高等教育概率论与数理统计模拟试题及解答

模拟试题（一）参考答案

一.单项选择题（每小题2分,共16分）

1、设B A ,为两个随机事件,若0)(=AB P ,则下列命题中正确的是（ ） (A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 独立

(C) 0)(0)(==B P A P 或

(D) AB 未必是不可能事件

解 若AB 为零概率事件,其未必为不可能事件.本题应选D.

2、设每次试验失败的概率为p ,则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ）

(A) )1(3p - (B) 3)1(p - (C) 31p - (D) 21

3)1(p p C -

解 所求事件的对立事件为“3次都不成功”,其概率为,故所求概率为31p -.若直接从正面去求较为麻烦.本题应选C.

3、若函数)(x f y =是一随机变量的概率密度,则下面说法中一定成立的是（ ） (A) )(x f 非负 (B) )(x f 的值域为]1,0[ (C) )(x f 单调非降

(D) )(x f 在),(+∞-∞内连续

解 由连续型随机变量概率密度的定义可知,)(x f 是定义在),(+∞-∞上的非负函数,且满足

?

∞+∞

-=1d )(x x f ,所以A 一定成立.而其它选项不一定成立.例如服从]2

1

,31[上的均匀分布的随机变量的概

率密度

?????≤≤=其他,

0,2131,6)(x x f

在31=

x 与2

1

=x 处不连续,且在这两点的函数值大于1.因而本题应选A. 4、若随机变量X 的概率密度为)( e

21

)(4

)3(2

+∞<<-∞=+-

x x f x π,则=Y （ ）)1,0(~N

(A)

2

3+X (B)

2

3

+X (C)

23-X (D)

2

3

-X 解的数学期望3-=EX ,方差2=

DX ,令2

3+=

X Y ,则其服从标准正态分布.故本题应选A.

5、若随机变量Y X ,不相关,则下列等式中不成立的是（ ） (A) 0),cov(=Y X (B) DY DX Y X D +=+)

(

(C) DY DX DXY ?=

(D) EY EX EXY ?=

解 因为0=ρ,故

0),cov(=?=DY DX Y X ρ,

DY DX Y X DY DX Y X D +=++=+),cov(2)(,

但无论如何,都不成立DY DX DXY ?=.故本题应选C.

6、设样本n X X X ,,,21???取自标准正态分布总体,又S X ,分别为样本均值及样本标准差,则（ ） (A) )1,0(~N X

(B) )1,0(~N X

n

(C)

)(~21

2n X n

i i χ∑=

(D)

)1(~-n t S

X

解)1,0(~n N X ,),0(~n N X n ,

)1(~-?n t S

X

n ,只有C 选项成立.本题应选C. 7、样本n X X X ,,,21 )3(≥n 取自总体,则下列估计量中,（ ）不是总体期望的无偏估计量 (A)

∑=n

i i

X

1

(B)

(C) )46(1.01n X X +

(D) 321X X X -+

解 由无偏估计量的定义计算可知,

∑=n

i i

X

1

不是无偏估计量,本题应选A.

8、在假设检验中,记为待检假设,则犯第一类错误指的是（ ） (A) 成立,经检验接受 (B) 成立,经检验拒绝 (C) 不成立,经检验接受 (D) 不成立,经检验拒绝 解 弃真错误为第一类错误,本题应选B. 二.填空题（每空2分,共14分）

1、同时掷三个均匀的硬币,出现三个正面的概率是________,恰好出现一个正面的概率是________. 解

81;8

3. 2、设随机变量X 服从一区间上的均匀分布,且3

1

,3=

=DX EX ,则X 的概率密度为________. 解 设],[~b a X ,则,31

12)( ,322=-==+=a b DX b a EX 解得2=a , 4=b , 所以X 的概率密度为?????≤≤=.0

,

42,21

)(其他x x f

3、设随机变量X 服从参数为2的指数分布, Y 服从参数为4的指数分布,则=+)32(2

Y X E ________. 解 4

7

3])([232)32(2

2

2

=

++=+=+EY EX DX EY EX Y X E . 4、设随机变量X 和Y 的数学期望分别为－2和2,方差分别为1和4,而相关系数为－0.5,则根据切比雪夫不等式,有≤≥+}6||{Y X P ________.

解 根据切比雪夫不等式,

121

36),cov(26

)(}6||{2

=++=+≤

≥+Y X DY DX Y X D Y X P . 5、假设随机变量X 服从分布)(n t ,则21

X 服从分布________（并写出其参数）.

解 设)(~n t n

Z

Y X =

,其中)1,0(~N Y ,)(~2n Z χ,且)1(~22χY ,从而)1,(~1

22n F Y n Z

X =. 6、设n X X X ,,,21 )1(>n 为来自总体X 的一个样本,对总体方差DX 进行估计时,常用的无偏估计量是________.

解∑=--=n

i i X X n S 1

22

)(11

.

三.(本题６分)

设1.0)(=A P ,9.0)|(=A B P ,2.0)|(=A B P ,求)|(B A P . 解 由全概率公式可得

27.02.09.09.01.0)|()()|()()(=?+?=+=A B P A P A B P A P B P .

3

1

)()|()()()()|(===

B P A B P A P B P AB P B A P .

四.(本题8分)

两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为0.02.加工出来的零件放在一起.又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍.求:

(1) 任取一个零件是合格品的概率,

(2) 若任取一个零件是废品,它为第二台车床加工的概率.

解 设21,A A 分别表示第一台,第二台车床加工的零件的事件.表示产品是合格品的事件. (1) 由全概率公式可得

973.098.03

1

97.032)|()()|()()(2211≈?+?=

+=A B P A P A B P A P B P . (2) 247.0973.0102

.031

)

()

|()()()()|(2222≈-?===

B P A B P A P B P B A P B A P . 五.(本题14分)

袋中有4个球分别标有数字1,2,2,3,从袋中任取一球后,不放回再取一球,分别以Y X ,记第一次,第二次取得球上标有的数字,求:

(1) ) ,(Y X 的联合分布； (2) Y X ,的边缘分布； (3) Y X ,是否独立； (4) )(XY E .

解 （1）

1 2 3 1 0

6112

1

2

616161

3 12161

（2）41)1(==X P ,21)2(==X P ,41

)3(==X P .

41)1(==Y P ,21)2(==Y P ,4

1

)3(==Y P .

（3）因为)1()1(16

1

0)1,1(===≠===Y P X P Y X P ,故Y X ,不独立. （4）613261226112121316121)(??+??+??+??+??=XY E 612312113??+??+6

23

=.

六.(本题12分)

设随机变量X 的密度函数为

)( e )(||2+∞<<-∞=-x Ax x f x ,

试求:

(1) 的值； (2) )21(≤<-X P ； (3) 2

X Y =的密度函数. 解 (1) 因

?

∞+∞

-x x f d )(?

∞+-===0

214d e 2A x x A x ,从而4

1

=

A ; (2) ???

---+=

=

≤<-20201221

d e 4

1d e 41d )(}21{x x x x x x f X P x

x 12e 4

5

e 251----=;

(3) 当0≤y 时,0)(=y F Y ;当0>y 时,

)()()()(2y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤=

)()(y F y F X X --=,

所以,两边关于y 求导可得,

.e 4

1

21e 4

1

21e 4

1

)(y

y

y

Y y y

y y

y y f ---?=

-?

?-

?

?=

故Y 的密度函数为

???

??>?≤=-

.

0,e 4

1

,0,0)(y y y y f y

Y

七.(本题6分)

某商店负责供应某地区1000人商品,某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6.假定在这段时间,各人购买与否彼此无关,问商店应预备多少件这种商品,才能以%7.99的概率保证不会脱销？（假定该商品在某一段时间内每人最多买一件）.

解 设??

?=人购买该种商品第人不购买该种商品

第i i X i ,

1,,0(1000,,2,1 =i ),X 表示购买该种商品的人数,则

)6.0,1000(~B X .又设商品预备n 件该种商品,依题意,由中心极限定理可得

)240

600

240

600(

)(

)(-≤

-=-≤-=≤n X P DX

EX n DX

EX X P n X P 997.0)240

600

(

=-Φ≈n . 查正态分布表得

75.2240

600=-n ,解得6436.642≈=n 件.

八.(本题10分)

一个罐内装有黑球和白球,黑球数与白球数之比为. (1) 从罐内任取一球,取得黑球的个数为总体,即?

?

?=白球，，黑球，

，01X 求总体的分布；

(2) 从罐内有放回的抽取一个容量为的样本n X X X ,,,21 ,其中有个白球,求比数的最大似然估计值.

解

（1） 1 0

R R +1R

+11

即R

R R R R x X P x

x

x

+=

??

?

??+?

?

?

??+==-1111)(1)1,0(=x ; （2）n

x n

i i i

R R x X

P R L i

)1()()(1

+∑=

==∏=,

两边取对数,

)1ln()(ln R n x R R L i +-∑=,

两边再关于求导,并令其为0,得

011

=+-∑R

n

x i , 从而∑∑-=i

i

x

n x

R

?,又由样本值知,

m n x i

-=∑,故估计值为1?-=m

n R . 九.(本题14分)

对两批同类电子元件的电阻进行测试,各抽6件,测得结果如下（单位:）:

批:0.140,0.138,0.143,0.141,0.144,0.137； 批:0.135,0.140,0.142,0.136,0.138,0.141. 已知元件电阻服从正态分布,设05.0=α,问:

(1) 两批电子元件的电阻的方差是否相等? (2) 两批电子元件的平均电阻是否有显著差异? （2281.2)10(025.0=t ,15.7)5,5(025.0=F ）

解 (1) 2

2

21122210 σσσσ≠=：，：H H . 检验统计量为

22

2

1S S F =)5 ,5(~F （在成立时）,

由05.0=α,查得临界值15.7)5 ,5(025.02/==F F α,15

.712/1=

-αF . 由样本值算得962.00000078

.00000075

.0==

F ,由于2/2/1ααF F F <<-,故不能拒绝10H ,即认为两批电子

元件的电阻的方差相等.

(2) 211210 μμμμ==：，：H H .

统计量

2

)1()1()11(

2122

22

1

121-+-+-+-=

n n s

n s n n n Y

X T )10(~t （在成立时）,

查表得临界值228.2)10(025.02/==t t α.再由样本值算得

005.212

0000078

.00000075.0139.01405.0=+-=

T ,

因为2/||αt T <,故接收.即认为两批电子元件的平均电阻无显著差异.

模拟试题（二）参考答案

一.单项选择题（每小题2分,共16分）

1.设C , ,B A 表示3个事件,则C B A 表示（ ）. (A) C , ,B A 中有一个发生

(B) C , ,B A 中不多于一个发生

(C) C , ,B A 都不发生 (D) C , ,B A 中恰有两个发生 解 本题应选C. 2.已知)(,6

1

)|(,31)()(B A P B A P B P A P 则==

==（ ）. (A) 187 (B) 1811 (C) 31 (D) 4

1

解18

1

)|()()(==A B P A P AB P ,

18

7)()()(1)(1)()(=

+--=-==AB P B P A P B A P B A P B A P . 故本题应选A.

3.设两个相互独立的随机变量与分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ,则（ ）

(A) 21}0{=

≤+Y X P (B) 21}1{=≤+Y X P (C) 21}0{=≤-Y X P (D) 2

1

}1{=≤-Y X P

解)2,1(~N Y X +,)2,1(~--N Y X ,故本题应选B.

4.设与为两随机变量,且6.0,1,4===XY DY DX ρ,则=-)23(Y X D （ ） (A) 40 (B) 34

(C) 25.6 (D) 17.6

解2.1),cov(=?=DY DX Y X XY ρ,

6.25),cov(1249)23(=-+=-Y X DY DX Y X D .

故本题应选C.

5.若随机变量服从参数为的泊松分布,则的数学期望是（ ）

(A) (B)

λ

1

(C)

(D) λλ+2

解222)(λλ+=+=EX DX EX ,本题应选D.

6.设n X X X ,,,21 是来自于正态总体),(2σμN 的简单随机样本,为样本方差,记

∑=--=n i i X X n S 122

)(111∑=-=n i i X X n S 1

22

2)(1 ∑=--=n i i X n S 1223

)(11μ∑=-=n i i X n S 1

224)(1μ 则服从自由度为1-n 的分布的随机变量是（ ）

(A) 1/1--=n S X t μ(B) 1

/2--=n S X t μ

(C) 1

/3--=

n S X t μ

(D) 1

/4--=

n S X t μ

解),

(~2

n

N X σμ,

)1(~)(1

1

22

--∑=n t X X

n

i i

σ,再由分布的定义知,本题应选B.

7.设总体均值与方差都存在,且均为未知参数,而,,,21 X X 是该总体的一个样本,为样本方差,则总体方差的矩估计量是（ ）

(A) (B) ∑=-n

i i X n 1

2)(1μ

(C) ∑=--n i i X X n 12

)(11 (D) ∑=-n i i X X n 1

2)(1 解 本题应选D.

8.在假设检验时,若增大样本容量,则犯两类错误的概率（ ） (A) 都增大 (B) 都减小

(C) 都不变 (D) 一个增大一个减小 解 本题应选B.

二.填空题（每空2分,共14分）

1.设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取2件中有1件是不合格品,则另外1件也是不合格品的概率为________.

解 设表示两件中有一件不合格品,表示两件都是不合格品.则所求的极限为

5

1

)()()()()|(===

A P

B P A P AB P A B P

2.设随机变量服从)8.0 ,1(B 分布,则的分布函数为________.

解服从0-1分布,其分布函数为??

?

??≥<≤<=.11,10,2.0,0,

0)(x x x x f

3.若随机变量服从均值为2,方差为的正态分布,且6.0}40{=<

2.02

6

.01}0{=-=

解 由定义计算知85=

X ;56

152=S . 5.设总体服从参数为的指数分布,现从中随机抽取10个样本,根据测得的结果计算知2710

1

=∑=i i

x

,那么

的矩估计值为________.

解 2710

1?==X

λ

. 6.设总体) ,(~2

σμN X ,且未知,用样本检验假设00μμ=：H 时,采用的统计量是________. 解 )1(~0--=

n t n

S

X T μ (为真时).

三.（本题8分）

设有三只外形完全相同的盒子,Ⅰ号盒中装有14个黑球,6个白球；Ⅱ号盒中装有5个黑球,25个白球；

Ⅲ号盒中装有8个黑球,42个白球.现在从三个盒子中任取一盒,再从中任取一球,求:

（1）取到的球是黑球的概率；

（2）若取到的是黑球,它是取自Ⅰ号盒中的概率.

解 设321,,A A A 分别表示从第Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ号盒中取球,表示取到黑球. (1) 由全概公式可得

≈?+?+?==∑=508

3130531201431)|()()(3

1

i i i A B P A P B P 0.342;

(2) 由贝叶斯公式得

≈=

)

()

|()()|(111B P A B P A P B A P 0.682.

四.（本题6分） 设随机变量的概率密度为

?????≤≤=其他，，，，002

cos 21

)(πx x x f , 对独立地重复观察4次,用表示观察值大于3

π

地次数,求的数学期望.

解 21

d 2c o s 2

1)3(3==>?πππx x X P ,)21 ,4(~B Y ,从而

5)(22=+=EY DY EY .

五.（本题12分） 设),(Y X 的联合分布律为

0 1 2

1 0.1 0.05 0.35

2 0.

3 0.1 0.1 问:(1)Y X ,是否独立；

(2) 计算)(Y X P =的值；

(3) 在2=Y 的条件下的条件分布律. 解 (1) 因为

)0()1(4.05.02.01.0)0,1(===?=≠===Y P X P Y X P ,

所以Y X ，

不独立; (2) 15.01.005.0)2,2()1,1()(=+===+====Y X P Y X P Y X P ; (3) 97

45.035.0)2()2,1()2|1(======

==Y P Y X P Y X P ,

9

2

971)2|2(=-===Y X P .

六.（本题12分）

设二维随机变量) ,(Y X 的概率密度为

??

?≤≤≤=,,

0,

10,12),(2其他x y y y x f 求:(1) 的边缘密度函数)(x f X ；

(2) )(XY E ； (3) )1(>+Y X P . 解 (1)

??

?≤≤??

???=≤≤==??∞

+∞

-.

,0,104,0,10,d 12d ),()(302其他其他x x

x y y y y x f x f x X

(2) 2

1d 12d )(03

10==??y xy x XY E x ;

(3) ==>+??-y y x Y X P x x d 12d )1(12

12

187.

七.（本题6分）

一部件包括10部分,每部分的长度是一个随机变量,它们相互独立,且服从同一均匀分布,其数学期望为2mm,均方差为0.05,规定总长度为)1.020(±mm 时产品合格,试求产品合格的概率.

解 设表示第部分的长度,10,,2,1 =i ,表示部件的长度.由题意知2=i EX ,0025.0=i DX ,且

∑==10

1

i i X X ,20=EX ,025.0=DX .由独立同分布的中心极限定理知,产品为合格品的概率为

)025

.01.0|025

.020(|

)1.0|20(|≤

-=≤-X P X P

4714.01)025

.01

.0(

2=-Φ=. 八.（本题7分） 设总体具有概率密度为

??

???>-=--,,0,

0,e )!

1()(1其他x x k x f x k k θθ 其中为已知正整数,求的极大似然估计.

解 设n X X X ,,,21 是来自总体的样本,当0,,,21>n x x x 时,似然函数

∑-=

==-=-=∑∏n

i i

x n

i k i

n

nk

n

i i x

k x f L 1

e

]

)!1[()()(1

11

θ

θ

θ,

两边取对数,

∑-+--===-∑n

i i n

i k i

x x k n nk L 1

1

1

ln )!1ln(ln )(ln θθθ,

关于求导,并令其为0,得

0)(ln 1

=∑-=

=n

i i x nk

L θ

θ,

从而解得的极大似然估计为

X

k

X nk

n

i i

=

∑==1

?θ

. 九.（本题14分）

从某锌矿的东、西两支矿脉中,各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试,得样本含锌平均数及样本方差如下:

东支:230.01=x ,1337.02

1=n s , )9(1=n 西支:269.02=x ,1736.022

=n s , )8(2=n 若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布,问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样？

)05.0(=α

53.4)7 ,8( (025.0=F ,90.4)8 ,7(025.0=F ,) 1315.2)15(0025.0=t

解 本题是在未知方差,又没有说明方差是否相等的情况下,要求检验两总体均值是否相等的问题,故首先必须检验方差是否相等,在相等的条件下,检验总体均值是否相等.

第一步假设:=,统计量22

2

1s s F =~)1,1(21--n n F ,

经检验,接受:=；

第二步假设:21μμ=, 统计量2

)1()1()11(

2122

22

1

121-+-+-+-=

n n s n s n n n Y

X T )2(~21-+n n t

经检验,接受,即可认为东、西两支矿脉含锌量的平均值相等.(请参见模拟试题(一)第九大题)

十.（本题5分） 设总体的密度函数为

?????≤≤=,,

0,0,3)(2

3其它θθx x x f

其中为未知参数,n X X X ,,,21 为来自总体的样本,证明:X 3

4

是的无偏估计量.

证明?∞+∞-===x x xf EX X E X E d )(343434)34(θθθ==?

03

3

d 334x x , 故X 3

4

是的无偏估计量. 模拟试题（三）参考答案

一.填空题（每小题2分,共14分）

1.一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为81

80

,则该射手的命中率为. 解 设表示一次射击中击中目标,依题意,四次都没击中的概率为

81801)(4-

=A P ,解得31)(=A P ,从而射手的命中率为3

2)(=A P .

2.若事件,独立,且p A P =)(,q B P =)(则=+)(B A P . 解pq p B P A P B P A P B A P +-=-+=1)()()()()( .

3.设离散型随机变量服从参数为（0>λ）的泊松分布,已知==)1(X P )2(=X P ,则=. 解)2(e 2

e

)1(2

===

==--X P X P λλ

λλ,从而解得2=λ.

4.设相互独立的两个随机变量,具有同一分布律,且的分布律为:

212

1

则随机变量},max{Y X Z =. 解的可能取值为0,1.

4

12121)0()0()0,0()0(=?========Y P X P Y X P Z P . 4

3411)1(=-

==Z P . 5.设随机变量,的方差分别为25=DX ,36=DY ,相关系数4.0=XY ρ,则),(Y X Cov =. 解12),cov(=?=DY DX Y X XY

ρ.

6.设总体的期望值和方差都存在,总体方差的无偏估计量是2

1

)(∑=-n i i X X n k ,则=k .

解1

-=

n n k . 7.设总体),(~2

σμN X ,未知,检验2

020σσ=H ：,应选用的统计量是 .

解

)1(~)(22

1

2

--∑=n X X

n

i i

χσ

(为真时)

二 .单项选择题（每小题2分,共16分）

1.本中文书和本外文书任意往书架上摆放,则本外文书放在一起的概率为（ ） (A)

!

10!

6!4 (B)

10

7 (C)

!

10!

7!4 (D)

10

4 解 本题应选C.

2.若事件B A ,相互独立,则下列正确的是（ ） (A) =)|(A B P )|(B A P (B) =)|(A B P )(A P (C) )|(B A P )(B P =

(D) =)|(B A P )(1A P -

解 由独立性的定义知,==)()|(A P B A P )(1A P -,故本题应选D.

3.设随机变量服从参数为,的二项分布,且6.1=EX ,28.1=DX ,则,的值为（ ） (A) =,= (B) =,=

(C) =,=32.0

(D) =,=

解 由6.1=np ,28.1)1(=-p np ,解得=,=,本题应选A.

4.设随机变量服从正态分布)1,2(N ,其概率密度函数为)(x f ,分布函数为)(x F ,则有（ ） (A) =≥)0(X P =≤)0(X P (B) =≥)2(X P =≤)2(X P (C) )(x f =)(x f -,),(∞+-∞∈x (D) =-)(x F )(x F , ),(∞+-∞∈x

解 2=EX ,故其密度函数关于2=x 对称,故本题应选B.

5.如果随机变量与满足:)(Y X D +)(Y X D -=,则下列式子正确的是（ ） (A) 与相互独立 (B) 与不相关

(C) 0=DY

(D) 0=?DY DX

解 由)(Y X D +)(Y X D -=,可得0),cov(=Y X ,从而可知与不相关,故本题应选B.

6.设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本,为样本均值,令=Y 2

1

2

)(σ

∑=-n

i i

X X

,则~

Y （ ）

(A) )1(2

-n χ (B) )(2

n χ (C) ),(2

σμN (D)),

(2

n

N σμ

解 本题应选A.

7.设n X X X ,,,21 是取自总体),0(2σN 的样本,可以作为的无偏估计量的统计量是（ ）

(A) ∑=n i i X n 121 (B) ∑=-n i i X n 1211 (C) ∑=n i i X n 11 (D)∑=-n

i i X n 1

11 解 由无偏估计的定义及期望的性质知,

2221

212)(1)1(σ==+===∑∑==DX EX DX EX EX n X n E n

i i n i i ,故A 选择正确,同理验算其他选项,B,C,D 均不正确.故本题应选A.

8.样本n X X X ,,,21 来自正态总体),(2

σμN ,若进行假设检验,当（ ）时,一般采用统计量

n

S X t /0μ-=

(A) 未知,检验=

(B) 已知,检验= (C) 未知,检验=

(D) 已知,检验=

解 本题应选C. 三.（本题8分）

有两台车床生产同一型号螺杆,甲车床的产量是乙车床的倍,甲车床的废品率为%2,乙车床的废品率为,现随机抽取一根螺杆检查,发现是废品,问该废品是由甲车床生产的概率是多少？

解 设21,A A 分别表示螺杆由甲,乙车床生产的事件.表示螺杆是废品的事件.由贝叶斯公式可得

)

|()()|()()

|()()|(2211111A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=

75.001.05

2

02.05302.053

=?+??=. 四.（本题8分）

假设一部机器在一天内发生故障的概率为,机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里无故

障,可获利润万元,发生一次故障获利润万元,发生两次故障获利润万元,发生三次或三次以上故障就要亏损万元,问一周内期望利润是多少？

解 设表示一周中所获的利润,其分布律为:

5

10

548.08.02.051-??-48.02.05??58.0

从而由期望的定义计算可得216.5=EX .

五.（本题12分）

1.设随机向量,的联合分布为:

61121

616161

1216

1

(1) 求,的边际分布；(2) 判断,是否独立. 解 (1) 的边际分布为： 的边际分布为：

41214141214

1

(2) 与不相互独立.

2.设随机变量),(Y X 的联合密度函数为:

),(y x f =??

?<<-其他，

，

，，

00e y x y

求概率)1(≤+Y X P .

解==≤+?

?

--y x Y X P x x

y d e d )1(1210

2

11e

2e 1-

--+.

六.（本题8分）

设连续型随机变量的分布函数为:

=)(x F ????

?

≤>+-，

，

，，

000e 22

x x B A x

求: (1) 系数及；

(2) 随机变量的概率密度； (3))9ln 4ln (≤≤X P . 解 (1) 由分布函数的性质知

1)e

(lim )(2

2==+=+∞-

+∞

→A B A F x x ,

)0(0)e (lim )(lim 2

02F B A B A x F x x x ==+=+=-

→→+

+

,从而1-=B ;

(2) 分布函数的导数即为其概率密度,即

)(x f =?????≤>-0

00e 2

2

x x x x ，

，，

(3) 6

1)4ln ()9ln ()9ln 4ln (=

-=≤≤F F X P . 七.（本题8分）

设n X X X ,,,21 为总体的一个样本,的概率密度为:

)(x f =????

?≤≤-其他，

，

，，0101

x x θθ

其中0>θ,求未知参数的矩估计量与极大似然估计量.

解 令X x x EX =+=

=

?

1

d 10

θθθθ,从而解得的矩估计量为

2

)1(

X

X -=θ

. 极大似然估计为:

∑∑==+=

n

i i

n

i i

X

X n 1

1

ln ln θ

.(具体做法类似与模拟试卷二第八题)

八.（本题１０分）

设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取位考生的成绩,算得平均成绩为5.66分,标准差为分,问在显著水平05.0下,是否可认为全体考生的平均成绩为分？

解 假设:70=μ,选取统计量

n

s X T /μ-=

)1(~-n t , (为真时)

在05.0=α下,查分布的双侧临界值表知0301.2025.0=t . 另一方面,计算统计量的值

0301.24.136

/15705.66||<=-=

T ,

从而接受原假设,即可认为全体考生的平均成绩为分.

九.（本题１２分）

两家银行分别对个储户和个储户的年存款余额进行抽样调查,测得其平均年存款余额分别为=2600元和=2700元,样本标准差相应地为811=S 元和1052=S 元,假设年存款余额服从正态分布,试比较两家银行的储户的平均年存款余额有无显著差异？（10.0=α）

解 此题要求检验21μμ=,由于检验必须在方差相等的条件下进行,因此必须先检验与是否相等.

第一步假设:=,统计量22

2

1s s F =~)1,1(21--n n F ,

经检验,接受:=；

第二步假设:21μμ=,

统计量2

)1()1()11(

2122

22

1

121-+-+-+-=

n n s n s n n n Y

X T )2(~21-+n n t

经检验,拒绝,即两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异.(请参见模拟试题(一)第九大题)

十.（本题４分）

设总体服从参数为的泊松分布,为未知参数,

?

?

?-=为偶数，，为奇数，

，X X X T 11)( 证明:)(X T 是λ

2-e

的一个无偏估计量.

证明 ∑∞

===

)()()]([x x X P x T X T E

∑∞

=-=0

!

)

(x x

e

x x T λ

λ=-=∑∞

=-0

!

)

1(n n

n

e n λλλ2-e ,

所以)(X T 是λ

2-e

的一个无偏估计量.

模拟试题（四）参考答案

一.填空题(每小题2分,共20分)

1.设)(A P =0.4,)(B P =0.5.若,7.0)(=B A P 则=+)(B A P . 解55.0)|()()()()(=-+=+B A P B P B P A P B A P

2.若随机变量服从二项分布,即)1.0,5(~B X ,则=-)21(X D . 解8.19.01.0544)21(=???==-DX X D .

3.三次独立重复射击中,若至少有一次击中的概率为

64

37

,则每次击中的概率为. 解

4

3. 4.设随机变量的概率密度是:???<<=,,

0,

10,3)(2其他x x x f 且，784.0)(=≥a X P 则=a .

解 由784.0)(=≥a X P 知,10<<α.故

，

784.01d 3)(1

32?=-==≥α

αx x a X P 从而6.0=α. 5.利用正态分布的结论,有:

=+-?

∞

+∞

---

x x x x d e

)44(212

)2(22

π

.

解 令t x =-2,则原式1)(d e

2122

22=+==?

∞

+∞

--

EX DX t t t π

,这里)1,0(~N X .

6.设总体的密度函数为:

??

?<<=-,,

0,

10,)(1其他x x x f αα )0(>αα为参数其中,n x x x ,,,21 是来自总体的样本观测值,则样本的似然函数=);,,,(21αn x x x L .

解∏=-n

i i n

x 1

1

αα

.

7.设,是二维随机向量,DX ,DY 都不为零,若有常数0>a 与使1)(=+-=b aX Y P ,这时与是关系.

解 完全相关.

8.若),(~2σμN X ,n X X X ,,,21 是来自总体的样本,2,S X 分别为样本均值和方差,则

S

n

X )(μ-服从分布.

解)1(-n t .

9.设),(~211σμN X ,),(~2

22σμN Y ,与相互独立.从,中分别抽取容量为21,n n 的样本,样本均值

分别为Y X ,,则Y X -服从分布.

解),

(2

2

2

1

2

121n n N σσμμ+

-.

10.设随机变量和的相关系数为0.9,若4.0-=X Z ,则与的相关系数为____________.

解9.0),cov()4.0,cov(),cov(

==-=X Y X Y Z Y . 二.单项选择题(每小题2分,共12分)

1. 设随机变量的数学期望EX 与2

σ=DX 均存在,由切比雪夫不等式估计概率}4{σ<-EX X P 为( )

(A) 16

1

≥

(B) 16

1≤

(C) 16

15

≥

(D) 16

15≤

解 本题应选C.

2.B A ,为随机随机事件,且A B ?,则下列式子正确的是( ). (A) )()(A P B A P =

(B) )()()(A P B P A B P -=-

(C) )()(A P AB P = (D) )()(B P A B P =

解 本题应选A.

3. 设随机变量的密度函数为???≤≤+=其他，，

，，010)(x B Ax x f 且127=EX ,则( ).

(A) 5.0,1-==B A

(B) 1,5.0=-=B A

(C) 1,5.0==B A (D) 5.0,1==B A 解 令

1d )(10

=+?x B Ax ,12

7

d )(1

0=

+?x x B Ax ,解得5.0,1==B A ,故本题应选D. 4.若随机变量与不相关,则有( ). (A) )(9)()3(Y D X D Y X D -=- (B) )()()(Y D X D XY D ?= (C) 0)]}()][({[=--Y E Y X E X E (D) 1)(=+=b aX Y P 解 本题应选C.

5.已知随机变量),(~21n n F F ,且αα=>)},({21n n F F P ,则=-),(211n n F α( ).

(A) ),(1

21n n F α

(B)

)

,(1

121n n F α-

(C))

,(1

12n n F α

(D) )

,(1

211n n F α-

解

6.将一枚硬币独立地掷两次,记事件:=1A {掷第一次出现正面},=2A {掷第二次出现正面},=3A {正、反面各出现一次},=4A {正面出现两次},则事件( ).

(A) 321,,A A A 相互独立 (B) 432,,A A A 相互独立 (C) 321,,A A A 两两独立

(D) 432,,A A A 两两独立

解 21)(1=

A P ,21)(2=A P ,21)(3=A P ,4

1

)(4=A P ,再由事件独立的充分必要条件可知321,,A A A 两两独立,本题应选C.

三.计算题(每小题８分,共48分)

1.某厂由甲,乙,丙三个车间生产同一种产品,它们的产量之比为3:2:1,

各车间产品的不合格率依次为8%,9%,12%.现从该厂产品中任意抽取一件,求:(1) 取到不合格产品的概率；(2) 若取到的是不合格品,求它是由甲厂生产的概率. 解 (1) 运用全概率公式, 0.09;

(2) 运用贝叶斯公式, 0.44.(具体做法参见模拟试卷(一)第四题)

2.一实习生用一台机器接连独立地制造三个同样的零件,第个零件是不合格品的概率为

)3,2,1(11

=+=

i i

p i ,以表示三个零件中合格品的个数,求:(1) 的概率分布； (2) 的方差DX .

解 (1) 12

234132411241=?+?+=

EX , (2)

2

7

41924114412=?+?+=

EX ,

故

521.0)(22=-=EX EX DX .

3.设总体),0(~2σN ,为未知参数,n x x x ,,,21 是来自总体的一组样本值,求的最大似然估计.

解 似然函数2

1

2

2

1

2

22

2

22

e )21(

e

)21()(σσ

σ

πσ

πσ∑=∑===-

-

n

i i n

i i x n x n

L ,

两边取对数

212

222ln 22ln 4)(ln σ

σπσ∑---==n

i i

x n

n L ,

关于求导,并令其为零,得

0)

(21

22212

2=∑+?-=σσn

i i

x n ,

3

4

1

从而解得极大似然估计量为∑==n i i x n 1

2

2

1?σ

. 4.二维随机变量(,)的联合概率密度:

??

?>>=+-其它，，

，

，00,0e 2),()2(y x y x f y x 求: (1) 与之间是否相互独立,判断与是否线性相关；

(2))1(≤+X Y P . 解 (1) ??

???≤>==

??

∞

++-∞+∞

-0,0,

0,d e 2d ),()(0

)2(x x y y y x f x f y x X ?

?

?≤>=-.0,0,

0,e x x x 同理

??

?≤>=-.

0,

0,

0,e )(2y y y f y Y 从而

)()(),(y f x f y x f Y X =,

故与相互独立,因而与一定不相关.

(2) =

≤+)1(X Y P =?

?

-+-y x x y x d 2e d 10

)2(10

21)e 1(--.

5.某人乘车或步行上班,他等车的时间(单位:分钟)服从参数为

5

1

的指数分布,如果等车时间超过10分钟他就步行上班.若此人一周上班5次,以表示他一周步行上班的次数.求的概率分布；并求他一周内至少有一次步行上班的概率.

解 此人每天等车时间超过10分钟也即步行上班的概率为

210

e d e 5

1)10(--∞

+==>?

x X P s

x

. 故)e ,5(~2-B Y .

52)e 1(1)1(---=≥Y P .

6.设随机变量的概率密度为

???

??∈?=其他，，

，，0]8,1[31

)(32

x x x f )(x F 是的分布函数.求随机变量)(X F Y =的概率分布.

解???

????>≤<-≤=.8,1,81,1,1,

0)(3

1x x x x x F

(3) 当0

))1(()1()()(33

1+≤=≤-=≤=y X P y X P y Y P y F Y

y y F X =+=))1((3;

当1≥y 时,1)()(=≤=y Y P y F Y . 故对)(y F Y 求导可得的概率密度,

?

?

?<<=其它，，，

，0101)(y y f Y 即]10[~，U Y

四.应用题(第1题7分、第2题8分,共15分)

1.假设对目标独立地发射400发炮弹,已知每一发炮弹的命中率等于0.2,用中心极限定理计算命中60发到100发之间的概率.

解 设??

?=发炮弹命中第发炮弹没有命中

第i i X i ,

1,,0 (400,,2,1 =i ),则

∑==400

1i i X X )2.0,400(~B

表示400发炮弹命中的发数,且80=EX ,64=DX ,故由中心极限定理知,

)64

20|64

80(|

)20|80(|)10060(<

-=<-=<

9876.01)8

20

(

2=-Φ=. 2.某厂生产铜丝,生产一向稳定.现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力,测后经计算:

5.160)(,5.2871

2=-=∑=n

i i x x x .假定铜丝折断力服从正态分布,问是否可以相信该厂生产的铜丝的折断

力方差为16?(1.0=α)

解16162120≠=σσ：，：H H . 采用统计量

22

21

S n σχ-=

,在成立时,)9(~22χχ.

由1.0=α,查得临界值

325.3)9(295.022/1==-χχα,919.16)9(2

05.022/==χχα,

由样本值算得03.1016

5.1602

≈=χ,由于22/222/1ααχχχ<<-,所以不拒绝,即该厂生产的铜丝的折断力方差为16.

五.证明题(5分)

若随机变量的密度函数)(x f ,对任意的R x ∈,满足:)()(x f x f -=,)(x F 是其分布函数.证明:对任意实数,有

?-=

-a x x f a F 0

d )(21

)(. 证明?

?

?

-∞

--∞

-+==

-a

a

x x f x x f x x f a F 0

d )(d )(d )()(

?-+=a x x f 0

d )(21

(令x t -=) ???-=-=--=a a a x x f t t f t t f 0

00d )(21

d )(21d )(21.