建立数学建模案例分析

§15.4锁具装箱问题

[学习目标]

1.能表述锁具装箱问题的分析过程；

2.能表述模型的建立方法；

3.会利用排列组合来计算古典概型；

4.会利用Mathematica求解锁具装箱问题。

一、问题

某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6}6个数（单位从略）中任取一数。由于工艺及其它原因，制造锁具时对5个槽的高度有两个要求：一是至少有3个不同的数；二是相邻两槽的高度之差不能为5。满足上述两个条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批。销售部门在一批锁具中随意地抽取，每60个装一箱出售。

从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中不能互开（“一把钥匙开一把锁”）。但是，在当前工艺条件下，对于同一批中两个锁具是否能够互开，有以下实验结果：若二者相对应的5个槽的高度中有4个相同，另一个槽的高度差为1，则可能互开；在其它情况下，不可能互开。

团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们会抱怨购得的锁具中出现互开的情形。现请回答以下问题：

1．每批锁具有多少个，能装多少箱？

2．按照原来的装箱方案，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）。

二、问题分析与建立模型

因为弹子锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6}这6个数中任取一数，且5个槽的高度必须满足两个条件：至少有3个不同的数；相邻两槽的高度之差不能为5。所以我们在求一批锁具的总数时，应把问题化为三种情况，即5个槽的高度由5个不同数字组成、由4个不同数字组成、由3个不同数字组成，分别算出各种情况的锁具个数，然后相加便得到一批锁具的总个数。在分别求这三种情况锁具个数的时候，先求出满足第1个条件的锁具个数再减去不满足第2个条件的锁具个数。在求这三种情况锁具个数的时候，主要依靠排列组合的不尽相异元素的全排列公式。

下面用一个5元数组来表示一个锁具：

Key=（h1，h2，h3，h4，h5）

其中h i表示第i个槽的高度，i=1，2，3，4，5。此5元数组表示一把锁，应满足下述条件：

条件1：h i∈{1，2，3，4，5，6}，i = 1，2，3，4，5。

条件2：对于任意一种槽高排列h1，h2，h3，h4，h5，至少有3种不同的槽高。

条件3：对于任意一种槽高排列h1，h2，h3，h4，h5，有|h i，h i-1|≠5，i = 2，3，4，5。

而两个锁可以互开的条件为：两个锁的钥匙有四个槽高相同，其中一个槽高相差为1。

1．一批锁具个数的计算

记一批锁具的集合为：

K={（h 1，h 2，h 3，h 4，h 5）| h i ∈{1，2，3，4，5，6}，i = 1，2，3，4，5，且（h 1，h 2，h 3，h 4，h 5）为一锁具}，其个数小于65，可采用逐个检验条件1，2，3的方法，求一批中的所有锁具，当然也可计算出其个数。

2．抱怨程度的刻划

在这里我们简单地用平均互开总对数来刻划抱怨程度，所以，关键是计算出顾客购买一箱或两箱时的平均互开总对数，这可以用计算机模拟去计算。

我们引入下面的记号：

P={（h 1，h 2，h 3，h 4，h 5）|（h 1，h 2，h 3，h 4，h 5）∈K ，且∑=5

1

i i h 为偶数}

Q ={（h 1，h 2，h 3，h 4，h 5）|（h 1，h 2，h 3，h 4，h 5）∈K ，且∑=51

i i h 为奇数}

则可得到P 中的锁具不能互开，Q 中的锁具不能互开，P 中的锁具与Q 中的才能互开。 在计算中，判断互开时，我们将P 和Q 中的锁具分别标号为0，1，这样就减少了判断时的计算，大大提高了计算速度。

说明：直接用平均互开总对数来刻划抱怨程度有一定的不合理性。因为这样来刻划，购买的箱数越多，抱怨程度就越大，而实际上，购买的越多，自然互开的可能性就越大，这是顾客意料之中的，不应有太多的抱怨，顾客所不能容忍的是在购买少量的锁具而出现互开现象。因此应把购买箱数作为一个因素考虑到抱怨函数中。理想的抱怨函数应该是，开始随购买量的增加而增加，到一定量后下降，这才合理。在这里，我们的主要任务是模拟求解，而简单地用平均互开总对数来刻划抱怨程度。

三、 计算过程

计算流程如下：

1． 对（h 1，h 2，h 3，h 4，h 5）的所有排列逐个检验条件2、条件3，判断其是否为锁具，将锁具放在数组key 中，若∑=51i i h 为奇数，标号为1，若∑=5

1i i h 为偶数，标号为0，并计数count 。

2．输出一批锁具的总个数count 。

3．多次用随机数来模拟销售一箱的情况，计算平均互开总对数。

4．输出一箱平均互开总对数average 。

注意：以上流程略去了某些细节，具体的细节可参看下面的程序。对上流程稍加修改，可用于研究2，3，4箱等的平均互开总对数。程序对（h 1，h 2，h 3，h 4，h 5）的所有排列逐个检验条件2、条件3时要进行两次判断，一次是判断（h 1，h 2，h 3，h 4，h 5）是否有3个不同的数，另一次是相邻槽高之差是否为5。在前一次判断时，采用了比较简捷的方法，请仔细考察。

找（h1，h2，h3，h4，h5）的所有排列，实际上可用五重循环来实现。具体程序如下：Model[{h1，h2，h3，h4，h5，flag，cnt，key，flal，su，te，keel，i，aid，mnx，kebe，k，j，n}，（*计算一批锁具的个数*）key=Table[Table[0，{5}]，{5880}]；

keel=Table[0，{5}]；flag=Table[-1，{5880}]；cnt=0；

For[h1=1，h1<=6，h1++，

For[h2=1，h2<=6，h2++，

For[h3=1，h3<=6，h3++，

For[h4=1，h4<=6，h4++，

For[h5=1，h5<=6，h5++，te=Table[0，{6}]；te[[h1]]=1；te[[h2]]=1；

Te=[[h3]]=1；te[[h4]]=1；te[[h5]]=1；su=te.Table[1，{6}]；

If[su>=3，keel[[1]]=h1；keel[[2]]=h2；keel[[3]]=h3；

For[flal=1；i=2，i<=5，i++，

If[Abs[keel[[i]]-keel[[i-1]]]>=5，flal=0，]]；

If[flal= =1，cnt++；key[[cnt]]=keel；

flag[[cnt]]=If[Mod[keel.Table[1，{5}]，2]= =0，0，1]；

，]，]] ] ] ] ]；

Print[“count=”，cnt]；（*计算顾客购买一箱时的平均互开总对数*）cnt=0；aid=Table[1，{5}]；kebe=Table[0，{5}]；

For[n=1，n<=1000，n++，（*模拟1000次*）Mnx=Table[Rndom[Integer，{1，5880}]，{60}]；

For[i=1，i<=60，i++，

For[k=i+11，k<=60，k++，

If[flag[[mnx[[i]]]! =flag[[mnx[[k]] ]]，

If[Abs[key[[mnx[[i]]]].aid-key[[mnx[[k]]]].aid]= =1，

Keel=key[[mnx[[I]]]]；kebe=key[[mnx[[k]]]]；

For[flal=0；j=1，j<=5，j++，If[keel[[j]]!=kebe[[j]]，flal++，]]；

If[flal= =1，cnt++，]，]，]；]]]；

Print[“Average=”，N[cnt/1000]]；]

运算结果：count=5880与Average=2.362，即得到一批锁具的个数为：5880，购买一箱的平均互开总对数大约为：2.362。对程序稍加修改可得到买两箱时的平均互开总对数大约为：8.91，即得到如下结果：count=5880与Average=8.91。

习题15.4

1．请为销售部门提出一种方案，包括如何装箱（仍旧是60个锁具装一箱），如何给箱子以标志，出售时如何利用这些标志，使团体顾客不再抱怨或减少抱怨？

2．有4位教师给5个班级授课，按教学要求教师X i给班级Y i上课的课时数如下表所示。

试排出课程表。

3．某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式，从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过六次截断切割。已知待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。切割费用为每平方厘米1元，试求最佳切割方案。

复习题十五

1．席位分配问题

在n个单位的团体中，经常涉及到代表名额分配问题，每个单位都希望自己的代表名额多一些，以便在委员会中能更好地反映自己单位的意图。试设计一种公平的代表名额分配方案，并针对下面三种情况就方案的公平与合理性进行说明。

（1）该团体有A、B、C三个单位，开始时A、B、C三个单位的人数分别是100、60、40，一年后三单位的人数是103、63、34。就20名代表和21名代表名额给出分配方案。

（2）该团体有A、B、C、D、E五个单位，其人数分别为9061、7179、5259、3319、1182，给出26、27、28、29个代表名额的分配方案。

（3）该团体有A、B、C、D、E、F六个单位，其人数分别为9215、159、158、157、156、155，给出100名代表名额的分配方案。

2．实验数据分解

组成生命蛋白质的若干种氨基酸可以形成不同的组合，通过质谱实验测定分子量来分析某个生命蛋白质分子的组成时，遇到的首要问题就是如何将它的分子量x分解为几个氨基酸的已知分子量a[i]（i=1，2，…，n）之和，某实验室所研究的问题中：

n=18，a[1：18]=57，71，87，97，99，101，103，113，114，115，128，129，131，147，156，163，186。

x为正整数小于等于1000。

要求针对该实验室拥有或不拥有计算机的情况，对上述问题提出相应解答，并就所讨论的数学模型与方法在一般情形下进行讨论。

3．加工顺序

现有14件工件等待在一台机床上加工，某些工件的加工必须安排在另一些工件加工完工以后才能开始，第j号工件的加工时间t j及先期必须完工的工件号i由下表给出。

（1） 若给出一个加工工序，则确定了每个工件的完工时间（包括等待与加工两个阶段）。试设计一个满足条件的加工顺序，使各工件的完工时间之和最小。

（2） 若第j 号工件紧接着第i 号工件完工后开工，机床需要花费的准备时间是：

?

??>-<+=j i j i j i j i t ij )(2 （3） 假定工件的完工时间（包括等待与加工两个阶段）超过一确定时限u 时，则需支付一定的补偿费用，其数值等于超过时间与费用率之积，各工件的补偿费用率ωi 如下：

u =100，t ij =0，安排一个加工顺序，使总补偿最小。

4． 追捕与逃跑的策略问题

一种肉食（捕食其它动物的）恐龙，成年恐龙平均长3米，髋高0.5米，重约45公斤。据估计，这种恐龙跑的非常快，速度可达60公里/小时，持续15秒。在以这种速度进行冲刺后，它要停下来在其肌肉中增加乳酸以恢复体力。

假设恐龙捕食一种称为太西龙属的双足食草动物，大小与所述恐龙差不多，可以50公里/小时的速度长时间奔跑。

（1） 设恐龙是一只独居的猎食者，试设计一个单个恐龙潜近猎物并追捕单只太西龙属的策略，以及被追捕者逃避追捕策略的数学模型。假设当恐龙潜近15米内时，太西龙属总能察觉到，根据栖息地及气候的条件不同，甚至在（多达50米）更大范围内觉察欲捕食者的存在。此外，由于恐龙的身体结构及体能，它在全速奔跑时的转弯半径是有限的，据估计，转弯半径大约是其髋高的三倍。另一方面，太西龙属却是极其灵活的，其转弯半径只有0.5米。

（2） 更现实地假设恐龙是成对外出追猎，试设计一个新的关于成对恐龙潜近猎物并追猎单只太西龙属的策略，以及被追捕者逃避追捕策略的数学模型。利用（1）中给的假设和限制。

5． 评卷问题

在确定以论文形式给出比赛优胜者时，常常要评阅大量的答卷，比如说有P=100份答卷。一个由J 位评阅人组成的小组来完成评阅任务，基于比赛资金，对于能够聘请的评阅人数量和评阅时间的限制，如果P=100，通常J=8。理想的情况是每个评阅人看所有的答卷，并给出分数。为了减少所看答卷的数量，考虑如下的筛选模式：如果答卷是被排序的，则在每个评阅人给出的排序中排在最下面的30%答卷被筛除；如果答卷被打分（比如说从1分到10分），则某个截止分数线以下的答卷被筛除。这样，通过筛选的答卷重新放在一起返回给评阅小组，重复上述过程。人们关注的是，每个评阅人看的答卷总数要显著地小于P 。评阅过程直到剩下W 份答卷时停止。这些就是优胜者。当J=100时通常取W=3。

任务是利用排序、打分及其它方法的组合，确定一种筛选模式，按照这种模式，最后选中的W 份答卷只能来自“最好的”2W 份答卷（所谓“最好的”是指，人们假设存在着一种评阅人一致赞同的答卷的绝对排序）。例如，用给出的方法得到的最后3份答卷将全部包括

在“最好的”6份答卷中。在所有满足上述要求的方法中，希望能给出使每个评阅人所看答卷份数最少的一种方法。

注意在打分时存在系统偏差的可能。例如，对于一批答卷，一位评阅人平均给70分，而另一位可能给80分。在给出的模式中如何调节尺度来适应竞赛参数（P，J）的变化？