高中数学函数的奇偶性讲义

高中数学函数的奇偶性研究讲义

一．定义：

设函数y=f(x) ,x ∈A,

如果对于任意，x ∈A,都有)()(x f x f -=-,则称函数)(x f y =为奇函数；

如果对于任意X ∈A,都有)()(x f x f =-，则称)(x f y =为偶函数，

二、 研究概念：

【定义域】函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，

（1）、若函数具有奇偶性，则其定义域一定关于原点对称，

（2）、若函数定义域不关于原点对称，则一定不具有奇偶性。

例：已知奇函数f(x)的定义域为{}0,2/><-+a a a x x ,则a 的值为（ ）

A ， 1 B, 2 C , 3 D, 4

已知函数 x

x x x f -+-=11)1()(, 则f(x)为 （ ）

A , 奇函数 B, 偶函数 C, 即奇又偶函数 D , 非奇非偶函数 ，

【函数值】 若奇函数在x=0有定义，则f(0)=0

【解析式】A ∈-?x x ,，

奇函数：0)(,1)()

(0)()()()(≠-=-?=+-?-=-x f x f x f x f x f x f x f 偶函数：0)(,1)()(0)()()()(≠=-?=--?=-x f x f x f x f x f x f x f

即奇又偶函数 )()()

()(x f x f x f x f =--=- 0)(=?x f

三、奇偶性的应用

[题型一：判断函数奇偶性]

（1）、求函数定义域、判断是否关于原点对称、

（2）、化简解析式、

（3）、寻找)(x f -与)(x f 之间的关系（相等或互为相反数）

例1、给出下列函数 ：

x x e e y x x y x y x x y --=-===、、、、)4()3(sin )2(cos )1(22 、其中奇函数是

（ ）

A. （1）和（2） B （1）和（4） C （2）和（4） D （3）和（4）

2 、函数()l x f =)1(2x g +、=)(x g (x x 2+)1-<

0 （)111≤+x 、x x h 2tan )(=中、偶函数

为________________ )1(2>+-x x

3、设函数)(x f 在),(+∞-∞内有定义，下列函数：（1），1)(1x f y -=、（2），)(2x xf y =

（3），),(x f y --= （4），)()(x f x f y --=中必为奇函数的有_______________.

特殊函数值：奇函数)(x f 在0=x 处有定义，则0)0(=f 、

例2： 1、若函数)2(log )(22a x x X f a ++=是奇函数，则=a

2、函数b a x x x f ++=11)(是奇函数的充要条件是（ ）

A, 0=ab B,0=+b a C,b a = D,022=+b a

【题型二：图像】

奇函数：关于原点对称，

偶函数：关于y 轴对称，

例：下面四个结论：（1），偶函数的图像一定与y 轴相交，（2），奇函数的图像一定通过原点，

（3），偶函数的图像关于y 轴对称，（4)即是奇函数又是偶函数的图像一定是

)(0)(r x x f ∈=其中正确的命题的个数是（ ）A,1个 B ，2个 C ，3个 D 4个

（2），函数11

12111)(2

-++-=x x x f 的图像关于（ ）A,原点对称 B,y 轴对称 C,x 轴对称， D ，直线x y =对称

（3），若函数)(X f 是奇函数，且方程0)(=x f 有三个根,3,2,1x x x 则321χχ++x 的值（ ）

A,1- B,0 C,3 D,不确定

（4），设奇函数)(x f 的定义域为][5,5-，若][5.0∈x 时，)(x f 的图像如图，则不等式

0)(

(5). 定义在【-2，2】上的偶函数)(x f ，它在[0,2]上的图像时一条线段。求不等式

x x f x f >-+)()(的解禁。

[题型三：函数运算]

奇±奇=奇； 偶±偶=偶 奇×偶=奇； 奇×奇=奇； 偶×偶=偶。→

（1），一次函数)0(≠+=a b ax y 是奇函数0=?b

（2），二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 是奇函数0=?b

（3），三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 是奇函数0==?d b

例：（1），已知b a bx ax x f ,(5)(3-+=为常数），且10)2(=-f ，则=)2(f

（2），设)(x f 是又上的任意函数，下列叙述正确的是（ ），

A,)().(x f x f -是奇函数， B,)(1)(x f x f -是奇函数

C,)()(x f x f -+是偶函数， D,)()(x f x f --是偶函数。

[题型四：分段函数]

例：（1），已知函数)(x f 是定义在（),+∞∞-上的偶函数，当)0,(-∞∈x 时，,)(4x x x f -=则当),0(+∞∈x 时，=)(x f

（2），设函数)(x f 是定义在r 上的奇函数，若当0≥x 时，)1(log )(2x x f +=，则=-)2(f

[题型五：抽象函数]

（1），设函数))((r x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=

则=)5(f （ ） A, 0 B, 1 C,2

5 D, 5 (2），已知对任意,,r y x ∈都有),2

()2(2)()(y x f y x f y f x f -+=+且,0)(≠o f 则)(x f = ( ) A,是奇函数 ， B ,是偶函数 ，C,既是奇函数又是偶函数，

D,无法确定，

（3），函数)(x f y =与)(x g y =有相同的定义域，且都不是常函数，对定义域中任何,x 有,1)()(,0)()(=-=-+x g x g x f x f 且当,1)(,0≠≠x g x 则)(1

)()(2)(x f x g x f x f +-=

（ ）A,是奇函数但不是偶函数， B,是偶函数但不是奇函数

C,既是奇函数又是偶函数， D,非奇非偶 （4），已知)(x f 是定义在r 上的不恒为零的函数，且对于任意的r b a ∈,都满足