立体几何初步第14课时1_2_3空间中的垂直关系__直线与平面垂直课时作业新人教B版必修二
第14课时 1.2.3 空间中的垂直关系——直线与平面垂直
课时目标
为异面直线，∴a′与b′相交，又a′?平面α，b′?平面α，∴l⊥平面α.故选B.
3．已知a，b，c是直线，α，β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥α的是( ) A．a⊥b，a⊥c，且b?α，c?α
B．a⊥b，b∥α
C．α⊥β，a∥β
D．a∥b，b⊥α
答案：D
解析：如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故选D.
4．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
B．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若n∥m，n⊥α，则m⊥α
答案：D
解析：对于A，若m∥n，则α与β可以相交；对于B，m与n还可以异面；对于C，n 还可以在平面α内；对于D，显然正确．故选D.
5．已知三条相交于一点的线段PA，PB，PC两两垂直，PH⊥平面ABC于点H，则垂足H 是△ABC的( )
A. 外心 B．内心
C．垂心 D．重心
答案：C
解析：∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，∵BC?平面PBC，∴PA⊥BC.∵PH⊥平面ABC，∴PH⊥BC.又PA∩PH＝P，∴BC⊥平面PAH，∴BC⊥AH.同理可证AB⊥CH，AC⊥BH，∴H为△ABC的垂心．
6．如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则直线A1D，AA1，A1D1，A1C1中与B1O垂直的是( )
A．A1D B．AA1
C．A1D1 D．A1C1
答案：D
解析：连接B1D1，则A1C1⊥B1D1.根据正方体的特征，可得BB1⊥A1C1，故A1C1⊥平面BB1D1D.又B1O?平面BB1D1D，所以B1O⊥A1C1.
二、填空题(每个5分，共15分)
7．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是__________．
答案：菱形
解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又因为PC⊥BD，所以BD⊥平面PAC，又AC ?平面PAC，所以AC⊥BD.
的中点，AC＝6，
?平面ABC，∴EC⊥
，AC＝6，故AB＝
5.
BCD中，∠BDC＝90°，，连接EG，FG.
的中点，∴EG∥AC，FG∥BD.
1.
，∴EG⊥FG，
，连结EO，则EO为△PDB
⊥平面PAD?CD⊥AE.
⊥平面PCD.
ABC中，PA＝BC＝3，
，在线段AB上是否存在一点的位置；若不存在，请说明理由．
2＝25，PB2＝PA2＋AB2
ABC.
，使得PB⊥平面CEF.
.
.
PAB.
.
，所以∠ACB＝90°，
高中数学立体几何线面垂直的证明
立体几何证明 【知识梳理】 1. 直线与平面平行 判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行?线面平行”） 性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行?线线平行”） 2.．直线与平面垂直 判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直?线面垂直”） 判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 性质1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。 （线面垂直?线线垂直） 性质2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 三。平面与平面 空间两个平面的位置关系：相交、平行. 1. 平面与平面平行 判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行?面面平行”） 2. 两个平面垂直 判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直?面面垂直”） 性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.（面面垂直?线面垂直）
知识点一 【例题精讲】 1.在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点。 （1）求证：EF//平面11D ABC ；（2）求证： 平面B 11D C C B 1⊥ EF C B 1⊥； （3）求三棱锥EFC B -1的体积V. 2.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的 中点, PA ＝AD ＝AB ＝1. （1）证明: //EB PAD 平面; （2）证明: BE PDC ⊥平面; （3）求三棱锥B -PDC 的体积V . 3、如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点，证明： （1）AE ⊥CD （2）PD ⊥平面ABE ．
专题4：立体几何中垂直关系的证明基础练习题
专题4：立体几何中垂直关系的证明基础练习题 1．如图，在四棱锥P–ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，P A=AD=CD=2， BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且 1 3 PF PC =，求证：CD⊥平面P AD. 2．如图所示，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，1 PA=，P在平面ABC内的射影为BF的中点O.证明PA BF ⊥. 3．如图所示，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A,B 的任意一点，A1A=AB=2.求证:BC⊥平面A1AC． 4．如图，在三棱锥P-ABC中，CD AB ⊥，垂足为D，PO⊥底面ABC，垂足为O,且O在CD上，求证：AB PC ⊥.
5．已知AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面,C是圆上任一点．求证:平面ABC⊥平面PAC. 6．三棱锥P—ABC中，PO⊥面ABC，垂足为O，若PA⊥BC，PC⊥AB，求证： （1）AO⊥BC （2）PB⊥AC 7．P为正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥面ABCD，AE⊥PB，求证：AE⊥PC． 8．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD 上异于C，D的点.证明：平面AMD 平面BMC. 9．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1，证明：BE⊥平面EB1C1
10．如图，在四棱锥P?ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A =PD ，E 为AD 的中点.求证：PE ⊥BC . 11．如图所示，四面体ABCD 中，O 为BD 的中点，2AC BC CD BD ====，2AB AD ==，求证：AO ⊥平面BCD . 12．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=，PA ⊥底面ABCD ，且2AP AD AB BC ===，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.求证：DM PB .
(完整版)高中立体几何证明垂直的专题训练
高中立体几何证明垂直的专题训练 深圳龙岗区东升学校—— 罗虎胜 立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。 （2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3） 利用勾股定理。 （4） 利用三角形全等或三角行相似。 (5) 利用直径所对的圆周角是直角，等等。 (1) 通过“平移”,根据若αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,// 1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB= 2 1 DC ，中点为PD E .求证：AE ⊥平面PDC. 分析：取PC 的中点F ，易证AE//BF ，易证 B F ⊥平面PDC 2．如图，四棱锥P －ABCD ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点． 求证：平面PCE ⊥平面PCD ； 分析：取PC 的中点G ，易证EG//AF ，又易证A F 于是E G ⊥平面PCD,则平面PCE ⊥平面PCD （第2题图）
3、如图所示，在四棱锥P ABCD -中， AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是CD 上的点，且 1 2 DF AB = ,PH 为PAD ?中AD 边上的高。 （1）证明：PH ABCD ⊥平面； （2）若121PH AD FC ===，，，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF PAB ⊥平面. 分析：要证EF PAB ⊥平面，只要把FE 平移到DG ，也即是取AP 的中点G ，易证EF//GD, 易证D G ⊥平面PAB 4.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形 ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, P A ＝AD 。 证明: BE PDC ⊥平面; 分析：取PD 的中点F ，易证AF//BE, 易证A F ⊥平面PDC （2）利用等腰三角形底边上的中线的性质 5、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=o ，AP BP AB ==， PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； A C B P
立体几何证明垂直专项含练习题及答案
立体几何证明------垂直 一.复习引入 1.空间两条直线的位置关系有：_________,_________,_________三种。 2.（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相_________. 3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。 4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行 5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么_________________________. 6.两个平面的位置关系:_________,_________. 7.判定定理1：如果一个平面有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行. 8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行，那么其中一个平面的所有直线都_____于另一个平面. 二．知识点梳理 要点诠释：定义中“平面的任意一条直线”就是指“平面的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线 线垂直线面垂直） Ⅰ.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二 面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）
二面角的平面角的三个特征: ⅰ. 点在棱上 ⅱ. 线在面 ⅲ. 与棱垂直 Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；围：000180θ<<. 知识点四、平面和平面垂直的定义和判定 （垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼） 三．常用证明垂直的方法 立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。 （2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3） 利用勾股定理。 （4） 利用直径所对的圆周角是直角 (1) 通过“平移”,根据若则a //b,且b⊥平面α,a⊥平面α 1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB=2 1 DC ，中点为PD E . 求证：AE ⊥平面PDC. 2．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ， ∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点．求证：平面PCE ⊥平面PCD ； （第2题
立体几何平行垂直问题专题复习
立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1.直线与平面平行的判定与性质 2.面面平行的判定与性质 平行问题的转化关系： 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义：直线l与平面a内的 ____________ 都垂直，就说直线丨与平面a互相垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理及推论
该直线与此平面 垂直 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另 一条直线也垂直这个平面 3.直线与平面垂直的性质定理 文字语言图形语言付号语言 性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直 线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 二、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言图形语言付号语言 判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言图形语言付号语言性质定理 两个平面垂直，则 一个平面内垂直于
交线的直线垂直于 另一个平面 【典例探究】 类型一、平行与垂直 例1、如图，已知三棱锥A BPC 中，AP PC, AC BC, M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△ PMB 为正三角形。(I)求证： DM //平面 APC ； (U)求证：平面 ABC 平面APC ； (川)若BC 4，AB 20，求三棱锥 D BCM 的体积。 例2.如图，已知三棱柱 ABC A ,BQ 中，AA ,底面ABC ， AC BC 2，AA , 4， AB 22，M 占 八、、? (I)求证：CN 平面ABB iA ； (U)求证：CN // 平面 AMB ,； (川)求三棱锥的体积. 【变式1】?如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱AA i 平面ABC ， ABC 为等 腰直角三角形， BAC 90，且 AB AA 1， D,E,F 分别是 B 1A,CC 1,BC 的中点。 (1)求证：DE//平面ABC ; 2)求证：B 1F 平面AEF ; (3)设AB a ，求三棱锥D AEF 的体积。 二、线面平行与垂直的性质 例3、如图4,在四棱锥P ABCD 中，平面PAD 平面ABCD ， AB // DC ， △ PAD 是等边三角形，已知BD 2AD 4， AB 2DC 2 5 . (1)求证：BD 平面PAD ; (2)求三棱锥A PCD 的体 B1 积. M N 分别是棱CC i ，AB 中 A i B A
立体几何中垂直地证明
全方位教学辅导教案 线面垂直的判定及其性质 ●知识要点 1.线面垂直 （1）定义： 如果直线l 与平面α的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥. l －平面α的垂线，α－直线l 的垂面，它们的唯一公共点P 叫做垂足. （2）判定定理：（线线垂直→线面垂直） 一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. ☆ 符号语言：若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m α，n α，则l ⊥α. （3）性质定理：（线面垂直→线线平行） 垂直于同一个平面的两条直线平行. 2.二面角 （1）定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－） （2）二面角的平面角： 在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 围：000180θ<<. 3.面面垂直 （1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作αβ⊥. （2）判定定理：（线面垂直→面面垂直） 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （3）性质定理：（面面垂直→线面垂直） 两个平面垂直，则一个平面垂直于交线的直线与另一个平面垂直. “垂直关系”常见证明方法 （一）直线与直线垂直的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。
6、如图，在四棱锥P－ABCD中， PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝ AB＝BC，E是PC的中点． (1)求证：CD⊥AE；(2)求证：PD⊥面ABE. 题型二、面面垂直的判定与性质 1、如图AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC垂直平面PBC。 2、如图，棱柱111 ABC A B C - 的侧面11 BCC B 是菱形， 11 B C A B ⊥ 证明：平面 1 AB C⊥平面 11 A BC； 3、已知：如图，将矩形ABCD沿对角线BD将BCD折起，使点C移到点 1 C，且1 C AB D O AB 在平面上的射影恰好在上。 1 1 (2). BDC ⊥ ⊥ 1 1 （）求证：AD BC 求证：面ADC面
§3.2 立体几何中的向量方法(二)——空间向量与垂直关系
§3.2立体几何中的向量方法(二) ——空间向量与垂直关系 课时目标 1.能利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系． 1．空间垂直关系的向量表示 空间中的垂直关系 线线垂直线面垂直面面垂直 设直线l的方向向量为a ＝(a1，a2，a3)，直线m 的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?______ 设直线l的方向向量是a＝ (a1，b1，c1)，平面α的法向量 u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α? ________ 若平面α的法向量u＝(a1，b1 ， c1)，平面β的法向量为v＝ (a2，b2，c2)，则α⊥β? ________ 线线垂直线面垂直面面垂直 ①证明两直线的方向向量的数 量积为______． ①证明直线的方向向量与平面的法向 量是______． ①证明两 个平面的 法向量 _________ ___． ②证明两直线所成角为 ______. ②证明直线与平面内的相交直线 ________. ②证明二 面角的平 面角为 ________._ _______. 一、选择题 1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于() A．1B．2C．3D．4 2．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是() A．等边三角形B．等腰三角形 C．直角三角形D．等腰直角三角形 3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则() A．l∥αB．l⊥α C．l?αD．l与α斜交
4．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交但不垂直 C ．垂直 D ．不能确定 5．设直线l 1的方向向量为a ＝(1，－2,2)，l 2的方向向量为b ＝(2,3,2)，则l 1与l 2的关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交不垂直 D ．不确定 6. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面中心，则AC 1与CE 的位置关系 是( ) A ．平行 B ．相交 C ．相交且垂直 D ．以上都不是 二、填空题 7．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝______. 8．已知a ＝(0,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有______对． 9．下列命题中： ①若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β?u·v ＝0； ②若u 是平面α的法向量且向量a 与α共面，则u·a ＝0； ③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． 正确的命题序号是________．(填写所有正确的序号) 三、解答题 10．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱 CC 1上的点，且CN ＝1 4 CC 1.求证：AB 1⊥MN . 11．已知ABC —A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.
立体几何专题训练(附答案)
立体几何 G5 空间中的垂直关系 18．、[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF； (2)求二面角D- AF- E的余弦值． 图1-4 19．、[2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD ＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值． 19．解：(1)如图(a)，因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD. 因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.而AC∩BD＝O，因此CC1⊥底面ABCD. 由题设知，O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD. (2)方法一：如图(a)，过O1作O1H⊥OB1于H，连接HC1. 由(1)知，O1O⊥底面ABCD O1O⊥A1C1. 又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形， 因此A1C1⊥B1D1，从而A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥OB1，于是OB1⊥平面O1HC1. 进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角．
不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，OB 1＝7. 在Rt △OO 1B 1中，易知O 1H ＝OO 1·O 1B 1OB 1＝237.而O 1C 1＝1，于是C 1H ＝O 1C 21＋O 1H 2 ＝ 1＋12 7 ＝ 197 . 故cos ∠C 1HO 1＝O 1H C 1H ＝ 23 7197 ＝25719. 即二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为257 19 . 方法二：因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直． 如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，于是相关各点的坐标为O (0，0，0)， B 1(3，0，2)， C 1(0，1，2)． 易知，n 1＝(0，1，0)是平面BDD 1B 1的一个法向量． 设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量，则?????n 2·OB →1＝0，n 2·OC →1＝0，即???3x ＋2z ＝0， y ＋2z ＝0. 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以n 2＝(2，23，－3)． 设二面角C 1-OB 1-D 的大小为θ，易知θ是锐角，于是 cos θ＝|cos 〈，〉|＝??????n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2319＝25719. 故二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719 . 19． 、、[2014·江西卷] 如图1-6，四棱锥P - ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD . 图1-6 (1)求证：AB ⊥PD .
立体几何空间中的垂直关系及答案
空间中的垂直关系 1．线线垂直 如果两条直线所成的角是______(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直． 2．直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说______________________，记作______．直线l叫做______________，平面α叫做______________．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做______．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的________． (2)判定定理：一条直线与一个平面内的______________都垂直，则该直线与此平面垂直． 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．用符号表示：a∥b，a⊥α?b⊥α． (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__________． 3．直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角． 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．任一直线与平面所成角θ的范围是____________． 4．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的______________________叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作______________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是__________． 5．平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直． (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面垂直． 自查自纠： 1．直角 2．(1)直线l与平面α互相垂直l⊥α平面α的垂线 直线l的垂面垂足距离(2)两条相交直线(3)平行 3．锐角[0°，90°] 4．(1)两个半平面所组成的图形(2)垂直于棱[0°，180°] 5．(1)直二面角(2)垂线(3)交线 (2018·广东清远一中月考)已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，给出下列命题：①α⊥β?l ∥m；②α∥β?l⊥m；③l⊥m?α∥β；④l∥m?α⊥β，其中正确命题的序号是() A．①②③B．②③④C．①③D．②④ ． (2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则() A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD
立体几何平行垂直问题专题复习
立体几何平行、垂直问题【基础知识点】 一、平行问题 1．直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β，a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系： 二、垂直问题
一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面 3．直线与平面垂直的性质定理 文字语言图形语言符号语言性质定理 垂直于同一个平面 的两条直线平行 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直
线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 二、平面与平面垂直 【典例探究】 类型一、平行与垂直 例1、如图，已知三棱锥A BPC -中， ,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB
F D E C1 A1 C A 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ； （Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。 例 2. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，2AC BC ==，14AA =， 22AB =，M ，N 分别是棱1CC ，AB 中点. （Ⅰ）求证：CN ⊥平面11ABB A ； （Ⅱ）求证：//CN 平面1AMB ； （Ⅲ）求三棱锥1B AMN -的体积． 【变式1】. 如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ?为等腰直角 三角形， 90=∠BAC ，且1AA AB =，F E D ,,分别是BC CC A B ,,11的中点。 （1）求证：//DE 平面ABC ； （2）求证：⊥F B 1平面AEF ； （3）设AB a =，求三棱锥D AEF -的体积。 二、线面平行与垂直的性质 例3、如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知24BD AD ==，225AB DC == A B C A 1 B 1 C 1 M N
立体几何中垂直地证明
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5、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，,AB AC PA ABCD ⊥⊥平面，且 PA AB =,点E 是PD 的中点。 ⑴求证：AC PB ⊥； ⑵求证：PB AEC ∥平面； 6、 如图，在四棱锥P －ABCD 中， PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ， ∠ABC ＝60°，PA ＝ AB ＝BC ，E 是PC 的中点． (1)求证：CD ⊥AE ；(2)求证：PD ⊥面ABE. 题型二、面面垂直的判定与性质 1、如图AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的任意一点，求证：平面PAC 垂直平面PBC 。 2、如图，棱柱 111 ABC A B C -的侧面 11 BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ 证明：平面1AB C ⊥平面11A BC ； 3、已知：如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 将BCD 折起，使点C 移到点1C ，且
1C ABD O AB 在平面上的射影恰好在上。 11(2). BDC ⊥⊥1 1（）求证：AD BC 求证：面ADC 面 4、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 5、已知四面体ABCD 中，CD BD AC AB ==,,平面⊥ABC 平面BCD ,E 为棱BC 的中点。 （1）求证：⊥AE 平面BCD ; （2）求证：BC AD ⊥; 6、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC. O B C 1 A D C
历年高考数学真题精选31 立体几何中的垂直关系
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题31 垂直关系（学生版） 1．（2019?北京）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）若60ABC ∠=?，求证：平面PAB ⊥平面PAE ； （Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得//CF 平面PAE ？说明理由． 2．（2015?重庆）如图，三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，2 ABC π ∠= ，点D 、E 在线段AC 上，且2AD DE EC ===，4PD PC ==，点F 在线段AB 上，且//EF BC ． （Ⅰ）证明：AB ⊥平面PFE ． （Ⅱ）若四棱锥P DFBC -的体积为7，求线段BC 的长． 3．（2015?福建）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直 于圆O 所在的平面，且1PO OB ==， （Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证；AC ⊥平面PDO ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值； （Ⅲ）若2BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．
4．（2014?四川）在如图所示的多面体中，四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形 （Ⅰ）若AC BC ⊥，证明：直线BC ⊥平面11ACC A ； （Ⅱ）设D 、E 分别是线段BC 、1CC 的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线//DE 平面1A MC ？请证明你的结论． 5．（2014?福建）如图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，CD BD ⊥． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ； （Ⅱ）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积． 6．（2014?广东）如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，1AB =，2BC PC ==作如图2折叠；折痕//EF DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF CF ⊥． （1）证明：CF ⊥平面MDF ； （2）求三棱锥M CDE -的体积．
立体几何线线垂直专题史上最全
立体几何垂直总结 1、线线垂直的判断： 线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 2、线面垂直的判断： （1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 （2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 （3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 （4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 3、面面垂直的判断： 一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 证明线线垂直的常用方法： 例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1） BC AC CE AB AE BE =??⊥?=? 同理，AD BD DE AB AE BE =? ?⊥?=? 又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE 又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB PD =，E 为PA 的中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ． A E D B C
例3、(线线、线面垂直相互转化)已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC 例4、(直径所对的圆周角为直角)如图2所示，已知PA 垂直于圆O 在平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 的圆周上异于A 、B 的任意一点，且PA AC =，点E 是线段PC 的中点.求证： AE ⊥平面PBC . 证明：∵PA ⊥O e 所在平面，BC 是O e 的弦，∴BC PA ⊥. 又∵AB 是O e 的直径，ACB ∠是直径所对的圆周角，∴BC AC ⊥. ∵,PA AC A PA =?I 平面PAC ，AC ?平面PAC . ∴BC ⊥平面PAC ，AE ?平面PAC ，∴AE BC ⊥. ∵PA AC =，点E 是线段PC 的中点.∴AE PC ⊥. ∵PC BC C =I ,PC ?平面PBC ，BC ?平面PBC . ∴AE ⊥平面PBC . 例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF . 求证：BD ⊥平面AED ； 证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°， 所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°. 又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°， 因此∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD . 又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ?平面AED ， 所以BD ⊥平面AED . S D C B A A C B P E O g 图2
立体几何垂直证明(基础)
立体几何垂直的证明 类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直） （1）共面垂直：掌握几种模型 ①等腰（等边）三角形中的中线 ②菱形（正方形）的对角线互相垂直 ③勾股定理中的三角形 ④ 直角梯形 ⑤利用相似或全等证明直角。 【例1】在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心， E 为1CC 中点,求证： (1) 1A O OE ⊥ (2) 1A O BDE ⊥平面 （2）异面垂直（利用线面垂直来证明） 【例2】在正四面体ABCD 中， 求证：AC BD ⊥ 【变式1】如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，已知 ο60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． 证明：AD PB ⊥；
【变式2】如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点， 将△AED,△DCF分别沿, DE DF折起，使,A C两点重合于'A. 求证:'A D EF ⊥； 【变式3】如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB是等边三角形，∠P AC=∠PBC=90 o。 证明：AB⊥PC 类型二：直线与平面垂直证明 方法○1利用线面垂直的判断定理 【例3】在正方体 1111 ABCD A B C D -中，,求证： 11 AC BDC ⊥平面 【变式1】如图：直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90?.E为BB1的中点，D点在AB上且DE= 3 . 求证：CD⊥平面A1ABB1； B E ' A D F G
P C B A D E 【变式2】如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的 中点，2, 2.CA CB CD BD AB AD ====== 求证：AO ⊥平面BCD ； 【变式3】如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．3PA =，2AD =，23AB =6BC = ()1求证：BD ⊥平面PAC ○ 2利用面面垂直的性质定理 【例4】在三棱锥P-ABC 中，PA ABC ⊥底面,PAC PBC ⊥面面，BC PAC ⊥求证：面。 【变式1】在四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，侧面PAB 是等腰三角形，且 PAB ABCD ⊥面底面,求证：BC PAB ⊥面
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总 （一）立体几何中平行问题 证明直线和平面平行的方法有： ①利用定义采用反证法； ②平行判定定理； ③利用面面平行，证线面平行。 主要方法是②、③两法 在使用判定定理时关键是确定出面内的 与面外直线平行的直线. 常用具体方法：中位线和相似 例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证：PC∥面BDQ. 证明：如图，连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形， ∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内， 且O Q是△APC的中位线， ∴PC∥O Q. ∵PC在平面BDQ外， ∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证： (1)E、F、B、D四点共面； （2）面AMN∥面EFBD.
证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图， 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥ 21B 1D 1.∴EF ∥2 1 BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面. （2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ?面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O , ∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q. 而O Q ?平面EFBD ， ∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ?面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD. 例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=4 6， A 是P 1D 的中点，沿A B 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PE C ； 证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，
立体几何垂直证明
立体几何垂直证明方法技巧授课教师：吴福炬
类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直） （1） 共面垂直：掌握几种模型 ①等腰（等边）三角形中的中线 ②菱形（正方形）的对角线互相垂直 ③勾股定理中的三角形 ④ 直角梯形 ⑤利用相似或全等证明直角。 例：在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心， E 为1CC 中点,求证： (1) 1A O OE ⊥ (2) 1A O BDE ⊥平面
（2） 异面垂直（利用线面垂直来证明） 例1 在正四面体ABCD 中， 求证：AC BD ⊥ 变式1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形， 已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． 证明：AD PB ⊥；
变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中 点，点F是BC的中点，将△AED,△DCF分别沿, DE DF折起， 使,A C两点重合于'A. 求证:'A D EF ⊥； 变式3如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB是等边三角形， ∠P AC=∠PBC=90 o证明：AB⊥PC 类型二：直线与平面垂直证明 B E ' A D F G
方法○1利用线面垂直的判断定理 例：在正方体1111ABCD A B C D -中，,求证：1 1AC BDC ⊥平面 变式1：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90?.E 为BB 1 的中点，D 点在AB 上且DE = 3 . 求证：CD ⊥平面A 1ABB 1； 变式2：如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的
立体几何平行垂直问题专题复习
【基础知识点】 」、平行问题 1.直线与平面平行的判定与性质 2.面面平行的判定与性质 、垂直问题 、直线与平面垂直 1 .直线和平面垂直的定义： 直线I 与平面a 内的 ___________________ 都垂直，就说直线 I 与平面a 互相垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理及推论 立 体 几 何 平 行 垂 直 问 题 平行问题的转化关系: 41*
面，那么另一条直线也 垂直这个平面 文字语言图形语言付号语言 性质定理垂直于冋一个平面的两条直线平行 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线 ②垂直于同一个平面的两条直线平彳 _____ ③垂直于同一条直线的两平面平彳 ______ 二、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言图形语言付号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平 面垂直 2 文字语言图形语言付号语言 性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的 直线垂直于另一个平 面 【典例探究】类型一、平行与垂直 例1、如图，已知三棱锥 A BPC中，AP PC, AC BC, M为AB中点，D为
PB中点，且△ PMB为正三角形。（I）求证: DM // 平面APC ; （U）求证：平面ABC 平面APC ; （川）若BC 4，AB 20，求三棱锥 D 例2. 如图，已知三棱柱ABC ABC,中，
AC BC 2, AA 4 , AB 2.2 , M , N 分别是棱CC,, AB 中点? (I)求证：CN 平面ABB,A ； (U)求证：CN// 平面AMB,; (川)求三棱锥B, AMN的体积. 【变式11 .如图，三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA i平面ABC，ABC为等腰直角三角形，BAC 90，且AB AA1 , D,E,F分别是 点。 (1)求证：DE//平面ABC ; (2)求证：B1F 平面AEF ; (3)设AB a，求三棱锥D AEF的体积。 二、线面平行与垂直的性质 例3、如图4,在四棱锥P ABCD中，平面PAD平面ABCD， AB 〃DC，△ PAD是等边三角形，已知BD 2AD 4， AB 2DC 2.5 . (1)求证：BD 平面PAD ；(2)求三棱锥A PCD的体 积. 例4、如图，四棱锥P—ABCD中, PD 平面ABCD底面ABCD为正方形，BC=PD=2 E为PC的中点，CG ^CB. (I )求证：PC BC ; (II )求三棱锥 3 C- DEG W 体积； (III ) AD边上是否存在一点M,使得PA//平面MEG若存在，求AM的长；否则，说明理由。 【变式2】直棱柱ABCDABCD底面ABCD是直角梯形，/ BAD^Z AD G90°，AB= 2AD= 2CD= 2. (I)求证：AC 平面BBCQ; ( II) A1B上是否存一点P，使得DP与平面BCB B1 B1A, CC1, BC