量区中的颗粒时，会产生光的衍射现象。衍射光的强度分布服从夫朗和费衍射理论。在测量区后的付立叶转换透镜是接收透镜（已知透镜的范围），在它的后聚焦平面上形成散射光的远磁场衍射图形。在接收透镜后聚焦平面上放置一多环光电检测器，它接收衍射光的能量并转换成电信号输出。检测器上的中心小孔（中央检测器）测定允许的样品体积浓度。在分析光束中的颗粒的衍射图是静止的并集中在透镜光轴的范围。因此颗粒动态的通过分析光束也没有关系。它的衍射图在任何透镜距离总是常数。透镜转换是光学的，因此极快。

根据夫朗和费衍射原理，当测量区中有一直径为d的球形颗粒时，任意角度下它的衍射光强分布为：

式中： f ：是接收透镜的焦距

λ：是入射光的波长

J 1 ：是一阶贝塞尔函数

θ：是散射角

激光衍射光强分布落在光电探测器第n 环（环半径从S n 到S n+1，对应的散射角从θn 到θn+1）上的光能量为：

将（1）式中的I （θ）代入后可得：

式中：J 0 ：是零阶贝塞尔函数

如果测量中同时有N 个直径为d 的颗粒存在，则在第n 个光环上所接收到的光能量将是一个颗粒时的N 倍（N ·e n ）。以此类推，当颗粒群中直径为d i 的颗粒共有N i 个，则颗粒群总的衍射光能将是所有各个颗粒衍射光能之和，即

如果尺寸分布用重量W 表示，W 和N 之间的关系为：

式中：ρ为颗粒物质的密度，将上式代入式（4）可得：

式（6）建立了光电探测器各环的衍射光信号与被测颗粒粒径及分布之间的对应关系。

在实际计算中，由于我们所使用的光电探测器共有96个有效环，所以我们将直径分成96个小区间，其各环的半径尺寸数据如下（单:mm ）：

上式表明：光电探测器上96个环中的第n 个环的内半径为S n ，外半径为S n+1。

)1(X )X (J 2f 16d I )(I 2

12

24

20

sin d X

34121120212002 n n n n n X J X J X J X J I d e

441,2

11,2

0,2

1,2

020

n i n i n i n i i i n X J X J X J X J d N I e 563 i

i i d W N

6231,211,20,21,200 n i n i n i n i i i n X J X J X J X J d W I e

23,2,121 n dS S I e n n S S n 079536

.01 S 97

to 2i S 0977.1S 1i i

颗粒直径（单位：μm ）区间的选取按下式计算：

式中： f ：采用焦距为180毫米的接收透镜

λ：采用波长为0.6328微米的半导体激光器

上式表明：96个颗粒分级中第n 个粒级的区间上限为D n ，区间下限为D n+1。

每个粒级中的颗粒直径典型值可取该粒级的几何平均：

这样一来，由式（6）即可算得系数矩阵，一旦测出96个有效环上的光能分布E ，通过对式

（6）所列线性方程组的求解，就能得到颗粒尺寸的重量分布W 。但是，直接求解该线性方程组很繁琐，且经常有可能得到非物理解。为方便起见，在数据处理时常采用最小二乘法原理。假定重量分布W 符合某一分布规律（称分布函数限制法），或初始值任意假定（称自由分布法），计算光电探测器上96个环的衍射光能量，并一一与实际值比较，直到二者之间的误差减至最小。 下面将分别讨论自由分布法和几个分布函数限制法的解法，并假定96个粒级的区间重量分别用W 1、W 2、W 3…W 95、W 96表示，各环所测光强值分别为E 1、E 2、E 3…E 95、E 96。

自由分布法：

第一步：设各个粒级区间重量W i 的初始值均为1，代入公式（6）中，算出各环的衍射光强e 1、e 2、e 3…e 95、e 96，由公式（7）计算光强的方差：

将该方差保存于一变量χ中，按公式（8）计算各环光强的测量值与计算值的比例系数：

按公式（9）更新各个粒级区间重量W i 的值：

第二步：将更新后的各个粒级区间重量W i 的值代入公式（6）中，算出各环的衍射光强e 1、e 2、e 3…e 95、e 96，由公式（7）计算光强的方差，比较该方差与上一次方差的大小，如果σ2大于χ，转到第三步；否则：

更新χ的值，按公式（8）计算各环光强的测量值与计算值的比例系数，按公式（9）更新各个粒级区间重量W i 的值。

重复第二步。

第三步： W i 的值即是我们所要的最终的各个粒级区间重量。区间百分含量可由公式（10）计算：

97

137.1to i f

S D i i 96

to 1i D D d 1i i i

729612 i i i E e

8e E k i i i 9W k W i

i i

大于某一粒径（筛上）累积百分含量可由公式（11）计算：

分布函数限制法之正态分布：公式为

式中：

令：

则：

式（12）变作：

于是有：

式（13）乃是一个标准正态分布函数，在各种统计学书上列有其积分表。

在正态概率坐标纸上用粒径和累积百分数所绘的点应呈一直线。可用最小二乘法来拟合百分含量。在积分表中用插值法依次求出R i 所对应的t I ，然后用下式求解系数σ和u 。

10 i i i W W f 1

1f R

119621 to i f R R i i i

122exp 2122

u x dx d x f 1

dx x f

u x t dx

dt 2exp 21

2t dt d

132exp 2120 dt t d u x

再用所得到的两个系数将96个粒级值换算成t 值，然后在积分表中用插值法求出R 。

分布函数限制法之Rosin-Rammler 分布：

设在孔径为x 的筛上剩余的重量百分率为R ，Rosin-Rammle 从概率论导出：

简化为： 上式为一直线方程，可参考公式（14）求得两个系数，再返算得到累积百分率。

了解颗粒

粒子粒度分布 为了理解激光衍射仪输出结果的含义，有一些基本概念需加以解释。

第一：结果是基于体积的。由激光衍射得到的基本粒度分布是基于体积的。这可能是解释激光衍射结果时需记住的最重要的一点。例如，结果列出在6.97-7.75μm 粒径范围内的分布为11%，是指直径落在这个范围内的所有颗粒的总体积占整个分布中所有颗粒总体积的11%。关于这一点再举一个数字的例子。为简单起见，假定样品 只由两种大小的球形颗粒组成，直径分别为1μm 和10μm ，它们的个数各占50%，则每一大颗粒的体积是每一小颗粒体积的1000倍，于是，按照体积分布，大颗粒的体积占总体积的99.9%。当然，对于一个单粒度分布来说，如一种胶乳，所有的颗粒都具有相同的直径，无论用个数还是用体积表示，其分布都是100%。

第二：结果用等球体表示。分布用等球的体积表示的。假设一个圆柱形的颗粒直径为20μm ，高为60μm ，则它的体积为：

转化成一个球的体积，这个球的直径居于20μm 和60μm 之间：

n

bx R ex p 100 15ln ln 100ln ln x n b R

1496969629619612961961961296129619612961

961961 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i t t t x t t x u t t t x t x 60102

V 33

63 V

如果你希望把激光衍射得到的结果和其它一些技术得出的数值联系起来，你可以利用形状修正量来实现。

第三：分布参数的导出。我们所分析的分布是用一套与检测器的几何形状及具有最好分辨度的光学系统最优匹配的粒度组表示。所有的分布参数都从这基本分布中导出。分布参数和导出直径是利用分布中每个粒度区段的贡献的总和从这个基本分布中计算得到的。在进行计算时，每一粒度段的代表性直径是指这一粒度区段两端值的几何平均，它和算术平均稍有不同。

数据、样品和背景

测量的输出是数值的阵列，包含背景和样品的测量结果。要想得到样品颗粒本身的实际散射，必须把背景测量从样品测量中扣除，同时一定要进行校正。校正后的背景可表示为：

式中：

D 是数据. j 是通道号

S 是样品测量

B 是背景测量

Ob 是遮光度 - 定义为：

Ls 是一个样品放在样品池时，中心检测器上测得的光强度。

Lb 是没有样品只有纯净的分散介质时测得的光强度。

分析、偏差和数据拟合

分析就是把测得的数据和另外的试验参数用迭代过程中的约束二乘法加以处理得出结果。

估计一个初始粒度分布，并向所选的光学模型中输入一个散射矩阵，用来预测分布将要产生的光散射。这在数学上表示为：

如果测得的数据用向量Lj 表示，结果用向量Ri 表示，则二者可用以下方程式联系起来

Aij 是包含在光学校正 的散射矩阵，可根据散射理论精确地计算。

把计算值和真实值进行比较，然而用一套设计好的修正方案加以修改和调整，反复进行这个过程，直到计算值和测量值吻合到可接受的程度，这时把粒度分布作为结果输出。

计算值和测量值用最小平方误差进行比较，在数学上表示为：

R' 是当前分析阶段的结果，随着分析的进行，当前的残差因拟合而降低，计算值AijRi' 更接近测量值Lj 。

光学模型

j

j j B Ob S D 1b

s L L Ob 1AijRi

Lj

j

j j i ij j L

R A L

RESID 2'100

激光衍射粒径仪，它测得的散射角范围一般是0.01-15°，粒径范围一般在1μm 以上。

众所周知，对于这样的粒径和散射角度，散射性质与样品的内部光学性质大都无关。在这样的仪器中用于散射的模型理论通常是“夫琅和费”(Fraunhofer)散射理论，该理论不需要对颗粒的光学性质作任何假定。

实际上，一旦颗粒的粒径开始降到约10μm 以下并且颗粒浸在液体中，或者是光学透明时，“夫琅和费”(Fraunhofer)散射模型逐渐出现误差。

为了测量下至0.05μm 的粒径，在测径仪中，检测范围已拓宽到135°，在如此大的角度下的小颗粒的散射与散射材料的光学性质关系密切，在一定程度上不能忽略，在这种情况下，需利用光散射的“米氏理论”(Mie Theory)，该理论完整概述了光学均匀的球的光散射，它对颗粒的光学特性作了一些假定。有趣的是，“米氏散射理论”通过调查光学常数完全包含了“夫琅和费”(Fraunhofer)散射和反常散射模型，并且它们在适当的范围内完全一致。

在测径仪中为试验选择合适的光学模型，把此光学模型设为“标准”值。由于使用这个光学模型，当你使用测径仪时不必再考虑样品的光学性质了。然而，为了保证样品高度精确，有可能要考虑样品的光学性质。

导出的直径和分布统计

分析得出的结果是颗粒在一系列粒度组中的相对体积分布，从这基本结果出发求出分布的统计量。位于粒度组两边界之内的点的结果可以内插值法得到。

分布的统计量利用导出直径D[m,n]从原始结果中计算求得，是国际上公认的方法。

导出直径定义为：

式中Vi 是组内的相对体积，该组的组平均直径为d i . m 和 n 是整数，用来表明导出直径的类型。有一些众所周知的例子是：D[4，3]—体积加权平均直径，D[3，2]—表面加权平均直径，D[1，0]—算术平均直径。

分布统计

平均直径

标准偏差

偏斜度

n

m n i i m i i d V d V n m D 133, i i i V V d d i i i V d d V 2 i i i V d d V Skew 33

峰态

比表面积 比表面（SSA ）是指颗粒的总面积与其总重量的比值。

跨度和均匀性

分布的跨度定义为：

跨度描述分布的宽度，与中间粒径无关；均匀性描述分布式样，也与中间粒径无关，它表明分布偏离中间的程度。均匀性定义为：

宁可累死在路上，也不能闲死在家里！宁可去碰壁，也不能面壁。是狼就要练好牙，是羊就要练好腿。什么是奋斗？奋斗就是每天很难，可一年一年却越来越容易。不奋斗就是每天都很容易，可一年一年越来越难。能干的人，不在情绪上计较，只在做事上认真；无能的人！不在做事上认真，只在情绪上计较。拼一个春夏秋冬！赢一个无悔人生！早安！—————献给所有努力的人

3

44 i i i V d d V Kurt

i i i

V d V SSA 6

5.0,1.0,9.0,v d v d v d Span i i

i

V v d d v d V Uniformity 5.0,5.0,