2011年湖南省高考数学文科试题及答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)

数学(文史类)

本试题卷包括选择题、填空题、解答题三部分,共6页,时量120分钟,满分150分

参考公式:(1)()

(|)()

P AB P B A P A =

,其中,A B 为两个基本事件,且()0P A >. (2)柱体体积公式V Sh =,其中S 为底面面积,h 为高. (3)球的体积公式3

V R π=

,其中R 为球的半径. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

题目要求的. 1. 设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M

N M C N ===则N =（）

A .{1,2,3}

B .{1,3,5}

C .{1,4,5}

D . {2,3,4} 2. 若,,a b R i ∈为虚数单位,且()a i i b i +=+,则( )

A .1,1a b ==

B . 1,1a b =-=

C . 1,1a b ==-

D . 1,1a b =-=- 3. “1x >”是“||1x >”的( )

A .充分不必要条件

B . 必要不充分条件

C . 充分必要条件

D . 既不充分也不必要条件 4. 设图1是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 ( )

A .942π+

B .3618π+

C .

9122π+ D .9182

π+ 5. 通过询问110名性别不同的的大学生是否爱好某项运动,得到如下

的列联表.由2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得,

110(40302020)7.860506050

K ?-?=≈???,附表如右下,参照附表,得到的正确

结论( ) A .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”

D .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”

6. 设双曲线22

21(0)9

x y a a -

=>的渐近线方程为320x y =±,则a 的值为( ) A .4 B .3 C .2 D .1 7. 曲线sin 1sin cos 2x y x x =

-+在点(,0)4

M π

处的切线的斜率为( )

男女总计爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计

110

2()P K k ≥

0.050 0.010 0.001 k

3.841

6.635

10.828

A .-12

B . 12

C . -22

D . 22

8. 已知函数2

()1,()4 3.x

f x e

g x x x =-=-+-若有()()f a g b =,则b 的取值范围为( )

A .[2-2,2+2]

B .(2-2,2+2)

C . [1,3]

D .(1,3)

二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

(一)选做题(请考生在第9、10两题中任选一题作答,如果全做,则按前一题记分)

9. 在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos (3x y α

αα

=???=??为参数),在极坐标系(与直角

坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,曲线2C 的方程

为(cos sin )10ρθθ-+=,则1C 与2C 的交点个数为 .

10. 已知某试验范围为[10,90],若用分数法进行4次优选试验,则第二次试点可以是（只

写出其中一个也正确）. (二)必做题(11～16题)

11. 若执行如图2所示的框图,输入12341,2,4,8,x x x x ==== 则输出的数等于 .

12. 已知()f x 为奇函数,()()9g x f x =+,(2)3g -=,

则(2)f = .

13. 设向量a ,b 满足|a|=25,b =(2,1),且a 与b 的方向相反,

则a 的坐标为 .

14. 设1m >,在约束条件,,1y x y mx x y ≥??

≤??+≤?

下,目标函数5z x y =+

的大值为4,则m 的值为。

15. 已知圆22

:12,C x y +=直线:4325.l x y +=

(1)圆C 的圆心到直线l 的距离为 ;

(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 .

16. 给定*,k N ∈设函数*:f N →*

N 满足:对于任意大于k 的正整数,n ()f n n k =-.

(1)设1,k =则其中一个函数f 在1n =处的函数值为 ;

(2)设4,k =且当4n ≤时,2()3f n ≤≤,则不同的函数f 的个数为 .

三、解答题：本大题共6个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)

在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,且满足sin cos c A a C =. (Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)3cos()4

A B π

-+的最大值,并求取得最大值时角,A B 的大小.

18. (本小题满分12分)

某河流上一座水力发电站,每年六月份的发电量Y (单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位:毫米)有关.据统计,当70X =时,460Y =;X 每增加10,Y 增加5.已知近20年X 的值为:140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. (Ⅰ)完成如下的频率分布表:

近20年六月份降雨量频率分布表

(Ⅱ)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.

19. (本小题满分12分)

如图3,在圆锥PO 中.已知2PO =,⊙O 的直径2,AB =点C 在 ⌒AB

上,且030CAB =∠,D 是AC 的中点. (Ⅰ)证明:AC ⊥平面POD ；

(Ⅱ)求直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值.

20. (本小题满分13分)

某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ,M 的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年,每年初M 的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M 的价值为上年初的75%.

(Ⅰ)求第n 年初M 的价值n a 的表达式; (Ⅱ)设12n

n a a a A n

+=,若n A 大于80万元,则M 继续使用,否则须在第n 年初对M 更新.

证明:须在第9年初对M 更新.

降雨量 70 110 140 160 200 220

频率 120 420

220

21. (本小题满分13分)

已知平面内一动点P 到点(1,0)F 的距离与点P 到y 轴距离的差等于1.

(Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程;

(Ⅱ)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ,设1l 与轨迹C 相交于2,,A B l 与轨迹C 相交于点,,D E 求AD EB ?的最小值.

22. (本小题满分13分) 设函数1

()ln ().f x x a x a R x

-∈ (Ⅰ讨论()f x 的单调性；

(Ⅱ)若()f x 有两个极值点1x 和2x ,记过点1122(,()),(,())A x f x B x f x 的直线的斜率为k .问:是否存在,a 使得2?k a =-若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.

2011年湖南省文科数学参考答案

一、选择题二、填空题

9. 2 10. 40或60 11.

154 12. 6 13. (-4,-2) 14. 3 15.(1) 5 ; (2)16

16.(1) a (a 为正整数) ,(2) 16

17．【解析】(Ⅰ)由正弦定理得sin sin sin cos C A A C =.因为0A π<<,所以sin 0A >.从而

sin cos C C =.又cos 0C ≠,所以tan 1C =,则4

C π

（Ⅱ）由(Ⅰ)知,3.4

B A π

-,于是 3cos()3cos()4A B A A ππ-+=--3cos 2sin()6

A A A π

=+=+

因为30,4A π<<

所以11.6612A πππ<+<从而当62A ππ+=,即3A π=时,2sin()6

A π+取得最大值2.综上所述3cos()4

A B π

的最大值为2.此时3

A π

,12

B 5π

18．【解析】(Ⅰ)在所给的数据中,降雨量为110毫米的有3个,为160毫米的有7个,为200毫米有

3个.故近20年六月份降雨量频率分布表为

(Ⅱ)由题知

P (“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)

=(490P Y <或530)Y >=(130P X <或210)X >=(70)(110)(220)P X P X P X =+=+= =

132320202010

++= 19．【解析】(一法)

(Ⅰ)因为OA OC =,D 是AC 的中点,所以AC OD ⊥.

又PO ⊥底面⊙O ,AC ?底面⊙O ,所以AC PO ⊥.因为,OD PO

是平面POD 内的两条相交直线,所以AC ⊥平面POD . (Ⅱ)由(Ⅰ)知,AC ⊥平面POD ,而AC ?平面PAC , 所以平面POD ⊥平面PAC .

在平面POD 中,过O 作OH PD ⊥于H ,则OH ⊥平面PAC ,连结

CH ,则CH 是OC 在平面PAC 上的射影.所以OCH ∠是直线OC 和平面PAC 所成角. 在Rt ODA ?中,0

1sin 302

OD OA ==

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A D A C B B

降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 120 320 420 720 320 2

在Rt POD ?中,22

222124

OH PO OD ==

=++在Rt OHC ?中,2sin OH OCH OC ==∠,故直线OC 和平面PAC 2

. 20．【解析】(Ⅰ)当6n ≤时,数列{}n a 是首项为120,公差为-10的等差数列,

120(1)1013010n a n n =--=-

当6n ≥时,数列{}n a 是以6a 为首项,公比为

34的等比数列,又670a =,所以6

370()4n n a -=? 因此,第n 年初M 的价值n a 的表达式6

13010,6370(),74

n n n n a n --≤??

=??≥?? (Ⅱ)设n S 表示数列{}n a 的前n 项和,由等差及等比数列的求和公式得

当16n ≤≤时,1205(1),1205(1)1255;n n S n n n A n n =--=--=- 当7n ≥时,由于6570,S = 故66678333

()570704[1()]780210(),444

n n n n S S a a a --=+++

+=+???-=-?

780210()4n n A n

--?=

.因为{}n a 是递减数列,所以{}n A 是递减数列.又 23

780210()780210()4779448280,7680,864996

A A -?-?==>==< 所以须在第9年初对M 更新.

21．【解析】(Ⅰ)设动点P 的坐标为(,)x y ,由题意有

22(1)|| 1.x y x -+=.化简得

222||.y x x =+当0x ≥时,24;y x =当0x <时,0y =.

所以,动点P 的轨迹C 的方程为2

4(0)y x x =≥和0(0)y x =<.

(Ⅱ)由题知,直线1l 的斜率存在且不为0,设为k ,则直线1l 的方程为(1)y k x =-

由22

(1),4y k x y x

=-??=?得2222

(24)0k x k x k -++= 设1122(,),(,)A x y B x y ,则12,x x 是上述方程的两个实根,

于是121224

2,1x x x x k

+=+?=

因为12l l ⊥,所以2l 的斜率为1

k -.设3344(,),(,)D x y E x y ,

则同理可得2

343424,1x x k x x +=+?=

故()()AD EB AF FD EF FB AF EF AF FB FD EF FD FB ?=+?+=?+?+?+? =||||||||AF FB FD EF ?+?=1234(1)(1)(1)(1)x x x x +++++

12123434241112112+41x x x x x x x x k k

+++++++=++++++

2184()8416.k k ++≥+?= 当且仅当2

,k k =

即1k =±时,AD EB ?取得最小值16. 22．【解析】(Ⅰ)()f x 定义域为(0,)+∞.222

()1.a x ax f x x x x

-+'=+-= 令2()1g x x ax =-+,其判别式2

4a ?=-.

(1)当||2a ≤时,0()0f x '?≤≥.故()f x 在(0,)+∞上单调递增.

(2)当2a <-时,0?>,()0g x =的两根都小于0.在(0,)+∞上,()0f x '>.故()f x 在(0,)+∞上

单调递增.

(3)当2a >时,0?>,()0g x =

的两根1222

a a x x +=

= 当10x x <<时,()0f x '>;当12x x x <<时,()0;f x '<当2x x >时,()0f x '>.

故()f x 分别在12(0,),(,)x x +∞上单调递增,在12(,)x x 上单调递减. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,2a >,因为12

12121212

()()()(ln ln ),x x f x f x x x a x x x x --=-+-- 所以,1212121212

()()ln ln 1

1f x f x x x k a x x x x x x --=

=+---

又由(Ⅰ)知,12 1.x x =于是12

ln ln 2.x x k a

x x -=-- 若存在a ,使得2k a =-,则

ln ln 1.x x x x -=-即1212ln ln x x x x -=-.亦即 2222

2ln 0(1)x x x x --=>.(*)

再由(Ⅰ)知,函数1

()2ln h t t t t

=--在(0,)+∞上上单调递增,而21x >,所以

22211

2ln 12ln101

x x x -->--=.这与(*)式矛盾.故不存在a ,使得2k a =-.