2019-2020年北京市西城区八年级上册期末数学试卷有答案

北京市西城区第一学期期末试卷

八年级数学

试卷满分： 100 分，考试时间： 100 分钟

、选择题 （本题共 30 分，每小题 3分）

面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．

1.

下列二次根式中，最简二次根式是（ ）

2. 2015 年 9 月 14 日，意大利物理学家马尔科 ?德拉戈收到自激光干涉引力波天文台（ LIGO ）的系统自动

提示邮件，一股宇宙深处的引力波到达地球，在位于美国华盛顿和

烈文斯顿的两个 了 4 10-18

米的空间畸变（如图中的引力波信号图像所示） 也被称作“时空中的涟漪” ，人类第一次探测到了引力波的存 在，“天空和以前不同了??你也听得到了

.”这次引力波的

信号显著性极其大， 探测结果只有三百五十万分之一的误差 三百五十万分之一约为 0.000 000 285 7.将 0.000 000 285 7用科学

记数法表示应为（

）

A ． 2.857 10-8

B. 2.857 10-7

C . 2.857 10-6

D. 0.285 7 10

-6

3. 以下图形中，不是．．轴对称图形的是（

D. 9a 2

LIGO 探测器上产生

4. 如图，在△ ABC 中，∠ B=∠ C=60 ，点D 在AB 边上，

AC 边交于点E. 如果AD= 1，BC= 6，那么CE 等于（

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

）.

5.下列各式正确的是( )

6 2 12 1

A. x x x = 12

12

2 3 3 2 C. (xy )

x y

3

x

2

y

6.化简x x 11

正确的是（

DE⊥AB，

1

3 x

小刘同学 小赵同学

那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是（ ） .

A. SAS ，HL

B. HL ，SAS

C. SAS ，AAS

D. AAS ，HL

二、填空题 （本题共 18 分，每小题 3分）

11. （ π-3） 0

= ____ .

12. 如果 x 3 在实数范围内有意义，那么的取值范围是 ________________ .

13. 在平面直角坐标系 Oy 中，点 （ 5,1）关于 y 轴对称的点的坐标为 ___________ .

14. 中国新闻网报道： 2022 年北京冬奥会的配套设施 —— “京张高铁”（北京至张家口高速铁路）将于

22

x 2 1 (x 1)2

1 A. x 1 x 1 x 1

2

B.

x 2

1 (x 1)

x1

2

x1 x1

2

x 2

1 (x 1)(x 1) C. x 1 x 1 x 1

D.

x

2

1

x1

(x 1)(x 1) 1

x 1 x 1

7. 在△

ABD 与△ ACD 中，∠ BAD=∠CAD ，且

B 点，

C 点在 A

D 边两侧，则不．一．定．能使△ ABD 和△ ACD

全等的条件是（

）.

A. BD=CD

B. ∠ B=∠C

C. AB=AC

D. ∠BDA=∠CDA

8.下列判断错误的是（

）.

2 A. 当 a ≠ 0 时，分式

有意义

a

B. 当 a 3 时，分式

a 2

3

有意义

a

2

9

C. 当 a

1

时，分式

2a a

+1的值为

2

a

2a 1

D. 当 a 1 时，分式 2a 1

的值为 1

a

9. 如图，AD 是△ ABC 的角平分线， ∠ C=20 ，AB BD AC ， 将△ ABD 沿 AD 所在直线翻折，点 B 在 AC 边上的落点记为 点 E ，那

么∠ AED 等于（

） .

A. 80

B.60

C. 40

D. 30

10. 在课堂上，张老师布置了一道画图题：

画一个 Rt △ ABC ，使∠ B=90°，它的两条边分别等于两条已知线

小刘和小赵同学先画出了∠ MBN =90°之后，后续画图的主要过程分别如下图所

2019 年底全线通车，届时，北京至张家口高铁将实现 1 小时直达. 目前，北京至张家口的列车里程约200 千米，列车的平均时速为v 千米/ 时，那么北京至张家口“京张高铁”运行的时间比现在列车运行的时间少 _____________ 小时.（用含v 的式子表示）

15.如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1 个单位长度的等边三角形组成）其中已

经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只．涂．黑．一．个．小三角形，

使它与阴影部分合起所构成的完整图形是一个轴对称图形.（1）画出其中

一种涂色方式并画出此时的对称轴；（2）满足题意的涂色方式有______ 种.

16.对于实数p，我们规定：用

表示不小于p 的最小整数，例如：<4>=4 ，< 3>=2. 现对72 进行如下操

作：

（1）对36 只需进行_______ 次操作后变为2；

（2）只需进行3 次操作后变为2的所有正整数中，最大的是_____________ .

三、解答题（本题共52 分）

17.（本题6 分，每小题3 分）分解因式：（1） a3b 5a2b2；解：

18.（本题6 分）

化简并求值：a222 a 1 a 4，其中 a 1. a2 2a a2 4a 4 a 2 19.（本题6 分）2） 3a2 12a 12. 解：

解方

程：

2 1 7

2

x 1 x 1 x 1

解：

20.（本题6 分）小华在学习二次根式时遇到如下计算题，他是这样做的：

请你先把他在第一步中出现的其它错误圈画出（不必改正），再．完．成．此．题．的．解．答．过．程．解：

21.（本题6 分）

如图，△ PAO和△ PBQ 是等边三角形，连接AB，OQ. 求证：AB =OQ.

证明：

22.（本题6 分）

阅读下列材料：

小铭和小雨在学习过程中有如下一段对话：

小铭：“我知道一般当m≠n 时， m2n ≠m n2.可是我见到有这样一个神奇的等式：

（a）2 b a=a（b a）2（其中a，b为任意实数，且b≠0）.你相信它成立吗？”

b b b b

小雨：“我可以先给a，b 取几组特殊值验证一下看看.”

完成下列任务：

1）请选择两组你喜欢的、合适的a，b 的值，分别代入阅读材料中的等式，写出代入后得到的具体等式并验证它们是否成立（在相应方框内打勾）；

① 当a= ，b= 时，等式（□成立；□不成立）

② 当a= ，b= 时，等式（□成立；□不成立）

（2）对于任意实数a，b（b≠0），通过计算说明（a）2 b a=a（b a）2是否成立.

b b b b

解：

23.（本题5 分）

阅读下列材料：

为了了解学校初二年级学生的阅读情况，小廉所在实践小组的同学们设计了相应的调查问卷，他们共发放问卷300 张，收回有效问卷290 张，并利用统计表整理了每一个问题的数据，绘制了统计图.他们的调查问卷中，有关“阅读载体的选择”和“阅读过书的类型”两个问题的统计情况如下表所示.

表1 ：

1）如图 2，在△ ABC 中， AB=3，AC=4，BC=5，EF 垂直且平分

BC ，点 P 在直线 EF 上，直接写出 PA+PB 的最小值，回答

A.

历史传记类

B.社会哲学类

C. 科普科技 类

D.文学名著 类

236 35 185 290 E.报刊杂志类

F.网络小说类

G.漫画类 H.其他 216

85

196

160

根据以上材料解答下列问题：

1）根据表 1 中的统计数据，选择合适的统计图对其进行数据的描述； 2）通过表 2 中统计出的数据你能得到哪些结论？请你说出其中的一条即可

解：（1） 24. 先阅读以下材料，再从 24.1、24.2两题中 任．选．一．题．作答

（若．两．题．都．做．以．第．一．题．为．准．）． .24.1题 5分（此

时卷面满分 100 分）， 24.2 题 7 分（卷面总分不超过 100 分）

请先在以下相应方框内打勾，再解答相应题目

24.1 解决下列两个问题：

2）

PA+PB 取最小值时点P 的位置并在．图．中．标．出

解：PA+PB 的最小值为，PA+PB 取最小值时点P 的

位置是；

（2）如图3，点M，N 分别在直线AB两侧，在直线AB 上找一点P，使得 MPB NPB .要求画图，并简要叙述确定点P 位

置的步骤.（无需尺规作图，保留画图痕迹，无需证明）

解：确定点P 位置的简要步骤：

.

24.2 借鉴阅读材料中解决问题的三个步骤完成以下尺规作．图．．．：已知三条线段h，m，c，求作△ ABC，使其BC 边上的高AH=h ，中线AD=m，AB= c.

（1）请先画草图（画出一个即可），并叙述简要的作图思路（即实现目标图的大致作图步骤）；（4 分）解：

草图（目标示意图）区

2）完成尺规作图（不．要．求．写．作．法．．，作出一个满足条件的三角形即可）. （3 分）

作图区

25.（本题6 分）

在等边△ ABC 中，点D 在BC 边上，点E在AC 的延长线上，DE =DA （如图1）

（1）求证：∠ BAD=∠EDC；

（2）点E 关于直线BC 的对称点为M，连接DM，AM.

①依题意将图2 补全；

②小姚通过观察、实验提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有DA=AM .小姚把这个猜想与同学们进行交

流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1 要证明DA=AM ，只需证△ADM 是等边三角形；想法2：连接CM ，只需证明△ ABD≌△ ACM 即

可. 请你参考上面的想法，帮助小姚证明DA=AM （一种方法即可）

1）证明：

2）①补全图形

图1

②证明：

北京市西城区第一学期期末试卷

八年级数学附加题

试卷满分： 20 分

一、填空题（本题8 分）

1.将一组数 3， 6，3，2 3， 15 ，?， 87 ，3 10 按下面的方式进行排列：

3, 6, 3, 2 3, 15,

3 2, 21, 2 6, 3 3, 30,

按这样的方式进行下去，将 15所在的位置记为（1,5）， 2 6所在的位置记为（2,3），那么

（1） 30 所在的位置应记为；

（2）在（4,1）的位置上的数是， 6 2 所在的位置应记为；

（3）这组数中最大的有理数所在的位置应记为.

二、操作题（本题4 分）

2.条件：图①和图②是由边长都为1 个单位长度的小正方形组成的网格，其中有三个图形：组块A，组块B

和组块C.

任务：在图②的正方形网格中，用这三个组块拼出一个轴对称图形（组块C 的位置已经画好），要求组块的所有顶点都在格点上，并且3 个组块中，每两．．个．组．块．要有公共的顶点或边.请画出组块A 和组块

B 的位置（用阴影部分表示，并标注字母）

说明：只画一种即可，组块A ，组块B 可在网格中平移，翻折或旋转.

三、解答题（本题8 分）

3.在平面直角坐标系Oy 中，点A 的坐标为（ 4,0），点B 的坐标为（0,b），将线

段

90 得到线段BC，连接AC.

（1）当点B 在y 轴的正半轴上时，在图1 中画出△ ABC 并求点C 的坐标（用含

（2）画图探究：当点B 在y 轴上运动且满足2≤b≤5

时，相应的点C 的运动路径形成什么图形.

①在图2 中画出该图形；

②描述该图形的特征；

③利用图3 简要证明以上结论解：（1）

2）①画图.

②该图形的特征是

③简要证明过程：

图3

BA绕点B 顺时针旋转

b 的式子表示）；

图1

图2

北京市西城区第一学期期末试卷

八年级数学参考答案及评分标准

30 3

18 3

200

11. 1. 12. ≥3. 13. (5,1). 14. ( 1).

v

15. （1）见图1（涂色1 分，画对称轴1 分）；（2）3（1分）

图1

16.（1）3（2 分）；（2）256（1 分）.

三、解答题（本题共52 分）

17.(本题6 分，每小题3 分)

解：( 1) a3b 5a2b2 a2b(a 5b)；???????????????????? 3 分

2

(2) 3a2 12a 12

3(a2 4a 4) ?????????????????????????? 4 分2

3(a 2)2. ???????????????????????????? 6 分

18.(本题6 分)

a 2 a 1 a 4

a2 2a a2 4a 4 a 2

a 2 a 1 a 2

a(a 2) (a 2)2 a 4

(a 2)(a 2) a(a 1)

a(a 2)(a 4)

a4 a(a 2)(a 4)

1

a1

a2

a(a 4) (a 2)(a 4) 3分

19. 解： 当 a 1 时， 本题 6 分） 方程两边同乘 去括号，得 11 2 2

1

a 2 2a ( 1)2

2 ( 1)

(x 1)(x 1)，得 2(x 1) (x 1) 7. 2x 2 x 1 7. 移项，合并，得 3x 6. 系数化 1，得 x 2.

经检验， x 2 是原方程的根 . 所以原方程的解为 x 2.

2

6分

2分 3分 4分 5分 6分

2分

4分

5分

4分 5分

∴∠OPA=∠QPB. ∴ OPA 3 QPB

3.

∴ ∠1=∠2. ?????????????????? 在△PAB 和△POQ 中，

PA PO,

1 2, ???????????????????????????? 4 分 PB PQ,

∴△PAB ≌△POQ. ????????????????????????? 5 分 ∴ AB=OQ . ??????????????????????????? 6 分

22. （本题 6 分）

（1）例如：

2 2 1 2 12

①

当 a= 2 ，b= 3 时，等式 ( )2

( )2

成立；

???????????

1分

3 3 3 3

23. （本题 5 分） 解：（ 1）例如：（画出一种即可）

4分

图3

1分 32 2 3 2 2 ② 当 a= 3 ， b= 5 时，等式 ( )2

( )2

成立 . ???????????

2）解： a

2

(a b

)2

ba b

2 2 2 2

a 2

b a a 2 b(b a) a 2

ab b 2

b

2

b b

2

b

2

，????????

2 2 2 2

a b a 2 a b 2ab a a ab b ( ) 2 2

. ??????????? b b b b 2 b 2

所以等式 (b

a )

2 b

b

a =

b a

( b

b

a )2

成立. ??????????????

2分

3分

5分

6分

2）先画点 M 关于直线 AB 的对称点 M ，射线 NM

与直线 AB 的交点即为点 P. （见图 3）

5分

24.2（本题 7 分）

∴ ∠BAD=∠EDC.

1）解：草图如图 4. 1分

先由长为 h ， m 的两条线段作 Rt △ADH ，再由线段 c 作边 AB 确定点 B ， 再倍长

BD 确定点 C.

4分

∵ BAD BAC 1， EDC 2 E ， 2）①补全图形 .（见图 7）

3分

②法 1： 证明：如图 7. 由（ 1）已得 3 4.

注：画图 1 分，回答 1 分 .

2分

∵点E与点M关于直线BC对称，

可得4 5，DE=DM .

∵ DE=DA ，

∴ 3 5，DA=DM .

∵ ∠ADC 是△ABD 的外角，

∴ ADC B 3 60 3.

又∵ ADC ADM 5 ，

∴ ADM 60 .

∴ △ADM 错误！未找到引用源。是等边三角

形

∴ DA=AM . 6分法2：

证明：如图8，在AB 边上截取BF=BD ，连接CM，DF.

可得△BDF 是等边三角形，AFD DCE 120 .

∵ DA= DE ，3 4

∴ △ADF

≌△DEC.

∴ DF=EC .

∵ 点E 与点M 关于直线BC 对称，可得

4 5，CE=CM ，

DCM DCE 120 .

∴ BD= DF=EC= MC ，ACM 60 .

B ACM .

∵ △ABC 是等边三角

形，

∴ AB AC.

∴ △ABD

≌△ACM.

∴ DA=AM . 6分

北京市西城区第一学期期末试卷

八年级数学附加题参考答案及评分标准

、填空题（本题8 分）

1.解：

(1)(2,5) .?????????????????????????????2分

(2)4 3，(5,4) .??????????????????????????6分

(3) (6,2) .?????????????????????????????8 分

、操作题（本题4 分）

2.解：如图所示，任画一种即可

三、解答题（本题8 分）

3.解：（1）如图1，作CD⊥y 轴于点D.

由题意可得AB=BC ， ABC 90 ，

∴DBC OBA 90 .

∵AOB BDC 90 ，

∴OAB OBA 90 .

∴ OAB DBC .

△OAB≌△ DBC. ?????????? 2 分

OB=DC ，OA=DB . ????????? 3 分∵点A的坐标为 ( 4,0) ，点B的坐标为 (0,b) ，点B在y 轴的正半轴上，

∴ OA 4 ， OB b .

∴ OD OB BD b 4，CD OB b. ?????????????? 4 分

由题意知点C 在第二象限，

4分

∴ 点C 的坐标为 ( b ,b+4) .5分