深圳实验学校直升考数学试卷及复习资料

2009-2010学年度第一学期期末考试

初三年级数学试卷

考试时间：90分钟试卷满分：120分

说明：1、试卷满分为120分,在90分钟内完成，考生应根据情况安排好答卷时间

2、在答题卷上答题要用钢笔或圆珠笔书写，密封线外不得写考生姓名、班级等。

3、考试结束后请将试卷、答题卷按顺序整理好一并交回。

一、选择题（共10小题，每题3分，共30分.每小题给出的A 、B 、C 、D 四个结论中有且只有一个是正确的，选出答案后，请将正确答案写在答卷的表格内，写在本试卷上的答案无效.） 1．下列运算结果是负数的是（ ▲ ）

A -5-

B (5)--

C ()2

5- D 25-

2．在ABC ?中，A ∠、B ∠都是锐角，且1

sin 2

A =

，tan B =，则ABC ?的形状是（ ▲ ）

A 锐角三角形

B 钝角三角形

C 直角三角形

D 不能确定 3．已知1-=x 是一元二次方程210x mx +-=的一个根，则m 的值是（ ▲ ） A 0 B 1 C 2 D -2

4．如图，四边形ABCD 是边长为2cm 的正方形，动点P 在ABCD 的边上沿

A B C D →→→的路径以1cm/s 的速度运动(点P 不与A D ，重合)在这个

运动过程中，APD △的面积2

(cm )S 随时间()t s 的变化关系用图象表示，正确的为（ ▲ ）

（第4题图）

ＢＣ

Ｄ

5．矩形面积为4，长y 是宽x 的函数，其函数图像大致是（ ▲ ）

6．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑按原售价降低m 元后，又降低20%，现售价为n 元，那么该电脑的原售价为（ ▲ ）

A 元)54(m n +

B 元)5(m n +

C 元)5(n m +

D 元)4

(m n +

7．方程5)3)(1(=-+x x 的解是（ ▲ ）

A 3,121-==x x

B 2,421-==x x

C 3,121=-=x x

D 2,421=-=x x

8．一个点到圆周的最小距离为4cm ，最大距离为9cm ，则该圆的半径是（ ▲ ） A 2.5 cm 或6.5 cm B 2.5 cm

C 6.5 cm

D 5 cm 或13cm

9. 如图，在平面直角坐标系中，OABC 是正方形，点A 的坐标是(4，0)，点P 为边AB 上一点，∠CPB ＝60°，沿CP 折叠正方形，折叠后，点B 落在平面内点B '处，则B '点的坐标为（ ▲ ）．

A (2，32)

B (23

，32-)

C (2，324-)

D (23，324-)

10．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30?

到正方形AB C D '''，则它们的公共部分的面积等于（ ▲ ）.

A B C P 60° B ’

O x

- B

二、填空（共10小题，每题3分，共30分.请将正确答案写在答题卷的横线内，写在本试卷上的答案无效.）

11．16的算术平方根是▲。

12.温家宝总理有句名言：“多么小的问题乘以13亿都会变得很大；多么大的经济

总量除以13亿都会变得很小。”将 1 300 000 000用科学记数法表示为：____▲。

13. 在函数

中，自变量x的取值范围为▲。

14．将4个数a b c d

，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成

a b

c d

，定义

a b

c d

ad bc

=-，上述记号就叫做2阶行列式．若

x x

=，

则x=▲。

15. 如右图，△ABC内接于圆，D为弧BC的中点，

∠B AC=50°,则∠DBC是▲度

16. 如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角

为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为▲米。

（第16题图）

第10题图

B C

（第17题图）

17. 如图，两个反比例函数 6y x =

和 3

y x

=在第一象限内的图象依次是C 1和C 2，设点P 在C 1上，PC ⊥x 轴于点C ，交C 2于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交C 2于点B ，则四边形PAOB 的面积为 ▲ 。

18. 二次函数5422+-=x x y 的顶点坐标是 ▲ 。

19. 已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点

A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC

边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 ▲ 。

20. 把边长为3的正三角形各边三等分，分割得到图①，图中含有1个边长是1的

正六边形；

把边长为4的正三角形各边四等分，分割得到图②，图中含有3个边长是1的正六边形；

把边长为5的正三角形各边五等分，分割得到图③，图中含有6个边长是1的正六边形；

…依此规律，把边长为7的正三角形各边七等分，并按同样的方法分割，得到的图形中含有 ▲ 个边长是1的正六边形．

（第20题图）

…

图①

图②

图③

2009-2010学年度第一学期期末考试

初三年级数学答卷

考试时间：90分钟试卷满分：120分

一、选择题：请将正确答案写在下列表格内（30分）

二.填空题：请将正确答案写在下列横线内（30分）

11． 12． 13.

14． 15. 16．

17． 18． 19.

20.

三.解答题（本题共8小题，共60分）

21．（本题满分6分）先化简：22

26926

a a a a a --÷++++，再选一个使原式有意义的数代入求值。

解：

22．（本题满分6分）解分式方程：2257

11x x x x x

-+=-- 解：

23．（本题满分7分）如图，已知直线12y x =与双曲线

(0)k

y k x

=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．

（1）求k 的值；

解：

（2）若双曲线(0)k

y k x

=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积；解：

（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k

y k x

=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若AOP △的面积为6，求点P 的坐标．

解：

24．（本题满分7分）某班为开展“迎冬奥会”的主题班会

活动，派了两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品．已

知该超市的甲种钢笔每支8元，乙种钢笔每支4.8元，他们要

购买这两种钢笔共40支．

（1）如果两人一共带了240元，全部用于购买奖品，那么能买这两种笔各多少支？

解：

（2）根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的甲种钢笔的数量要少于乙种钢笔

的数量的1

，但又不少于乙种钢笔的数量的

．如果他们买了甲种钢笔x支，

买这两种笔共花了y元．

①请写出y（元）关于x（支）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；解：

②请帮他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花多少元？解：

25．（本题满分7分）如图1，点C 将线段AB 分成两．

部分，如果AC BC

AB AC

，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出 “黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果

S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点（如图2），则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF CE ∥，交AC 于点F ，连接EF （如图3），则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由．

图1 图2 图3 解：（1）

（2

）

26．

（本题满分6分）已知点C 为半圆上一点，且弧AC=弧CE ，过点C 作直径AB 的垂线CP ，P 为垂足，弦AE 分别交PC 、CB 于点D 、F ．

（1）求证：AD=DC ；证明：

（2）若DF=45，tan ∠ECB=4

，求PB 的长．解：

27. （本题满分9分）抛物线2=y ax bx c ++(0)a ≠过点

(13)(33)(15)A B C ---，，，，，，顶点为M 点．

（1）求该抛物线的解析式．解：

（2）试判断抛物线上是否存在一点P ，使∠POM ＝90?．若不存在，说明理由；若存在，求出P 点的坐标．

解：

（3）试判断抛物线上是否存在一点K ，使∠OMK ＝90?，若不存在，说明理由；若存在，求出K 点的坐标．

解：

28. （本题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，

AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动，

动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的

速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。设运动的时间为t （秒）。（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；

（2）当t 为何值时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形

是等腰三角形？

（3）当线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO ＝OB 时，求∠BQP 的正切值；（4）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由。解：

Q C P D

2009-2010学年度第一学期期末考试

初三年级数学答案

考试时间：90分钟试卷满分：120分

一、选择题：请将正确答案写在下列表格内（30分）

二.填空题：请将正确答案写在下列横线内（30分）

11． 2 12． 1.3×109 13.12x x ≥≠且

14． 15. 25 16．

17． 3 18．（1，3） 19.（2，4）或（3，4）

20. 15

三.解答题（本题共8小题，共60分） 21．（本题满分6分）先化简：2242

26926

a a a a a --÷++++，

再选一个使原式有意义的数代入求值。

解：22

26926

a a a a a --÷++++ 2

(2)(2)2(3)

2(3)2

a a a a a +-+=

++-g ……………（2分） 2426

33a a a a ++=-

++ 2

a =

+ …………… （4分） n 取3-和2以外的任何数，计算正确都可给分． ……………（6分）

22．（本题满分6分）解分式方程：2257

11x x x x x -+=-- 解：方程两边同时乘以(1)x x -，得 2

257(1)x x x x +-=- 2

257x x x x +-=- 2670x x +-= (7)(1)0x x +-=

7x =-或1x = …………… （4分）

经检验，7x =-是原方程的解；1x =是原方程的增根

∴原方程的解是7x =-。 …………… （6分）

23．（

本题满分7分）如图，已知直线12y x =与双曲线

(0)k

y k x

=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．

（1）求k 的值；

（2）若双曲线(0)k

y k x

=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积；

（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k

y k x

=>于P Q ，两点（P 点在第一

象限），若AOP △的面积为6，求点P 的坐标．

解：（1）∵点A 在直线1

y x =

上, 且点A 的横坐标为4 ∴点A 的坐标为 (4,2)

∵点A 在双曲线(0)k

y k x

=>上

∴8k = …………… （1分）

（2）∵双曲线(0)k

y k x

=>上一点C 的纵坐标为8

∴点C 的坐标为 (1,8)

由点C 和点A 分别向x 轴作垂线，垂足分别为M 和N

∴AOC △的面积=MOC △的面积+梯形CMNA 的面积—AON △的面积 =

111

18(82)342222

??+?+?-?? = 15 …………… （3分）（3）∵过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k

y k x

>于P Q ，两点 ∴令点P 的坐标为（8

p p

x x ）且0p x > 由点P 和点A 分别向x 轴作垂线，垂足分别为E 和F 有两种情形：点P 在点A 的上方和点P 在点A 的下方 ∴易知AOP △的面积=梯形PEFA 的面积

∴

6(2)42p p

x x =?+?-

∴

()186(2)42p p x x =?+?- 或()18

6(2)42p p

x x =?+?-

∴解得点P 的坐标为（8,1）和（2,4） …………… （7分）

24．（本题满分7分）某班为开展“迎冬奥会”的主题班会活动，派了两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品．已

知该超市的甲种钢笔每支8元，乙种钢笔每支4.8元，他们要购买这两种钢笔共40支．

（1）如果两人一共带了240元，全部用于购买奖品，那么能买这两种笔各多少支？（2）根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的甲种钢笔的数量要少于乙种钢笔

的数量的

12，但又不少于乙种钢笔的数量的1

．如果他们买了甲种钢笔x 支，买这两种笔共花了y 元．

①请写出y （元）关于x （支）的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围； ②请帮他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花多少元？解：（1）设能买甲种钢笔x 支，则能买乙种钢笔(40)x -支．依题意，得 8 4.8(40)240x x +-=

解得15x =

40401525x -=-=∴．

答：能买甲种钢笔15支，乙种钢笔25支 …………… （3分）（2）①依题意，得8 4.8(40) 3.2192y x x x =+-=+

又由题意，有1(40)21(40)4

x x x x ?

<-????-??，．≥

解得4083

x <

≤ y ∴关于x 的函数关系式为 3.2192y x =+

（40

x <

≤且x 为整数） …………… （6分） ②对一次函数 3.2192y x =+， 3.20k =>∵，

y ∴随x 的增大而增大 ∴对40

x <

≤，当8x =时，y 值最小此时4040832x -=-=， 3.28192217.6y =?+=最小（元）答：当买甲种钢笔8支，乙种钢笔32支时，所花钱最少，为217.6元 …………… （7分）

25．（本题满分7分）如图1，点C 将线段AB 分成两．

部分，如果AC BC

AB AC

图1 图2

图3

解：（1）直线CD 是ABC △的黄金分割线．理由如下：设ABC △的边AB 上的高为h ． 12ADC S AD h =g △，12BDC S BD h =g △，1

ABC S AB h =g △，所以，

ADC ABC S AD S AB =△△，BDC ADC S BD

S AD

=△△．

又因为点D 为边AB 的黄金分割点，所以有

AD BD

AB AD

．因此

ADC BDC

ABC ADC

S S S S =△△△△．

所以，直线CD 是ABC △的黄金分割线． …………… （3分）

（2）因为DF CE ∥，所以DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等，

所以有DEC FCE S S =△△．

设直线EF 与CD 交于点G ．所以DGE FGC S S =△△．所以ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形

DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =△四边形．又因为

ADC BDC

ABC ADC

S S S S =△△△△，所以BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△．

因此，直线EF 也是ABC △的黄金分割线． …………… （7分）

26．

（本题满分6分）已知点C 为半圆上一点，且弧AC=弧CE ，过点C 作直径AB 的垂线CP ，P 为垂足，弦AE 分别交PC 、CB 于点D 、F ．

（1）求证：AD=DC ；（2）若DF=

45，tan ∠ECB=4

，求PB 的长．

（1）证明：连接AC ，

∵弧AC=弧CE ，

∴∠CEA=∠CAE ．

∵∠CEA=∠CBA ，

∴∠CBA=∠CAE ，又∵AB 是直径，

∴∠ACB=90°， ∵CP ⊥AB ，

∴∠CBA=∠ACP ， ∴∠CAE=∠ACP ，

∴AD=CD ． …………… （2分）

（2） ∵∠ACB=90°，∠CAE=∠ACP ，

∴∠DCF=∠CFD ，

∴AD=CD=DF=

5， ∵∠ECB=∠DAP ， tan ∠ECB=4

3， ∴tan ∠DAP=

=PA DP ， ∵DP 2+PA 2=DA 2， ∴DP=

，PA=1， ∴CP=2，

∵∠ACB=90°，CP ⊥AB ， ∴△APC ∽△CPB, ∴

AP =

, ∴PB=4． …………… （6分）

27. （本题满分9分）抛物线2=y ax bx c ++(0)a ≠过点

(13)(33)(15)A B C ---，，，，，（1）求该抛物线的解析式．

（2）试判断抛物线上是否存在一点P ，使∠POM ＝90?．若不存在，说明理由；若存在，求出P 点的坐标．

（3）试判断抛物线上是否存在一点K ，使∠OMK ＝90?，若不存在，说明理由；若存在，求出K 点的坐标．

解：（1）根据题意，得

33935a b c a b c a b c -=++??

-=++??=-+?

，

，．

解，得 140a b c =??

=-??=?

，，．

∴ 抛物线的解析式为2

4y x x =-． …………… （3

（2）抛物线上存在一点P ，使∠POM ＝90?．

x =224

2=--=-a b ，4416442-=-=-=

a b ac y . ∴ 顶点M 的坐标为(24)-，．

设抛物线上存在一点P ，满足OP ⊥OM ，其坐标为2

(4)a a a -，．过P 点作PE ⊥y 轴，垂足为E ；过M 点作MF ⊥y 轴，垂足为F ．

则 ∠POE ＋∠MOF ＝90?，∠POE ＋∠EPO ＝90?． ∴ ∠EPO ＝∠FOM ．

∵ ∠OEP ＝∠MFO ＝90?， ∴ Rt △OEP ∽Rt △MFO ． ∴ OE ∶MF=EP ∶OF ．即2

(4)24a a a -=::．解，得10a =（舍去），29

a =． ∴ P 点的坐标为9924?? ???

，．

…………… （6分）

（3）过顶点M 作MN ⊥OM ，交y 轴于点N ．则 ∠FMN ＋∠OMF ＝90?． ∵ ∠MOF ＋∠OMF ＝90?， ∴ ∠MOF ＝∠FMN ．

又∵ ∠OFM ＝∠MFN ＝90?， ∴ △OFM ∽△MFN ．

∴ OF ∶MF ＝MF ∶FN ．即 4∶2＝2∶FN ．∴ FN ＝1． ∴ 点N 的坐标为（0，-5）．设过点M ，N 的直线的解析式为y kx b =+．