2020-2021学年山西省右玉一中高二3月月考理科数学试卷

【最新】山西省右玉一中高二3月月考理科数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知函数f(x)=sin2x ,则f ′(π

6)=（ ）

A ．1

B ．√3

C ．12

D ．√3

2

2．已知直线1y x =+与曲线()ln y x a =+相切,则a 的值为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．1

2

3．

222

2π

=

--?

-dx x x m

,则m 等于（ ）

A ．-1

B ．0

C ．1

D ．2 4．已知()()()212

f x f x f x +=+， ()11f =（*x N ∈），猜想()f x 的表达式为（ ）

A ．()21f x x =

+ B ．()422x f x =+ C ．()11f x x =+ D ．()2

21

f x x =+ 5．已知f （x ）2

14

x =+cos x ，()'f x 为f （x ）的导函数，则()'f x 的图象是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

6．由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）

A ．

103 B ．4

C ．

163

D ．6

7．用数学归纳法证明“”时，

由的假设证明

时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（ ） A ． B ．

C ．

D ．

8．已知点

,曲线

恒过定点

,

为曲线

上的动点且

的最

小值为,则（ ）

A ．2-

B ．-1

C ．2

D ．1

9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>以及双曲线22

221(0,0)y x a b a b -=>>的渐近线将第一象限三等分，则双曲线22

2

21(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为（ ） A ．2

或 B

或 C ．2

D

10．已知函数()x

x

f x e =

,给出下列结论： ①()1,+∞是()f x 的单调递减区间； ①当

1,k e ??∈-∞ ???

时,直线与的图象有两个不同交点；

①函数

的图象与

的图象没有公共点.

其中正确结论的序号是（ ） A ．①①①

B ．①①

C ．①①

D ．①①

11．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为（ ） A ．1

B C ．

2

D

12．上的函数()f x ,()'f x 是它的导函数,且恒有()()'tan f x f x x >?成立．则（ ）

A B C D

二、填空题

13．已知函数()sin cos f x x x =+,且'

()3()f x f x =,则

的值是________．

14．若实数,x y 满足条件

1021x y x y x -+≥??

+≥??≤?

，则2Z x y =+的最大值为________．

15．已知：()0,x ∈+∞，观察下列式子：221442,322x x x x x x x

+

≥+=++≥类比有

()

1n a x n n N x

*

+

≥+∈，则a 的值为_______． 16．对于函数

b x a x a x x f +-+-=

)3(231)(2

3有六个不同的单调区间,则a 的取值范

围为 ．

三、解答题

17．已知函数f (x )=1

3x 3?4x +m 在区间(－∞，＋∞)上有极大值28

3. (1)求实数m 的值；

(2)求函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上的极小值. 18．已知函数

的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线

垂直，

(1)求实数a 、b 的值； (2)若函数

在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求m 的取值范围．

19．已知在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且

2

2sin 3cos()0A B C ++=． （1）求角A 的大小；

（2）若ABC ?的面积S a ==

，求b c +的值．

20．已知三棱锥P －ABC 中，PA①ABC ，AB①AC ，PA=AC=?AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点.

（①）证明：CM①SN ；

（①）求SN 与平面CMN 所成角的大小.

21

（Ⅰ）若1,a =求函数

()

f x 在[0,2]上的最大值；

（Ⅱ）若对任意

[)

0,

∈+∞

x

,有

()0

f x>恒成立,求a的取值范围．

22．已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率

2

2

e=，椭圆上的点到

焦点的最短距离为

2

1

2

-, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、

B，且.

（1）求椭圆方程；（2）求m的取值范围．

参考答案

1．A

【解析】试题分析：由题f(x)=sin2x ，则：f ′(x)=2cos2x ，得：f ′(π

6

)=2cos(2×π

6

)=2×1

2

=

1

考点：复合函数求导及三角函数求值. 2．C 【解析】

试题分析：设切点横坐标为

x ，则

()001

'1

f x x a =

=+解得01x a =-，代入曲线方程可得：

0ln10

y ==，即切点坐标为

()1,0a -，代入直线方程可得：011a =-+，故选择C.

考点：切线方程. 3．B 【解析】

试题分析：由已知可得

: y =的图象为圆：()2

211x y ++=对应的上半部分，由

积分的集合意义可得0m =，故选择B. 考点：定积分. 4．A

【解析】因为

()()()212

f x f x f x +=

+,所以

()()111

12

f x f x =++ ,因此

()()()()()11112

111221

x x f x f x f x =+-=+?=+,选A. 5．A 【分析】

求出导函数，利用导函数的解析式，判断函数的奇偶性，再应用特殊点的函数值来判断函数的图象． 【详解】 解：21()cos 4f x x x =

+，()'1

sin 2

f x x x ∴=-，()'f x 是奇函数，排除B ，D ．

当x 4

π

=

时，()8

f x π

'=

<0，排除C ． 故选：A 【点睛】

本题考查了函数求导，考查了函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合运用，属于中档题. 6．C 【分析】

由题意画出图形，确定积分区间，利用定积分即可得解. 【详解】

由题意，曲线y =

2y x =-及y 轴所围成的图形如图阴影部分所示：

联立方程2y y x ?=??=-??

，可得点()4,2A ，

因此曲线y =

2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为：

)

30

24204

21

1622323S x dx x x x ??=?

+=-+= ???

．

故选：C ． 【点睛】

本题考查了定积分的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

7．D 【解析】

试题分析：当1n k =+时,右边应为

()()()()11

111

1111112

1123

22122

k k k k k k k k k ++

+

=++

+

++

+++++++++++．故D 正确． 考点：数学归纳法． 8．D 【解析】

试题分析：由ln ,ln10y a x ==，所以恒过定点：B （1，0）．再由(,1),(1,1)AP x y AB =-=-

1AP AB x y ?=+-，即：min ()1ln 2f x x a x =+-=，则：()1(0)a

f x x x

=-

>' 因为：()0,f x a x =='，函数有最小值2，则；1ln 2a a a +-=，只有当1a =成立．

考点：函数过定点及导数求函数最值. 9．A 【解析】

试题分析：双曲线22221(0,

0)x y a b a b -=>>的渐近线为

b y x a =±，双曲线22221(0,

0)y x a b a b -=>>的渐近线为

a

y

x b =±，由已知两渐近线将第一象限三等分可得b

y x a =±=或

3b y x x a =±=±

，由e =可得23e =或，故选择A. 考点：双曲线的性质. 10．B 【解析】

试题分析：由()x x f x e =，求导得：22·(1)1()x x x x x x e x e e x x

f x e e e

---==='

则：①()1,+∞是()f x 的单调递减区间；正确．因为：()0f x '<， ①函数

的图象与

的图象没有公共点. 正确．因为：

max min 1

(1)11f y e =

<<= ①当1,k e ?

?∈-∞ ??

?

时,直线

与

的图象有两个不同交点；错误．

因为： 当()0,x ∈+∞是()f x 的值趋向于零，图象不对称．即不能保证有两个交点． 考点：运用导数研究函数的性质. 11．B 【分析】

由函数y ＝x 2－ln x 求导，令y ′＝2x －1

x

＝1，先求得过点p 与直线y ＝x －2平行的直线，再利用两平行线间的距离公式求解. 【详解】

因为定义域为(0，＋∞)， 所以y ′＝2x －1

x

＝1， 解得x ＝1，

所以在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，

所以两平行线间的距离为d

. 故选：B 【点睛】

本题主要考查导数的几何意义以及两平行直线间的距离，属于基础题. 12．A 【解析】

试题分析：由()()'tan f x f x x >?可得：()()cos 'sin 0xf x f x x ->，

所以可得()()2cos 'sin 0cos xf x f x x x ->即()'0cos f x x ??> ???所以函数()()cos f x g x x =单调递增，所

以63g g ππ????> ? ???

??

整理可得：63f ππ????

> ? ?

????，故选择A. 考点：利用导数判断函数的单调性. 13．43

-

【解析】

试题分析：由()cos sin f x x x -'=，又()3()f x f x ='，得：

1

cos sin 3(cos sin ),tan 2

x x x x x -=+=-

22tan 14

tan 231tan 34

x x x -===-

-

考点：导数的运算及三角函数求值． 14．4 【解析】

试题分析：根据条件

1021x y x y x -+≥??

+≥??≤?

画出可行域，交点为()()

13,,1,1,1,222A B C ??

???，目标函

数为2y x z =-+，由图象可得2Z x y =+在点()1,2C 处，取得最大值4，故答案为4.

考点：线性规划. 15．n n 【解析】

试题分析：根据题意，对给出的等式变形可得：

12x x +≥，x +2

22x

=2244322x x x x x +=++≥ 类比有1()n a x n n x

*

+

≥+∈N ，①n a n =． 考点：1．类比推理的意义；2．不等式证明． 16．23a << 【解析】

试题分析：因为函数

b x a x a x x f +-+-=

)3(231)(2

3为偶函数，图象关于y 轴对称，所

0x >时，有三个不同的单调区间，即

()()2'30

f x x ax a =-+-=有两个大于零的根，需满足：()

23'00a a f ??>?

>?<?，故答

案为23a <<. 考点：导数的应用. 17．（1）m ＝4；（2）?4

3.

【解析】

试题分析：（1）根据f′(x)＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)可得函数在x ＝－2，f(x)取得极大值，所以可求得m ；（2）由（1）可得x ＝2时，f （x ）有极小值，代入求得. 试题解析：f′(x)＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2) 令f′(x)＝0，得x ＝－2或x ＝2.

故f （x ）的增区间(－∞，－2)和(2，＋∞)，减区间为(－2,2)． （1）当x ＝－2，f(x)取得极大值， 故f(?2)=?8

3+8+m =

283

∴m ＝4.

（2）由（1）得f(x)=1

3x 3?4x +4又当x ＝2时，f （x ）有极小值f(2)=?4

3 考点：导数求极值. 18．（1）;（2）

.

【解析】 试题分析：（1）

①曲线在点M （1,4）出的切线恰好与直线垂直

①①

又的图像经过M （1,4）

①

①

联立①①解得

（2）由（1）得

则

令解得

①在

上为增函数

①

即

考点：导数的几何意义，直线方程，应用导数研究函数的单调性．

点评：中档题，在给定区间，导数非负，函数为增函数，导数非正，函数为减函数．涉及函数单调性及参数范围的讨论问题，往往通过研究函数的单调性，最值等，得以解答．两直线垂直，斜率乘积为-1.

19．（1）3A π

=

；（2）9b c +=.

【解析】

试题分析：（1）根据cos()cos C B A +=-，可得22cos 3cos 20A A +-=，进而解得

1

c c os o 2s 2

A A ==-或求得角A ；（2）由面积公式以及余弦定理，可求得.

试题解析：（1）由

2

2sin 3cos()0A C B ++=， 得2

2cos 3cos 2A A +-=0 即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，

解得1

c c os o 2s 2

A A ==-或（舍去），

又因为0A π<<，所以

3A π

=

（2

）由11sin 22S bc A bc ===，得20bc =，

又222

2cos 21a b c bc A =+-=，

所以9b c +=．

考点：解三角形.

20．45°

【详解】

本试题主要考查了空间中的线线位置关系，以及线面角的求解的综合运用．设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴

正向建立空间直角坐标系如图．

则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,1

2

），N（

1

2

,0,0），S（1,

1

2

,0）

（①）

111 (1,1,),(,,0) 222

CM SN

=-=--, 因为

111

·(,,0)?(1,1,)0

222

CM SN=---=，所

以CM①SN ．

（①）

1

(,1,0)

2

NC=-, 设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，

则

1

2

{(2,1,2)

1

2

x y z

a

x y

-+=

∴=-

-+=

因为

1

cos,a SN

-

==

所以SN与平面CMN所成角为45°．

21．（

①①

【解析】

试题分析：（1）函数求导得到极值点，比较极值与端点值得大小可得；（2）若对任意[)

0,

∈+∞

x

,有()0

f x>恒成立,即函数的最小值大于零，对a进行分类讨论.

试题解析：（①）

()21(1)(1) f x x x x

'=-=+-

令

()

12

0,1,1 f x x x

'==-=

当x变化时,

(),()

f x f x

'

的取值情况如下：

（①）

()()()

f x x a x a '=+-,令

()120,,f x x a x a

'==-=

（1）当0a =时,()f x 在[0,)+∞上为增函数,

()min (0)0

f x f ∴==不合题意；

（2）当0a >时,

()f x 在

()0,a 上为减函数,在(),a +∞为增函数，

所以

()()min 0

f x f a =>解得

02a <<

；

（3）当0a <时,()f x

在

()0,a -上为减函数,在(),a -+∞为增函数，

所以

()()min 0

f x f a =-<，不满足题意；

综上：

02a <<

.

考点：导数的应用.

22．（1）y 2212

x +=

1．

（2）（﹣1，12-

）①（1

2

，1）． 【详解】

（1）由条件知a ﹣c ＝

12-

，2

c a =， ①a ＝1，b ＝c 2

=，故C 的方程为：y 22

12

x +=1．

（2）设l ：y ＝kx +m 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 联立得（k 2+2）x 2+2kmx +（m 2﹣1）＝0

①＝（2km ）2﹣4（k 2+2）（m 2﹣1）＝4（k 2﹣2m 2+2）＞0 （*）

x 1+x 2222km k =-+，x 1x 222

12

m k -=+ ①AP =3PB ， ①﹣x 1＝3x 2

①x 1+x 2＝﹣2x 2，x 1x 2＝﹣3x 22， 消去x 2，得3（x 1+x 2）2+4x 1x 2＝0，

①3（222km k -+）2+4221

2

m k -?=+0

整理得4k 2m 2+2m 2﹣k 2﹣2＝0 m 21

4

=

时，上式不成立； m 214≠时，k 22

2

2241

m m -=-， 因λ＝3，①k ≠0，①k 2

2

22241

m m -=-＞0，

①﹣1＜m 12-

＜或1

2

＜m ＜1 容易验证k 2＞2m 2﹣2成立，所以（*）成立 即所求m 的取值范围为（﹣1，12-

）①（1

2

，1）．