西南科技大学高等数学期中考试(含答案)经管

西南科技大学2012-2013学年第1学期半期考试试卷

《高等数学B1》（经管类）

参考答案及评分细则

一、填空题(每题4分，共16分)

1．设2

lim()3x x x x a →∞+=-, 则a =____3ln -2__________。

2．设),2013()2)(1()(---=x x x x f Λ求)2013(f '=_____2012!______。 3．[]0()(0)sin 2lim 4,(0)tan x f x f x

f x x →-'=设　则等于_____2______。

4．设x y xe =，则弹性函数Ey

Ex = 1+x 。

二、选择题 (每题4分，共16分)

1．下列说法正确的是（ C ）

A ．无界量是无穷大量；

B ．若()f x 在点0x 处连续，则在此点可导；

C ．若数列{}n a 无界，则数列{}n a 发散；

D ．开区间),(b a 上的连续函数有最大值。

2. 设2

()lim 1n

x

n n x

x x e f x e →∞+=+，则的是函数)(0x f x =（ B ）

A ．连续点； B. 可去间断点； C. 跳跃间断点； D. 无穷间断点。 3．1()

()lim 21x f x f x x →=-设　为可导函数且满足，()y f x =则曲线在点(1(1))f ，

处的切线斜率为( B )

A ．1 ； B. 2； C. 3； D. 4。

4．设)(x f 可导且2)(0-='x f ，则0→?x 时，()f x 在0x 处的微分dy 与x ?比较是( C

)

A ．高阶无穷小； B.低阶无穷小； C. 同阶无穷小； D. 等价无穷小。

三、解答题 (每题8分，共56分)

1．

计算极限30

lim x x →。

解：3

0lim x x →

=0x →2分） =30tan (1cos )lim 2x x x x →-=2

302lim 2x x x x →（4分）=14

（2分）

2．计算极限011lim()1

x x x e →--。 解：20000(1)1111lim()lim (2)lim lim (2)21(1)()x x x x x x x x x e x e x e x x e x e x →→→→'------==='

--分分

()00(1)1lim lim 4(2)22

x x x x e e x →→'-==='分 3．确定常数,a b 使函数ln(1),0()tan ,

0x a x f x bx x ++

lim[ln(1)]0x x a -→++=，得0a =；（4分） 因可导：00ln(1)tan lim 1lim x x x bx b x x

-+→→+===，得1b =；（4分）

4

、设()ln 2x f x x =-，求导数()f x '。

解：314434

x x -''??== ???（3分）

x y x =令，ln ln y x x =，

ln 1y x y '=+，()(ln 1)x x x x x '=+（3分） 143()4

f x x -

'=+(ln 1)x x x +（2分）

5、求方程0y x e e xy --+=所确定的隐函数()y y x =的导数

dy dx 及微分dy 。 解：两边对x 求导：0y x x x

e y e y xy -''+++=（4分） 合并解得

()x x y e y y x e --+'=+（2分）()x y e y dy dx x e --+=+（2分）

6、求函数ln(1)y x =+的n 阶导数。 解：x

y +='11；(1分)2)1(1x y +-=''；(2分)32)1(21)1(x y +?-='''；(2分)… =)(n y n n x n )1()!1()1(1

+---(3分)

7、求函数32

()32420f x x x x =+--的极值。 解：2()3624f x x x '=+-，令()0f x '=得驻点124,2x x =-=(3分)

()66f x x ''=+，(4)180;(2)180;f f ''''-=-<=>(3分)

所以，有极大值(4)60f -=；有极小值(2)48f =-；(2分)

四、证明题 (每题6分，共12分)

1、证明：222lim()112n n n n n n n n

→∞+++=+++L 。 证：因为2

222222121

n n n n n n n n n n n n ≤+++≤+++++L ，（2分)而2222lim lim 11→∞→∞==++n n n n n n n ，（3分) 因此由夹逼准则得2

22111lim(

)112→∞+++=+++L n n n n n .（1分) 2、若函数设)(x f 在),(b a 上可导，且0)(='x f ，证明函数在该区间上是一个常数。 证：设21,x x 是),(b a 内任意两点，且21x x <， 在[21,x x ]上应用拉格朗日中值定理得 212112()()()()f x f x f x x x x ξξ'-=-<< ()(3分)

因为()0f ξ'=，所以21()()0f x f x -=，即21()()f x f x =， 由12,x x 的任意性可知()f x 在(,)a b 内是一个常数．(3分)