方程的根与函数的零点教案

3.1.1方程的根与函数的零点

一、教学内容解析

本节课的主要内容有函数零点的的概念、函数零点存在性判定定理。

函数f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图形表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。

函数零点的存在性判定定理，其目的就是通过找函数的零点来研究方程的根，进一步突出函数思想的应用，也为二分法求方程的近似解作好知识上和思想上的准备。定理不需证明，关键在于让学生通过感知体验并加以确认，由些需要结合具体的实例，加强对定理进行全面的认识，比如

对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。

函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”。用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。

本节是函数应用的第一课，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其他知识的联系的角度来引入较为适宜。

二、教学目标解析

1．结合具体的问题，并从特殊推广到一般，使学生领会函数与方程之间的内在联系，从而了解函数的零点与方程根的联系。

2．在学习过程中，体验函数与方程思想及数形结合思想。

三、教学问题诊断分析

1．通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，掌握了函数图象的一般画法，及一定的看图识图能力,这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。对于函数零点的概念本质的理解，学生缺乏的是函数的观点，或是函数应用的意识，造成对函数与方程之间的联系缺乏了解。由此作为函数应用的第一课时，有必要点明函数的核心地位，即说明函数与其他知识的联系及其在生活中的应用，初步树立起函数应用

的意识。并从此出发，通过问题的设置，引导学生思考，再通过实例的确认与体验，从直观到抽象，从特殊到一般的学习方式，捅破学生认识上的这层“窗户纸”。

2．对于零点存在的判定定理，教材不要求给予其证明，这需要教师提供一定量的具体案例让学生操作感知，同时鼓励学生举例来验证，最终能自主地获得并确认该定理的结论。对于定理的条件和结论，学生往往考虑不够深入，需要教师通过具体的问题，引导学生从正面、反面、侧面等不同的角度重新进行审视。

3．函数的零点，体现了函数与方程之间的密切联系，教学中应遵循高中数学以函数为主线的这一原则进行联结，侧重在从函数的角度看方程，同时为二分法求方程的近似解作知识和思想上的准备。

四、教学过程设计

(一)创设情景，揭示课题

1（教师）通过前面的学习，同学们已经了解一些基本初等函数的图象和性质，本节课开始，我们学习第三章，函数的应用。

2（教师）同学们看下面的问题：出示问题１，或指示学生看学案

已知下列函数，求函数值①32)(2--=x x x f ，求)1(-f ；②12)(2+-=x x x f ，求)1(f ； ③x x x f 2)(2-=，求)4(f ．

3师生一起做，老师设置一些简单的问题，学生齐答

4（师）这几个题目共同特点？引入函数的零点概念

（二）互动交流 研讨新知

１（教师）板书函数零点概念：对于函数

，把使成立的实数叫做函数的零点．根据定义求函数的零点

２求函数零点的方法：问题２求下列函数的零点

①32)(2--=x x x f ;②12)(2+-=x x x f ;③32)(2+-=x x x f ;

小结:二次函数零点情况.

④ x x x f 2)(2-=.利用本题, 学生无法求方程022=-x

x 的根,老师提示还需要回

到函数,利用函数的图象和性质找到零点.

３．对零点概念的理解

问题3：下表是三次函数的部分对应值表： （1）：你能从中分析函数有哪些零点吗？ （２）：从函数图象的角度，你能对函数的零点换一种说法吗？

结论：函数的零点就是方程

实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点

函数有零点． ４.零点存在定理的探究

（1）：结合问题3图象与表格，你能发现此函数零点的附近函数值有何特点？生：两边的

函数值异号！

（2）：如果一个函数f （x ）满足f （a ）f （b ）<0,在区间(a,b)上是否一定存在着函数的零点?

x x x f 1

)(+=在区间]1,1[-上有零点吗？

(3)：函数在区间上必须是连续的(图象能一笔画),从而引出零点存在性定理.

（三）反馈与讨论

1求下列函数零点:(1)352)(2--=x x x f ;(2)1)(3+=x x f ；

2已知32)(2+-=ax x x f 有一个零点为23

,则=)1(f ;

3已知二次函数332++=bx x y 恰有一个零点,则实数=b ;

4讨论函数x x x f 2)(2-=的零点个数．

5（课外思考讨论）你能改变零点存在性定理定的条件或结论,得到一些新的命题吗?

如1:加强定理的结论:若在区间[a ，b]上连续函数f （x ）满足f(a)f(b)<0,是否意味着函数f(x)在[a,b]上恰有一个零点?

如2.将定理反过来:若连续函数f(x)在[a,b]上有一个零点,是否一定有f(a)f(b)<0? 如3:一般化:一个函数的零点是否都可由上述的定理进行判断?

（四）归纳整理，整体认识请回顾本节课所学知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想又有哪些？你还获得了什么？