极限的求解方法
求函数极限的方法和技巧
1、运用极限的定义
2、利用极限的四则运算性质
若 A x f x x =→)(lim 0
B x g x x =→)(lim 0
(I)[]=±→)()(lim 0
x g x f x x )(lim 0
x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0
(II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0
(III)若 B ≠0 则：
B
A
x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )
(lim )()(lim 0
00
（IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0
（c 为常数）
上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 3、约去零因式（此法适用于型时0
,0x x →）
例: 求
解:原式=()
()
)
12102(65)
2062(103lim
2
23223
2
+++++--+---→x x x x x
x x x x x
x =)
65)(2()
103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x
=)
65()
103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2
lim
-→x 73
5
-=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型）
12
16720
16lim 23232+++----→x x x x x x x
例: 求 )21
44(
lim 22
x
x x ---→
解: 原式=)2()2()
2(4lim
2x x x x -?++-→
=)2)(2()
2(lim
2x x x x -+-→
=4
1
21lim
2=+→x x
5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）
设函数f(x)、g(x) 满足： （I ）0)(lim 0
=→x f x x
(II) M x g ≤)( (M 为正整数) 则：0)()(lim 0
=→x f x g x x
例: 求 x
x x 1sin
lim 0
?→ 解: 由 0lim 0
=→x x 而 11
sin
≤x
故 原式 =01
sin
lim 0
=?→x
x x 6、利用无穷小量与无穷大量的关系。
（I ）若：∞
=)(lim x f 则 0)
(1
lim
=x f (II) 若: 0)(lim =x f 且 f(x)≠0 则 ∞=)
(1
lim x f 例: 求下列极限 ① 51lim
+∞→x x ②1
1
lim 1-→x x
解: 由 ∞=+∞
→)5(lim x x 故 051
lim =+∞→x x
由 0)1(lim 1
=-→x x 故 11
lim 1-→x x =∞
7、等价无穷小代换法
设'
'
,,,ββαα 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： '
'
~,~ββαα，
''
lim β
α 存在，
则 βαlim 也存在，且有βαlim = ''
lim β
α
例:求极限2
22
0sin cos 1lim x x x x -→
解: ,~sin 2
2
x x 2
)(~cos 12
22
x x -
∴ 2220sin cos 1lim x x x x -→=212)(2
22
2=x x x 注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、
差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”
8、利用两个重要的极限。
1sin lim
)(0=→x x A x e x
B x x =+∞→)1
1(lim )(
但我们经常使用的是它们的变形：
)
)((,))(1
1lim()()0)((,1)
()
(sin lim
)()(''∞→=+→=x e x B x x x A x ??????
例：求下列函数极限
x
a x x 1lim )1(0-→、 bx ax
x cos ln cos ln lim
)2(0→、 )
1ln(ln 1 ln )1ln( ,11 u a u x a a u x u a x x
+=
-+==-于是则）令解：（
a u a
u u a u a u x
a u x u
u u u x x ln )1ln(ln lim )1ln(ln lim )1ln(ln lim 1lim 0
10000=+=+=+=-→→→→→→故有：时，又当
)]
1(cos 1ln[)]
1(cos 1ln[(lim
)2(0-+-+=→bx ax x 、原式
1
cos 1
cos 1cos )]
1(cos 1ln[1cos )]1(cos 1ln[(lim
0--?--+--+=→ax bx bx bx ax ax x
1
cos 1
cos lim
0--=→ax bx x 222
2
22220220)2
()2()2
(2sin )2(2
sin lim 2sin 22sin 2lim a
b x a x b
x b x b x a x
a x
b x x x =?=--=→→α
9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。
)
()](lim [))((lim )()(lim )]([)()
()(lim )()(0
00a f x f x f a u u f a x x f ii x f x f x x x f i x x x x x x x x ======→→→→????处连续，则在且
是复合函数，又若处连续，则在若
例：求下列函数的极限
)1ln(15
cos lim
)1(20x x x e x x -+++→、 （2） x
x x )1ln(lim 0+→
()1ln ))1(lim ln()1ln(lim )1ln(lim )1()1ln()
1ln()2(6)0()
1ln(15cos lim )1ln(15
cos )(01
01
001
1
202
==+=+=++=+=+==-+++-+++==→→→→e x x x
x x x x x x f x x x e x x x e x f x x x x x x x
x
x x x 故有：
令、由有：故由函数的连续性定义的定义域之内。属于初等函数解：由于?
10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有：
nk
ml
x x m
n k
l x =
--→1
1lim
1
m 、n 、k 、l 为正整数。 例：求下列函数极限 ① m x
x m n x (11lim
1
--→ 、n )N ∈ ②1
)1
232(
lim +∞
→++x x x x 解: ①令 t=mn x 则当1→x 时 1→t ,于是
原式=n
m
t t t t t t t t t t n m t n m t =++++-++++-=----→→)1)(1()1)(1(lim 11lim 121211 ②由于1)1232(
lim +∞→++x x x x =1
)1221(lim +∞→++x x x
令：t x 1212=+ 则 2
111+=+t x
∴1)1232(lim +∞→++x x x x =1)1
221(lim +∞→++x x x =21
10)1(lim +→+t t t
=e e t t t t t =?=+?+→→1)1(lim )1(lim 2
10
10
11、 利用函数极限的存在性定理
定理: 设在0x 的某空心邻域内恒有 g(x)≤f(x)≤h(x) 且有: A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0
则极限 )(lim 0
x f x x → 存在, 且有
A x f x x =→)(lim 0
例: 求 x n
x a
x +∞→lim (a>1,n>0)
解: 当 x ≥1 时,存在唯一的正整数k,使 k ≤x ≤k+1
于是当 n>0 时有:
k
n
x n a k a x )1(+< 及 a
a k a k a x k n k n x n 1
1?=>+
又 当x +∞→时,k +∞→ 有
=++∞→k n k a k )1(lim 00)1(lim 1=?=?+++∞→a a a k k n k 及 =++∞→1lim k n
k a k 0101lim =?=?+∞→a
a a k k n k
∴
x
n
x a x +∞→lim =0 12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。
定理：函数极限)(lim 0
x f x x →存在且等于A 的充分必要条件是左极限)(lim 0
x f x x -→及右极限
)(lim 0
x f x x +→都存在且都等于A 。即有：
?=→A x f x x )(lim 0
)(lim 0
x f x x -→=)(lim 0
x f x x +→=A
例：设)(x f =??
?
??
??≥<<-≤--1,10,0,212x x x x x
x x e x 求)(lim 0x f x →及)(lim 1x f x →
1
)1(lim )(
lim )(lim 1
)21(lim )(lim 0
00
-=-=-=-=-=+++
--→→→-→→x x
x x x f e x f x x x x x x 解：
由1)(lim )(lim 0
-==+-→→x f x f x x
1)(lim 0
-=∴→x f x
不存在
由（又)(lim )01()01(1lim )(lim 0)1lim lim )(lim 1
2
1
11
11
x f f f x x f x x
x x x f x x x x x x →→→→→→∴+≠-===-=-=++-
-
-
13、罗比塔法则（适用于未定式极限） 定理：若
A x g x f x g x f A A x g x f iii x g x u x g f ii x g x f i x x x x x x x x x x ==∞∞±=≠==→→→→→)
()(lim )()(lim ()()
(lim )(0)()()(0
)(lim ,0)(lim )('''''0000000
），则或可为实数，也可为内可导，且的某空心邻域在与
此定理是对
型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。 注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点： 1、 要注意条件，也就是说，在没有化为
∞
∞
,00时不可求导。 2、 应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。 3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是
未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。
4、当)
()
(lim ''x g x f a x → 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用
另外方法。
例： 求下列函数的极限
①)
1ln()21(lim 22
1
0x x e x x ++-→ ②)0,0(ln lim
>>+∞→x a x x
a
x
解：①令f(x)= 2
1
)
21(x e x +-, g(x)= l )1n(2
x +
2
1
')
21()(-+-=x e x f x , 2
'12)(x
x
x g +=
2
22"
2
3
"
)
1()
1(2)(,)
21()(x x x g x e x f x
+-=++=- 由于0)0()0(,0)0()0('
'
====g g f f 但2)0(,2)0("
"
==g f 从而运用罗比塔法则两次后得到
12
2
)1()
1(2)21(lim 12)
21(lim )
1ln()21(lim 2
222
3
02
2
1
022
1
0==
+-++=++-=++--→-→→x x x e x x
x e x x e x
x x
x x
x ② 由∞=∞=+∞
→+∞
→a
x x x x lim ,ln lim 故此例属于
∞
∞
型，由罗比塔法则有： )0,0(01lim 1
lim ln lim 1>>===+∞→-+∞→+∞→x a ax ax x x x a
x a x a x
14、利用泰勒公式
对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：
1、)(!
!212n n
x
x o n x x x e +++++= 2、)()!
12()1(!5!3sin 212153n n n x o n x x x x x +--+++-
=-- 3、)()!2()1(!4!21cos 12242++-+++-
=n n n x o n x x x x 4、)()1(2)1ln(12n n
n x o n
x x x x +-++-=+- 5、)(!
)
1()1(!
2)
1(1)1(2n n x o x n n x x x ++--+
+-++=+ααααααα
6、
)(x x 1 11
2n n x o x x
+++++=- 上述展开式中的符号)(n
x o 都有:
0)(lim 0=→n
n x x x o 例:求)0(2lim
>+-+→a x
x
a x a x
解:利用泰勒公式，当0→x 有
)(2
11x o x
x ++
=+ 于是 x
x
a x a x +-+→2lim
=x
a
x a x a x )121(lim
+-+
→
=x
x o a x x o a x a x ?
??
???-?--++→)(211)()2(211lim
=a
x x o x a x x o a x a x x 21)(21lim )
(2lim
00
=+=+?
→→
15、利用拉格朗日中值定理
定理:若函数f 满足如下条件： (I) f 在闭区间上连续 (II)f 在(a ,b)内可导 则在(a ,b)内至少存在一点ξ,使得
a
b a f b f f --=
)
()()('ξ
此式变形可为:
)10( ))(()
()('<<-+=--θθa b a f a
b a f b f
例: 求 x
x e e x
x x sin lim sin 0--→
解:令x
e x
f =)( 对它应用中值定理得
)1(0 ))sin ((sin )sin ()(sin )('sin <<-+-=-=-θθx x x f x x x f x f e e x x 即:
1)(0 ))sin ((sin sin 'sin <<-+=--θθx x x f x x e e x
x
x e x f =)(' 连续
1)0())sin ((sin lim ''0
==-+∴→f x x x f x θ
从而有: 1sin lim
sin 0=--→x
x e e x
x x 16、求代数函数的极限方法
(1)有理式的情况，即若:
)0,0(a )()()(001
10110≠≠++++++==--b b x b x b a x a x a x Q x P x R n
n n m
m m (I)当∞→x 时，有
???
?
?
????
?????????>∞<==++++++=--∞→∞→n m n m 0 lim )()(lim 00110110n m b a b x b x b a x a x a x Q x P n n n m m m x x (II)当0→x 时有: ①若0)(0≠x Q 则 )
()
()()(lim
000x Q x P x Q x P x =→
②若0)(0=x Q 而 0)(0≠x P 则∞=→)
()
(lim
0x Q x P x
③若0)(0=x Q ,0)(0=x P ,则分别考虑若0x 为0)(=x P 的s 重根,即:
)()()(10x P x x x P s -= 也为0)(=x Q 的r 重根,即: )()()(10x Q x x x Q r -= 可得结论如下：
??
?
?
?
?????????<∞=>=-=-→→r s , r s , )()(P r s , 0)()()(lim )()(lim 010111000x Q x x Q x P x x x Q x P r s x x x x 例：求下列函数的极限
①5030
20)
12()23()32(lim ++-∞→x x x x ②3423lim 431+-+-→x x x x x 解: ①分子，分母的最高次方相同，故
503020)
12()23()32(lim ++-∞→x x x x =305030
20)23(232=?
②0)1(,23)(3
=∴+-=P x x x P
0)1(,34)(4=∴+-=Q x x x Q
)(),(x Q x P ∴必含有（x-1）之因子，即有1的重根 故有:
2
1
322lim )32()1()2()1(lim 3423lim 212221431=
+++=++-+-=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x x x (2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。 例：求)(lim x x x x x -++
+∞
→ 解: )(lim x x x x x -++
+∞
→
2
1111111lim
lim
lim
3
=
+++
+
=++++=+++-++=+∞
→+∞
→+∞
→x x
x x
x x x x x x
x x x x x x x x x x
二、多种方法的综合运用
上述介绍了求解极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧，使得计算大为简化。
例:求 2
22
0sin cos 1lim x x x x -→
[解法一]:
22
20sin cos 1lim x x x x -→22220
sin 2cos 2sin 2lim
x x x x x x x x +?=→ 2222
0sin cos sin lim x
x x x x +=→ 2
2222
0sin cos sin lim x x
x x x x +
=→=21 注:此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。
[解法二]:
222
0sin cos 1lim x x x x -→=21222sin
sin 122sin lim sin 2sin 2lim 2
2
2
22202222
0=?
?
?=→→x x x x x x x x x x x 注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。
[解法三]:
21sin 42lim 4sin 2lim cos 1lim sin cos 1lim 22032022202220=?==?-=-→→→→x x x x x
x x x x x x x x x x x x 注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及罗比塔法则 [解法四]:
21sin 2)(lim sin cos 1lim sin cos 1lim 2242
20224202220=?=?-=-→→→x
x x x x x x x x x x x x x 注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。 [解法五]:
2
121lim )()2(2lim sin 2sin 2lim sin cos 1lim 44
022*******
02220====-→→→→x x
x x x x x x x x x x x x x 注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。
[解法六]：
令2x u =
2
1
sin cos cos cos lim cos sin sin lim sin cos 1lim sin cos 1lim 0002220=-+=+=-=-→→→→u u u u u u
u u u u u u x x x u u u x
注：此解法利用变量代换法配合使用罗比塔法则。 [解法七]:
21
11lim sin cos sin lim sin cos 1lim 2
2
222202220=+=+=-→→→tgx x x x x x x x x x x x 注:此解法利用了罗比塔法则配合使用两个重要极限。
高等数学求极限的常用方法
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）
经典求极限解题方法
求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ
3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第 一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】2 2 2 12 1 2112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????? ???? ? ?-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。
关于计算极限的几种方法
目录 摘要 (1) 引言 (2) 一．利用导数定义求极限 (2) 二．利用中值定理求极限 (2) 三．利用定积分定义求极限 (3) 四．利用施笃兹公式 (4)
五．利用泰勒公式 (5) 六．级数法 (5) 七．结论 (6) 参考文献 (6)
内容摘要
引言： 极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率 的。随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到19世纪，由A.-L.柯西、K. (T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认。 数学分析中的基本概念的表述，都可以用极限来描述。如函数()x f y =在 0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。 一．利用导数定义求极限 据文[]1定理1导数的定义：函数)(x f 在0x 附近有定义，对于任意的x ?， 则)()(00x f x x f y -?+=? 如果x x f x x f x x ?-?+=→?→? ) ()(lim lim 000 0存在，则此极限值就 称函数)(x f 在点0x 的导数记为 )('0x f .即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )('0000在这 种方法的运用过程中。首先要选好)(x f ，然后把所求极限。表示成)(x f 在定点0x 的导数。 例1：求a x x a a x x a a a a x --→lim 解：原式0)(lim lim 1lim 0---?=---=-→→→a x x a a x a a x a x x a a a x x a a a a x a a a a a x x a x x ，令a x x a y -=， 当a x →时，0→y ，故原式a a a a a a a y y a ln |)'(0=?== 一般地，能直接运用导数定义求的极限就直接用导数定义来求，值得注意的是许
函数极限的十种求法
函数极限的十种求法 信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则： 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点： 设函数f(x)和F(x)满足下列条件： （1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限： 应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。 应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件：
极限的求解方法
求函数极限的方法和技巧 1、 运用极限的定义 2、 利用极限的四则运算性质 lim f (x) = A lim g(x) = B ■v ->x (l -v->.v 0 上述性质对于X T T T* YO 时也同样成立 3、约去零因式（此法适用于xf °时,#型） 例： x' — — 16x — 20 求 lim — --- ； -------- 丫+2疋 +7工 +16x + 12 解:原式二 lim 化一弘：-10”+(2￥-6龙_20) Z (/ + 5疋 + 6x)+ (22 +1OX+12) ..(x + 2)(x~ — 3x — 10) =lim ------ ---------- 3-2 (兀 + 2)(人亠 +5x + 6) r (x* — 3x —10) (x — 5)(x + 2) =Inn - -------- = lim ----------- —(屮 + 5x + 6) —2 (x + 2)(x + 3) 二 lim 1 = -7 ?Z x + 3 ⑴ lim|/(x)±^(x)] = lim f(x) ± lim g(x) = A±B .v->x 0 ?f 切 (II) lim [/(x)? g(x)] = lim /(x)? lim g(x) = A ? B ?f5 (III)若 BHO ?XT" -v->.r o 则： lim /(x) XT.? A g(x) lim g(x) B XT% (IV) lim c ? f(x) = c - lim f(x) = cA (c 为常数) NT 曲 AT %?
4、通分法(适用于oo-oc型)
极限计算方法总结(简洁版)
极限计算方法总结（简洁版） 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；? ??≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ； 等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1） B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数 )(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且)(x f ～)(1x f ，)(x g ～
函数极限的十种求法
函数极限的十种求法 信科2班江星雨250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使 得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则： 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点： 设函数f(x)和F(x)满足下列条件： （1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限： 应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。 应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件：
极限的常用求法及技巧.
极限的常用求法及技巧 引言 极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法,它是人们从有限认识无限，从近似认识精确,从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑,它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。 极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强,灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结, 我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限(定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限,x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍．我们在解决极限及相关问题时,可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解,尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三,触类旁通 。 1数列极限的常用求法及技巧 数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解．本章节就着重介绍数列极限的一些求法。 1.1利用定义求数列极限 利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。若对任给的正数N,使得n 大于N 时有 ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限,并记作,lim n a n a =∞ →或 )(,∞→∞→n a n
极限的求解方法
求函数极限的方法和技巧 1、运用极限的定义 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 00 (III)若 B ≠0 则： （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 0 （c 为常数） 上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →） 例: 求 解:原式=() ())12102(65)2062(103lim 2232232+++++--+---→x x x x x x x x x x x =) 65)(2()103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =) 65()103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2lim -→x 73 5-=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )2144(lim 22 x x x ---→ 解: 原式=) 2()2()2(4lim 2x x x x -?++-→ 12 1672016lim 23232+++----→x x x x x x x
=) 2)(2()2(lim 2x x x x -+-→ =4121lim 2=+→x x 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足： （I ）0)(lim 0 =→x f x x (II) M x g ≤)( (M 为正整数) 则：0)()(lim 0 =→x f x g x x 例: 求 x x x 1sin lim 0?→ 解: 由 0lim 0 =→x x 而 11sin ≤x 故 原式 =01sin lim 0=?→x x x 6、利用无穷小量与无穷大量的关系。 （I ）若：∞=)(lim x f 则 0) (1lim =x f (II) 若: 0)(lim =x f 且 f(x)≠0 则 ∞=)(1lim x f 例: 求下列极限 ① 51lim +∞→x x ②1 1lim 1-→x x 解: 由 ∞=+∞→)5(lim x x 故 051lim =+∞→x x 由 0)1(lim 1 =-→x x 故 11lim 1-→x x =∞ 7、等价无穷小代换法
求极限的常用方法(精髓版)考试必备
求极限的常用方法（精髓版） 初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。 1．直接代入数值求极限 例1 求极限1lim(21)x x →- 解 1lim(21)2111 x x →-=?-= 2．约去不能代入的零因子求极限 例2 求极限11lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1) lim lim lim(1)(1)4 11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限 例3 求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 解 3131lim 13lim 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律 ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 4．分子(母)有理化求极限 例4 求极限) 13(lim 22+-++∞ →x x x 解 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例5 求极限 x →解 01)2x x x →→→=== 5．应用两个重要极限的公式求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和1lim(1)x x e x →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。 例6 求极限 x x x x ??? ??-++∞→11lim
高数-极限求解方法与技巧总结
第一章 极限论 极限可以说是整个高等数学的核心，贯穿高等数学学习的始终。因为有关函数的可积、连续。可导等性质都是用极限来定义的。毫不夸张地说，所谓高数，就是极限。衡量一个人高等数学的水平只需看他对极限的认识水平，对极限认识深刻，有利于高等数学的学习，本章将介绍数列的极限、函数的极限以及极限的求解。重点是求极限。 ??????? ?? ?? ?? 极限的定义数列极限极限的性质 函数极限的定义函数极限函数极限的性质 一、求极限的方法 1.利用单调有界原理 单调有界原理：若数列具有单调性、且有有界性，也即单调递增有上界、单调递减有下界，则该数列的极限一定存在。可以说，整个高等数学是从该结论出发来建立体系的。 利用该定理一般分两步：1、证明极限存在。2、求极限。 说明：对于这类问题，题中均给出了数列的第n 项和第1n +项的关系式，首先用归纳法或作差法或作商法等证明单调性，再证明其有界性（或先证有界、再证单调性），由单调有界得出极限的存在性，在最终取极限。 例1设0110,0,()0,1,2n n n a a x x x n x +>>=+=，…证{}n x 的极限存在，并求其极限。 分析：本题给出的是数列前后两项的关系，所以应该用单调有界原理求解。 解：由基本不等式，11()2n n n a x x x +=+≥n x 有下界；下面证单 调性，可知当2n ≥时，有2 111 ()()22n n n n n n n x a x x x x x x +=+≤+=，则n x 单调递减。综 合可得，则n x 单调递减有下界，所以lim n n x →∞ 存在；令lim n n x A →∞ = ，带入等式解得 A 评注：对于该题，再证明有界性的过程中用到基本不等式；特别是在证明单调性
极限平衡法的几种方法介绍
For personal use only in study and research; not for commercial use For personal use only in study and research; not for commercial use 基于极限平衡法原理的边坡稳定计算有多种方法，根据不同的适用条件，主要有摩根斯坦－普瑞斯（Morgenstern-Price）法、毕肖普（Bishop）法、简布（Janbu）法、推力法、萨尔玛（Sarma）法等。 Bishop法概述： 目前，在工程上常用的两种土坡稳定分析方法仍为瑞典圆弧法(Fellenius法)和简化毕肖普法，它们均属于极限平衡法。瑞典圆弧法的土条间作用力的假设不太合理，得出的安全系数明显偏低，而简化毕肖普法的假设较为合理，计算也不复杂，因而在工程中得到了十分广泛的应用。 当土坡处于稳定状态时，任一土条内滑弧面上的抗剪强度只发挥了一部分，并与切向力相平衡，见图1(a)，其算式为 （1）如图1(b)所示，将所有的力投影到弧面的法线方向上，则得 （2）当整个滑动体处于平衡时（图1(c)），各土条对圆心的力矩之和应为零，此时，条间推力为内力，将相互抵消，因此得 (3) 图1 毕肖普法计算图 将式(2)代入式(3)，且，最后得到土坡的安全系数为
(4) 实用上，毕肖普建议不计分条间的摩擦力之差，即，式(4)将简化为 (5) 所有作用力在竖直向和水平向的总和都应为零，即并结合摩擦力之差为零，得出 (6) 代入式(5)，简化后得 (7) 当采用有效应力法分析时，重力项将减去孔隙水压力，并采用有效应力强度指标有 (8) 在计算时，一般可先给假定一值，采用迭代法即可求出。根据经验，通常只要迭代3~4次就可满足精度要求，而且迭代通常总是收敛的。 摩根斯坦－普瑞斯（Morgenstern-Price）法 该方法考虑了全部平衡条件与边界条件，消除了计算方法上的误差，并对Janbu推导出来的近似解法提供了更加精确的解答；对方程式的求解采用数值解法（即微增量法），滑面形状任意，通过力平衡法所计算出的稳定系数值可靠程度较高。
函数的极限的求解方法
函数的极限的求解方法 摘 要：本文介绍了计算函数极限的几种方法，讨论如何运用已掌握的知识方法计算极限． 关键词：零因子：初等法：两个重要极限 ：等价无穷小： 等价无穷小替换 ：函数的连续性 ：Hospital L '法 。 引 言 极限思想是许多科学领域的重要思想之一. 因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要. 对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出结果. 为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法 . 本文也介绍了计算极限的几种方法，并对文献结论进行了推广，讨论如何利用我们已有的知识计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想. 函数的极限主要表现在两个方面： 一、自变量x 任意接近于有限值0x ，或讲趋向（于）0x （记0x x →）时，相应的函数值)(x f 的变化情况. 二、当自变量x 的绝对值x 无限增大，或讲趋向无穷大（记∞→x ）时，相应的函数值)(x f 的变化情况. 相关知识点 （一）“0x x →”形： 定义1：如果对0>?ε（不论它多么小），总0>?δ，使得对于适合不等式δ<-<00x x 的一切x 所对应的函数值)(x f 满足：ε<-A x f )(，就称常数A 为函数)(x f 当0x x →时的极限，记为 A x f n =∞→)(lim ，或A x f →)( （当0x x →时） 注1：“x 与0x 充分接近”在定义中表现为：0>?δ，有δ<-<00x x ， 即),(0δ∧ ∈x U x .显然δ越小，x 与0x 接近就越好，此δ与数列极限中的N 所起的作用是一样的，它也依赖于ε.一般地，ε越小，δ相应地也小一些. 2：定义中00x x -<表示0x x ≠，这说明当0x x →时，)(x f 有无限与)(0x f 在0x 点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与)(0x f 值也无关）.
求极限的常用方法
求极限的常用方法 摘要 极限思想是大学课程中微积分部分的基本原理，这显示出极限在高等数学中的重要地位。同时，极限的计算本身也是一个重要内容。 关键词 极限；计算方法 初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。 1．直接代入数值求极限 例1 求极限1lim(21) x x →- 解 1 lim(21)2111 x x →-=?-= 2．约去不能代入的零因子求极限 例2 求极限11 lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)4 11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限 例3 求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 解 3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律 ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 4．分子(母)有理化求极限 例4 求极限) 13(lim 22+-++∞ →x x x 解 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x
极限求解的若干方法
学科分类号0703 本科毕业论文 题目（中文）：极限求解的若干方法 （英文）：Some methods of limit solving 院（系）数学与计算机科学学院 专业、年级 2008级数学与应用数学
湖南师范大学本科毕业论文诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 本科毕业论文作者签名： 二○一二年五月四日
湖南师范大学本科毕业论文开题报告书 论文题目极限求解的若干方法 作者姓名陈明波所属院、专业、年级数计院数学与应用数学专业2008年级 指导教师姓名、职称李小燕教授预计字数7000开题日期2012年2月18日选题的根据：1）说明本选题的理论、实际意义 2）综述国内外有关本选题的研究动态和自己的见解 高等数学是以函数为研究对象，以微分和积分及其应用为内容，以极限为手段的一门科学，换句话说，高等数学是用极限来研究函数的微分和积分的理论，由于极限贯穿整个高等数学，故极限的计算就显得尤为重要。极限的计算不仅是高等数学的基本计算之一，同时又是解决许多实际问题不可缺少的工具，它在物理学、工程学等相关学科上有广泛的应用。因此，求极限是学生必须练好的一门基本功。然而，极限的题目错综复杂，针对不同的问题我们的解决方法不尽相同。定义固然要掌握牢固，但“具体问题具体分析”，面对这五花八门的极限问题有些方法是可以让我们在解决具体问题的时候走捷径的。 主要内容： 极限是高等数学基础，在高等数学中占有十分重要的位置。极限可分为函数极限和数列极限，本 -定义求极限；2、利用极限的课题主要讨论极限的求法，预计总结极限的十六种求法，1、利用εδ 四则运算性质求极限；3、利用两个准则求极限；4、利用两个重要极限公式求极限；5、换元法求极限； 6、利用单侧极限求极限； 7、利用导数的定义求极限； 8、利用函数的连续性求极限； 9、利用级数收敛的必要条件求极限；10、利用无穷小量的性质求极限；11、利用中值定理求极限；12、洛必达法则求极限；13、利用定积分求和式的极限；14、利用泰勒展开式求极限；15、利用海涅定理（归结原理）求极限；16、利用Stoltz公式法求极限。 研究方法： 研究步骤：到图书馆电子阅览室查找相关的期刊文献，并利用中国期刊网、中国知识网和中国数字化期刊群查找论文相关的资料. 从图书馆借阅相关书籍，仔细阅读，细心分析，通过自己的耐心总结、研究，老师的指导、改正，争取做好毕业论文工作. 研究方法：本课题研究方法主要是理论研究法，文献研究法、经验总结法． 措施：查阅资料，理解函数极限的定义，对函数极限的求法加以归纳.
求极限的几种方法
求函数极限的方法和技巧 摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。 关键词：函数极限 引言 在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。 主要内容 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 2 3lim 22=-+-→x x x x 证: 由 2 4 4122322-+-= --+-x x x x x x
()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取εδ= 则当δ <-< 20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε-定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim 0 x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim （c 为常数） 上述性质对于时也同样成立 -∞→+∞→∞→x x x ,,
求极限的几种方法
一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 23lim 22=-+-→x x x x 证: 由 2 4 4122322-+-= --+-x x x x x x ()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取 εδ= 则当δ <-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限 δε-定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I) []=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim 0 x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II) []B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 0 00 （IV ） cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数） 上述性质对于 时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,
例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 4 53lim 22+++→x x x x =254252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于 型时0 ,0x x → 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式= () () ) 12102(65) 2062(103lim 223 2232 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =)65)(2() 103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =)65()103(lim 222++---→x x x x x =) 3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2 lim -→x 73 5 -=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )21 44(lim 22x x x ---→ 解: 原式=) 2()2() 2(4lim 2x x x x -?++-→ =) 2)(2() 2(lim 2x x x x -+-→ =4 1 21lim 2=+→x x 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足：
函数极限的求法(正文).
目录 0.引言 (1) 1.函数极限的定义 (1) 2. 一元函数极限的求法 (3) 2.1 利用函数极限定义求极限 (3) 2.2 利用恒等变形和极限运算法则求极限 (4) 2.3 利用迫敛性求极限 (4) 2.4 利用两个重要极限及其推导公式求函数极限 (5) 2.5 利用洛必达法则求解 (6) 2.6 利用函数的连续性质求解 (7) 2.7 利用等价无穷小量代换求解 (8) 2.8 利用导数的定义求解 (8) 2.9 利用泰勒公式求极限 (9) 2.10 利用微分中值定理求极限 (10) 2.11 利用积分中值定理求极限 (10) 2.12 利用瑕积分的极限等式求极限 (11) 3. 二元及多元函数极限的解法 (11) 3.1 利用二元函数的连续性求解 (12) 3.2 利用极限的运算法则求解 (12) 3.3 利用不等式，使用夹逼法则求解 (12) 3.4 变量替换化为已知极限，或化为一元函数的极限求解 (13) 3.5 利用恒等变形法求解 (13) 3.6 利用两个重要极限求解 (14) 3.7 利用等价无穷小代换求解 (15) 3.8 利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小的结论求解 (16) 3.9 利用二重积分来计算二元函数的极限 (16) 3.10 利用极坐标变换求解 (17) 3.11 利用二元函数的泰勒展式求解 (17) 4. 总结 (18) 致谢 (18) 参考文献 (20)
函数极限的求法 0.引言 极限描述了数列和函数在无限变化中的一种趋势，它体现了从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变的数学思想。在数学分析和微积分学中，极限的概念占有重要的地位并以各种形式出现且贯穿全部的内容。极限理论又是研究连续，导数，积分，级数等的基本工具，是微积分的理论基础。极限的计算在解决许多实际问题中不可缺少。因此，掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分学的关键一环。 对于如何求极限，怎样使求极限变得容易，这是让绝大多数学生较为头痛的问题。我们如何在准确理解极限的概念、性质和极限存在条件的基础上，灵活巧妙的运用各种不同的方法解决有关极限的实际问题。本文针对一元函数和二元函数极限，对它们的求解方法进行了归纳总结。 1.函数极限的定义 定义1 设函数)(x f 在),(0ηx U o (0x 的空心η邻域)内有定义,A 为一个确定的常数, 若对任给的正数ε,总存在某一正数δ, 使得当δ<-<00x x 时, 都有ε<-A x f )(, 记作:A x f x x =→)(lim 0 或)()(0x x A x f →→, 称)(x f 当 0x x →时以A 为极限. 或简单地写成: 0lim ()0,0x,0, (). x x f x A x x f x A εδδε→=??>?>?<-<-<，使得当时总有 定义2 设函数)(x f 在()δ,00x U +（或()δ,00 x U - ）内有定义,A 为定数, 若 对任给的0>ε, 存在正数δ, 使得当δ+<<00x x x （或00x x x <<-δ）时有 ε<-A x f )(, 则称数A 为函数)(x f 当x 趋于+0 x （或- 0x ）时的右(左)极限.
极限计算方法及例题
极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如： )0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；???≥<=∞→时当不存在， 时当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需 再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时， 不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，