高考数学一轮复习讲义 第14课时 指数式与对数式 理
课题：指数式与对数式
考纲要求：
1.理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质；
2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质．
教材复习
1.n 次方根的定义及性质：n = ，n = .
2.分数指数幂与根式的互化：= ，
= (0a >,,*m n N ∈，且
1n >
零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义.
3.指数的运算性质：r s a a = ，()r
ab = （其中,0a b >，,r s R ∈） 4.指数式与对数式的互化：b a N =? ?log a N a = ，log N a a = .
5.对数的运算法则：如果0,1,0,0a a N M >≠>>有
log ()a MN = ； log a
M
N
= ；
log n a M = ； log a =
6.换底公式及换底性质：
()1 log a N = (0a >,1a ≠，0m > , 1m ≠,0N >)
()2log a b = ，()3log log a b b c ?= ， ()4log n
m a
b =
7.指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
()1()f x a b =? ；log ()a
f x b =? （定义法）
()2()()f x g x a a =? ；log ()log ()a
a f x g x =? （同底法）
()3()()f x g x a b =? (两边取对数法) ()4log ()log ()a
b f x g x =?log ()a f x = (换底法)
()52log log 0a a
A x
B x
C ++=（()
2
0x
x A a Ba C ++=）
（设log a t x =或x
t a =）（换元法） 基本知识方法
1.重视指数式与对数式的互化；
2.根式运算时，常转化为分数指数幂，再按幂的运算法则运算；
3.不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；
4.运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提．
5.指数方程和对数方程按照不同类型的对应方法解决.
典例分析：
题型一：指数式的化简与求值
问题1．计算：()1 （2013浙江）已知y x ,为正实数，则
.A lg lg lg lgy 222x y x +=+ .B ()lg lg lgy 222x y
x +=
.C lg lg lg lgy 222x y x =+ .D ()
lg lg lgy 2
22x y x =
()
2)0,0(3
2
2
4
>>?-b a ab b a ； ()3
()
()
3
12
1
2
332
140.1a b -
--??
?
???
；
()4(08重庆)若0x >，则131311
4
2
4
2
2
2
(23)(23)4x x x x x -??+---= ???
；
()5已知1
12
2
3x
x
-
+=，求
22332
2
23
x x x x
--+-+-的值.
题型二：对数式的化简与求值
()1（2013陕西文）设,,a b c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是
.A log log log a c c b b a = .B log log log a c c b a b = .C ()log log log a a a bc b c =
.D ()log log log a a a b c b c +=+
()2 (2010四川) 552log 10log 0.25+= .A 0 .B 1 .C 2 .D 4 ()3（07湖南文）若0a >，23
4
9a =，则23
log a = ()
427= .A 3 .B 4 .C 6 .D 9
()52(lg 2)lg 2lg 50lg 25+?+；
()6已知n y m x a a ==log ,log
，求log a ?； 题型三：解指数、对数方程
问题3．（2010辽宁文）设25a
b
m ==，且
11
2a b
+=，则m = .
A .
B 10 .
C 20 .
D 100
问题4．()1（2013上海春）方程28x
=的解是
()2（2012上海）方程14230x x +--=的解是
()3（02上海）方程()3log 12321x x -?=+的解x = ()4（06辽宁文）方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解为
题型四：指数、对数综合问题
问题5．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求22
4T x y =-的最小值．
课后作业：
1.设0a >= .A .B .C .D
2.(2011蚌埠模拟)若1a >，0b >，且b b a a -+=b b a a --的值为
.A .B 2或2- .C 2- .D 2
3.2b =，则有
.A a b > .B a b < .C a b = .D a b ≤
4.设12
x <-=
.A .B .C .D 5.已知32()log f x x =，则(8)f = .A 1 .B 2 .C 8 .D 12
6.5
3
2
+的值为 .A 2 .B .C 9 .D 3
7.化简3log 1的结果是 .A .B 2 .C 1 .D 12
8.化简3458log 4log 5log 8log 9???的结果是 .A 1 .B 3
2
.C 2 .D 3 9.已知()2lg 2lg lg x y x y -=+，则
x y
的值为.A 1 .B 4 .C 1或4 .D 41
或4
10.设lg 525x =，则x 的值是 .A 0.01 .B 10 .C 100 .D 1000 11.若239103x x +=?，那么21x +的值为
.A 1 .B 2.C 5 .D 1或5
12.如果方程()2lg lg7lg5lg lg7lg50x x ++?+?=的两根为α、β，则αβ的值是
.A lg7lg5?
.B lg35
.C 35 .
D 35
1 13.设1
5
112
1)3
1(log )3
1
(log --+=x ，则x 属于区间
.A ()2,1-- .B ()1,2 .C ()3,2-- .D ()2,3
14.若3log 21x =，则44x x -+=
15.方程lg2102000x +=的根为x = 16.若
2a =，12log 3= 17.已知：23
4x
-
=，则x = ；若21
log 3
x =，则x =
18.1123
3
3
812849-
????
??= ? ?????
19.若3128x y ==，则11
x y
-=
20.已知112
2
3a a
-
+=，求下列各式的值：()11a a -+ ()222a a -+
21.求值或化简：()1142log 2
1
12log 487log 222
--+=
)2(2
3lg lg8lg 7
-+= 22.方程()3lg lg 2lg 2+=+x x 的解是
23.求551
log 272log 23
25
+的值.
24.若3log 41x =，求332222
x x
x
x
--++的值； 25.设,518,9log 18==b a ，求45log 36.
走向高考：
1.（2009湖南文）的值为 .A .B .C 12- .D 1
2
2.（2012安徽文）()()23log 9log 4= .A 14 .B 1
2
.C 2 .D 4
3.（2010上海）若0x 是方程31
)2
1
(x x =的解，则0x 属于区间
.A 2,13??
??? .B 12,23?? ???. .C 11,32?? ??? .D 10,3?? ???
4.（2012北京）已知函数()lg f x x =，若()1f ab =，22()()f a f b +=
5.（07上海文）方程9
1
31=
-x 的解是 6.（04全国Ⅲ文）解方程012242=--+x x
7.（07上海）方程 96370x x -?-=的解是 8.（2013上海）方程
131
3313
x x
-+=-的实数解为 9.（04北京）方程()lg 42lg 2lg3x x +=+的解是 10.（06上海文）方程233log (10)1log x x -=+的解是
11.（07上海春）若1x 、2x 为方程11122x
x -+??
= ?
??
的两个实数解，则12x x +=
指数函数与对数函数高考题
第二章 函数 三 指数函数与对数函数 【考点阐述】指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数． 【考试要求】（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 【考题分类】 （一）选择题（共15题） 1.（安徽卷文7）设 232555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系 中的图像可能是 【答案】D 【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-11矛盾，选D 。 3.（辽宁卷文10）设525b m ==，且112a b +=，则m = （A （B ）10 （C ）20 （D ）100 【答案】 D
解析：选A.211 log 2log 5log 102,10, m m m m a b +=+==∴= 又0,m m >∴= 4.（全国Ⅰ卷理8文10）设a= 3 log 2,b=In2,c=1 2 5 - ,则 A. a
指数函数和对数函数知识点总结
指数函数和对数函数知识点总结及练习题 一.指数函数 （一）指数及指数幂的运算 n m n m a a = s r s r a a a +=? rs s r a a =)( r r r b a ab =)( （二）指数函数及其性质 1.指数函数的概念：一般地，形如x a y =（0>a 且1≠a ）叫做指数函数。 2.指数函数的图象和性质 10<a 6 54321 -1 -4-2 2460 1 6 5 4 3 2 1 -1 -4-2 246 1 定义域 R 定义域 R 值域y ＞0 值域y ＞0 在R 上单调递减 在R 上单调递增 非奇非偶函数 非奇非偶函数 定点（0，1） 定点（0，1） 二.对数函数 （一）对数 1.对数的概念：一般地，如果N a x =（0>a 且1≠a ），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =，其中a 叫做底数，N 叫做真数，N a log 叫做对数式。 2.指数式与对数式的互化 幂值 真数 x N N a a x =?=log 底数 指数 对数
3.两个重要对数 （1）常用对数：以10为底的对数N lg （2）自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数N ln （二）对数的运算性质（0>a 且1≠a ，0,0>>N M ） ①MN N M a a a log log log =+ ②N M N M a a a log log log =- ③M n M a n a log log = ④换底公式：a b b c c a log log log =（0>c 且1≠c ） 关于换底公式的重要结论：①b m n b a n a m log log = ②1log log =?a b b a （三）对数函数 1.对数函数的概念：形如x y a log =（0>a 且1≠a ）叫做对数函数，其中x 是自变量。 2对数函数的图象及性质 0
高考数学-对数函数图像和性质及经典例题
对数函数图像和性质及经典例题 第一部分：回顾基础知识点 对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 对数函数的图象和性质 ○ 1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象； （1） x y 2log = （2） x y 2 1log = （3） x y 3log = （4） x y 3 1log = ○ 2 对数函数的性质如下： 图象特征 函数性质 1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<< 函数图象都在y 轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞） 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 向y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为R 函数图象都过定点（1，1） 11=α 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 0log ,1>>x x a 0log ,10><
第二部分：对数函数图像及性质应用 例1．如图，A ，B ，C 为函数x y 2 1log =的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1). (1)设?ABC 的面积为S 。求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值 . 解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1， 则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C . )44 1(log )2(4log 2 3223 1t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5, [)∞++=.541在v v 上是减函数，且1指数函数和对数函数
指数函数和对数函数 知能目标 1. 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图象和性质. 2. 理解对数的概念, 掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 3. 能够运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 综合脉络 1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络 2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据): 0a (N log b N a a b >=?=且)1a ≠ 指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线x y =对称, 指数函数与对数函数 的性质见下表: 3. 指数函数,对数函数是高考重点之一 指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函 数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性 质并能进行一定的综合运用. (一) 典型例题讲解: 例1.设a ＞0, f (x)＝ x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f － 1 (x)的奇偶性与单调性.
例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 例3. 已知x 满足≤+6x 2a a 4x 2x a a +++)1a ,0a ( ≠>, 函数y ＝)ax (log x a 1 log 2 a 12 a ? 的值域为]0 ,8 1[-, 求a 的值. (二) 专题测试与练习:
指数函数对数函数和幂函数知识点归纳
一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量，a是常数（我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言,它们都具有下列性质:
a y x =有下列性质： （1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1); ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． （2）0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． （3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （4）任何幂函数图象都不经过第四象限； (5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点:零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠)，那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-．
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次 方根，其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数
高考指数函数与对数函数专题复习
例1.设a ＞0, f (x)＝x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f － 1 (x)的奇偶性与单调性. 解：(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0) 0(f >=?=-? =, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4 x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解：设x ax ) x (u 2-=, 对称轴a 21x = . (1) 当1a >时, 1a 0 )2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤≥. 综上所述: 1a > 1.（安徽卷文7）设 232 555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2 ()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可 能是【答案】D 【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-1指数函数 和 对数函数公式 (全)
指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01 且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 1 4 时，函数值不存在。 a =0 ，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1 时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ???=212 10，， 的图象的认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x >0； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1； （3）y y x x ==210，在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x =?? ? ? ?12的图象正好相反； （3）当a >1时，x a x a x x >><<<>?????0101， 则， 则 （4）y y x x ==210，的图象自左到右逐渐（4）当a >1时，y a x =是增函数，
对数函数与指数函数的运算
对数函数与指数函数的运算 1.化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） ;)(65312121132 b a b a b a ????-- （2）.)4()3(6521 332121231----?÷-??b a b a b a 2.化简(1) 313 2)3(---a y x (2) )111)((2211b ab a b a +-+-- 3.化简下列各式 (1) 6113175.0231729)95()27174(256)61(027 .0------+-+-- (2) (a 3+a -3)(a 3-a -3)÷[(a 4+a -4+1)(a-a -1)] 4.求值(1)lg14-2lg 37+lg7-lg18 (2)9lg 243lg
(3) 2.1lg 10lg 38lg 27lg -+ (4)(lg2)3+(lg5)3+3lg2?lg5 (5)化简22)4(lg 16lg 25lg )25(lg ++ 答案： 1.（1）原式= .100653121612131656131212131=?=?=?-+-+--b a b a b a b a b a （2）原式=- )(45)4(25233136121332361------÷-=?÷b a b a b a b a .45145452 32321ab ab ab b a -=?-=?-=-- 2. (1) 639 27x a y ； (2) 3311b a +；
3.(1) 5132；(2) a a 1 ； 4. (1) 0；(2) 25；(3) 23；(4) 1；(5) 2 ；
高考数学 对数与对数函数
第八节 对数与对数函数 [知识能否忆起] 1．对数的概念 (1)对数的定义： 如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．当a ＝10时叫常用对数．记作x ＝lg_N ，当a ＝e 时叫自然对数，记作x ＝ln_N . (2)对数的常用关系式(a ，b ，c ，d 均大于0且不等于1)： ①log a 1＝0. ②log a a ＝1. ③对数恒等式：a log a N ＝N . ④换底公式：log a b ＝log c b log c a . 推广log a b ＝1 log b a ，log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . (3)对数的运算法则： 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R)； ④log am M n ＝n m log a M . 2．对数函数的概念 (1)把y ＝log a x (a >0，a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)是指数函数y ＝a x 的反函数，函数y ＝a x 与y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象关于y ＝x 对称． 3．对数函数的图象与性质
图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0 当x >1时，y >0当0
指数函数和对数函数公式(全)
指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a x ，y log a x 在 a 1及 0 a 1两种不同情况。 1、指数函数： y x 且a 叫指数函数。 定义：函数 aa 0 1 定义域为 R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数 y a x 中的 a 必须 a 0且a 1 。 因为若 a 0时， y 4 x ，当 x 1 时，函数值不存在。 4 a 0 ， y 0x ，当 x 0 ，函数值不存在。 a 时， y 1 x x 虽有意义，函数值恒为 1，但 1 对一切 y 1x 的反函数不存在， 因 为 要 求 函 数 y a x 中 的 a 0且 a 1 。 x 1、对三个指数函数 y 2 x ， y 1 ，y 10x 的图象的 2 认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （ 1）图象都位于 x 轴上方； （ 1） x 取任何实数值时，都有 a x 0 ； 2 0 1 ）； （ 2）无论 a 取任何正数， x 0 时， y 1 ； （ ）图象都经过点（ ， （ 3） y 2x ， y 10 x 在第一象限内的纵坐 （ 3）当 a x 0，则 a x 1 1 时， 0，则 a x 1 标都大于 1，在第二象限内的纵坐标都小于 1， x 1 y 2 x x 0，则 a x 1 当 0 的图象正好相反； a 1时， 0，则 a x 1 x （ 4） y 2x ， y 10 x 的图象自左到右逐渐 （ 4）当 a 1 时， y a x 是增函数，
指数函数和对数函数的重点知识
指数函数和对数函数的重点知识 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==，log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 1 4 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为 1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210 ，，的图象的认识。 图象特征 函数性质 （1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x >0； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1； （3）y y x x ==210，在第一象限内的纵坐 标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x =?? ???12的图象正好相反； （3）当a >1时，x a x a x x >><<<>?????0101 ，则，则 （4）y y x x ==210，的图象自左到右逐渐上升，y x =?? ? ? ?12的图象逐渐下降。 （4）当a >1时，y a x =是增函数， 当01< 高考数学专题：对数与对数函数 最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，1 2的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数. 知 识 梳 理 1.对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1) (2)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； ④log a m M n ＝n m log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0). (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 指数函数和对数函数 知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．正数的分数指数幂，规定： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质),,0(R s r a ∈> （1）r a ·s r r a a += ；（2）rs s r a a =)( ；（3） s r r a a ab =)( （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自 变量，函数的定义域为R ． 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明： ○1 注意底数的限制0>a ，且a x N a =?log ；③注意对数的书 写格式． N a log 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2、对数的运算性质：如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ；③n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式a b b c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且 1≠c ；0>b ） ． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log = ； （2）a b b a log 1log =． 3、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量， 关于指数函数与对数函数的问题 一、指数函数 底数对指数函数的影响： ①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a>l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0 二、对数函数 底数对函数值大小的影响： 1.在同一坐标系中分别作出函数的图象，如图所示，可以看出：当a>l时，底数越大，图象越靠近x轴，同理，当O 对数函数的图象与性质： 三、对数函数与指数函数的对比： (1)对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y=x对称． (2)它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a>l时，它们是增函数；当O 四、关于同底指数函数与对数函数的交点问题 一、1a >时方程 x log a a x =的解 先求如图3所示曲线x log y a y a x ==与相切时a 的值。设曲线x log y a y a x ==与相切 于点M （00x ,x ），由于曲线x a y =在点M 处的切线斜率为1， 所以?????==?????===1a ln a , x a 1|)'a (,x a 0000x 0x x x x 0x 即 2011届高考数学专题复习 专题2——指数函数、对数函数、幂函数（理科） 1．（2007北京文、理，5分）函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为（ ） A ．(0)+∞， B ．(19]， C ．(01)， D ．[9)+∞， B ；[解析] 函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为(19]，。 [考点透析]根据指数函数在对应区间的值域问题，结合原函数与反函数的定义域与值域之间的关系处理对应反函数的定义域问题。 2．（2007山东文、理，5分）给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，， ()()()1()() f x f y f x y f x f y ++= -．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ） A ．()3x f x = B ．()sin f x x = C ．2()log f x x = D ．()tan f x x = B ；[解析] 依据指、对数函数的性质可以发现A 满足()()()f x y f x f y +=， C 满足()()()f xy f x f y =+，而D 满足()()()1()() f x f y f x y f x f y ++= -，B 不满足其中任何一个等式。 [考点透析]根据指数函数、对数函数，结合三角函数等其他相关函数讨论分析对应的性质是高考中比较常见的考题之一，关键是掌握对应函数的基本性质及其应用。 3．（2007全国2理，5分）以下四个数中的最大者是（ ） A ．（ln2）2 B ．ln （ln2） C ．ln 2 D ．ln2 D ；[解析] ∵0ln 21<<，∴ln （ln2）<0，（ln2）2 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 知识点一：反函数 1．已知函数y ＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝0的根的情况是 A ．有且仅有一个实根 B ．至少有一个实根 C ．至多有一个实根 D ．0个，1个或1个以上根 2．若函数y ＝f(x)的反函数是y ＝g(x)，f(a)＝b ，ab≠0，则g(b)等于 A ．a B ．a －1 C ．b D ．b －1 3．若函数f(x)的图象上有一点(0,1)，则其反函数f －1 (x)上一定存在点 A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(0,0) D ．不能确定 4．已知函数y ＝2x －a 的反函数是y ＝bx ＋3，则a ＝__________，b ＝__________. 5．函数y ＝3x (0 课时规范练 A 组 基础对点练 1．lg 51 000－823＝( ) A.235 B ．－175 C ．－185 D ．4 解析：lg 51 000－823＝lg 1035－(23)23＝35－4＝－175. 答案：B 2．设函数f (x )＝???1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1， x ≥1， 则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 解析：由于f (－2)＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6，所以f (－ 2)＋f (log 212)＝9.故选C. 答案：C 3．函数y ＝1log 2（x －2） 的定义域是( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞) C ．(2，3)∪(3，＋∞) D ．(2，4)∪(4，＋∞) 解析：要使函数有意义，应满足?????x －2＞0，log 2（x －2）≠0， 即?????x ＞2，x －2≠1， 解得x ＞2且x ≠3.故选C. 答案：C 4．设a ＝? ?? ??1213，b ＝log 132，c ＝log 123，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞c ＞a D ．c ＞a ＞b 解析：∵b ＝－log 32∈(－1，0)，c ＝－log 23＜－1，a ＝? ????1213＞0，∴a ＞b ＞c ，选A. 答案：A 5．(2019·焦作模拟)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为 {y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( ) 解析：若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝log a |x |的大致图象如图所示． 故选B. 答案：B 6．(2019·吉安模拟)如果log 12x ＜log 12 y ＜0，那么( ) A ．y ＜x ＜1 B ．x ＜y ＜1 C ．1＜x ＜y D ．1＜y ＜x 解析：因为y ＝log 12 x 在(0，＋∞)上为减函数，所以x ＞y ＞1. 答案：D 7．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________． 解析：∵4a ＝2，∴a ＝12，又lg x ＝a ，x ＝10a ＝10. 答案：10 8．函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________． 解析：由题意知0＜－x 2＋22≤22＝23 2，结合对数函数图象(图略)，知 《指数函数与对数函数》测试题与答案(word版可编辑修改) 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（《指数函数与对数函数》测试题与答案(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为《指数函数与对数函数》测试题与答案(word版可编辑修改)的全部内容。 指数函数与对数函数检测题 一、选择题： 1、已知，则（ ） (10)x f x =(5)f =A 、 B 、 C 、 D 、510105lg10lg 52、对于，下列说法中，正确的是（ ） 0,1a a >≠①若则; ②若则;M N =log log a a M N =log log a a M N =M N =③若则； ④若则。22log log a a M N =M N =M N =22log log a a M N =A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 3、设集合,则是 （ ）2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈S T A 、 B 、 C 、 D 、有限集?T S 4、函数的值域为（ ) 22log (1)y x x =+≥A 、 B 、 C 、 D 、()2,+∞(),2-∞[)2,+∞[)3,+∞5、设,则( ) 1.5 0.90.4812314,8,2y y y -?? === ? ?? A 、 B 、 C 、 D 、312y y y >>213y y y >>132y y y >>123y y y >>6、在中，实数的取值范围是（ ） (2)log (5)a b a -=-a A 、 B 、 C 、 D 、52a a ><或2335a a <<<<或25a <<34a <<7、计算等于( ) ()()2 2 lg 2lg 52lg 2lg 5++?A 、0 B 、1 C 、2 D 、38、已知，那么用表示是（ ） 3log 2a =33log 82log 6-a A 、 B 、 C 、 D 、52a -2a -23(1)a a -+231a a --9、若,则等于（ ） 21025x =10x -A 、 B 、 C 、 D 、 1515-150162510、若函数是指数函数，则有（ ） 2(55)x y a a a =-+?A 、或 B 、 C 、 D 、，且1a =4a =1a =4a =0a >1 a ≠高考数学专题：对数与对数函数
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