高考复习资料：分类讨论思想在解题中的应用

第6讲 分类讨论思想在解题中的应用

一、知识整合

1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。

2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。

3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。

4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。

5.含参数问题的分类讨论是常见题型。

6.注意简化或避免分类讨论。

二、例题分析

例1.一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ ）

A. x y +-=70

B. 250x y -=

C. x y x y +-=-=70250或

D. x y y x ++=-=70250或

分析：设该直线在x 轴，y 轴上的截距均为a,

当a=0时，直线过原点，此时直线方程为y x x y =

-=25250，即； 当a ≠0时，设直线方程为x a y a

a +==17，则求得，方程为x y +-=70。 例2．?ABC A B C 中，已知，，求sin cos cos ==12513

分析：由于C A B =-+π()[]∴=-+=--?cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B 因此，只要根据已知条件，求出cosA ，sinB 即可得cosC 的值。但是由sinA 求cosA 时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。对角A 进行分类。 解： 051322<=

B B ，且sin 若为锐角，由，得，此时A A A A sin cos ===123032

若为钝角，由，得，此时A A A A B sin ==+>12

150180 这与三角形的内角和为180°相矛盾。可见A ≠150

[]∴=-+=-+cos cos ()cos()C A B A B π

[]=-?-?cos cos sin sin A B A B =-?-??????

?=-32513121213125326 例3.已知圆x 2+y 2=4，求经过点P （2，4），且与圆相切的直线方程。

分析：容易想到设出直线的点斜式方程y-4=k(x-2)再利用直线与圆相切的充要条件：“圆心到切线的距离等于圆的半径”，待定斜率k ，从而得到所求直线方程，但要注意到：过点P 的直线中，有斜率不存在的情形，这种情形的直线是否也满足题意呢？因此本题对过点P 的直线分两种情形：（1）斜率存在时，…（2）斜率不存在… 解（略）：所求直线方程为3x-4y+10=0或x=2

例4.解关于的不等式：x log ()a x

111-> 分析：解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式。而对数函数的单调性因底数a 的取值不同而不同，故需对a 进行分类讨论。

解：若，则原不等式等价于a >111110-

>?-<-

a x a 综上所述，当时，原不等式的解集为；a x a x >-<

1110 当时，原不等式的解集为01111<<<<-??????

a x x a 例5.解不等式542--≥x x x

分析：解无理不等式，需要将两边平方后去根号，以化为有理不等式，而根据不等式的性质可知，只有在不等式两边同时为正时，才不改变不等号方向，因此应根据运算需求分类讨论，对x 分类。

解：原不等式等价于或x x x x x x x x x ≥--≥--≥????

?<--≥???0540540540

2222

?≥-≤≤--≤≤-+??????

???<-≤≤???x x x x x 0511142114

2051或 ?≤≤-+-≤<0114250x x 或 ?-≤≤-+51142

x ∴-≤≤-+?????????

?原不等式的解集为x x 51142 例6.解关于的不等式：x ax a x 2110-++<()

分析：这是一个含参数a 的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a 分类：（1）a ≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两

根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与1a

谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。

解：（）当时，原不等式化为10101a x x =-+<∴> （）当时，原不等式化为20110a a x x a

≠--<()() ①若，则原不等式化为a x x a

<-->0110()() 1011a a <∴< ∴<>不等式解为或x a

x 11 ②若，则原不等式化为a x x a

>--<0110()() （）当时，，不等式解为i a a a

x ><<<11111 ()ii a a

x 当时，，不等式解为==∈?111 ()iii a a x a

当时，，不等式解为011111<<><< 综上所述，得原不等式的解集为

当时，解集为或a x x a x <<>??????

011；{}当时，解集为a x x =>01|；