大一高等数学复习题含答案

复习题

一、

单项选择题：

1、5

lg 1

)(-=

x x f 的定义域是（ D ）

A 、()),5(5,+∞∞-

B 、()),6(6,+∞∞-

C 、()),4(4,+∞∞-

D 、())5,4(4, ∞- ()),6(6,5+∞ 2、如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x)(x 2)的定义域是（ B ） A 、[1，2] B 、[1，2] C 、]2,2[- D 、]2,1[]1,2[ -- 3、函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ) A 、是奇函数，非偶函数 B 、是偶函数，非奇函数 C 、既非奇函数，又非偶函数 D 、既是奇函数，又是偶函数 解：定义域为R ，且原式(x 2+12)1=0

4、函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1

x f （ C ）

A 、21x -

B 、21x --

C 、)01(12≤≤--x x

D 、)01(12≤≤---x x 5、下列数列收敛的是（ C ）

A 、1)1()(1

+-=+n n n f n B 、?????-+=为偶数为奇数n n

n n n f ,11,11

)(

C 、?????+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1

)( D 、???????-+=为偶数为奇数n n n f n n

n

n ,2

21,221)( 解：选项A 、B 、D 中的数列奇数项趋向于1，偶数项趋向于-1，选项C 的数列极限为0 6、设1

111.0个n n y =，则当∞→n 时，该数列（ C ）

A 、收敛于0.1

B 、收敛于0.2

C 、收敛于

9

1

D 、发散 解：)10

11(91101101101111.02n n n y -=+++=

= 7、“f(x)在点0处有定义”是当→0时f(x)有极限的（ D ）

A 、必要条件

B 、充分条件

C 、充分必要条件

D 、无关条件

8、下列极限存在的是（ A ） A 、

2)1(lim x x x x +∞→ B 、1

21

lim -∞→x

x C 、x

x e 1

lim → D 、x

x x 1

lim

2++∞

→ 解：A 中原式1)1

1(lim =+

=∞

→x

x 9、x

x x

x x x sin 2sin 2lim 22+-+∞→=（ A ） A 、

2

1

B 、2

C 、0

D 、不存在 解：分子、分母同除以x2，并使用结论“无穷小量与有界变量乘积仍为无穷小量”得

10、=--→1

)

1sin(lim

21x x x （ B ） A 、1 B 、2 C 、

2

1

D 、0 解：原式=21

)

1sin()1(lim 221=--?

+→x x x x 11、下列极限中结果等于e 的是（ B ）

A 、x x x x x sin 0)sin 1(lim +

→ B 、x

x

x x x sin )sin 1(lim +∞→ C 、x

x

x x

x

sin )sin 1(lim -∞→-

D 、x

x

x x

x

sin 0)sin 1(lim +

→

解：A 和D 的极限为2， C 的极限为1 12、函数|

|ln 1

x y =

的间断点有（ C ）个 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 解：间数点为无定义的点，为-1、0、1

13、下列函灵敏在点0外均不连续，其中点0是f(x)的可去间断点的是（ B ） A 、x x f 11)(+

= B 、x x

x f sin 1

)(= C 、x

e x

f 1)9= D 、?????≥<=0

,0,)(1

x e x e x f x x

解：A 中极限为无穷大，所以为第二类间断点

B 中极限为1，所以为可去间断点

C 中右极限为正无穷，左极限为0，所以为第二类间断点

D 中右极限为1，左极限为0，所以为跳跃间断点 14、下列结论错误的是（ A ）

A 、如果函数f(x)在点0处连续，则f(x)在点0处可导

B 、如果函数f(x)在点0处不连续，则f(x)在点0处不可导

C 、如果函数f(x)在点0处可导，则f(x)在点0处连续

D 、如果函数f(x)在点0处不可导，则f(x)在点0处也可能连续 15、设f(x)(1)(2)(3),则f ’(0)=( A ) A 、6 B 、3 C 、2 D 、0

16、设f(x)，则=??--→?x

x a f a f x )

()(lim

0（ B ）

A 、a sin

B 、a sin -

C 、a cos

D 、a cos -

解：因为原式=)()

()(lim 0a f x

x a f a f x '=?-?--→?

17、x y 2cos 2

=，则=dy （ D ）

A 、dx x x )2()2(cos 2

'' B 、x d x 2cos )2(cos 2

' C 、xdx x 2sin 2cos 2- D 、x xd 2cos 2cos 2

18、f(x)在点0处可微，是f(x)在点0处连续的（ C ） A 、充分且必要条件 B 、必要非充分条件

C 、充分非必要条件

D 、既非充分也非必要条件 19、设x

n

e

x y 2-+=，则=)0()

(n y

（ A ）

A 、n n )2(!-+

B 、n!

C 、1

)

2(!--+n n D 、2

20、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ A ） A 、2-56 [2，3] B 、2

)

1(1-=

x y [0，2]

C 、x

xe y -= [0，1] D 、?

??≥<+=5,15

,1x x x y [0，5]

21、求下列极限能直接使用洛必达法则的是（ B ）

A 、x x x sin lim

∞→ B 、x x

x sin lim 0→ C 、x x x 3sin 5tan lim 2

π→

D 、x x x x sin 1

sin

lim

20→

22、设232)(-+=x

x

x f ，则当x 趋于0时（ B ）

A 、f(x)与x 是等价无穷小量

B 、f(x)与x 是同阶非等价无穷小量

C 、f(x)是比x 较高阶的无穷小是

D 、f(x)是比x 较低阶的无穷小量

解：利用洛必达法则

13ln 2ln 1

3ln 32ln 2lim 232lim )(lim 00000≠+=+-+=→→→x x x x x x x x x x f 23、函数x

x

e

e x

f -+=)(在区间（-1，1）内（ D ）

A 、单调增加

B 、单调减少

C 、不增不减

D 、有增有减 24、函数2

1x x

y -=

在（-1，1）内（ A ）

A 、单调增加

B 、单调减少

C 、有极大值

D 、有极小值 25、函数(x)在0处取得极大值，则必有（ D ） A 、f ’(x 0)=0 B 、f ”(x 0)<0

C 、f ‘(x 0)=0且f “(x 0)<0

D 、f ‘(x 0)=0或f ‘(x 0)不存在

26、f ‘(x0)=0，f “(x0)>0是函数f(x)在点0处以得极小值的一个（ B ） A 、必要充分条件 B 、充分非必要条件

C 、必要非充分条件

D 、既非必要也非充分条件 27、函数3+121在定义域内（ A ）

A 、单调增加

B 、单调减少

C 、图形上凹

D 、图形下凹

28、设函数f(x)在开区间（a ，b ）内有f ‘(x)<0且f “(x)<0，则(x)在(a ，b)内（ C ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调增加，图形下凹 C 、单调减少，图形上凹 D 、单调减少，图形下凹 29、对曲线53，下列结论正确的是（ D ）

A 、有4个极值点

B 、有3个拐点

C 、有2个极值点

D 、有1个拐点 30、若

?

+=C e x dx x f x 22)(，则f(x)=（ D ）

A 、z

e x 22 B 、z

xe

24 C 、x

e x 222 D 、)1(22x xe x

+

31、已知x y 2='，且1时2，则( C ) A 、x 2 B 、x 2 C 、x 2+1 D 、x 2+2 32、=?

x d arcsin （ B ） A 、x arcsin

B 、x arcsin

C 、x arccos

D 、x arccos

33、设)(x f '存在，则[]

='

?)(x df （ B ）

A 、f(x)

B 、)(x f '

C 、f(x)

D 、)(x f ' 34、若

?+=C x

dx x f 2

)(，则=-?dx x xf )1(2（ D ）

A 、C x +-2

2)1(2 B 、C x +--2

2)1(2 C 、

C x +-22)1(21

D 、C x +--22)1(2

1

解：C x x d x f dx x xf +--=---=-??

222

22

)1(2

1)1()1(21)1( 35、设

?+=C x dx x f sin )(，则=-?

dx x

x f 2

1)(arcsin （ D ）

A 、

B 、

C x +-21sin C 、C x +2)(arcsin 2

1

D 、 解：原式=

?+=+=C x c x x d x f )sin(arcsin arcsin )(arcsin

36、设x

e

x f -=)(，则

='?dx x x f )

(ln （ C ）

A 、C x +-1

B 、

C x +-ln C 、C x

+1

D 、

解：原式=

C x

C e C x f x d x f x +=

+=+='?

-1

)(ln ln )(ln ln 37、设?+=C x dx x xf arcsin )(，则

?

=dx x f )

(1

（ B ） A 、C x +--

32)1(43 B 、C x +--32)1(31 C 、C x +-322)1(43 D 、C x +-32

2)1(3

2

解：对?

+=C x dx x xf arcsin )(两端关于x 求导得

2

11)(x

x xf -=

，即2

11)(x

x x f -=

，

所以

C x x d x dx x x dx x f +--=---=-=??

?22222)1(3

1

)1(1211)(1 38、若是f(x)的一个原函数，则?

='dx x f x )(（ A ） A 、 B 、

C 、

D 、

解：由为f(x)的一个原函数知f(x)，则使用分部积分公式得

39、设x e f x

+='1)(，则f(x)=（ B ）

A 、1

B 、

C 、C x x ++2

2

D 、 40、下列积分可直接使用牛顿—莱布尼茨公式的是（ A ） A 、

dx x x ?

+5

23

1 B 、dx x

dx ?--1121 C 、?-402

2

3

)5(x xdx D 、

?

1

1ln e

x

x xdx

解：选项A 中被积函数在[0，5]上连续，选项B 、C 、D 中被积函数均不能保证在闭区间上连续 41、

≠?

-2

2

|sin |ππdx x （ A ）

A 、0

B 、?

2

|sin |2πdx x C 、?--0

2

)sin (2πdx x D 、?20

sin 2π

xdx

42、使积分

?

=+-2

2232)1(dx x kx 的常数（ C ）

A 、40

B 、-40

C 、80

D 、-80 解：原式=

325

202)11(2)1()1(22202

22==+-=++?-k x k x d x k 43、设?

??≤≤-<≤-+=10,10

1,12)(x x x x f x ，则

=?

-1

1

)(dx x f （ B ）

A 、312ln 21+

B 、352ln 21+

C 、312ln 21-

D 、3

52ln 21- 解

：

35

2ln 2101)1(3210)22

ln 1(1)12()(231

2

1

1

1

+=---+=-++=?

??

--x x dx x dx dx x f x x

44、?

+-=

x

dt t t y 0

2)2()1(，则

==0

x dx

dy

（ B ）

A 、-2

B 、2

C 、-1

D 、1 解：(1)2(2)

45、下列广义积分收敛的是（ B ） A 、

?1

0x dx

B 、?10x dx

C 、?10x x dx

D 、?103x dx

解：四个选项均属于?

1

p x

dx

，该广义积分当p<1时收敛，大于等于1时发散 二、填空题 1、?

=+dx e

x

e x （ ）

解：原式x

x

x

e x

e e x

e de e dx e e ==??

? 2、已知一函数的导数为2

11)(x x f -=

，且当1时，函数值为

π2

3

， 则此函数F(x)=( π+x arcsin )

解：

π

π=∴=+=+=-=∴='?

C C F C

x dx x

x F x f x F ,2

3

1arcsin )1(arcsin 11)()()(2

3、曲线2

x e y -=的上凸区间是（ （2

2,22-

） ） 解：2

2,)12(2,22

2

2±

=∴-=''-='--x e x y xe

y x x 4、

=+?

-xdx x x 322cos )sin (2

2

π

π（ 8

π

） 解：

????--

=-===∴2

2202022222

232

38

24cos 1212sin 412cos sin 0

cos cos ππππ

π

ππdx x xdx xdx x xdx x ，x 为奇函数

5、若f(x)的一个原函数是，则

?=''dx x f )(（ ）

解：x x f x x f x x x f cos )(,sin )(,cos )(sin )(-=''-='='= 6、设2222)ln()(a x a x x x x f +-++

=，其中0≠a ，则='')0(f （

a

1

） 解：2

2

222222222222

2221

)0(1)2211(1)()

ln(221)2211()ln()(a f a x a x x

a x x x f a x x a x x a x x a x x x a x x x f =

''+=

+?+++=''++=+?-+?+

+++

++='

7、曲线?+=+=t

y t t x sin 1cos cos 2上对应于4π

=t 的点外的法线斜率为（ 21+ ）

8、设)2(2

x f y =，而x x f tan )(='，则==8

πx dy （ π2 ）

解：

)2tan(4)2()2(222x x x x f dx

dy

='?'= 9、=++++++∞→)2211(lim 222

n

n n n n n （ 21

）

10、设1

)1(lim

)(2+-=∞→nx x

n x f n ，则f(x)的间断点为（ 0 ）

解：x 不等于0时，x

n x n n x x f n 1

1

11lim )(2=

-+-=∞

→ 0时，f(x)(0)=0,显然x 不等于0时，f(x)=1 连续，又)0()(lim 0

f x f x ≠∞=→

三、计算题

1、求极限222

2

0sin 112lim x

x x x x +-+→ 参考答案：

原式=81)

(81lim )](81211[12lim 444

0444220=-=+-+-+→→x

x o x x x o x x x x x 2、求极限

)

1ln()13()

1(113

20

lim

x e x x x

x x +----+→ 参考答案：

利用等价无穷小：x x x x a x a x e x

x

αα

~1)1(,~)1ln(,ln ~1,~1-++-- 原式=

3ln 32lim 31lim 3ln 1)1(lim 11lim 3ln 1)3(ln )1(11lim 202202023202320-=?????

? ???-=???? ??---+=?---+→→→→→x x x x x x e x x x x e x x x x x x x x x

3、设?

??-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x ，求2

2dx y

d 参考答案：

)

cos 1(sin t a t

a x y dx dy t t -=''= 232

22)cos 1(1)cos 1(1cos )cos 1(1)cos 1(sin sin )cos 1(cos )

(

t a t a t t a t t t t t dx dt dx dy dt d dx dx dy d dx y d --=

--=-?-?--=??

?? ??==

4、求由方程y

xe y +=1所确定隐函数的二阶导数2

2dx

y

d 参考答案：

把原方程两边对自变量x 求导，得

dx

dy xe e dx dy y y ?+= 解得y

e xe e dx dy y

y y -=-=21 则3

222

2)2()3()2()()2()2(y e y y dx dy

e y dx dy e y e dx d dx

y d y y y

y

-?-=----?=-=

5、近似计算数e 的值，使误差不超过10-2

参考答案：

n x x n x x e !

1!2112+++

+≈ 令1)!

1(!1!2111++++++=?n e n e θ

要使误差310-

1(3

-<+≤n R n

经计算，只需取5,所以

72.27167.20083.00417.01667.05.2!

51

!2111≈=+++=+++

+≈ e 6、讨论函数)1()(3

x x x f -=的凸性与相应曲线拐点 参考答案：

函数的定义为R

3243)(x x x f -='

)21(6126)(2x x x x x f -=-=''

由0)(=''x f 可得0,1/2 列表如下：

所以凹区间为),21()0,(+∞?-∞ 凸区间为)2

1,0(

拐点为（0，0）和)161

,21( 7、 求函数2

2y x x

=+的单调区间、极值点

参考答案：

定义域为(,0)(0,)-∞?+∞．

由32221

22x y x x x

-'=-=，令0y '=得驻点1x =，列表给出单调区间及极值点：

所以，函数的单调递减区间为(,0)-∞，(0,1]，单调递增区间为[1,)+∞，极小值点为(1,3) 8、 求由,,2y x y

x x

所围图形的面积

参考答案：

120

1

7

4()d (d )

233

A

x x x

x x x 9、设2

10

()0

x

x x f x e

x -?+≤=?>?，求31

(2)d f x x -?．

参考答案：

方法一：先作变量代换

23

1

1

2

1

1

1

(2)d ()d (1)d d x t

t f x x f t t t t e t -=----=

=++?

?

??

3

01111

147

[]

13

33

t

t t e e e ----=+-=

-+=-． 方法二：先给出2

(2)

1(2)2

(2)2

x x x f x e

x --?+-≤-=?>?，于是 3

2

3

2

(2)11

1

2

7(2)d [1(2)]d d 3

x f x x x x e x e ----=+-+=

-?

?? 10、求曲线33)1(x x y -+=在A （-1，0），B （2，3），C （3，0）各点处的切线方程 参考答案：