高中数学必修四个单元测试题(附带答案解析)

第一章综合检测题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150

分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．若α是第二象限角，则180°－α是()

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

[答案] A

[解析]α为第二象限角，不妨取α＝120°，则180°－α为第一象限角．

2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是()

A．2 B．sin2

C.2

sin1D．2sin1 [答案] C

[解析]由题设，圆弧的半径r＝1

sin1

，∴圆心角所对的弧长l＝

2r＝2

sin1.

3．(2013·宁波模拟)如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单

位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )

A ．(cos θ，sin θ)

B ．(－cos θ，sin θ)

C ．(sin θ，cos θ)

D ．(－sin θ，cos θ) [答案] A

[解析] 设P (x ，y )，由三角函数定义知sin θ＝y ，cos θ＝x ，故P 点坐标为(cos θ，sin θ)．

4．(2013·昆明模拟)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝1

5x ，则tan α＝( )

A.4

3 B.3

4 C ．－3

4 D ．－43

[答案] D [解析] x <0，r ＝x 2

＋16，∴cos α＝x

x 2＋16

＝1

5x ，∴x 2＝9，∴x

＝－3，∴tan α＝－4

3.

5．如果sin α－2cos α

3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为( )

A ．－2

B ．2 C.2316 D ．－2316

[答案] D

[解析] ∵sin α－2cos α＝－5(3sin α＋5cos α)， ∴16sin α＝－23cos α，∴tan ＝－23

16.

6．如果sin α＋cos α＝3

4，那么|sin 3α－cos 3α|的值为( ) A.25

12823

B ．－25

12823 C.2512823或－25

12823 D ．以上全错 [答案] C

[解析] 由已知，两边平方得sin αcos α＝－7

32.

∴|sin 3α－cos 3α|＝|(sin α－cos α)(sin 2α＋cos 2α＋sin αcos α)|＝1－2sin αcos α·|1＋sin αcos α|＝2523128.∴sin 3α－cos 3

α＝±2523128. 7．(2013·普宁模拟)若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ的值为( )

A ．－81727 B.81727 C.82027 D ．－82027 [答案] C

[解析] ∵sin θ＋cos θ

sin θ－cos θ＝2，∴sin θ＝3cos θ

∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝3cos 2θ＋127cos 2θ＝8227cos 2θ

由???

sin θ＝3cos θsin 2

θ＋cos 2

θ＝1

得cos 2θ＝1

10

∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝82027.

8．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根， 则sin (－α－3π2)sin (3π

2－α)tan 2(2π－α)cos (π2－α)cos (π

2＋α)sin (π＋α)＝( ) A.35 B.53 C.45 D.54

[答案] B

[解析] 方程5x 2

－7x －6＝0的两根为x 1＝－3

5，

x 2＝2.则sin α＝－3

5

原式＝cos α(－cos α)tan 2α

sin α(－sin α)(－sin α)

＝－1sin α＝5

3.

9．函数y ＝sin ? ??

??2x ＋π6的一个单调递减区间为( ) A.? ??

??

π6，2π3 B.? ??

??

－π3，π6

C.? ????－π2，π2

D.? ??

??

π2，2π3 [答案] A

[解析] 令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，整理得π6＋k π≤x ≤2π

3

＋k π，所以仅有? ??

??

π6，2π3是单调递减区间．

10．将函数y ＝sin(x －π

3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移π

3个单位，得到的图象对应的解析式是( )

A ．y ＝sin 1

2x B ．y ＝sin(12x －π

2) C ．y ＝sin(12x －π

6) D ．y ＝sin(2x －π

6)

[答案] B [解析]

11．已知函数f (x )＝sin ? ????x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间???

?

??0，π2上是增函数

C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称

D ．函数f (x )是奇函数 [答案] D

[解析] ∵f (x )＝sin ? ????x －π2＝－cos x (x ∈R )， ∴T ＝2π，在???

???0，π2上是增函数． ∵f (－x )＝－cos(－x )＝－cos x ＝f (x )．

∴函数f (x )是偶函数，图象关于y 轴即直线x ＝0对称． 12．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y (米)可看作是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )，经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b ，下表是某日各时的浪高数据：

A ．y ＝12cos π

6t ＋1 B ．y ＝12cos π6t ＋3

2 C ．y ＝2cos π6t ＋3

2 D ．y ＝12cos6πt ＋3

2

[答案] B

[解析] ∵T ＝12－0＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π

6. 又最大值为2，最小值为1，

则??

?

A ＋b ＝2，－A ＋b ＝1，

解得A ＝12，b ＝3

2，

∴y ＝12cos π6t ＋32.

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

13．若cos(75°＋α)＝1

3，其中α为第三象限角，则cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝________.

[答案] 22－13

[解析] cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－cos(75°＋α)－sin(α＋75°)．∵180°<α<270°，∴255°<α＋75°<345°.又∵cos(α＋75°)＝13，∴sin(α＋75°)＝－23 2.∴原式＝－13＋232＝22－13.

14．函数y ＝lg(sin x )＋16－x 2的定义域为________________． [答案] [－4，－π)∪(0，π) [解析]

由已知，得?

??

sin x >0，

16－x 2

≥0.解得

??

?

2k π

－4≤x ≤4，

即x ∈[－4，－π)∪(0，π)．

15．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)

＋B (A >0，ω>0，|φ|<π

2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f (x )＝________.

[答案] 2sin ? ????π

4x －π4＋6

[解析]

由题意得??

?

A ＋

B ＝8，－A ＋B ＝4，

解得A ＝2，B ＝6.

周期T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π

4.

∴f (x )＝2sin ? ??

??π4x ＋φ＋6. 又当x ＝3时，y ＝8，

∴8＝2sin ?

??

??

3π4＋φ＋6.

∴sin ?

??

??3π4＋φ＝1，取φ＝－π4.

∴f (x )＝2sin ?

??

??π

4x －π4＋6.

16．关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π

3)(x ∈R )，有下列命题： ①函数y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos(2x －π

6)； ②函数y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数y ＝f (x )的图象关于点(－π

6，0)对称； ④函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π

6对称．

其中，正确的是________．(填上你认为正确命题的序号) [答案] ①③

[解析] ①f (x )＝4sin(2x ＋π3)＝4cos(π2－2x －π3)＝4cos(－2x ＋π

6)＝4cos(2x －π6)．②T ＝2π2＝π，最小正周期为π.③∵2x ＋π

3＝k π，当k ＝0时，x ＝－π6，函数f (x )关于点(－π6，0)对称．④2x ＋π3＝π

2＋k π，当x ＝－π6时，k ＝－1

2，与k ∈Z 矛盾．∴①③正确．

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本题满分10分)(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值；

(2)已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值；

(3)已知角α终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为，

求2sin α＋cos α的值．

[解析] (1)∵r ＝x 2＋y 2＝5，∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.

(2)∵r ＝x 2

＋y 2

＝5|a |，∴当a >0时，r ＝5a ，∴sin α＝－3a 5a ＝－3

5，

cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－2

5；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－3a －5a ＝35，

cos α＝－4

5，

∴2sin α＋cos α＝2

5.

(3)当点P 在第一象限时，sin α＝35，cos α＝4

5， 2sin α＋cos α＝2；当点P 在第二象限时，sin α＝3

5，

cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当点P 在第三象限时，sin α＝－3

5，cos α＝－4

5，2sin α＋cos α＝－2；

当点P 在第四象限时，sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－2

5. 18．(本题满分12分)已知tan α、1

tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2

－3＝0的两实根，且3π<α<7

2π，求cos(3π＋α)－sin(π＋α)的值．

[解析] 由题意，根据韦达定理，得tan α1

tan α＝k 2－3＝1，∴k ＝±2.又∵3π<α<72π，∴tan α>0，1

tan α>0，

∴tan α＋1tan α＝k >0，即k ＝2，而k ＝－2舍去，∴tan α＝1

tan α＝1，∴sin α＝cos α＝－2

2，∴cos(3π＋α)－sin(π＋α)＝sin α－cos α＝0.

19．(本题满分12分)已知x ∈[－π3，2π

3]， (1)求函数y ＝cos x 的值域；

(2)求函数y ＝－3sin 2x －4cos x ＋4的值域．

[解析] (1)∵y ＝cos x 在[－π3，0]上为增函数，在[0，2π

3]上为减函数，

∴当x ＝0时，y 取最大值1；

x ＝2π3时，y 取最小值－12. ∴y ＝cos x 的值域为[－1

2，1]．

(2)原函数化为：y ＝3cos 2x －4cos x ＋1， 即y ＝3(cos x －23)2－1

3，

由(1)知，cos x ∈[－12，1]，故y 的值域为[－13，15

4]． 20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝3sin ? ????1

2x ＋π4－1，x ∈R .

求：(1)函数f (x )的最小值及此时自变量x 的取值集合； (2)函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到函数f (x )＝3sin ? ??

??1

2x ＋π4－1的图象？ [解析] (1)函数f (x )的最小值是3×(－1)－1＝－4，此时有12x ＋π4＝2k π－π2，解得x ＝4k π－3π

2(k ∈Z )，

即函数f (x )的最小值是－4，此时自变量x 的取值集合是

????

??x ???

x ＝4k π－3π

2，k ∈Z .

(2)步骤是：

①将函数y ＝sin x 的图象向左平移π

4个单位长度，得到函数y ＝sin ?

?

?

??x ＋π4的图象；

②将函数y ＝sin ?

?

?

??x ＋π4的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2

倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ? ??

??12x ＋π4的图象； ③将函数y ＝sin ? ????1

2x ＋π4的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得到函数y ＝3sin ? ??

??1

2x ＋π4的图象； ④将函数y ＝3sin ? ????1

2x ＋π4的图象向下平移1个单位长度，得函数y ＝3sin ? ??

??1

2x ＋π4－1的图象． 21．(本题满分12分)如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP .试求A 、ω的值和M 、P 两点间的距离．

[解析] ∵函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)图象的最高点为S (3,23)， ∴A ＝2 3.由图象，得T

4＝3，∴T ＝12. 又T ＝2πω，∴ω＝π6，即y ＝23sin π6x . 当x ＝4时，y ＝23sin 2π

3＝3. ∴M (4,3)．又P (8,0)．

∴|MP |＝42＋32＝5，

即MP 的长是5.

22．(本题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的一系列对应值如下表：

(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的周期为2π3，当x ∈[0，π

3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．

[解析] (1)设f (x )的最小正周期为T ，则T ＝11π6－(－π

6)＝2π，

由T ＝2π

ω，得ω＝1，又?

??

B ＋A ＝3，B －A ＝－1

，

解得??

?

A ＝2

B ＝1

，令ω·5π6＋φ＝π

2，

即5π6＋φ＝π2， 解得φ＝－π

3， ∴f (x )＝2sin(x －π

3)＋1.

(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的周期为2π

3，又k >0，∴k ＝3，

令t ＝3x －π

3，

∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π

3]，

如图，sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解，则s ∈[3

2，1]，

∴方程 f (kx )＝m 在x ∈[0，π

3]时恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1,3]，即实数m 的取值范围是[3＋1,3]．

第二章综合检测题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150

分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．下列等式成立的是( )

A.MN →＝NM →

B ．a ·0＝0

C ．(a ·b )c ＝a (b ·c )

D ．|a ＋b |≤|a |＋|b |

[答案] D

2．如果a 、b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( )

A ．a ＝b

B ．a ·b ＝1

C ．a ＝－b

D ．|a |＝|b |

[答案] D

[解析] 两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A 、C 不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a ·b ＝1不成立，所以选项B 不正确；|a |＝|b |＝1，则选项D 正确．

3．(山东师大附中2012－2013期中)已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －3

2b ＝( )

A ．(－2，－1)

B ．(－1,2)

C ．(－2,1)

D ．(－1,0) [答案] B

[解析] 12a －32b ＝12(1,1)－3

2(1，－1) ＝(12－32，12＋3

2)＝(－1,2)．

4．(哈尔滨三中2012－2013高一期中)已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则向量AB →

的模等于( )

A ．5 B.17 C ．3 2

D.13

[解析] |AB →

|＝

(7－4)2＋(－3－1)2＝5.

5．(2012北京海淀区期末)如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是DC 、BC 的中点，那么EF →

＝( )

A.12AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD → C ．－12AB →＋12AD → D.12AB →－12AD [答案] D

[解析] EF →＝12DB →＝12(AB →－AD →

)．

6．(2013诸城模拟)已知a 、b 、c 是共起点的向量，a 、b 不共线，且存在m 、n ∈R 使c ＝m a ＋n b 成立，若a 、b 、c 的终点共线，则必有( )

A ．m ＋n ＝0

B ．m －n ＝1

C ．m ＋n ＝1

D ．m ＋n ＝－1

[解析] 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →

＝c ， ∵a 、b 、c 的终点共线，

∴设AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)， ∴OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →，

即c ＝(1－λ)a ＋λb ，又c ＝m a ＋n b ，

∴??

?

1－λ＝m ，λ＝n ，

∴m ＋n ＝1.

7．如图，M 、N 分别是AB 、AC 的一个三等分点，且MN →＝λ(AC →

－AB →

)成立，则λ＝( )

A.12

B.13

C.23 D ．±13 [答案] B

[解析] MN →＝13BC →且BC →＝AC →－AB →.

8．与向量a ＝(1,1)平行的所有单位向量为( ) A ．(22，22) B ．(－22，－2

2) C ．(±22，±2

2)

D ．(22，22)或(－22，－22) [答案] D

[解析] 与a 平行的单位向量为±a

|a |

.

9．(2013·湖北文)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →

方向上的投影为( )

A.322

B.3152 C ．－322 D ．－3152

[答案] A

[解析] 本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算． 由条件知AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，AB →·CD →

＝10＋5＝15. |CD →|＝

52

＋52

＝52，则AB →在CD →

方向上的投影为

|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →

|CD →|

＝1552＝322，故选A.

10．若|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为( )

A.π6

B.π4

C.π3

D.π2

[答案] C

[解析] a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝1×6×cos θ－1＝2. cos θ＝12，θ∈[0，π]，故θ＝π3.

11．(2012·全国高考浙江卷)设a 、b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |

C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λb

D ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b | [答案] C

[解析] 利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a 、b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb .如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a 、b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ；若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．

12．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角为( )

A ．30°

B ．－150°

C ．150°

D ．30°或150°

[答案] C

[解析] 由a ·b <0可知a ，b 的夹角θ为钝角，又S △ABC ＝1

2|a |·|b |sin θ，∴12×3×5×sin θ＝154，

∴sin θ＝1

2?θ＝150°.

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

13．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →

＝7a －2b ，则A 、B 、C 、D 四点中一定共线的三点是____________．

[答案] A ，B ，D

[解析] BD →＝BC →＋CD →

＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →.

14．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，则实数k 等于________．

[答案] －1

[解析] (k a －2b )·a ＝0，[k (1,1)－2(2，－3)]·(1,1)＝0，即(k －4，k ＋6)·(1,1)＝0，k －4＋k ＋6＝0，

∴k ＝－1.

15．(2013北京东城区模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ的值为____________．