1、整数和整除
【例1】 一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊
纸盒342个．小马虎的统计对吗？为什么？
【答案】不对，因为4不能整除342．
【解析】2......854342=÷，余数不为0．
【总结】本题主要考查数的整除在实际问题中的应用．
【例2】 在1~600这600个数中，不能被2整除的数有多少个？不能被3整除的数有多少
个？既不能被2整除，又不能被3整除的数有多少个？
【答案】300，400，200
【解析】在1~600这600个数中，能被2整数的数有2，4，6，8，．．．．．．600，共有
300个，则不能被2整除的数有600-300=300个；能被3整除的数有3，6，9，12，．．．．．．600，共有200个，则不能被3整除的数有600-200=400
个；既能整数和整除 知识结构 例题解析
被2整除，又能被3整除的数有6，12，18，．．．．．．600，共有100个．能被2或3整除的数有300+200-100=400个，所以既不能被2整除，又不能被3整除的数有600-400=200个．
【总结】本题主要考查整除在数字问题中的应用，注意思考方式的改变．
【例3】 已知一个三位数abc ，若两位数bc 能被4整除，那么这个三位数就能被4整除．这
句话对吗？如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例．
【答案】正确．
【解析】三位数abc 可以表示为()c b a ++10100，两位数bc 可以表示为c b +10，因为两位数
bc 能被4整除，∴c b +10能被4整除．
而()()()410254104100410100÷++=÷++÷=÷++c b a c b a c b a ，没有余数，所以这
个三位数就能被4整除．
【解析】本题主要考查整除的概念，注意合理的运算方法的选择以及对于三位数的表示．
【例4】 13个不同的的自然数之和等于100，其中偶数最多有几个？偶数最少有几个？
【答案】其中偶数最多有13个；偶数最少有1个．
【解析】当偶数有13个时，则其和为偶数，所以其中偶数最多有13个；偶数为0个时，
则这13个数均为奇数，其和定为奇数，不可能为100；偶数为1个时，则有12个 奇数，这13个数字之和为偶数，所以偶数最少有1个．
【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．
【例5】 有五只杯口朝上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口
朝下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使五只杯子的杯口全部朝下？为什么？
【答案】不能，理由见解析．
【解析】对一只杯口朝上的杯子而言，需要“翻转”奇数次，才能使其杯口朝下，对于
五只杯口朝上的杯子放在桌子上，则需要“翻转”的总次数为5个奇数的和，这个和定为奇数．而每次将其中四只杯子同时“翻转”，则每轮“翻转”的次数为4次（可以看做4个杯子各“翻转”1次），所以无论你“翻转”多少次，总次数都是4的倍数，定为偶数，不可能为奇数，则不能经过这样有限多次的“翻转”后，使五只杯子的杯口全部朝下．
【总结】本题主要是将实际问题转化成奇、偶数的运算性质等问题．
【例6】在1，2，3，…，2015，2016中每个数前面任意添加“+”、“-”号，最终的运算
结果是奇数还是偶数？请说明理由．
【答案】偶数，理由见解析．
【解析】2016个数中有1008个奇数，这1008个奇数之和为偶数；2016个数中有1008个偶数，这1008个偶数之和为偶数；偶偶相加为偶数，则2016个数字之和为偶数．每个数前面任意添加“+”、“-”号，与1，2，3，…，2015，2016之和的奇偶性是
一样的，所以结果为偶数．
【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．
【例7】从2、4、0、5、8这五个数字中选出3个数字组成一个三位数，使得这个三位数同时被2、3和5整除，那么这样的三位数有______个．
【答案】4．
【解析】能同时被2和5整除的数末尾数为0，则有240、420、580、850、250、520、280、820、450、540、480、840，其中能够被3整除的有240、420、450、540、480、
840．
【总结】本题主要考查能被2、3、5整除的数的特征．
【例8】已知一个三位数abc，试证明：若a b c
++能被9整除，则abc能被9整除．
【解析】因为a b c
=
+（m为正整数），又abc=10010
a9
+
++能被9整除，则可得m
c
b
++
a b c
()()
=++++，因为b
999
a b a b c
++能被9整除，所以abc
99+能被9整除，也a b c
a9
能被9整除．
【总结】本题一方面考查三位数的表示方法，另一方面考查整除的运用．
练习
【习题1】三个连续的自然数的和一定能被3整除吗？如果是，请证明；如果不是，请举出反例．
【解析】设三个连续的自然数为1
n3
1
+
+
+
-，此数一定能
1=
1+
n
n
-n
，，则其和为n
n
n，
被3整除．
【总结】三个连续的自然数的表示方法为1
，．
n，
1+
n
-n
【习题2】小明有12张卡片，其中3张卡片上面写着1，3张卡片上面写着3，3张卡片上面写着5，3张卡片上面写着7，小明从中选出5张卡片，它们上面的数字之和可能等于22吗？如果能，请说明如何选择卡片；如果不能，请说明理由．
【答案】不能．
【解析】因为12张卡片上的数字都是奇数，5个奇数之和一定为奇数，不可能为偶数，22
是偶数，所以不能．
【解析】本题主要考查数字的奇偶性，偶数个奇数相加结果为偶数；奇数个奇数相加结果为奇数．
作业
【作业1】小智买一大箱苹果，共有84个，要求每次拿出的个数一样多，拿了若干次正好拿完，则小智共有______种不同的拿法．（假设不能一次全拿出）
【作业2】一个整数的最大因数与最小因数的差为27，写出这个整数的所有因数：_______________．
【作业3】122334************
?+?+?+????+?的结果是______．（填奇数或偶数）
【作业4】五位数538AB能够同时被2、3、5整除，求A + B的值．
【作业5】油库中有7桶油，分别是汽油、柴油和机油，每桶油分别重12千克、13千克、16千克、17千克、22千克、27千克和32千克，已知柴油的总重量是机油的3倍，汽油只有一桶，请问7个桶分别装的是什么油？
12千克：____油；13千克：____油；16千克：____油；17千克：____油；
22千克：____油；27千克：____油；32千克：____油．