河南高考理科数学题及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注息事项:

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·

4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷

一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。 （1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素

的个数为（ ）

()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10

【解析】选D

5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，

每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）

()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种

【解析】选A

甲地由1名教师和2名学生：12

2412C C =种

（3）下面是关于复数2

1z i

=

-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-

()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34

【解析】选C 22(1)

11(1)(1)

i z i i i i --=

==---+-+--

1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-

（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32

a

x =上一点，

?21F PF 是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）

()A 12 ()B 23 ()C 3

4

()

D 45

【解析】选C

?21F PF 是底角为30o 的等腰三角形221332()22

4

c PF F F a c c e a ?==-=?== （5）已知{}

n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）

()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7

【解析】选D

472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-?==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-?=-=?+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=?=-=?+=-

（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和

实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）

()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()

B 2

A B

+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数

【解析】选C

（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的

是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18

【解析】选B

该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11

633932

V =????=

（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162

=的准线交于,A B

两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）

()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8

【解析】选C

设2

2

2

:(0)C x y a a -=>交x y 162

=的准线:4l x =-于(4,23)A -(4,23)B -- 得：222(4)(23)4224a a a =--=?=?=

（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2

π

π上单调递减。

则ω的取值范围是（ ） ()A 15[,]24 ()B 13[,]24 ()C 1

(0,]2

()D (0,2]

【解析】选A

592()[,]444x πππ

ωω=?+∈ 不合题意 排除()D

351()[,]444

x πππ

ωω=?+∈ 合题意 排除()()B C

另：()22πωππω-≤?≤，3()[,][,]424422x ππππππ

ωωπω+∈++?

得：315

,2424224πππππωπωω+≥+≤?≤≤

（10） 已知函数1

()ln(1)f x x x

=

+-；则()y f x =的图像大致为（ ）

【解析】选B

()ln(1)()1()010,()00()(0)0

x

g x x x g x x

g x x g x x g x g '=+-?=-

+''?>?-<<?<= 得：0x >或10x -<<均有()0f x < 排除,,A C D

（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ?是边长为1的正三角形，

SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）

()

A 2 ()

B 3 ()

C 2 ()

D 2 【解析】选A

ABC ?的外接圆的半径3r =

O 到面ABC 的距离226

d R r =-= SC 为球O 的直径?点S 到面ABC 的距离为26

2d =

此棱锥的体积为113262

233ABC V S d ?=

?==

另：13

23ABC V S R ?<

?=

排除,,B C D

（12）设点P 在曲线12

x

y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ ）

()A 1ln 2- ()B

ln 2)- ()C 1ln 2+ ()

D ln 2)+

【解析】选A 函数12

x

y e =

与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =

的距离为d

设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=

-?=-?=-?=

由图象关于y x =对称得：PQ

最小值为min 2ln 2)d =-

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，

第22-第24题为选考题，考生根据要求做答。 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知向量,a b r r 夹角为45?

，且1,2a a b =-=r r r ；则_____b =r 【解析】_____b =

r

222(2)1044cos 4510a b a b b b b ?

-=?-=?+-=?=r r r r r r r (14) 设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥??

-≥-??+≤?

；则2z x y =-的取值范围为

【解析】2z x y =-的取值范围为 [3,3]-

约束条件对应四边形OABC 边际及内的区域：(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)O A B C

则2[3,3]z x y =-∈-

（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3

正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从

正态分布2

(1000,50)N ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命 超过1000小时的概率为

【解析】使用寿命超过1000小时的概率为

8

三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2

(1000,50)N 得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12

p =

超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2

131(1)4

P p =--=

那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为213

8

p p p =?=

（16）数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为 【解析】{}n a 的前60项和为 1830

可证明：14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+ 11234151514

1010151618302

b a a a a S ?=+++=?=?+

?= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c --= （1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。 【解析】（1）由正弦定理得：

cos 3sin 0sin cos 3sin sin sin a C a C b c A C A C B C +--=?=+ sin cos 3sin sin()sin 1

3cos 1sin(30)2

303060A C A C a C C

A A A A A ????

?=++?

-=?-=

?-=?=

（2）1

sin 342

S bc A bc =

=?= 2222cos 4a b c bc A b c =+-?+= 解得：2b c ==（l fx lby ）

18.（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售， 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n N ∈）的函数解析式。

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

（i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，

数学期望及方差；

（ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？

请说明理由。 【解析】（1）当16n ≥时，16(105)80y =?-= 当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=-

得：1080(15)()80(16)n n y n N n -≤?=∈?≥?

（2）（i ）X 可取60，70，80

(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ====== 的分布列为

X 60 70 80 P

0.1

0.2

0.7

222160.160.240.744DX =?+?+?= （ii ）购进17枝时，当天的利润为

(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =?-??+?-??+?-??+??=

76.476> 得：应购进17枝

（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11

2

AC BC AA ==

， D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1

（1）证明：BC DC ⊥1

（2）求二面角11C BD A --的大小。 【解析】（1）在Rt DAC ?中，AD AC = 得：45ADC ?∠=

同理：1114590A DC CDC ??

∠=?∠= 得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥?⊥面1BCD DC BC ?⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥?⊥面11ACC A BC AC ?⊥

取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H 1111111AC B C C O A B =?⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ?⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥?⊥ 得：点H 与点D 重合 且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角 设AC a =，则122

a C O =

，1112230C D a C O C DO ?

==?∠= 既二面角11C BD A --的大小为30? （20）（本小题满分12分）

设抛物线2

:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，

FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；

（1）若090=∠BFD ，ABD ?的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；

（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，

求坐标原点到,m n 距离的比值。

【解析】（1）由对称性知：BFD ?是等腰直角?，斜边2BD p =

点A 到准线l

的距离d FA FB ===

1

22

ABD S BD d p ?=?

??=?= 圆F 的方程为22(1)8x y +-=

（2）由对称性设2000(,)(0)2x A x x p >，则(0,)2

p

F

点,A B 关于点F 对称得：22

2

20000(,)3222

x x p B x p p x p p p --?-=-?=

得：3,)2p

A

，直线:02p m y x =+?+

=

22

22x x x py y y x p p p '=?=?==?=?

切点)6p

P

直线:06p n y x x p -

=-?-= 坐标原点到,m n

3=。（lfx lby ）

（21）（本小题满分12分）

已知函数()f x 满足满足12

1()(1)(0)2

x f x f e f x x -'=-+； （1）求()f x 的解析式及单调区间；

（2）若2

1()2

f x x ax b ≥

++，求(1)a b +的最大值。 【解析】（1）1211

()(1)(0)()(1)(0)2

x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+

令1x =得：(0)1f = 12

11()(1)(0)(1)1(1)2

x f x f e x x f f e f e --'''=-+?==?= 得：2

1()()()12

x x f x e x x g x f x e x '=-+?==-+

()10()x

g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?< 得：()f x 的解析式为21()2

x f x e x x =-+

且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ （2）2

1()()(1)02

x f x x ax b h x e a x b ≥

++?=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>?=在x R ∈上单调递增 x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾

②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>?>+

2

(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++> 令2

2()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=- ()00,()0F x x e F x x e ''>?<<

当x e =时，max ()2

e F x =

当1,a e b e =

-=时，(1)a b +的最大值为

2

e 请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，,D E 分别为ABC ?边,AB AC 的中点，直线DE 交

ABC ?的外接圆于,F G 两点，若//CF AB ，证明：

（1）CD BC =；

（2）BCD GBD ??:

【解析】（1）//CF AB ，//////DF BC CF BD AD CD BF ??=

//CF AB AF BC BC CD ?=?= （2）//BC GF BG FC BD ?==

//BC GF GDE BGD DBC BDC ?∠=∠=∠=∠?BCD GBD ??:

（23）本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数??

?

??

?==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴

为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上， 且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3

π

（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；

（2）设P 为1C 上任意一点，求2

2

2

2

PA PB PC PD +++的取值范围。 【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,

),(2,

),(2,),(2,)3

636

π

πππ

点,,,A B C D

的直角坐标为1,1)-- （2）设00(,)P x y ；则00

2cos ()3sin x y ?

??=??

=?为参数

2

2

2

2

224440t PA PB PC PD x y =+++=++ 2

5620sin [56,76]?=+∈（lfxlby ）

（24）（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲

已知函数()2f x x a x =++-

（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；

（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。 【解析】（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥?-+-≥

2323x x x ≤???-+-≥?或23323x x x <

x x x ≥?

??-+-≥?

1x ?≤或4x ≥

（2）原命题()4f x x ?≤-在[1,2]上恒成立

24x a x x ?++-≤-在[1,2]上恒成立

22x a x ?--≤≤-在[1,2]上恒成立

30a ?-≤≤