(整理)计量经济学重点笔记第九讲

第九讲 单位根、协整与误差修正模型

一、单位根过程的定义

如果{}t y 的数据生成过程是：

1t t t y y ε-=+， {}t ε是平稳过程

则{}t y 的数据生成过程被称为单位根过程。我们还可以在上述模型基础上增加截距项（所谓的漂移项）或者时间趋势项，如：

001

11t t t t t t y y y t y βεββε++--=+=++ 上述过程都属于单位根过程。

笔记：

按照附加预期的菲利普斯曲线理论：通胀率=预期的通胀率-a （失业率-自然失业率）+供给冲击。失业率与自然失业率的差异（即周期性失业率）与供给冲击一般是平稳的。假定人们采取静态预期，即预期通胀率等于过去一年的实际通胀率，则通胀率=过去一年的通胀率+平稳性变量，故基于一些假定我们可以从理论上表明通胀率是一个单位根过程。

单位根过程的一个特例是随机游走：

1t t t y y ε-=+，其中{}t ε是白噪声过程

同样，我们可以在上述模型基础上再增加截距项或者

时间趋势项。

单位根过程是非平稳过程。以随机游走模型为例， 注意到11210...t

i t t t t t t i y y y y εεεε=---=+=++==+∑ ，故有：

0()t E y y =、2()t t Var y δ=。显然，随着时间的延伸方差趋于无穷大，因此随机游走属于非平稳过程。

图一是对一个随机游走过程的模拟。

图一：1,(0,1)t NID t t t y y εε-+=

笔记： 1、有效市场理论认为股票价格应当是一个随机游走过程。在随机游走模型中，{}t ε是白噪声过程，0(,)0,t t j j Cov εε+≠=，因此有效市场理论的含义也即是股票价格变动（1t t t p p ε--=）是不可预测的。按照有效市场理论，股票价格能够及时吸纳消息，因此，如果下一时刻价格与现在价格确实存在差异，那么导致这个价格差异的消息就现在时刻来说是无法预测的，否则，现在价格将马上变动从而使价格差异消失。

2、在财富（预期未来现金流的贴现）给定的情况下，最优的消费计划是现在消费与下一期消费相等（饿一等饱一等显然不是最优）。如果下一期消费与现在的消费确实存在差异，那么导

致这个差异的原因（也许是飞来横财）在现在肯定是不知道的，否则现在的消费将作出调整，并做到现在消费与下一期消费相等。按照上述逻辑，消费将是一个随机游走过程。以上是Hall(1978)的消费随机游走理论。

二、带漂移的单位根过程与趋势平稳过程：一个比较

带漂移的单位根过程是指：1t t t y y με-=++，其中

{}t ε是平稳过程。反复迭代有：10t

i t i y y t με==++∑。在这

个表达中，t μ被称为确定性趋势项，而1t

i i ε=∑被称为随

机趋势项。

图二是对一个带漂移的随机游走过程的模拟。

图二：1,(0,1)0.1t NID t t t y y εε-+=+

所谓趋势平稳过程是指：

01

,11t t t y t y ρββρε+-<=++， {}t ε是平稳过程 由上式有：011))((t t E y t E y ββρ-=++，令01)(t E y t σσ=+，则有：

010********[()]()()1t t t t σσββρσσβρσρσβρσ=+-++-+=+++

因此有：

1101

11β

σρβρσσρ=--=- 当10β≠时，01

)(t E y t σσ=+随时间的变化而变化，因此过程{}t y 是不平稳的。然而，

0101

1111)))])([(((t t t t t t t t t t y t y y E y y E y E y t E y ββρερεββρ?+??--+???----==++=++ 令)(t t t y E y z -=，由于1ρ<，因此过程{}t z 是平稳的。注意到01

)(t E y t σσ=+是过程{}t y 的长期趋势，而过程{}t z 是通过剔除过程{}t y 的长期趋势而获得的，因此{}t y 被称为趋势平稳过程。

图三是对一个趋势平稳过程的模拟。

图三：1,(0,1)10.010.8t NID t t t y t y εε-+=++

上述两个过程都展现出明显的确定性趋势，但存在重要的区别：

1、 单位根过程是差分平稳的，而趋势平稳过程在剔

除趋势之后是平稳的；

2、单位根过程不具有均值回复性，而趋势平稳过程

具有均值回复性。

3、在回归分析中，如果有变量是趋势平稳过程，则

需要在解释变量集中引入时间趋势项。如果注意

到这一点，趋势平稳过程基本上不会对传统的计

量分析构成威胁。但变量含有单位根往往使传统

的计量分析无效。

笔记：

1、把两个服从随机游走的独立变量基于模拟样本进行回归，Engle & Newbold(1974)发现，在回归结果中，R2很大，t值的绝对值也很大。如果进行通常的显著性检验，则结果表明两变量具有显著的相关关系。注意，我们预先已知道这两个变量是独立的，因此实证结果所表明的相关关系一定是虚假的，此即“伪回归”问题。通常的显著性检验导致了错误的结论，这暗示，此时的t 统计量（与F统计量）并不服从标准的t分布（和F分布）。

2、判断回归分析是否属于“伪回归”的一个重要经验规则是“R2>D.W.”。

三、单位根检验

（一）根据图形判断

如果样本数据表现出持久偏离均值的态势，则初步判断数据生成过程是单位根过程。如果样本数据表

现出均值回复的态势，则初步判断数据生成过程是平稳过程或者趋势平稳过程。

对于非平稳过程，其样本一阶自相关函数接近于1，然后样本自相函数随着阶数的增加而缓慢衰减。应该注意，这样的非平稳过程包括趋势平稳过程与单位根过程。

（二）DF 与ADF 检验

考虑一个AR(1)过程：

1t t t y y ρε-=+，{}t ε是白噪声过程 模型可以被改写为：

1t t t y y λε-?=+

其中1λρ=-。

单位根检验等价于检验λ是否为零。该检验是一个单尾检验，我们不考虑ρ>1的情况，因为该情况意味着数据生成过程是爆炸的。建立假设体系：

1

::0(1)0(1)H H λρλρ=?=

如果计算出的τ值小于临界值（临界值是一个负

数），则在某个显著水平下拒绝原假设，反之则不拒绝原假设。

上述检验被称为DF 检验。应该注意到，我们初始所考虑的是一个AR(1)过程。现在我们考虑一个AR(2)过程：

12

12t t t t y y y φφε+--=+，{}t ε是白噪声过程 如果你阅读过第八讲附录，你将知道，当12

1φφ=+时上述过程含有一个单位根，而12

1φφ<+是过程平稳的必要条件。把上述过程变形，有：

1222122111121111

t t t t t t t t t t y y y y y y y y φφφφεφφφε---+++--?+-------=+=（）（） 令121λφφ+-=，则有：

211t t t t y y y λφε?-?+--=

现在建立假设体系：

1::00H H λλ=< 并利用τ统计量进行单位根检验。此时τ统计量同样服从DF 分布。

推广：考虑的是一个AR(p)过程，则单位根检验模型是：

11

1p i i t t t i t y y y ?λε-=+??+--∑=，{}t ε是白噪声过程 上述检验被称为扩展的DF 检验，即ADF 检验。

在ADF 检验中，一个问题是，p 为多少呢？p 值选择其关键在于，应该使{}t ε是白噪声过程。

笔记：

换一个角度考察ADF 检验模型。与DF 检验模型相比较，ADF 检验模型有众多t i y -?项。这些项的引入就是为了使得误差项是白噪声。考虑模型1t t t y y λε-?=+，其中t ε序列相关。假定t ε服从一个AR （1）过程：1t v t t ρεε=+-，其中t v 是白噪声。当原

假设为真（0λ=）时，有：11t t v v t t t y y ρρε+=+--?=?。可以发

现，新模型的误差项是白噪声；同时，新模型中的解释变量包含有原模型被解释变量（t y ?）的一阶滞后（1t y -?）。推广：当t ε服从一个AR （m ）过程时，通过引入t i y -?（i=1,2…,m ），新模型的误差项将是白噪声。但一个问题是，为什么要用AR （m ）过程来表示误差项？这是因为，即使误差项服从ARMA 或者MA 过程，但在一定条件下它们都可以被表示成无限阶的AR 过程。对于平稳过程而言，这个无限阶AR 过程中的系数是收敛于零的。因此，只要m 够大，那么AR （m ）就是对无限阶AR 过程的良好近似。

我们可以先选择一个较大的p*值，然后利用通常的t 检验来判断(1)t p y --?所对应估计系数的显著性，如果不显著，则选择p*-1，以此类推。总而言之，最终所确定的p 值应该使(1)t p y --?是显著的。在实践中我们

也常常利用一些信息准则来确定p 值。

（1）SIC(Schwarz information criterion)准则： 估计任意模型，记RSS 为残差平方和，K 为待估计参数个数，T 为样本容量，则

log log(/)SIC T

RSS T T K =?+

按照SIC 准则，p 值的确定应该使SIC 最小。

（2）AIC(Akaike information criterion)准则：

2log(/)AIC RSS T T

K =?+ 按照AIC 准则，p 值的确定应该使AIC 最小。

（3）HQIC(Hannan-Quinn information criterion)准则：

2log(log )log(/)HQIC T RSS T T

K =?+ 按照HQIC 准则，p 值的确定应该使HQIC 最小。

利用不同的信息准则可能得到的结果并不一致，Stock & Watson(Second Edition,p561) 建议利用AIC 准则确定p 值。

笔记：

理解信息准则。如果仅以残差平方和最小为模型设定的标准，那么纳入更多的解释变量就可以迎合这个标准。然而，这将付出代价——自由度降低。因此，在设定模型时存在一个权衡，

而SIC 与AIC 准则不过就是权衡的规则（事实上我们已经涉及到一个规则，即以调整的R 2最大为权衡的规则，回忆一下，该规则是否考虑了残差平方和与自由度这两个因素？）。应该注意到，在SIC 中，K 与log /T T 相乘，而在AIC 中，K 与2/T 相乘。一般来说，log /2/T T T >，因此，SIC 准则比AIC 准则更加重视自由度不足问题，于是根据SIC 准则一般会得到更加简约的模型。HQIC 准则对自由度不足问题的重视程度介于SIC 与AIC 之间。上述几个信息准则不仅应用于单位根检验模型的设定，也广泛应用于AR(p)、MA(p)、ARMA(p,q)等模型设定。

实践中ADF 检验一般具有如下三种检验模型设定。模型的选择是十分重要的，不当的选择将导致检验结论不可靠。

111:p

i

i t t t i t Model y y y v λθ=+--?=+?∑112:p

i

i t t t i t Model y a y y v λθ=+--?=++?∑ 113:p

i

i t t t i t Model y a t y y v βλθ=+--?=+++?∑ 问题是，在实践中我们到底应该选择哪一个检验模型呢？

规则一：当数据表现出较明显的确定性时间趋势时，

选择模型3。

模型3可以涵盖两种情况：第一情况是，当0λ≠时，这是一个趋势平稳过程模型，其样本数据展现出确定性的趋势；第二种情况是，当0λ=时，这是单位根过程模型。由于漂移项a 的存在，样本数据也将展现出确定性的时间趋势（通过反复迭代，你会发现，漂移项将成为变量t 的系数）。

笔记：

1、当0λ=时，由于t β的存在，变量y 将出现二次趋势，除非0β=。一般认为，经济变量具有二次趋势是不可能的，因此，0λ=隐含着0β=的假设。故我们可以利用F 统计量来检验原假设：0λβ==，不过此时的F 统计量并不服从标准的F 分布，参见更高级的教科书。

2、换一个角度考虑问题。考虑如下一个过程：

12121(1)][t t t t t y y φφφφρε+------=，{}t ε是白噪声过程 当1ρ<时上述过程是一个趋势平稳过程。上述过程的一个变形是：12121(1)(1)t t t t t y y φφφφρρρε+----=++-?，即有：

12121))((1(1)t t t t y y φφφφρρρρε--++=-+-?-

注意到当1ρ=时隐含着1221)(φφφφρρ-+=；2)0(1φρ=-。

规则二：当数据没有表现出明显的确定性时间趋势

时，选择模型2。

模型2可以涵盖两种情况：第一情况是：当0λ≠

时，这是一个平稳过程模型。第二种情况是：当0λ=时，这是一个单位根过程模型。

笔记

1、当0λ=时，由于a 的存在，变量y 将出现确定性趋势，除非0a =。故我们可以利用F 统计量来检验原假设：0a λ==，同样此时的F 统计量并不服从标准的F 分布。

2、换一个角度考虑问题。考虑如下一个过程：

111)(t t t y y φφρε+---=，{}t ε是白噪声过程 当1ρ<时上述过程是一个期望值为1φ的平稳过程。上述过程的一个变形是：111)((1)t t t y y φφρρε--+=+-?

注意到当1ρ=时隐含着110φφρ=-。

规则三：模型1基本上不用来作为检验模型。

这是因为当0λ≠时，模型表示一个期望值为零的平稳过程，而经济变量的期望值很少会为零！

笔记：

如果无法明确判断样本数据是否具有明显的确定性时间趋势，我们可以采用一种序贯检验法，参见较高级的教科书，如Walter Enders(2004)。ADF 检验是最流行的单位根检验方法，然而，该方法具有较低的检验势，即很容易不拒绝错误的原假设。很多其他的单位根检验方法，例如DF-GLS 法等方法（Stock & Watson(Second Edition,p.650-653)，被认为与ADF 检验相比具

有更高的检验势.

当λ为零的原假设不被拒绝时，我们应该意识到，这或许是因为变量y 只含有一个单位根的结果，这也可能是变量含有两个或者两个以上单位根的结果。因此，为了检验变量是否只含有一个单位根，我们应该继续对差分变量进行单位根检验。如果差分变量是平稳的，那么我们认为变量只含有一个单位根。

四、协整的定义与经济学含义

假设时间序列12,,...,t t kt x x x 都属于d 阶单整序列I(d)，即各时间序列在差分d 次后将不再含有单位根。如果一非零的常数向量12)(,,...,k a a a '使得：

1212(),0...t t kt k x x x I d b b d a a a -<≤+++

则称12,,...,t t kt x x x 之间存在阶数为（d,b ）的协整关系，i a 是协整参数。经济变量的单整阶数往往不会超过2。在实践中经常出现的情况是，12,,...,t t kt x x x 都是一阶单整的，因此，如果12,,...,t t kt x x x 协整，则：

1212(0)...t t kt k x x x I a a a +++

当一些变量都含有单位根时，除非有一种机制把这些变量联系在一起，否则这些变量会不受约束地各自漫游。问题是存在这种机制吗？经济学理论经常表明变量间存在某种长期均衡关系。如果情况确实如

此，那么各变量对这种长期均衡关系的偏离就不会持久。变量间所具有的长期均衡关系就是变量间的协整关系。

例一：期货价格是对未来现货价格的预期。在理性预期假设下，期货价格不会系统性地偏离未来现货价格，因此，期货价格与未来现货价格是协整的。

例二：购买力平价理论认为，本国物价p 与外国物价p *之比决定了名义汇率的均衡值。名义汇率不应该长期偏离其均衡值，因此，e 与p/p *是协整的。

例三：按照定义，名义利率=实际利率+预期通胀率。按照理性预期均衡的定义，在长期均衡状态下，预期通胀率等于均衡通胀率；按照费雪假设（Fisher hypothesis ），均衡实际利率为自然利率。假定自然利率是常数，则名义利率与通胀率的长期均衡关系是名义利率=常数+通胀率。因此，名义利率与通胀率是协整的。

五、协整检验

（一）协整参数已知

例如，如果(1),(1)t t

x I y I ，现在假设两变量协整，且协整参数为θ。为了检验上述假设，可以对t t y x θ-进行单位根检验。如果拒绝t t

y x θ-具有单位根的原假设，则不拒绝y t 与x t 具有协整关系的原假设。

（二）协整参数未知：EG 两步法

经常的情况是协整参数未知，例如在上例中θ未知。按照Engle & Granger(1987)提出的EG 两步法，我们首先利用OLS 法估计模型t t t y x αβε=++并得到残

差?t ε

；接下来对残差序列进行单位根检验： 11???p

i t

i t t i t γνεεβε=--=++??∑ 应该注意到，由于残差均值为零，因此对残差序列进行单位根检验时我们并没有加入截距项。

在进行上述检验时特别值得注意的是，由于我们利用?t ε来近似t

ε（误差项观测不到），故单位根检验所用的临界值表不同于通常的单位根检验临界值。事实上，此时的临界值还取决于第一步回归方程的形式。Hamilton(1994,p.766)给出了临界值表：

EG 两步法临界值表

问题是我们在第一步如何选择回归模型呢？一般的准则是，如果各变量并没有表现出明显的确定性趋

势，则选择回归模型（2）；如果有变量表现出明显的确定性趋势，则选择回归模型（3）；一般不选择模型

（1）。

笔记：

在EG 两步法之前，我们必须首先确认t t x y 、都是一阶单整

的。如果t t x y 、表现出明显的确定性趋势，则表明t t x y 、的数据生

成过程都是带漂移的单位根过程。假定两变量所对应的漂移参数分别是12λλ、，则通过反复迭代有：1200;t t t t t h y t g x x y λλ=+=+++，其中{}{}t t h g 、 都是不带漂移的一阶单整过程。注意到：

21210000())()()(t t t t t t y x t g t h t g h y x y x βββββλλλλ-=+--+-+-++=+协整的严格定义要求()t t y x β-是无趋势的I(0)过程。协整参数β将使得()t t g h β-是无趋势的I(0)过程，但与此同时，21()βλλ-并不一定是零。因此，我们不得不对协整的定义加以扩展：()t t y x β- 是可以包含趋势的I(0)过程，即()t t y x β-要么平稳要么趋势平稳。注意到：

2100)()()(t t t t y t x g h y x ββββλλ-+-++-=

令2100;;t t t y x g h ββλεαλλβ--===-，即有回归模型：

t t t y t x αλβε=+++

前面的例子是两变量情形，如果涉及到多变量，我们仍然可以利用EG 两步法，但要参照不同的临界值表，可参见

Stock & Watson(Second

Edition,p659-651)。然而在多变量情形下一个问题是，可能存在多个协整关系，但EG 两步法并没有考虑到这一点，因此，利用EG 两步法检验多变量协整检验是有缺陷的，而此时标准的检验方法是Johansen(1995)法，可参见较高级的教科书。

笔记：

如果有m 个I(1)变量，那么最多可能有m-1个独立的协整关系。为了理解这一点，我们假设m 个I(1)变量有m 个独立的协整关系，则这m 个I(1)变量必定分别可以表示成m 个平稳误差项的线性函数。显然m 个平稳误差项的线性函数是平稳的，而这将使m 个变量都是I(1)变量的前提条件不成立。

六、协整参数估计与推断

对于两变量情形，当变量间具有协整关系时，建立模型：t t t

y x αβε=++并利用OLS 法进行估计获得协整参数估计?β

。?β随着样本容量的增加会以较快的速度收敛于β，此即所谓的?β

估计量的超一致性。 笔记(参见Murray(2006,p.275-277))：

(0)t I ε，因此t ε具有均值回复性。与之相比，由于(1)t x I ，因此t x 并没有均值回复性。考虑两变量的样本相关系数，

则必有：

0n p →∞=，即两者渐进无关。应该注意到，

n p →∞

是无限的，而li n p →∞

是有限的。因此，由于

]0

n p →∞=成立，

则0n p →∞=必定成立。

在OLS 法下，有：

?ββ===

因此lim ?n n p p βββ

→∞→∞+==，即?β

估计量具有一致性。怎样理解?β

估计量的超一致性呢？现在考虑回归模型： t t t y x αβε=++'''''

在这里，t t t y x ε'''、、都是平稳变量，并且t x '与t ε'同期无关。于是

有：lim ?n n p p βββ

→∞→∞'''+=='，即?β'估计量具有一致性。

注意到n p →∞

与n p →∞都等于零，然而

在前式中n p →∞

n p →∞

的，

收

敛于零的速度。

总结：当误差项是I(0)过程而解释变量是I （1）过程时，与解释变量相联系的系数的OLS 估计量具有超一致性。

问题是，获得?β

仅仅是一方面，我们还需要对?β进行假设检验。然而，棘手之处在于，?β

的分布是非标准的。因此，通常的t 检验在这里是不适用的。

我们能不能既获得协整向量的估计同时又能够利用通常的t 检验或者F 检验？回答是肯定的。按照动态OLS （DOLS ）法，我们可以对模型：

p t t t j t j j p

x y x u λαβ-=-?+=++∑

进行OLS 估计。我们不但获得?β

，而且此时对任意系数参数的假设检验都可以利用t 检验或者F 检验。关于p 值的选择，标准的实践是p=2。关于DOLS 参见Stock & Watson(Second Edition,p660)。关于多变量协整系数的估计与推断，标准的方法是Johansen(1995)法，可参见较高级的教科书。

七、误差修正模型

（一）一个故事

一个喝醉了酒的女孩从酒吧出来随意行走。女孩的男朋友一直在她身边照顾她。因此，如果单独观察男孩子的行走路线，我们将发现他也是在随意行走。然而，男孩与女孩各自的行走路线显然具有稳定的关系。男孩喜欢抽烟，但不幸的是他没有打火机。因此，在行走过程中，男孩不时离开女孩去向其他人借打火机。不过在点好香烟后，男孩会跟上女孩。

（二）Granger 表示定理：当变量间存在协整关系，必存在误差修正机制。

回到刚才的故事。女孩的位移与男孩的位移都是随机游走过程，但两者存在协整关系。当男孩的位移偏离了女孩的位移，则均衡误差出现了，接下来男孩的位移将作出调整，试图继续维持均衡关系。应该注意到，当均衡误差出现时，女孩由于喝醉了，她不会作出调整，作出调整的是男孩；然而，如果女孩半醉半醒，她或许也将作出调整。但无论如何，总是存在一种调整机制。

（三）误差修正模型（ECM ）

以两变量为例。假设,t t y x 都是一阶单整的，但两者具有协整关系：y x θ=。根据Granger 表示定理，此时应该存在误差修正模型：

11112112()()t t t t t t t t y y x x y x λθελθε?????----?=-+?=-+

其中12t t εε、为白噪声。

思考题：

（1）1λ、2λ被称为调整速度。1λ与2λ会同时为零吗？

（2）当1λ不为零时，其符号是正还是负？当2λ不为零时，其符号是正还是负？（提示：2λ的符号依赖于θ的符号）

笔记：