人教版必修五解三角形精选难题及其答案
人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.锐角△ABC中，已知a=√3，A=π
3
，则b2+c2+3bc的取值范围是( )
A. (5，15]
B. (7，15]
C. (7，11]
D. (11，15]
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA=2sinBcosC，则△ABC
的形状为( )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
3.在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=√3，则a?2b+c
sinA?2sinB+sinC
的值等于( )
A. 2√39
3B. 26
3
√3 C. 8
3
√3 D. 2√3
4.在△ABC中，有正弦定理：a
sinA =b
sinB
=c
sinC
=定值，这个定值就是△ABC的外接圆
的直径.如图2所示，△DEF中，已知DE=DF，点M在直线EF上从左到右运动(点M不与E、F重合)，对于M的每一个位置，记△DEM的外接圆面积与△DMF的外
接圆面积的比值为λ，那么( )
A. λ先变小再变大
B. 仅当M为线段EF的中点时，λ取得最大值
C. λ先变大再变小
D. λ是一个定值
5.已知三角形ABC中，AB=AC，AC边上的中线长为3，当三角形ABC的面积最大
时，AB的长为( )
A. 2√5
B. 3√6
C. 2√6
D. 3√5
6. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，
b =
c ，且满足sinB
sinA =1?cosB cosA
.若
点O 是△ABC 外一点，∠AOB =θ(0<θ<π)，OA =2OB =2，平面四边形OACB 面积的最大值是( )
A. 8+5√3
4
B. 4+5√34
C. 3
D. 4+5√32
7. 在△ABC 中，a =1，b =x ，∠A =30°，则使△ABC 有两解的x 的范围是( )
A. (1，2√3
3
)
B. (1，+∞)
C. (2√3
3
，2)
D. (1，2)
8. △ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB ????? +AC ????? =2AO ????? ，且|OA ????? |=|AC
????? |，则△ABC 的面积为( )
A. √3
B. √3
2
C. 2√3
D. 1
9. 在△ABC 中，若sinBsinC =cos 2A
2，则△ABC 是( )
A. 等边三角形
B. 等腰三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
10. 在△ABC 中，已知∠C =60°.a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则a
b+c +b
c+a 为
( )
A. 3?2√3
B. 1
C. 3?2√3或1
D. 3+2√3
11. 设锐角△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 a =1，B =2A ，
则b 的取值范围为( )
A. (√2，√3)
B. (1，√3)
C. (√2，2)
D. (0，2)
12. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足2bcosB =acosC +
ccosA ，若b =√3，则a +c 的最大值为( )
A. 2√3
B. 3
C. 3
2
D. 9
二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）
13. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且acosC +1
2c =b ，则角A 的大
小为______ ；若a =1，则△ABC 的周长l 的取值范围为______ ．
14. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对边的长分别为a ，b ，c.已知a +√2c =2b ，sinB =
√2sinC ，则sin C
2= ______ ．
15. 已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ?b =ccosB ?ccosA ，则
△ABC 的形状是______ ． 16. 在△ABC 中，若
a 2
b 2=tanA
tanB ，则△ABC 的形状为______ ．
17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a ?b)sinB =asinA ?csinC ，
且a 2+b 2?6(a +b)+18=0，则AB ????? ?BC ????? +BC ????? ?CA ????? +CA ????? ?AB ????? = ______ ． 18. 如果满足∠ABC =60°，AC =12，BC =k 的三角形恰有一个，那么k 的取值范围是
______ ．
19. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，外接圆半径为1，且满足
tanA tanB
=
2c?b b
，则△ABC 面积的最大值为______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共132.0分）
20. 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，且√3a =2csinA ．
(1)求角C 的大小；
(2)若a =2，且△ABC 的面积为3√3
2
，求c 的值．
21. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知asinB =√3bcosA ．
(1)求角A 的大小；
(2)若a =√7，b =2，求△ABC 的面积．
22.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinA?csinC=
(a?b)sinB．
(1)求角C的大小；
(2)若边长c=√3，求△ABC的周长最大值．
23.已知函数f(x)=√3sinxcosx?cos2x?1
，x∈R．
2
(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；
(2)已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f(C)=0，若向量
m??? =(1，sinA)与n?=(2，sinB)共线，求a，b的值．
24.已知△ABC中，A (1)求△ABC的外接圆半径和角C的值； (2)求a+b+c的取值范围． 25.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足(2a?c)cosB=bcosC， (1)求角B的大小； (2)若△ABC的面积为为3√3 且b=√3，求a+c的值． 4 26.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且(2+b)(sinA? sinB)=(c?b)sinC (1)求角A的大小； (2)求△ABC的面积的最大值． 27.已知函数f(x)=2cos2x+2√3sinxcosx(x∈R)． (Ⅰ)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的单调递增区间； ]内恒有两个不相等的实数解，求实数t的取值(Ⅱ)若方程f(x)?t=1在x∈[0，π 2 范围． 28.已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量m??? =(cosA+1，√3)，n?=(sinA，1)， 且m??? //n?； (1)求角A； (2)若1+sin2B =?3，求tanC． cos?2B?sin?2B 29.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1?sin C 2 (1)求sinC的值 (2)若a2+b2=4(a+b)?8，求边c的值． 30.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：(a+c)(sinA?sinC)= sinB(a?b) (I)求角C的大小； (II)若c=2，求a+b的取值范围． 答案和解析 【答案】 1. D 2. A 3. A 4. D 5. A 6. A 7. D 8. B 9. B10. B11. A12. A 13. 60°；(2，3] 14. √2 4 15. 等腰三角形或直角三角形 16. 等腰三角形或直角三角形 17. ?27 2 18. 0 19. 3√3 4 20. 解：(1)△ABC是锐角，a，b，c是角A，B，C的对边，且√3a=2csinA．由正弦定理得：√3sinA=2sinC?sinA ∵△ABC是锐角， ∴sinC=√3 2 ， 故C=π 3 ； (2)a=2，且△ABC的面积为3√3 2 ， 根据△ABC的面积S=1 2acsinB=1 2 ×2×b×sinπ 3 =3√3 2 解得：b=3． 由余弦定理得c2=a2+b2?2abcosC=4+9?2×3=7 ∴c=√7． 故得c的值为√7． 21. (本题满分为14分) 解：(1)∵asinB=√3bcosA，由正弦定理得sinAsinB=√3sinBcosA.…(3分)又sinB≠0， 从而tanA=√3.…(5分) 由于0 所以A=π 3 .…(7分) (2)解法一：由余弦定理a 2=b 2+c 2?2bccosA ，而a =√7，b =2，A =π 3，…(9分) 得7=4+c 2?2c =13，即c 2?2c ?3=0． 因为c >0，所以c =3.…(11分) 故△ABC 的面积为S =1 2 bcsinA = 3√3 2.…(14分) 解法二：由正弦定理，得√7sin π3 =2 sinB ， 从而sinB =√21 7，…(9分) 又由a >b 知A >B ， 所以cosB = 2√77 ． 故sinC =sin(A +B)=sin(B +π 3)=sinBcos π 3+cosBsin π 3= 3√21 14 .…(12分) 所以△ABC 的面积为1 2 bcsinA = 3√3 2 .…(14分) 22. 解：(1)由已知，根据正弦定理，asinA ?csinC =(a ?b)sinB 得，a 2?c 2=(a ?b)b ，即a 2+b 2?c 2=ab ． 由余弦定理得cosC =a 2+b 2?c 2 2ab =1 2． 又C ∈(0，π)． 所以C =π 3． (2)∵C =π3，c =√3，A +B =2π3 ， ∴a sinA =b sinB = √3 √3 2 =2，可得：a =2sinA ，b =2sinB =2sin(2π3 ?A)， ∴a +b +c =√3+2sinA +2sin(2π 3?A) =√3+2sinA +2( √3 2cosA +12 sinA) =2√3sin(A +π 6)+√3 ∵由0 2π 3 可知，π6 6 ，可得：12 6)≤1． ∴a +b +c 的取值范围(2√3，3√3]. 23. 解：(1)由于函数f(x)=√3sinxcosx ?cos 2x ?12=√3 2sin2x ?1+cos2x 2?12 =sin(2x ?π 6)?1， 故函数的最小值为?2，最小正周期为2π 2=π． (2)△ABC 中，由于f(C)=sin(2C ?π 6)?1=0，可得2C ?π 6=π 2，∴C =π 3． 再由向量m ??? =(1，sinA)与n ? =(2，sinB)共线可得sinB ?2sinA =0． 再结合正弦定理可得b =2a ，且B = 2π3 ?A ． 故有sin(2π 3?A)=2sinA ，化简可得tanA =√33 ，∴A =π6 ，∴B =π 2 ． 再由a sinA =b sinB =c sinC 可得a sin π6 =b sin π2 =3 sin π3 ， 解得a =√3，b =2√3． 24. 解：(1)由正弦定理c sinC =2R =1，∴R =1 2． 再由a =cosB ，b =cosA ，可得cosB sinA =cosA sinB ，故有sinAcosA =sinBcosB ， 即sin2A =sin2B ． 再由A 2． (2)由于a +b +c =cosB +cosA +sinC =sinA +cosA +1=√2sin(A +π 4)+1． 再由O 4，可得π4 <π2 ，∴√22 4 )<1， ∴2<√2sin(A +π 4)+1<√2+1， 即a +b +c 的取值范围为(2，√2+1)． 25. 解：(1)又A +B +C =π，即C +B =π?A ， ∴sin(C +B)=sin(π?A)=sinA ， 将(2a ?c)cosB =bcosC ，利用正弦定理化简得：(2sinA ?sinC)cosB =sinBcosC ， ∴2sinAcosB =sinCcosB +sinBcosC =sin(C +B)=sinA ， 在△ABC 中，00，∴cosB =1 2，又0 3 (2)∵△ABC 的面积为3√3 4 ，sinB =sin π 3= √3 2 ， ∴S =1 2acsinB =√34 ac = 3√3 4 ，∴ac =3，又b =√3，cosB =cos π 3=1 2， ∴由余弦定理b 2=a 2+c 2?2accosB 得：a 2+c 2?ac =(a +c)2?3ac =(a +c)2? 9=3， ∴(a +c)2=12，则a +c =2√3 26. 解：(1)△ABC 中，∵a =2，且(2+b)(sinA ?sinB)=(c ?b)sinC ， ∴利用正弦定理可得(2+b)(a ?b)=(c ?b)c ，即b 2+c 2?bc =4，即b 2+c 2?4=bc ， ∴cosA = b 2+ c 2?a 2 2bc =bc 2bc =1 2， ∴A =π 3． (2)再由b 2+c 2?bc =4，利用基本不等式可得4≥2bc ?bc =bc ， ∴bc ≤4，当且仅当b =c =2时，取等号， 此时，△ABC为等边三角形，它的面积为1 2bcsinA=1 2 ×2×2×√3 2 =√3， 故△ABC的面积的最大值为：√3． 27. 解：(I)f(x)=2cos2x+2√3sinxcosx=cos2x+√3sin2x+1 2sin(2x+π 6 )+1 令?π 2+2kπ≤2x+π 6 ≤+2kπ(k∈Z) 解得：kπ?π 3≤x≤kπ+π 6 (k∈Z) 由于x∈[0，π] f(x)的单调递增区间为：[0，π 6]和[2π 3 ，π]. (Ⅱ)依题意：由2sin(2x+π 6 )+1=t+1 解得：t=2sin(2x+π 6 ) 设函数y1=t与y2=2sin(2x+π 6 ) 由于在同一坐标系内两函数在x∈[0，π 2 ]内恒有两个不相等的交点． 因为：x∈[0，π 2 ] 所以：2x+π 6∈[π 6 ，7π 6 ] 根据函数的图象：当2x+π 6∈[π 6 ，π 2 ]sin(2x+π 6 )∈[1 2 ，1]，t∈[1，2] 当2x+π 6∈[π 2 ，7π 6 ]时，sin(2x+π 6 )∈[?1 2 ，1]，t∈[?1，2] 所以：1≤t<2 28. 解：(1)∵m??? //n?，∴√3sinA?cosA=1， 2(sinA?√3 2?cosA?1 2 )=1，sin(A?π 6 )=1 2 ， ∵0 6 6 <5π 6 ， ∴A?π 6=π 6 .∴A=π 3 ． (2)由题知1+sin2B cos?2B?sin?2B =?3， ∴(cosB+sinB)2 (cosB+sinB)(cosB?sinB) =?3， ∴cosB+sinB cosB?sinB =?3， ∴1+tanB 1?tanB =?3，∴tanB=2． ∴tanC=tan[π?(A+B)]=?tan(A+B)=?tanA+tanB 1?tanAtanB =8+5√3 11 ． 29. 解：(1)∵sinC+cosC=1?sin C 2 ∴2sin C 2 cos C 2 +1?2sin2 C 2 =1?sin C 2 ∴2sin C cos C ?2sin2 C =?sin C ∴2sin2C 2 ?2sin C 2 cos C 2 =sin C 2 ∴2sin C 2 (sin? C 2 ?cos C 2 )=sin C 2 ∴sin C 2 ?cos? C 2 = 1 2 ∴sin2C 2 ?sinC+cos2 C 2 = 1 4 ∴sinC= 3 (2)由sin C 2?cos C 2 =1 2 >0得π 4 2 <π 2 即π 2 ∴cosC=?√7 4 ∵a2+b2=4(a+b)?8 ∴(a?2)2+(b?2)2=0 ∴a=2，b=2 由余弦定理得c2=a2+b2?2abcosC=8+2√7 ∴c=1+√7 30. (本题满分为12分) 解：(I)在△ABC中，∵(a+c)(sinA?sinC)=sinB(a?b)， ∴由正弦定理可得：(a+c)(a?c)=b(a?b)，即a2+b2?c2=ab，…(3分)∴cosC=1 2 ， ∴由C为三角形内角，C=π 3 .…(6分) (II)由(I)可知2R=c sinC=√3 2=4√3 3 ，…(7分) ∴a+b=4√3 3(sinA+sinB)=4√3 3 [sinA+sin(A+π 3 )] =4√3 3(3 2 sinA+√3 2 cosA)=4sin(A+π 6 ).…(10分) ∵0 3 ， ∴π 6 6 <5π 6 ， ∴1 2 6 )≤1， ∴2<4sin(A+π 6 )≤4 ∴a+b的取值范围为(2，4].…(12分) 【解析】 1. 解：由正弦定理可得，a sinA=b sinB=c sinC=√3√3 2 =2，∴b=2sinB，c=2sinC， ∵△ABC为锐角三角形， ∴0° ∴30° ∵bc=4sinBsin(120°?B)=4sinB(√3 2cosB+1 2 sinB) =2√3sinBcosB+2sin2B=√3sin2B+(1?cos2B)=2sin(2B?30°)+1， ∵30° ∴30°<2B?30°<150°， ∴1 2 ∴2<2sin(2B?30°)+1≤4， 即2 ∵a=√3，A=π 3 ，由余弦定理可得：3=b2+c2?bc，可得：b2+c2=bc+3，∴b2+c2+3bc=4bc+3∈(11，15]． 故选：D． 由正弦定理可得，a sinA =b sinB =c sinC =√3 √3 2 =2，结合已知可先表示b，c，然后由△ABC为 锐角三角形及B+C=120°可求B的范围，再把所求的bc用sinB，cosB表示，利用三角公式进行化简后，结合正弦函数的性质可求bc的范围，由余弦定理可得b2+c2+ 3bc=4bc+3，从而可求范围． 本题综合考查了正弦定理和面积公式及两角和与差的正弦、余弦公式及辅助角公式的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用，属于中档题． 2. 解：因为sinA=2sinBcosc， 所以sin(B+C)=2sinBcosC， 所以sinBcosC?sinCcosB=0，即sin(B?C)=0， 因为A，B，C是三角形内角， 所以B=C． 三角形为等腰三角形． 通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状． 本题考查两角和的正弦函数的应用，三角形的判断，考查计算能力，属于基础题． 3. 解：∵∠A =60°，b =1，S △ABC =√3=12bcsinA =12×1×c ×√3 2 ， ∴c =4， ∴a 2=b 2+c 2?2bccosA =1+14?2×1×4×1 2=13， ∴a =√13， ∴a?2b+c sinA?2sinB+sinC =a sinA =√13 √3 2 = 2√393 ． 故选：A ． 先利用面积公式求得c 的值，进而利用余弦定理可求a ，再利用正弦定理求解比值． 本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正弦定理求解． 4. 解：设△DEM 的外接圆半径为R 1，△DMF 的外接圆半径为R 2， 则由题意，πR 1 2πR 22=λ， 点M 在直线EF 上从左到右运动(点M 不与E 、F 重合)， 对于M 的每一个位置，由正弦定理可得：R 1=12DE sin∠DME ，R 2=12DF sin∠DMF ， 又DE =DF ，sin∠DME =sin∠DMF ， 可得：R 1=R 2， 可得：λ=1． 故选：D ． 设△DEM 的外接圆半径为R 1，△DMF 的外接圆半径为R 2，则由题意，πR 1 2πR 22=λ，由正弦 定理可得：R 1=12DE sin∠DME ，R 2=12DF sin∠DMF ，结合DE =DF ，sin∠DME =sin∠DMF ，可得λ=1，即可得解． 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于基础题． 5. 解：设AB =AC =2x ，AD =x ． 设三角形的顶角θ，则由余弦定理得cosθ= (2x)2+x 2?92×2x×x = 5x 2?94x 2 ， ∴sinθ=√1?cos 2θ= √144?9(x 2?5)2 4x 2 ， 根据公式三角形面积S =12absinθ=12×2x ?2x ?√144?9(x 2?5)2 4x 2= √144?9(x 2?5)2 2 ， ∴当x 2=5时，三角形面积有最大值.此时x =√5． AB 的长：2√5． 设AB =AC =2x ，三角形的顶角θ，则由余弦定理求得cosθ的表达式，进而根据同角三角函数基本关系求得sinθ，最后根据三角形面积公式表示出三角形面积的表达式，根据一元二次函数的性质求得面积的最大值时的x 即可． 本题主要考查函数最值的应用，根据条件设出变量，根据三角形的面积公式以及三角函数的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质即可求出函数的最值，考查学生的运算能力.运算量较大． 6. 解：△ABC 中，∵b =c ，sinB sinA = 1?cosB cosA ，∴sinBcosA + cosBsinA =sinA ，即sin(A +B)=sin(π?C)=sinC =sinA ， ∴A =C ，又b =c ，∴△ABC 为等边三角形． ∴S OACB =S △AOB +S △ABC =1 2 ?OA ?OB ?sinθ+1 2 ?AB 2?sin π 3 =1 2 ×2×1×sinθ+ √3 4 (OA 2+OB 2?2OA ?OB ? cosθ) =sinθ?√3cosθ+ 5√34 =2sin(θ?π 3)+ 5√3 4 ． ∵0<θ<π，∴?π 3<θ?π 3<2π 3 ，故当θ?π 3=π 2时，sin(θ?π 3)取得最大值为1， 故S OACB =的最大值为2+5√34 = 8+5√3 4 ， 故选：A ． 依题意，可求得△ABC 为等边三角形，利用三角形的面积公式与余弦定理可求得S OACB =2sin(θ?π 3)+ 5√3 4 (0<θ<π)，从而可求得平面四边形OACB 面积的最大值． 题考查三角函数中的恒等变换应用，考查余弦定理的应用，求得S OACB =2sin(θ?π 3)+ 5√3 4 是解题的关键，也是难点，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题． 7. 解：结合图形可知，三角形有两解的条件为b =x > a ，bsinA ∴b =x >1，xsin30°<1， 则使△ABC 有两解的x 的范围是1 根据题意画出图形，由题意得到三角形有两解的条件为b =x >a ，bsinA 此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，画出正确的图形是解本题的关键． 8. 解：由于AB ????? +AC ????? =2AO ????? ，由向量加法的几何意义，O 为边BC 中点， ∵△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1， ∴三角形应该是以BC 边为斜边的直角三角形， ∠BAC =π 2， 斜边BC =2， 又∵|OA ????? |=|AC ????? |， ∴|AC|=1，|AB|=√BC 2?AC 2=√22?12=√3， ∴S △ABC =1 2×|AB|×|AC|=1 2×1×√3=√3 2 ． 故选：B ． 由AB ????? +AC ????? =2AO ????? ，利用向量加法的几何意义得出△ABC 是以A 为直角的直角三角形， 又|OA ????? |=|AC ????? |，从而可求|AC|，|AB|的值，利用三角形面积公式即可得解． 本题主要考查了平面向量及应用，三角形面积的求法，属于基本知识的考查． 9. 解：由题意sinBsinC = 1+cosA 2 ， 即sinBsinC =1?cosCcosB ， 亦即cos(C ?B)=1， ∵C ，B ∈(0，π)， ∴C =B ， 故选：B ． 利用cos 2A 2= 1+cosA 2 可得sinBsinC =1+cosA 2 ，再利用两角和差的余弦可求． 本题主要考查两角和差的余弦公式的运用，考查三角函数与解三角形的结合.属于基础题． 10. 解：cosC =a 2+b 2?c 2 2ab =1 2 ， ∴ab =a 2+b 2?c 2， ∴ a b+c + b c+a = ac+a 2+b 2+bc ab+(a+b)c+c 2= a 2+ b 2+(a+b) c a 2+b 2+(a+b)c =1， 故选B ． 先通过余弦定理求得ab 和a 2+b 2?c 2的关系式对原式进行通分，把ab 的表达式代入即可． 本题主要考查了余弦定理的应用.解题的关键是找到a ，b 和c 的关系式． 11. 解：锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，B =2A ， ∴0<2A <π 2，且B +A =3A ， ∴π2<3A <π． ∴π6