概率专题理科

高2010级概率二轮复习（理科A ）

例1.某品牌的汽车4S 店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如右表所示：已知分3期付款的频率为0.2，4S 店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元. 用η表示经销一辆汽车的利润.

（1）求上表中的,a b 值；

（2）若以频率作为概率，求事件A:“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率()P A ；

（3）求η的分布列及数学期望E η.

例2.为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：

（I ）估计该校男生的人数；（II ）估计该校学生身高在170~185cm 之间的概率；

（Ⅲ）估计该校女生的平均身高（保留到0.1）

（III ）从样本中身高在180~190cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185~190cm 之间的概率。

例3．已知关于x 的一元二次方程22

2(2)160x a x b ---+=．

（Ⅰ）若a b 、是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；

（Ⅱ）若[2,6],[0,4]a b ∈∈，求方程没有实根的概率．

付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数 40 20 a 10 b

例4.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．

（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；

（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．

例5. 某人骑车从家到公司的途中有5个路口，假设他在各个路口遇红灯的事件是相互独立的，且概率都是3

1. 求：（1）此人在途中遇到红灯的次数X 的概率分布；

（2）此人首次遇到红灯或到达目的地而停车时所经过的路口数Y 的概率分布.

例6.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数.

（I ）求袋中所有的白球的个数；

（II ）求随机变量的概率分布；

（III ）求甲取到白球的概率.

例7．某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km 时租车费为10元，若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足lkm 的部分按lkm

计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为

(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；

(Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为求所收租车费η的数学期望．

(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?

例8.某同学参加知识竞赛。需回答3个问题，规则如下：每题答对得100分，答错得-100分，假设这名同学每题答对的概率均为0.8，且各题答对与否相互没有影响，求这名同学每题回答这三个问题的总得分X的概率分布及均值。

3.某电子科技公司遇到一个技术性难题，决定成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关，同时决定对攻关期限内就攻克技术难题的小组给予奖励．已知此技术难题在攻关期限内被甲小组攻克的概率为23，被乙小组攻克的概率为34．(1)设ξ为攻关期满时获奖的攻关小组数，求ξ的分布列及Eξ；(2)设η为攻关期满时获奖的攻关小组

数与没有获奖的攻关小组数之差的平方，记“函数

)

=η在定义域内单调递增”为事

件C，求事件C的概率．

高2010级概率二轮复习（理科B ）

1.不等式组??

???≥+≤-+≤-+-004202a y y x y x （其中R a ∈）表示的平面区域记为D ，D y x P ∈?) , (，

y x z +=的最大值和最小值分别为M 、m ，已知4-=m ．

①求a 和M 的值；

②在D 中随机取一点) , (y x P ，求2

M z ≤的概率．

2．某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了n 名同学进行调查．下表是这n 名同学的日睡眠时间的频率分布表.

(1)求n (2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[4,5)的中点值是4.5)作为代表．若据此计算的上述数据的平均值为6.52，求a ，b 的值，并由此估计该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率．

解：

3.一袋子中有大小、质量均相同的10个小球，其中标记“开”字的小球有5个，标记“心”字的小球有3个，标记“乐”字的小球有2个．从中任意摸出

1个球确定标记后放回袋中，

再从中任取1个球．不断重复以上操作，最多取3次，并规定若取出“乐”字球，则停止摸球．求：

（Ⅰ）恰好摸到2个“心”字球的概率；

（Ⅱ）摸球次数X的概率分布列和数学期望．

4.厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.

（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;

（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产

E，并求该商家拒收这批产品的概率.

品数ξ的分布列及期望ξ

5.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5

位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为

1，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求：

（Ⅰ）随机变量ξ的分布列；

（Ⅱ）随机变量ξ的期望.

6.已知5只动物中有且仅有1只患病，需要通过化验血液确定患病动物。血检呈阳性即为患病，否则没患病。现有以下两种验血方案，每种验血方案都直到检验出某动物血液呈阳性为止。

甲：逐个随机检验。

乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验，若呈阳性，表明患病动物在这3只之中，再对这3只逐个随机检验；否则，在另外两只中逐个随机检验．

①甲、乙哪个方案能更快检验出患病动物；

②求依方案乙所需检验次数不多于依方案甲所需检验次数的概率．

7.品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试。根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分。

现设4n =，分别以1234,,,a a a a 表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令12341234X a a a a =-+-+-+-，则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述。

（Ⅰ）写出X 的可能值集合；

（Ⅱ）假设1234,,,a a a a 等可能地为1,2,3,4的各种排列，求X 的分布列；

X ，

（Ⅲ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有2

（i）试按（Ⅱ）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；

（ii）你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。