2021-2022年高一5月月考数学(奥班)试题 含答案
2021年高一5月月考数学（奥班）试题 含答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．“ab ＜0” 是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的( )
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．若双曲线的渐近线为y ＝±3x ，则它的离心率可能是( )
A ． 3
B ．2
C ．3或23
3
D ． 233
或2
3．已知抛物线的焦点在直线x －2y －4＝0上，则此抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝16x
B ．x 2＝－8y
C ．y 2＝16x ，或 x 2＝8y
D ．y 2＝16x ，或x 2＝－8y
4．AB 为过椭圆中心的弦，F (c,0)为它的焦点，则△FAB 的最大面积为( )
A ．b 2
B ．ab
C ．bc
D ．ac
5． 已知双曲线的离心率为，则的值为( ) A ．
B ．
C ．
D ．
6．设椭圆x 24＋y 2
3＝1长轴的两端点为M 、N ，点P 异于M 、N 且在椭圆上，则PM 与PN 的斜率之
积为( ) A ．－3
4
B ．－43
C ．3
4
D ．43
7．命题“且的否定形式是( )
A. 且 B ．或 C. 且
D ．或
8．某圆锥曲线C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点 A (－2 ,23)，B (3
2，－5)，则( )
A ．曲线C 可为椭圆也可为双曲线
B ．曲线
C 一定是双曲线
C ．曲线C 一定是椭圆
D ．这样的曲线C 不存在
9．已知点为抛物线的焦点，为抛物线的顶点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为 ( ) A ．6
B ．
C ．
D ．
10．已知平行于轴的直线分别交曲线与于，两点，则的最小值为( ) A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知椭圆 (a >b >0)的左右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使
a
sin ∠PF 1F 2
＝
c
sin ∠PF 2F 1
，则该椭圆的离心率的取值范围为( )
A ．? ????0，
22 B ．? ??
??
22，1
C ．()0，2－1
D ．()2－1，1
12.已知是上的连续可导函数，当时，，则函数的零点个数为( ) A ．1
B ．2
C ．0
D ．0或2
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．设直线是曲线的一条切线，则实数的值是__________.
14．已知函数在处取得极值10，则__________.
15．如图，在四面体中，已知,,,且 ，
，则二面角的余弦值为
(第15小题图)
___________.
16．已知有公共焦点的椭圆和双曲线的中心在原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，双曲线离心率的取值范围是，则椭圆的离心率的取值范围是______________.
三、解答题
17．（本小题满分10分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，求在区间上的最大值；
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，已知底面是平行四边形，且CA＝CB＝CD＝BD＝2，
AB＝AD＝ 2.
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面BECD；
（Ⅱ）求点E到平面ACD的距离．
A
B
E C
D
19．（本小题满分12分）
已知、为抛物线上不同的两个动点（、都不与原点重合），且，于．
（Ⅰ）当点经过点时，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点的轨迹方程．
20．（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，，,，为中点。
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，试说明理由.
21. （本小题满分12分）
已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，.
经过点的直线与椭圆交于，两点.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若，求直线的倾斜角；
（Ⅲ）记与的面积分别为和，求的最大值.
22．（本小题满分12分）
已知函数的图象在处的切线垂直于y轴.
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）设函数，若对于，
总有成立，求的取值范围．
吉林一中15级高一下学期月考（5月份）
数学（奥班）参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1~4．BDDC 5~8 ． BADB 9~12．DADC
二、填空题（每小题5分，共20分）
13． 1； 14． 18； 15．； 16．
三、解答题
17．（本小题满分10分）
解析：（Ⅰ）∵，其定义域为．
∴
2
121(21)(1) ()21
x x x x
f x x
x x x
-++-+-
'=-+==．
∵，∴当时，；当时，．
故函数的单调递增区间是；单调递减区间是．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数的单调递增区间是；单调递减区间是．
当时，在区间上单调递增，的最大值；
当时，在区间上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值，也即该函数在上的最大值，此时的最大值；
∴在区间上的最大值
18．（本小题满分12分）
解析：(1)证明：取中点，连结OC ,OA.
∵BO＝DO，AB＝AD，
∴AO⊥BD，∵BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD，
在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝3，而AC＝2，∴AO2＋CO2＝AC2.
∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC.
∵BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BECD.
A
B
E
C D
O
又 平面ABD ，
所以平面ABD ⊥平面BCD ；
(3)设点E 到平面ACD 的距离为h .∵V E －ACD ＝V A －CDE ，∴13h ·S △ACD ＝1
3·AO ·S △CDE .
在△ACD 中，CA ＝CD ＝2，AD ＝2，∴S △ACD ＝1
2
×2×
22
－(
22)2＝72
. 而AO ＝1，，∴h ＝
AO ·S △CDE
S △ACD
＝. ∴点E 到平面ACD 的距离为. 19．（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）；（Ⅱ）．
20．（本小题满分12分） 解析：
21. （本小题满分12分）
解析：（I）因为为椭圆的焦点,所以又
所以所以椭圆方程为
（Ⅱ）设直线：，则由
得，。
又设，，则，。
由，即，得。
解得，从而求直线的倾斜角为或。
（Ⅲ）当直线无斜率时,直线方程为,
此时, 面积相等，
当直线斜率存在（显然）时,设直线方程为,
设
和椭圆方程联立得到,消掉得
显然，方程有根，且
此时
因为,上式，（时等号成立）
所以的最大值为
22．（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）∵的定义域是，且
∴．
由已知得k=1
∴
从而、随的变化如下表
，；；
，无极大值．
（Ⅱ）由题设，只须在上的最大值不大于的最小值即可．由（Ⅰ）知，当时，．
当时，，
（1）若，则，此时，在上单调递减，
∴满足题设．
（2）若，则，得，
当时，；当时，，
∴()
()()a ln a
a
a
ln
a
a
a
g
x
g
max
+
=
+
-
=
2
1
2
＝，故只须．
记，则，
∴在上单调递增，且，
从而，当且仅当时，有．
综上，即为所求．