离散数学(屈婉玲版)第一章部分习题汇总(完整资料).doc
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第一章习题
1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还
是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值.
(1) √2是无理数.
是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1
(2) 5能被2整除.
是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0
(3)现在在开会吗?
不是命题.
(4)x+5>0.
不是命题.
(5) 这朵花真好看呀!
不是命题.
(6) 2是素数当且仅当三角形有3条边.
是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p q真值:1
(7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起.
是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p q 真值:0
(8) 2008年10月1日天气晴好.
是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯一.
(9) 太阳系以外的星球上有生物.
是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯
一.
(10) 小李在宿舍里.
是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一.
(11) 全体起立!
不是命题.
(12) 4是2的倍数或是3的倍数.
是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q真
值:1
(13) 4是偶数且是奇数.
是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0
(14) 李明与王华是同学.
是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一.
(15) 蓝色和黄色可以调配成绿色.
是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:1
1.3 判断下列各命题的真值.
(1)若2+2=4,则3+3=6.
(2)若2+2=4,则3+3≠6.
(3)若2+2≠4,则3+3=6.
(4)若2+2≠4,则3+3≠6.
(5)2+2=4当且仅当3+3=6.
(6)2+2=4当且仅当3+3≠6.
(7)2+2≠4当且仅当3+3=6.
(8)2+2≠4当且仅当3+3≠6.
答案:
设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题.
(1)p→q,真值为1.
(2)p→┐q,真值为0.
(3)┐p→q,真值为1.
(4)┐p→┐q,真值为1.
(5)p q,真值为1.
(6)p┐q,真值为0.
(7)┐p q,真值为0.
(8)┐p┐q,真值为1.
1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。
（1）如果今天是1号，则明天是2号。
p:今天是1号。
q:明天是2号。
符号化为：p q
真值为：1
（2）如果今天是1号，则明天是3号。
p:今天是1号。
q:明天是3号。
符号化为：p q
真值为：0
1.5将下列命题符号化。
（1）2是偶数又是素数。
（2）小王不但聪明而且用功。
（3）虽然天气很冷，老王还是来了。
（4）他一边吃饭，一边看电视。
（5）如果天下雨，他就乘公共汽车上班。
（6）只有天下雨，他才乘公共汽车上班。
（7）除非天下雨，否则他不乘公共汽车上班。(意思为：如果他乘公共汽车上班，则天下雨或如果不是天下雨，那么他就不乘公共汽车上班)
（8）不经一事，不长一智。
答案：（1）设p：2是偶数，q：2是素数。符号化为：p∧q （2）设p：小王聪明，q：小王用功。符号化为：p∧q
（3）设p：天气很冷，q：老王来了。符号化为：p∧q
（4）设p：他吃饭,q：他看电视。符号化为：p∧q
（5）设p：天下雨，q：他乘公共汽车。符号化为：p→q
（6）设p：天下雨，q：他乘公共汽上班。符号化为：q→p
（7）设p：天下雨，q：他乘公共汽车上班。符号化为：q→p 或q→p
（8）设p：经一事，q：长一智。符号化为：p→q
1.6设p,q的真值为0；r,s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)
（2）(p?r)∧(?p∨s)
（3）(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)
（4）?(p∨(q→(r∧?p))→(r∨?s)
解：（1）p∨(q∧r)
p r (p r)∧(?p ∨s)
(3)(p∧(q∨r))→(p∨q)∧(r∧s)
1．7 判断下列命题公式的类型。
（1）p(p q r) 解：
p q r p
q p q
r
p(p q
r)
0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 1 1
0 1 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1
1 0 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 1 1
由真值表可知，该命题公式为重言式。
（2）（p →┑p）→┑p
p
┑p p →┑p （p →┑p）→┑p
0 1 1 1
1 0 0 1
由真值知命题公式的类型是：重言式
（3）┐(q→p)∧p
p q q→p ┐（q→p）┐(q→p)∧p
0 0 1 0 0
0 1 0 1 0
1 0 1 0 0
1 1 1 0 0
(4)(p→q) →(﹁q→﹁p)
解:
其真值表为:
(5)( ﹁p→q) →(q→﹁p)
解:
其真值表为:
（7）（p∨?p）→((q∧?q) ∧?r) 解：
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1 0 0
1 0 1 1 0 0 0 0
1 1 0 1 0 1 0
1 1 1 1 0 0 0
1.7(8)
(p q)→﹁(p∨q).
p q (p q) (p∨q) ﹁(p∨q) (p q)→﹁(p
∨q)
0 0 1 0 1 1
0 1 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 0 0 (9) ((ｐ→ｑ)∧(ｑ→ｒ))→(ｐ→ｒ)
解:
p ｑｒｐ→
ｑｑ→
ｒ
（ｐ→ｑ）∧
（ｑ→ｒ）
ｐ→
ｒ
A
0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
该命题为永真式
（10）（（p∨q）→r）?s
解：
结论：此命题为非重言式可满足式
1.8 用等值演算法证明下列等值式
（1）（p∧q）∨(p∧﹁q) ?p
证明：
（p∧q）∨(p∧﹁q) （分配律）
?p∧(q∨﹁q) （排中律）
?p∧1 (同一律)
?p
（3）（p q） ( ( p q ) ( p q ) )
证明：（p q）
( ( p q ) (q p ) )
( ( p q ) ( q p ) )
( p q ) ( q p )
( p q ) ( q p )
( ( p q ) q ) ( (p q ) p )
( ( p q ) ( q q ) ) ( ( p p ) ( q p) )
(( p q ) 1) (1 ( q p) )
( p q ) ( q p)
( p q ) ( p q )
1.9 用等值演算法判断下列公式的类型。
（1）（（p q）p）.
解：（1）（（p q）p）
（（p q）p）蕴含等值式
（（p q））p 德·摩根律
p q p 双重否定律
p p q 交换律
0q 矛盾律
0 零律
即原式为矛盾式.
(2)((p q) (q p))(p q)
解：((p q) (q p))(p q)
(p q) (p q)
((p q) (p q)) ((p q) (p q))
(P q) (p q)
(p q) (p q))
1
即((p q) (q p))(p q)是重言式。
(3) (p→q)→(q→p).
解：(p→q)→(q→p)
((p∨q))∨(q∨p)
(p∧q) ∨(q∨p)
(p∨(p∧q))∧(q∨(q∨p))
( (p∨p)∨q)∧((q∨q)∨p]
(p∨q) ∧(p∨q)
(p∨q)
或(p→q)→(q→p)
((p∨q))∨(q∨p)
(p∧q) ∨(q∨p)
（(p∧q) ∨q）∨p结合律
p∨q 吸收律
结论：该公式为可满足式。
1.12(1)求下面命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。
(p∨(q∧r))→（p∧q∧r）
?(p∨(q∧r))∨(p∧q∧r)
(?p∧(?q∨?r)) ∨(p∧q∧r)
(?p∧?q) ∨(?p∧?r)∨(p∧q∧r)
((?p∧?q)∧(r∨?r)) ∨((?p∧?r)∧(q∨?q)) ∨(p∧q∧r)
(?p∧?q∧r)∨(?p∧?q∧?r)∨(?p∧?q∧?r) ∨(?p∧q∧?r) ∨(p∧q∧r)
(?p∧?q∧r)∨(?p∧?q∧?r) ∨(?p∧q∧?r) ∨(p∧q∧r)
((?p∧?q∧?r) ∨(?p∧?q∧r)∨(?p∧q∧?r) ∨(p∧q∧r)
m0∨m1∨m2∨m7
∑(0,1,2,7)
故其主析取范式为
(p∨(q∧r))→（p∧q∧r）∑(0,1,2,7)
由最小项定义可知道原命题的成真赋值为
(0,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1)
成假赋值为(0,1,1)(1,0,0)(1,0,1)(1,1,0)
由主析取范式和主合取范式的关系即可知道主合取范式为
(p∨(q∧r))→（p∧q∧r）∏(3,4,5,6)
（3）（p q）q r
解：（p q）q r
（p q）q r
p q q r
既（p q）q r是矛盾式。（p q）q r的主合取范
式为M
0 M
1
M
2
M
3
M
4
M
5
M
6
M
7，
成假赋值为：000，
001，010，011，100，101，111．
13.通过求主析取范式判断下列各组命题公式是否等值。
（1）①p→(q→r);②q→(p→r).
解：p→(q→r) ﹁p (q→r)
﹁p (﹁q r)
﹁p﹁q r
(﹁p(q﹁q)(r﹁r))((p﹁p)﹁q(r﹁r))((p ﹁p)(q﹁q) r)
(﹁p q r) (﹁p q﹁r) (﹁p﹁q r) (﹁p﹁q
﹁r) (p﹁q r) (p﹁q﹁r) (﹁p q r)
∑(0,1,2,3,4,5,7)
q→(p→r)﹁q (﹁p r)
﹁p﹁q r
∑(0,1,2,3,4,5,7)
所以两式等值。
（2）①p q
?(p∧q)
(p∧(q∨?q))∨(q∧(p∨?p))
(p∧q)∨(?p∧?q) ∨(?q∧p) ∨(?p∧?q)
(?p∧q) ∨(?p∧?q) ∨(p∧?q)
m
1∨m
∨m
2
∑(0,1,2)
(p∧?q)处原为(?q∧p)，不是极小项
②令A = p q
B= ?(p∧q)
C=(?p∧q) ∨(?p∧?q) ∨(p∧?q)
D = p↓q
则B*=?(p∨q) p↓q=D
且A B C
所以D A*C*
C* = (?p∨q)∧(?p∨?q)∧(p∨?q)
∏（0，1，2）∑(3)
所以①!②
1.15某勘探队有3名队员，有一天取得一块矿样，3人判断如下：甲说：这不是铁，也不是铜；
乙说：这不是铁，是锡；
丙说：这不是锡，是铁；
经实验室鉴定后发现，其中一人两个判断都正确，一个人判对一半，另一个人全错了。根据以上情况判断矿样的种类。
解：p：是铁q：是铜r：是锡
由题意可得共有6种情况：
1)甲全对，乙对一半，丙全错：(﹁p∧﹁q) ∧((﹁p∧﹁r)∨(p∧r)) ∧(r∧﹁p) ①
2)甲全对，丙对一半，乙全错：(﹁p∧﹁q) ∧（（﹁r∧﹁p）∨(r ∧p)）∧(p∧﹁r) ②
3)乙全对，甲对一半，丙全错：（﹁p∧r）∧((﹁p∧q) ∨(﹁q∧p)) ∧(r∧﹁p) ③
4)乙全对，丙对一半，甲全错：（﹁p∧r）∧((﹁r∧﹁p) ∨(r∧p)) ∧(p∧q) ④
5)丙全对，甲对一半，乙全错：(﹁r∧p) ∧( (﹁p∧q) ∨(p∧﹁q)) ∧(p∧﹁r) ⑤
6)丙全对，乙对一半，甲全错：(﹁r∧p) ∧((﹁p∧﹁r)∨(p∧r)) ∧(p∧q) ⑥
则①∨②∨③∨④∨⑤∨⑥ 1
①(﹁p∧﹁q∧﹁p∧﹁r∧r∧﹁p) ∨(﹁p∧﹁q∧p∧r∧r∧﹁p)
0∨00
②(﹁p∧﹁q∧﹁r∧﹁p∧p∧﹁r)∨(﹁p∧﹁q∧r∧p∧p∧﹁r) 0∨00
③(﹁p∧r∧﹁p∧q∧r∧﹁p) ∨（﹁p∧r∧﹁q∧p∧r∧﹁p）(﹁p∧q∧r) ∨0﹁p∧q∧r
④（﹁p∧r∧﹁r∧﹁p∧p∧q）∨（﹁p∧r∧r∧p∧p∧q）0∨00
⑤(﹁r∧p∧﹁p∧q∧p∧﹁r) ∨(﹁r∧p∧p∧﹁q∧p∧﹁
r)0∨(p∧﹁q∧﹁r) p∧﹁q∧﹁r
⑥(﹁r∧p∧﹁p∧﹁r∧p∧q) ∨(﹁r∧p ∧p∧r∧p∧q)0∨
00
所以①∨②∨③∨④∨⑤∨⑥（﹁p∧q∧r）∨（p∧﹁q∧﹁r）而这块矿石不可能既是铜又是锡，所以只能是
1.16判断下列推理是否正确，先将命题符号化，再写出前提和结论，让后进行判断。
3如果今天是1号，则明天是5号。今天是1号，所以明天是5号。
p：今天是1号q：明天是5号
解：前提：p→q ,p
结论：q
推理的形式结构为：((p→q)∧p)→q
证明：①p→q 前提引入
②p 前提引入
③q 假言推理
此命题是正确命题
1.16（2）
判断下列推理是否正确，先将命题符号化再写出前提和结论，然后进行判断
如果今天是1号，则明天是5号。明天是5号，所以今天是1号。
解设p: 今天是1号,q: 明天是5号,则该推理可以写为
( (p→q)∧q)→p
前提p→q，q
结论p
判断
证明
( (p→q)∧q)→p ? ( (p→q)∧q)∨p
?( p→q)∨?q∨p
?( ?p∨q) ∨?q∨p
(p∧?q) ∨?q∨p
?q∨p
此式子为非重言式的可满足式，故不可以判断其正确性
所以此推理不正确
1.16（3）如果今天是1号，则明天是5号，明天不是5号，所以今天不是1号。
解：p:今天1号.
q:明天是5号.
((p→q)∧?q)→?p
前提:p→q,?q.
结论: ?p.
证明:①p→q 前提引入
②?q 前提引入
③?p ①②拒取式
推理正确
1.17(1)前提：﹁（p∧﹁q）,﹁q∨r,﹁r
结论：﹁p.
证明：①﹁q∨r 前提引入
②﹁r 前提引入
③﹁q ①②析取三段论
④﹁(p∧﹁q) 前提引入
⑤﹁p∨q ④置换
⑥﹁p ③⑤析取三段论
即推理正确。
（2）前提：p→(q→s),q, p∨﹁r
结论：r →s.
证明：①p∨﹁r 前提引入
②r 附加前提引入
③p 析取三段论
④p→(q→s) 前提引入
⑤q→s 假言推理
⑥q 前提引入
⑦s 假言推理
由附加前提证明法可知，结论正确。
(3): 前提: p→q.
结论: p→(p∧q).
证明: ①p→q. 前提引入
②p 附加前提引入
③q ①②假言推理
④p∧q ②③合取引入规则（4）前提：q p,q s,s t,t r.
结论：p q s r.
证明：1) t r；前提引入
2) t ；1)的化简
3) s t；前提引入
4)（s t）(t s); 3)的置换
5) t s 4)的化简
6) s；2),5)的假言推理
7) q s；前提引入
8) (q s)(s q)；7)置换
9) s q 8)的化简
10) q；6),9)的假言推理
11) q p；前提引入
12) p；10),11)的假言推理
13）r 1)的化简
14) p q s r 6),10),12),13)的合取
所以推理正确。
1．18 如果他是理科学生，他必学好数学。如果他不是文科学生，他必是理科学生。他没学好数学。所以它是文科学生。
判断上面推理是否正确，并证明你的结论。
解：p:他是理科学生q:他学好数学r:他是文科学生前提：p→q ，┐r→p ，┐q
结论：r
①┐p前提引入
②p→q 前提引入
③┐p ①②拒取式
④┐r→p 前提引入
⑤r ③④拒取式
1.19 给定命题公式如下：p(q r)。
求命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。
解：p(q r)
(( p q q))(r r))((q r)(p p))
p q r)p q r)(p q r)(p q r)(p q r)(p q r)
m
7m
6
m
5
vm
4
m
6
m
2
m
7m
6
m
5
vm
4
m
2 2、4、5、6、7
∴p(q r) 0、1、3
既010、100、101、110、111是成真赋值，
000、001、011是成假赋值
1.20 给定命题公式如下：（p q）r。
求命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋
值。
解：（p q）r
(p q)r
((p q)(r r))((p p)(q q)r)
(p q r)(p q r)(p q r)(p q r)(p q r) (p q r)
m
7m
6
m
7
m
5
m
3
m
1
m
7m
6
m
5
m
3
m
1 1、3、5、6、7
∴（p q）r 0、2、4
既001、011、101、110、111是成真赋值，
000、010、100是成假赋值。
例题
例1.25 给定命题公式如下，用等值演算判断公式类型
(1)(p∧q) →(p∨q)
解：﹁(p∧q) ∨(p∨q)
﹁p∨﹁q∨p∨q
(﹁p∨p) ∨(﹁q∨q)
1∨1
1
所以为重言式
（2）(p?q) ?((p→q)∧(q→p))
解：(p?q) ?((p→q)∧(q→p))
(p?q) ?(?q)
((p?q)→(p?q))∧((p?q)→(p?q))
(p?q)→(p?q)
?(p?q) ∨(p?q)
?((p→q) ∧(q→p)) ∨((p→q) ∧(q→p))
((?(p→q) ∨? (q→p)) ∨(p→q)) ∧(?(p→q) ∨? (q→
p)) ∨(q→p))
(1∨? (q→p))∧(1∨(q→p))
1 ∧1
1
所以此式是重言式(红色字体部分可删去)
（3） (p→q)∧q
解： (p→q)∧q(p∨q)∧q (p∧q)∧q p∧(q∧q) p∧00
由上使等值演算结果可知：此式为矛盾式。
(4) (p p)q
0q
(0q)(q0)
(0q)(q0)
1q
q
由此结果可得此式为：非重言式的可满足式（5）p(p q);
解：p(p q)
p( p q)
（p p）q
1q
1
所以该命题公式是重言式。
（6）（p∨﹁p）→((q∧﹁q)∧r)
1→（0∧r）
1→0
﹁1∨0
所以为矛盾式
(7)((p→q)→p)p
解: ((p→q)→p) p
(（p→q）∨p) p
((p∨q) ∨p) p
(p∧q) ∨p p
p p
(p→p)∧(p→p) 等价等值式
p→p 等幂律
p∨p 蕴涵等值式
1
所以该式为重言式
例1.25 第（8）题
（p∧q）∨(p∧﹁q)
((p∧q)∨p)∧(（p∧q）∨﹁q)
(p∨p)∧(q∨p)∧(p∨﹁q)∧(q∨﹁q)
p∧(p∨q)∧(p∨﹁q)
p∧(p∨﹁q)
p
或（p∧q）∨(p∧﹁q)
p∧(q∨﹁q)
p∧1
p
为可满足式
(9) (p∨q∨r) (p∧q∧r)
((p∨q) ∨r) (p∧q∧r)
(p∨q)∧r) (p∧q∧r)
(p∧q∧r) (p∧q∧r)
((p∧q∧r)→(p∧q∧r))∧((p∧q∧r)→(p∧q∧r))
离散数学屈婉玲版第一章部分习题汇总
第一章习题 1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还 是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值. (1) √2是无理数. 是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1 (2) 5能被2整除. 是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0 (3)现在在开会吗? 不是命题. (4)x+5>0. 不是命题. (5) 这朵花真好看呀! 不是命题. (6) 2是素数当且仅当三角形有3条边. 是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p?q真值:1 (7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起. 是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p?q真值:0 (8) 2008年10月1日天气晴好. 是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯 一. (9) 太阳系以外的星球上有生物. 是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一. (10) 小李在宿舍里. 是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一. (11) 全体起立! 不是命题. (12) 4是2的倍数或是3的倍数. 是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q 真值:1 (13) 4是偶数且是奇数.
是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0 (14) 李明与王华是同学. 是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一. (15) 蓝色和黄色可以调配成绿色. 是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:1 1.3 判断下列各命题的真值. (1)若 2+2=4,则 3+3=6. (2)若 2+2=4,则 3+3≠6. (3)若 2+2≠4,则 3+3=6. (4)若 2+2≠4,则 3+3≠6. (5)2+2=4当且仅当3+3=6. (6)2+2=4当且仅当3+3≠6. (7)2+2≠4当且仅当3+3=6. (8)2+2≠4当且仅当3+3≠6. 答案: 设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题. (1)p→q,真值为1. (2)p→┐q,真值为0. (3)┐p→q,真值为1. (4)┐p→┐q,真值为1. (5)p?q,真值为1. (6)p?┐q,真值为0. (7)┐p?q,真值为0. (8)┐p?┐q,真值为1. 1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号。 p:今天是1号。 q:明天是2号。 符号化为：p→q 真值为：1 （2）如果今天是1号，则明天是3号。 p:今天是1号。
离散数学习题答案(耿素云屈婉玲)
离散数学习题答案 习题二及答案：（P38） 5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ?→∧∧ 解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。 ) 6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨?∨ 解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨ 、 解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。 主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式： （1）()()p q p r ∨∨?∧ 。 解：公式的真值表如下：
由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式 1234567m m m m m m m ?∨∨∨∨∨∨ 习题三及答案：（P52-54） 11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提：,,,p q q r r s p ?∨?∨→ [ 结论：s 证明： ① p 前提引入 ② p q ?∨ 前提引入 ③ q ①②析取三段论 ④ q r ?∨ 前提引入 ⑤ r ③④析取三段论 ⑥ r s → 前提引入 } ⑦ s ⑤⑥假言推理 15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理： （2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论： p u → 证明：用附加前提证明法。 ① p 附加前提引入
离散数学答案解析屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案解析
离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案
3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)
离散数学屈婉玲版课后习题
第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1 所以公式类型为永真式 (3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1
屈婉玲版离散数学课后习题答案【2】
第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有错误！未找到引用源。2=(x+错误！未找到引用源。)(x 错误！未找到引用源。). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 错误！未找到引用源。2=(x+错误！未找到引用源。)(x 错误！未找到引用源。). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为)(x xF ?，在（a ）中为假命题，在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为)(x xG ?，在（a ）(b)中均为真命题。 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x 能表示成分数 H(x): x 是有理数 命题符号化为: ))()((x H x F x ∧??? (2)F(x): x 是北京卖菜的人 H(x): x 是外地人 命题符号化为: ))()((x H x F x →?? 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x 是火车; G(x): x 是轮船; H(x,y): x 比y 快
命题符号化为: )) F x G x→ ∧ ? ? y y ( )) ( ) , x ((y ( H (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ))) x x F y y→ ?? ∧ ? G (y H ( , ( ) ( ( x ) 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R. (b) D中特定元素错误！未找到引用源。=0. (c) 特定函数错误！未找到引用源。(x,y)=x错误！未找到引用源。y,x,y D ∈错误！未找到引用源。. (d) 特定谓词错误！未找到引用源。(x,y):x=y,错误！未找到引用源。(x,y):x 离散数学(屈婉玲版)第四章部分答案 4.1 （1）设S={1，2}，R 是S 上的二元关系，且xRy 。如果R=Is ，则（A ）；如 果R 是数的小于等于关系，则（B ），如果R=Es ，则（C ）。 （2）设有序对 《离散数学1-5章》练习题答案第2，3章(数理逻辑) 1.答：（2），（3），（4） 2.答：（2），（3），（4），（5），（6） 3.答：（1）是，T （2）是，F （3）不是 （4）是，T （5）不是（6）不是 4.答：（4） 5.答：?P ，Q→P 6.答：P(x)∨?yR(y) 7.答：??x(R(x)→Q(x)) 8、 c、P→(P∧(Q→P)) 解：P→(P∧(Q→P)) ??P∨(P∧(?Q∨P)) ??P∨P ? 1 (主合取范式) ? m0∨ m1∨m2∨ m3 （主析取范式） d、P∨(?P→(Q∨(?Q→R))) 解：P∨(?P→(Q∨(?Q→R))) ? P∨(P∨(Q∨(Q∨R))) ? P∨Q∨R ? M0 (主合取范式) ? m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式) 9、 b、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S) 证明： （1） P 附加前提 （2） Q 附加前提 （3） P→(Q→R) 前提 （4） Q→R （1），（3）假言推理 （5） R （2），（4）假言推理 （6） R→(Q→S) 前提 （7） Q→S （5），（6）假言推理 （8） S （2），（7）假言推理 d、P→?Q，Q∨?R，R∧?S??P 证明、 (1) P 附加前提 （2） P→?Q 前提 （3）?Q （1），（2）假言推理 （4） Q∨?R 前提 (5) ?R （3），（4）析取三段论 (6 ) R∧?S 前提 （7） R （6）化简 （8） R∧?R 矛盾（5），（7）合取 所以该推理正确 10.写出?x(F(x)→G(x))→(?xF(x) →?xG(x))的前束范式。 解：原式??x(?F(x)∨G(x))→(?(?x)F(x) ∨ (?x)G(x)) ??(?x)(?F(x)∨G(x)) ∨(?(?x)F(x) ∨ (?x)G(x)) ? (?x)((F(x)∧? G(x)) ∨G(x)) ∨ (?x) ?F(x) 4.1 （1）设S={1，2}，R 是S 上的二元关系，且xRy 。如果R=Is ，则（A ）；如 果R 是数的小于等于关系，则（B ），如果R=Es ，则（C ）。 （2）设有序对 ４.１ (1）设Ｓ={１,２｝,R 是S 上的二元关系，且ｘR ｙ。如果Ｒ=Is ，则(A)； 如果R 是数的小于等于关系,则（Ｂ),如果Ｒ=Es ，则（C)。 （2）设有序对<ｘ+2，４>与有序对<５,2x+y>相等，则 ｘ=(D),y=(E). 供选择的答案 Ａ、B 、C ：① x ，y 可任意选择１或2;② ｘ＝1,ｙ=1；③ x=１,y=1 或 ２；x=y=2; ④ ｘ＝2,y=2;⑤ x=y=１或 x ＝y=２;⑥ x=1,ｙ＝2；⑦x=2,y ＝１。 D 、E:⑧ 3；⑨ 2;⑩－2。 答案: Ａ: ⑤ B: ③ Ｃ： ① D: ⑧ Ｅ: ⑩ 4.2设S ＝<1,2，３，４>,R 为S 上的关系，其关系矩阵是 ????? ???????0001100000011001 则（1）R 的关系表达式是（A ）。 (2)dom Ｒ＝(Ｂ),ranR=(C). (3）R ?Ｒ中有(Ｄ)个有序对。 (4）R ˉ1的关系图中有(E)个环。 供选择的答案 A ：①{<1,1>,<1,２>，<1，4>，<4，１>,＜4，3>}; ②{<１,１＞,<1,４＞,<2,1>,<４,1>,＜３,４>}; Ｂ、C ：③{１，2，3,4}；④{１,2，４};⑤{1,４}⑥{1，３,４}。 Ｄ、E ⑦1;⑧３；⑨6；⑩7。 答案： A ：② B:③ Ｃ：⑤ Ｄ:⑩ E:⑦ 4.3设R 是由方程ｘ+３ｙ=１2定义的正整数集Z+上的关系,即 { ………………………………………………最新资料推 荐……………………………………… 1.1．略 1.2．略 1.3．略 1.4．略 1.5．略 1.6．略 1.7．略 1.8．略 1.9．略 1.10．略 1.11．略 1.12．将下列命题符号化,并给出各命题的真值: (1)2+2＝4当且仅当3+3＝6.(2)2+2＝ 4的充要条件是3+3≠6.(3)2+2≠4与 3+3＝6互为充要条件.(4)若2+2≠4, 则 3+3≠6,反之亦然. (1)p?q,其中,p: 2+2＝4,q: 3+3＝6, 真值为 1.(2)p??q,其中,p:2+2＝4,q:3+3＝6,真值为0. (3)?p?q,其中,p:2+2＝4,q:3+3＝6,真值为 0.(4)?p??q,其中,p:2+2＝4,q:3+3＝6,真值为1. 1.13．将下列命题符号化, 并给出各命题的真值:(1) 若今天是星期一,则明天是星期二.(2)只有今天 是星期一,明天才是星期二.(3)今天是星期一当 且仅当明天是星期二. (4)若今天是星期一,则明 天是星期三. 令p: 今天是星期一;q:明天是星期二;r:明天是星期三.(1) p→q ? 1. (2) q→p ? 1. (3) p?q? 1. (4)p→r当p ? 0时为真; p ? 1时为假. 1.14．将下列命题符号化. (1) 刘晓月跑得快,跳得高.(2) 老王是山东人或河北人. (3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小 组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃 饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨,他就乘 班车上班.(9)只有天下大雨,他才乘班车上 班.(10)除非天下大雨,他才乘班车上班.(11) 下雪路滑, 他迟到了. (12)2与4都是素数,这是不对的. (13)“2或4是素数,这是不对的”是不对的. 1 离散数学（第四版） ( ( ( (耿素云屈婉玲张立昂著) ) ) ) 清华大学出版社 第第第第 1 1 1 1 章章章章习题解答习题解答习题解答习题解答 1．1 除（3），（ 4），（ 5），（ 11）外全是命题，其中，（1），（ 2），（ 8），（ 9），（10），（ 14），（ 15）是简单命题，（6），（ 7），（ 12），（ 13）是复合命题。 分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。 本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句， 所以它们都不是命题。 其次，（4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。又因为（1），（2），（ 8），（ 9），（ 10），（ 14），（ 15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来 的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许 多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（ 15）中的“与”与“和”是联结 的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。 1．2 （1）是无理数，p 为真命题。 2: p （2）能被 2 整除，p 为假命题。 :5 p （6）。其中，是素数，q：三角形有三条边。由于 p 与 q 都是真 qp → 2 : p 命题，因而为假命题。 qp → （7），其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于 p 为假命 qp → 题，q 为真命题，因而为假命题。 qp → （8）年 10 月 1 日天气晴好，今日（1999 年 2 月 13 日）我们还不 :2000 p 课后答案网 https://www.360docs.net/doc/b917626345.html, 2 知道 p 的真假，但 p 的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。 （9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。 （10）p：小李在宿舍里. p 的真值则具体情况而定，是确定的。 （12），其中，是偶数，是奇数。由于 q 是假命题，所以，q qp ∨ 4 : p 4: q 为假命题，为真命题。 qp ∨ （13），其中，是偶数，是奇数，由于 q 是假命题，所以， qp ∨ 4 : p 4: q 为假命题。 qp ∨ （14） p：李明与王华是同学，真值由具体情况而定（是确定的）。 （15） p：蓝色和黄色可以调配成绿色。这是真命题。 分析命题的真值是唯一确定的，有些命题的真值我们立即可知，有些则不 能马上知道，但它们的真值不会变化，是客观存在的。 1．3 令则以下命题分别符号化为 6,33:4,22: +=+= qp （1） qp → （2） qp →? 第一章 命题逻辑基本概念 课后练习题答案 4.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1； （2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e 是无理数,真值为1； （3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1； （4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0； （5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1； （2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1； （3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； （4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1； （5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； 6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨； （2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语；. 7.因为p 与q 不能同时为真. 13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三： （1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）； （2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）； （3）p q ，真值为1； （4）p→r，若p 为真，则p→r 真值为0，否则，p→r 真值为1. 16 设p 、q 的真值为0；r 、s 的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p ∨(q ∧r)? 0∨(0∧1) ? （2）（p ?r ）∧(﹁q ∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p ∧?q ∧r ）?(p ∧q ∧﹁r) ?（1∧1∧1） ? (0∧0∧0)?0 (4)（?r ∧s ）→(p ∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0? 1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数 r: 2是无理数 1 s: 6能被2整除 1 t: 6能被4整除 0 命题符号化为： p ∧(q →r)∧(t →s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p →q) →(?q →?p) （5）(p ∧r) ?(?p ∧?q) （6）((p →q) ∧(q →r)) →(p →r) 答： （4） p q p →q ?q ?p ?q →?p (p →q)→(?q →?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 //最后一列全为1 （5）公式类型为可满足式（方法如上例）//最后一列至少有一个1 （6）公式类型为永真式（方法如上例）// 返回 第二章 命题逻辑等值演算 本章自测答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p ∧q →q) (2)(p →(p ∨q))∨(p →r) (3)(p ∨q)→(p ∧r) 答：(2)（p →(p ∨q)）∨(p →r)?(?p ∨(p ∨q))∨(?p ∨r)??p ∨p ∨q ∨r ?1 所以公式类型为永真式 (3) P q r p ∨q p ∧r （p ∨q ）→(p ∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 6.1(5) 5S =n M (R),+为矩阵加法，则S 是（群） 答：满足封闭性，因为矩阵加法可结合所以为半群，且幺元为e ＝0的矩阵,故为独异点。又因为以任一n 阶矩阵的逆元存在是它的负矩阵，所以是群。 评语：答案太简单 6.2 （1）因为可结合，交换，幺元为1，但不存在逆元 所以是半群 （2）因为可交换，结合，幺元为0，是有限阶群并且是循环群，G 中的2阶元是2，4阶元是1和3 6.4 设Z 为正数集合，在Z 上定义二元运算 ° ，? x,y ∈Z 有 x ° y=x+y-2, 那么Z 与运算 ° 能否构成群？为什么？ 解： 设 ? a,b,c ∈Z （a ° b ）° c = (a+b-2) ° c = a+b- 2+ c-2 =a+b+c-4 a ° ( b ° c) = a ° (b+c-2) =a + b+c-2-2 =a+b+c-4 对2∈Z ，? x ∈Z 有 x ° 2=x+2-2=x=2° x, 可见 , 存在幺元，幺元为2。 对? x ∈Z 有4-x ∈Z,使x ° （4-x ）= (4-x) ° x=2 所以 x-1 = 4-x 所以Z 与运算 ° 能构成群 。 6.7 下列各集合对于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格？ （1）L={1,2,3,4,5}. （2）L={1,2,3,6,12}. （3）L={1,2,3,4,6,9,12,18,36}. （4）L={1,2,2(2),…,2(n)}. （1）L={1,2,3,4,5}. 解：由它的哈斯图可以知道，该偏序集不是格，因为3和4、5和4 、3和5有最大下届是1，但是没有最小上届。 （2）L={1,2,3,6,12}. 解：由它的哈斯图可以知道，该偏序集是格。因为L 中的任意俩个元素都有最大下结和最小上届。 （3）L={1,2,3,4,6,9,12,18,36}. 解：由它的哈斯图可以知道，该偏序集是格。因为L 中的任意俩个元素都有最大下结和最小上届。 （4）L={1,2,2(2),…,2(n)}. 离散数学最全课后答案(屈婉玲版) 离散数学习题解1 习题1 1 . 1 . 2 . 1 . 3 . 1 . 4 . 1 . 5 . 1 . 6 . 1 . 7 . 1 . 8 . 1 . 9 . |下列命题用符号表示，并给出其真值: (1) 2+2(2) 2+2 = 4的充要条件是3+3？6.(3)2+2？4和3+3 = 6都是必要和充分的条件。(4)如果2+2？4，然后3+3？6，反之亦然。 (1)p？q，其中p: 2+2 = 4，q: 3+3 = 6，真值为1。(2)p？？q，其中p: 2+2 = 4，q: 3+3 = 6，真值为0。(3)？p？q，其中p: 2+2 = 4，q: 3+3 = 6，真值为0。(4)？p？？q，其中p: 2+2 = 4，q: 3+3 = 6，真值为1. 1.13。用符号表示下列命题，并给出每个命题的真实值:(1)如果今天是星期一，明天就是星期二。只有今天是星期一。明天是星期二。(3)今天是星期一，只有明天是星期二。(4)如果今天是星期一，明天就是星期三。 订单P:今天是星期一；问:明天是星期二；明天是星期三。问？？1.(2) q？p？？1.(3) p？问？？1. (4) p？r何时p？？0为真；p？？一小时是假的。 1.14。象征以下命题。 (1)刘跑得快，跳得高。老王来自山东或河北。 (3)因为天气寒冷。所以我穿上了羽绒服。(4)王欢和李乐组成一个小组。 (5)李欣和李默是兄弟。 (6)王强和刘伟都学过法语。他一边吃饭一边听音乐。如果下大雨，他就乘公共汽车去上班。只有下大雨时，他才乘公共汽车去上班。除非下大雨。他刚刚乘公共汽车去上班。雪很滑，他迟到了。(12)2和4是质数，这是错误的。(13)“2或4是质数，这是错误的”是错误的。离散数学习题解答 (1)p？其中，刘跑得快，刘跳得高。(2)p？其中，p:老王来自山东，q:老王来自河北。(3)p？问:那里的天气很冷，问:我穿着羽绒服。(4)p，其中P:王欢和李乐组成一个组，这是一个简单的命题。(5)p，其中P:李欣和李默是兄弟。 (6)p？其中，王强学的是法语，刘伟学的是法语。其中，p:他吃饭，q:他听音乐。其中，p:雨下得很大，q:他乘公共汽车去上班。其中， 离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社 课后答案 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】 离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)? 0∨(0∧1) ?0 （2）（pr）∧(﹁q∨s) ?（01）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1） (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数 0 r: 2是无理数 1 s: 6能被2整除 1 t: 6能被4整除 0 命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r 设解释I为：个体域D I ={-2,3,6},一元谓词F（X）：X3，G（X）：X>5,R(X):X7。在I下求下列各式的真值。 （1）x(F(x)G(x)) 解：x(F(x)G(x)) (F(-2) G(-2)) (F(3) G(3)) (F(6) G(6)) ((-23) (-2>5)) ((33) (3>5)) ((63) (6<5)) ((1 0))((1 0)) ((0 0)) 000 (2) x(R(x)F(x))G(5) 解：x(R(x)F(x))G(5) (R(-2)F(-2)) (R(3)F(3)) (R(6)F(6)) G(5) ((-27) (-23)) (( 37) (33)) (( 67) (63)) (5>5) (1 1) (1 1) (10) 0 1 1 0 0 (3)x(F(x)G(x)) 解：x(F(x)G(x)) (F(-2) G(-2)) (F(3) G(3)) (F(6) G(6)) ((-23) (-2>5)) ((33) (3>5)) ((63) (6>5)) (1 0) (1 0) (0 1) 1 1 1 1 求下列各式的前束范式，要求使用约束变项换名规则。 （1）??xF(x)→?yG(x,y) (2) ?（?xF(x,y) ∨?yG(x,y) ） 解：（1）??xF(x)→?yG(x,y) ???xF(x)→?yG(z,y) 代替规则 ??x?F(x)→?yG(z,y) 定理（2 ） ??x(?F(x) →?yG(z,y) 定理（2）③ ??x?y(?F(x) →G(z,y)) 定理（1）④ （2）?（?xF(x,y) ∨?yG(x,y) ） ??(?zF(z,y) ∨?tG(x,t)) 换名规则 ??(?zF(z,y) )∧?(?tG(x,t) ) ??z?F(z,y) ∧?t?G(x,z) ??z (?F(z,y) ∧?t?G(x,z)) ??z ?t(?F(z,y) ∧?G(x,t)) 求下列各式的前束范式，要求使用自由变项换名规则。（代替规则）（1）xF(x)∨yG(x,y) xF(x) ∨yG(z,y) 代替规则 x（F(x) ∨yG(z,y)）定理（1）① xy（F(x) ∨G(z,y)）定理（2）① （2）x(F(x)∧yG(x,y,z))→zH(x,y,z) x(F(x)∧yG(x,y,t))→zH(s,r,z) 代替规则 xy (F(x)∧G(x,y,t))→zH(s,r,z) 定理（1）② x（y (F(x)∧G(x,y,t))→zH(s,r,z)）定理（2）③ xy（(F(x)∧G(x,y,t))→zH(s,r,z)）定理（1）③ xyz（(F(x)∧G(x,y,t))→H(s,r,z)）定理（2）④ 构造下面推理的证明。 3 习题一 1.1．略 1.2．略 1.3．略 1.4．略 1.5．略 1.6．略 1.7．略 1.8．略 1.9．略1.10．1.11．1.12．略 略 将下列命题符号化, 并给出各命题的真值: (1)2+2＝4当且仅当3+3＝6. (2)2+2＝4的充要条件是3+3?6. (3)2+2?4与3+3＝6互为充要条件. (4)若2+2?4, 则3+3?6, 反之亦然. (1)p q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为1. (2)p ←q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为0. (3) ←p q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为0. (4) ←p ←q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为1. 将下列命题符号化, 并给出各命题的真值: (1)若今天是星期一, 则明天是星期二. (2)只有今天是星期一, 明天才是星期二. (3)今天是星期一当且仅当明天是星期二. (4)若今天是星期一, 则明天是星期三. 令p: 今天是星期一; q: 明天是星期二; r: 明天是星期三. (1) p q ? 1. (2) q p ? 1. (3) p q ? 1. (4) p r当p ? 0时为真; p ? 1 时为假. 将下列命题符号化. (1) 刘晓月跑得快, 跳得高. (2)老王是山东人或河北人. (3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他迟到了. (12)2与4都是素数, 这是不对的. (13)“2或4是素数, 这是不对的”是不对的. 列各组数中，那些能构成无向图的度数列那些能构成无向简单图的度数列 （1）1，1，1，2，3 （2）2，2，2，2，2 （3）3，3，3，3 （4）1，2，3，4，5 （5）1，3，3，3 解答：（1），（2），（3），（5）能构成无向图的度数列。 （1），（2），（3）能构成五项简单图的度数列。 设有向简单图D 的度数列为2，2，3，3，入度列为0，0，2，3，试求D 的出度列。 解：因为 出度=度数-入度，所以出度列为2，2，1，0。 设D 是4阶有向简单图，度数列为3，3，3，3。它的入度列（或出度列）能为1，1， 1，1吗 解：由定理可知，有向图的总入度=总出度。该有向图的总入度=1+1+1+1=4,总出度=2+2+2+2=8,4！=8，所以它的出度列（或入度列）不能为1，1，1，1。 35条边，每个顶点的度数至少为3的图最多有几个顶点 解：根据握手定理，所有顶点的度数之和为70，假设每个顶点的度数都为3，则 n 为小于等于3 70的最大整数，即：２３ ∴ 最多有23个顶点 7.7 设n 阶无向简单图G 中，δ（G ）=n-1，问△（G ）应为多少 解： 假设n 阶简单图图n 阶无向完全图，在K n 共有 2)1(-n n 条边，各个顶点度数之和为n （n-1） ∴每个顶点的度数为n n n )1(-=n-1 ∴△（G ）=δ（G ）=n-1 一个n （n ≥２）阶无向简单图Ｇ中，n 为奇数，有r 个奇度数顶点，问Ｇ的补图G 中有几个奇度顶点 解：在K n 图中，每个顶点的度均为（n-1），n 为奇数，在Ｇ中度为奇数的顶点在G 中仍然为奇数， ∴共有r 个奇度顶点在G 中 ７.９ 设Ｄ是n 阶有向简单图，Ｄ’是Ｄ的子图，已知Ｄ’的边数m ’＝n （n-1），问Ｄ的边数m 为多少 解： 在Ｄ’中m ’＝n （n-1） 可见Ｄ’为有个n 阶有向完全图，则Ｄ＝Ｄ’ 即Ｄ’就是Ｄ本身， ∴m=n （n-1） 有向图D 入图所示。求D 中长度为4 的通路总数，并指出其中有多少条是回路离散数学(屈婉玲版)第四章部分答案
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