中考数学折叠问题实战解答题

中考折叠问题实战四解答题

1.（贵州遵义10分）把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG．（1）求证：△BHE≌△DGF；（2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求线段FG的长．

2.（黑龙江大庆7分）如图，ABCD是一张边AB长为2、边AD长为1的矩形纸片，沿过点B的折痕将A角翻折，使得点A落在边CD上的点A1处，折痕交边AD于点E．

(1)求∠DA1E的大小；(2)求△A1BE的面积．

3.（广东省7分）如图，直角梯形纸片ABCD中，AD//BC，∠A=90o，∠C=30o．折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8．

（1）求∠BDF的度数；（2）求AB的长．

4.（广东深圳8分）如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD 折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G.（1）求证：AG=C′

G；

（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交

AD于M，求EM的长.

5.（四川南充8分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△

A

B

C D D A

M

N C

B K

1 BCE 沿BE 折叠为△BFE ，点F 落在AD 上．（1）求证：△ABE ∽△DFE

（2）若sin ∠DFE=1

3

，求tan ∠EBC 的值。

6.（江苏徐州6分）如图，将矩形纸片ABCD 按如下顺序进行折叠: 对折、展平, 得折痕EF(如图①); 沿GC 折叠, 使点B 落在EF 上的点B' 处(如图②); 展平, 得折痕GC(如图③); 沿GH 折叠, 使点C 落在DH 上的点C' 处(如图④); 沿GC' 折叠(如图⑤); 展平, 得折痕GC' 、GH(如图⑥)。

（1）求图②中∠BCB' 的大小;

（2）图⑥中的△GCC' 是正三角形吗?请说明理由.

图⑤

A

C D G

H A'C'图⑥

A B

C

D G H C'图④

A B

C

D G

H C'图③

A B

C D

E

F G 图②

A C

D E F G

B'

A

B

C

D

E

F 图①

7.（山东莱芜9分）已知：矩形纸片ABCD ，AB ＝2，BC ＝3。操作：将矩形纸片沿EF 折叠，使点B 落在边CD 上。探究：（1）如图①，若点B 与A 重合，你认为△EDA ′和△FDC 全等吗？如果全等给出证明，如果不全等请说明理由；（2）如图②，若点B 与CD 中点重合，求△FCB ′与△B ′DG 的周长之比。

7.（山东威海11分）如图，ABCD 是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD 的

边AB 上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 交于点K ，得到△

MNK 。⑴若∠1=70°，求∠MKN 的度数； ⑵△MNK 的面积能否小于

1

2

？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由； ⑶如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值。

8.（湖北十堰8分）如图，AB 是半圆O 的直径，点C 为半径OB 上一点，过点C 作CD ⊥AB 交半圆O 于点D ，将△ACD 沿AD 折叠得到△AED ，AE 交半圆于点F ，连接DF 。 （1）求证：DE 是半圆的切线；

（2）连接OD ，当OC=BC 时，判断四边形ODFA 的形状，并证明你的结论。

9. （甘肃兰州12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD ＞AB ），将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连接AF 和CE ． （1）求证：四边形AFCE 是菱形；

（2）若AE=10cm ，△ABF 的面积为24cm 2，求△ABF 的周长；

（3）在线段AC 上是否存在一点P ，使得2AE 2=AC ?AP ？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

10.（辽宁抚顺14分） 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是梯形，BC ∥AD ，∠BAD ＋∠CDA ＝90°，且tan ∠BAD ＝2，AD 在x 轴上，点A 的坐标(－1，0)，点B 在y 轴的正半轴上，BC ＝OB.(1)求过点A 、B 、C 的抛物线的解析式；

A B

C

D A

B

C

D

备用图

(2)动点E 从点B(不包括点B)出发，沿BC 运动到点C 停止，在运动过程中，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，将四边形ABEF 沿直线EF 折叠，得到四边形A 1B 1EF ，点A 、B 的对应点分别

是点A 1、B 1，设四边形A 1B 1EF 与梯形ABCD 重合部分的面积为S ，F 点的坐标是(x ,0)． ①当点A 1落在(1)中的抛物线上时，求S 的值②在点E 运动过程中，求S 与x 的函数关系式．

备

用图

11.（黑龙江牡丹江10分）如图，将矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，点D 在边OC 上，点E 在边OA 上，把矩形沿直线DE 翻折，使点O 落在边AB 上的点F 处，且tan ∠BFD=

3

4

．若线段OA 的长是一元二次方程x 2—7x 一8=0的一个根，又2AB=3OA ．请解答下列问题： (1)求点B 、F 的坐标：(2)求直线ED 的解析式： (3)在直线ED 、FD 上是否存在点M 、N ，使以点C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若

不存在，请说明理由．

12.（湖南怀化10分）在矩形AOBC 中，OB=6，OA=4，分別以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)k

y k x

=

>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AE ?AO=BF ?BO ；（2）若点E 的坐标为（2，4），求经过O 、E 、F 三点的抛物线的解析式；（3）是否存在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出此时的OF 的长：若不存在，请说明理由．

E

F

D C B

A

O y

x

M

x

y

O

A

B

C

D E

14.（广东珠海9分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝AB ＝1，BC ＝2．将点A 折叠到CD 边上，记折叠后A 点对应的点为P （P 与D 点不重合），折痕EF 只与边AD 、BC 相交，交点分别为E 、F ．过点P 作PN ∥BC 交AB 于N 、交EF 于M ，连结PA 、PE 、AM ，EF 与PA 相交于O ．（1）指出四边形PEAM 的形状（不需证明）；（2）记∠EPM ＝α，△AOM 、△AMN 的面积分别为S 1、S 2． ① 求证：

1S tan

2

α＝1

8

PA 2． ② 设AN ＝x ，y ＝

12S S tan

2

α

-，试求出以x 为自变量的函数y 的解析式，并确定y 的取值范围．

15.（湖北孝感14分）如图（1），矩形ABCD 的一边BC 在直接坐标系中x 轴上，折叠边AD ，使点D 落在x 轴上点F 处，折痕为AE ，已知AB=8，AD=10，并设点B 坐标为（ , 0m ），其中0m ＞.

（1）求点E 、F 的坐标（用含的式子表示）；（5分） （2）连接OA ，若△OAF 是等腰三角形，求m 的值；（4分）

（3）如图（2），设抛物线2(6)y a x m h =--+经过A 、E 两点，其顶点为M ，连接AM ，若∠OAM=90°，求a 、h 、m 的值.（5分）

图

（

1

）

O

A

B

C

D

P

E F

M

N

图（2）

16. （陕西省12分）如图①，在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于F ，然后展开铺平，则以B 、E 、F 为顶点的三角形△BEF 称为矩形ABCD 的“折痕三角形”

（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD 的任意一个“折痕△BEF ”是一个 三角形

（2）如图②、在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，，当它的“折痕△BEF ”的顶点E 位于AD 的中点时，画出这个“折痕△BEF ”，并求出点F 的坐标；

（3）如图③，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF ”？若存在，说明理由，并求出此时点E 的坐标？若不存在，为什么？

图① 图② 图③ 图④

18.（辽宁辽阳14分）如图，已知Rt △ABO ，∠BAO ＝90°，以点O 为坐标原点，OA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，AO ＝3，∠AOB ＝30°，将Rt △ABO 沿OB 翻折后，点A 落在第一象限内的点D 处．(1)求D 点坐标；(2)若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)经过B 、D 两点，求此抛物线的表达式；(3)若抛物线的顶点为E ，它的对称轴与OB 交于点F ，点P 为射线OB 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M.是否存在点P ，使得以E 、F 、M 、P 为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，

请说明理由．参考公式：抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c(a ≠0)的顶点坐标是???

?－b 2a ，4ac －b 2

4a

. 21.（福建龙岩14分）如图，在直角梯形ABCD 中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，点E 是CD 上的一个动点(E 不与D 重合)，过点E 作EF ∥AC ，交AD 于点F(当E 运动到C 时，EF 与AC 重合)．把△DEF 沿EF 对折，点D 的对应点是点G ，设DE=x ，△GEF 与梯形ABCD 重叠部分的面积为y 。(1) 求CD 的长及∠1的度数；(2) 若点G 恰好在BC 上，求此时x 的值；

(3) 求y 与x 之间的函数关系式。并求x 为何值时，y 的值最大?最大值是多少?

22.（福建宁德13分）直线6-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点E 从B 点，出发以每秒1个单位的速度沿线段BO 向O 点移动（与B 、O 点不重合），过E 作EF ∥AB ，交x 轴于F .将四边形ABEF 沿EF 折叠，得到四边形DCEF ，设点E 的运动时间为t 秒． ⑴①直线6-=x y 与坐标轴交点坐标是A （___，___），B （___，___）； ②画出t ＝2时，四边形ABEF 沿EF 折叠后的图形（不写画法）；

⑵若CD 交y 轴于H 点，求证：四边形DHEF 为平行四边形；并求t 为何值时，四边形DHEF 为菱形（计算结果不需化简）；

⑶设四边形DCEF 落在第一象限内的图形面积为S ，求S 关于t 的函数表达式，并求出S 的最大值．