第六节极限存在准则两个重要极限第七节无穷小的比较

一、选择题 1. n

n n x 2sin

2lim ∞

→= ( )

A . 0;

B . 1;

C . x ;

D . ∞. 2. x ax x )

1ln(lim 0+→=

( )

A . a ;

B . ln a ;

C . e a ;

D . 1. 3. 当0→x 时, x x cos sin 2

是x 的

( )

A .同阶无穷小量;

B . 高阶无穷小量;

C . 低阶无穷小量;

D . 低阶的无穷小量. 4. =+→)21ln(4sin lim 0x x

( )

A . 4;

B . 1.

C . 0;

D . 2. 5. 极限=-→x x x 1

)31(lim 0

( ) A . ∞;

B . e －

C . 0;

D . e 3.

6. 设232)(-+=x x x f , 则当x →0时, 有

( )

A . f (x )与x 是等价无穷小;

B . (x )与x 是同阶但非等价无穷小;

C . f (x )是比x 高阶的无穷小;

D . f (x )是比x 低阶的无穷小.

二、填空题

1. x x x 21

sin 3lim ?∞→= .

设210

)1(lim e mx x

x =-→，则m =

. 3. =+→)3

sin 12sin

(lim 0

x x x x _ . 三、解答题

1. 求下列极限:

(1) x

x x

x sin 2cos 1lim 0-→;

(2) 2

(lim x

x x x +∞→;

(3) x x x

x x 20sin sin tan lim -→;

(4) )1sin 1)(11(sin tan lim 32

0-+-+-→x x x

x x .

2. 证明: 1)1

(

lim 2

=++

+++

+∞

→n

n n n n

3. 设01>x , )1

(211n

n n x x x +=+(n = 1, 2, …), 证明数列}{n x 当n →∞时极限存在, 并计算极限值.

迫敛准则在极限求解中的应用

迫敛准则在极限求解中的应用中文摘要：在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关，并且在实际问题中，极限也占有很很要的地位.同样在数学分析中，极限对我们来说也很重要，它是我们解决问题的一个工具.在这篇文章中，我主要介绍迫敛准则在极限求解中的应用，迫敛准则，我们有时也称它为夹挤定理或两边夹法则，它是微积分极限理论部分中一个非常重要的性质，对我们求解极限和证明极限是一个很好的工具.本文给出迫敛准则的一些直接应用，并进行了一些推广. 关键词：迫敛准则；极限求解；应用 Abstract：In advanced mathematics, there are a lot of important concepts and methods and to the limit,and in the actual problem, the limit also plays the position.Also in mathematical analysis, limit is also important for us, it is a tool for us to solve the problem, in this article, I'll focus on the of approximate convergence criteria limit solving.The approximate convergence criteria, we sometimes call it the squeeze theorem or folder on both sides of the law, it is the calculus limit the theoretical part of a very important nature, solving strength and proof limit is a good tool for us.In this paper, squeeze criteria applied directly,and some promotion. Keywords: forced convergence criteria; ultimate solving;application 1. 引言迫敛性是微积分极限理论部分中一个非常重要的性质，它在许多极限问题的计算和证明中有很重要的应用.然而，在实际应用中，要寻找到满足条件的{}n x和{}n y经常是困难的，这给迫敛性的应用也带来了一定的不便.

第一章函数、极限与连续

第一章函数、极限与连续 (一) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞<

极限存在准则两个重要极限

3、，其中，，极限不能确定。对于 2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：一、极限存在准则1、夹逼准则准则Ⅰ 如果数列及满足下列条件:那么数列的极限存在, 且、证：取上两式同时成立, 当时，恒有上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ′ 如果当 (或)时,有那么存在, 且等于、准则 I和准则 I称为夹逼准则。【注意】利用夹逼准则求极限的关键是构造出与，并且与的极限是容易求的。例1 求解：由夹逼定理得：【说明】夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用2、单调有界准则准则Ⅱ 单调有界数列必有极限、如果数列满足条件，就称数列是单调增加的；如果数列满足条件，就称数列是单调减少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。几何解释:例2 证明数列（重根式）的极限存在【分析】已知，，求。首先证明是有界的，然后证明是单调的，从而得出结论证： 1、证明极限存在a)

(完整版)1极限存在准则-两个重要极限

Afr .-f-e 第一早第八节极限存在准则两个重要极限【教学目的】 1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。【教学内容】 1、夹逼准则； 2、单调有界准则； 3、两个重要极限。【重点难点】重点是应用两个重要极限求极限。难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（ 3分钟）。首先给出极限存在准则（10分钟），并举例说明如何应用准则求极限（ 5分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（ 10分钟）；课堂练习（5分钟）。【授课内容】引入：考虑下面几个数列的极限 1000 3、lim X n ,其中 x n = 、.、3+ x n-1， N = '、3，极限不能确定。对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则: 一、极限存在准则 1. 夹逼准则准则I 如果数列X n ,y n 及Z n 满足下列条件 (1) y n X n Z n (n 1,2,3 ) (2) lim y n a, lim z n a, n n 那么数列X n 的极限存在，且lim X n a . n 证： y a, z a, 0, N 1 0, N 2 0,使得 1、 lim n n 2 1000个0相加，极限等于 0。 2、 lim n ——2一无穷多个 .n i 0”相加，极限不能确定。

当n N1时恒有y n a ,当n N2时恒有Z n

取N 二max{N j , N 2},上两式同时成立，即a _1_ n 2 2 【说明】夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用 2. 单调有界准则准则n 单调有界数列必有极限几何解释： X 2 X 3 X n X n 1 A 1 - 3—X n , X 1 ,3，求lim X n 。首先证明是有界的，然后证明是单 n 调的，从而得出结论证：1、证明极限存在例2证明数列 X n .3 '/L 3 ( n 重根式)的极限存在当n > N 时，恒有 a y n x n z n a ,即 X n a 成立, lim x n a. n 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 o 准则I '如果当X U (x 0,)(或x M )时，有 (1) g(x) f(x) h(x), ⑵』m g(x) A ，』m h(x) A, x x x x (x ) (x ) 那么lim f (x)存在，且等于A . x x 0 (x ) 准则和准则'称为夹逼准则。【注意】利用夹逼准则求极限的关键是构造出 y n 与z n ，并且y n 与z n 的极限是容易求的。解: 又lim n 1 1 求 lim( + =+ L n “n 2+ 1 、n 2 + 2 + J 2 ： ). .n + n 1 + . < ..n 2 + n lim n 1, lim 一n - n lim n 1, 1 2 y n a 由夹逼定理得: -)1- n 如果数列x n 满足条件X 1 加的；如果数列 x n 满足条件X 1 x 2 x 3 少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。 X 2 X 3 X n X n X n 1 X n 1 ，就称数列 x n 是单调增 ,就称数列x n 是单调减【分析】已知X n

第七节无穷小量的比较

第七节无穷小的比较教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。教学重点：用等价无穷小求极限教学过程：一、讲授新课：在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情况，例如：???????>∞<==?=-→→n m n m n m b a b a x x b x a m n x m n x 0lim lim 00000000 （00,b a 为常数，n m ,为自然数）可见对于n m ,取不同数时，n x a 0与m x b 0趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类：定义：设α与β为x 在同一变化过程中的两个无穷小， (i) 若0lim =α β，就说β是比α高阶的无穷小，记为)(αβo =； (ii) 若∞=α βlim ，，就说β是比α低阶的无穷小； (iii) 若0lim ≠=C α β，，就说β是比α同阶的无穷小； (iv) 若1lim =α β，就说β与α是等价无穷小，记为βα~。【例1】当0→x 时，2x 是x 的高阶无穷小，即)(2x o x =；反之x 是2x 的低阶无穷小；2x 与x cos 1-是同阶无穷小；x 与x sin 是等价无穷小，即x x sin ~。注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：)(),(22x o x x o x ==，但)()(x o x o ≠，因为)(?o 不是一个量，而是高阶无穷小的记号； 2：显然(iv)是(iii)的特殊情况； 3：等价无穷小具有传递性：即γαγββα~~,~?；

4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当0→x 时，x x 1sin 与2x 既非同阶，又无高低阶可比较，因为2 01sin lim x x x x →不存在； 5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类； 6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：定理：若βαβα'',,,均为x 的同一变化过程中的无穷小，且ββαα''~,~，及?' 'αβlim ，那么αβαβ '' =?lim lim 。【例2】求x x x 20sin cos 1lim -→。解：因为当0→x 时，x x ~sin 所以 21cos 1lim sin cos 1lim 2020=- =-→→x x x x x x 。【例3】求x x x x 22arcsin lim 20+→ 解：因为当0→x 时，x x 2~2arcsin ，所以原式122 22 lim 22lim 020==+=+=→→x x x x x x 。 7：在目前，常用当0→x 时，等价无穷小有： 221 ~cos 1,~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin x x x x x x x x x x -； 8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！二、课堂练习：三、布置作业：

高数无穷小比较的教案

第13、14、15、16课时：【教学目的】 1、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限； 2、熟记一些常见的等价无穷小； 3、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型； 4、了解连续函数的性质与初等函数的连续性。【教学重点】 1、常见的等价无穷小的推导； 2、等价无穷小求极限； 3、函数连续性的概念（含左连续与右连续）及函数间断点的类型。【教学难点】判断间断点的类型。 §1. 7 无穷小的比较 1.定义：（1）如果0lim =α β，就说β是比α高阶的无穷小，记作)(αβ =；（2）如果∞=α βlim ，就说β是比α低阶的无穷小，（3）如果0lim ≠=c α β，就说β是比α同阶的无穷小，（4）如果0,0lim >≠=k c k α β，就说β是关于α的k 阶的无穷小，（5）如果1lim =αβ，就说β与α是等价的无穷小，记作βα~ 这些中重要的是等价无穷小，结合例题要让学生特别熟练的记住一些常见的等价无穷小。例1.证明：当0→x 时，x n x n 1~ 1+ 2.定理1.β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβ += 例2.因为当0→x 时，x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arcsin ，22 1~cos 1x x -，所以当0→x 时有)(s i n x x x +=，)(tan x x x +=，)(arcsin x x x +=，)(2 1cos 122x x x +=- 定理2 设αα'~，ββ'~，且αβ' 'lim 存在，则 αβαβ' '=lim lim

例3求x x x 3tan 2tan lim 0→，例4求x x x x 3sin lim 30+→，例5求1cos 1)1(lim 3 120--+→x x x 注：求极限过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无穷小量代替，但只能在因式情况下使用，和、差情况不能用。教学小结与学法建议学完本节课要理解无穷小比较的定义，要牢记课上总结的常见等价无穷小，等价无穷小替换时求极限的一种重要方法，做题时要注意正确的替换方法，在加减法中千万不能用等价无穷小替换，要结合例题和习题掌握牢固和熟练。师生活动设计P59：1，2，3，4（1）（2）作业：P59：4（3）（4）

(完整版)1极限存在准则-两个重要极限

第一章第六节极限存在准则两个重要极限【教学目的】 1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。【教学内容】 1、夹逼准则； 2、单调有界准则； 3、两个重要极限。【重点难点】重点是应用两个重要极限求极限。难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（3分钟）。首先给出极限存在准则（10分钟），并举例说明如何应用准则求极限（5分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（10分钟）；课堂练习（5分钟）。【授课内容】引入：考虑下面几个数列的极限 1、∑ =∞ →+1000 12 1lim i n i n 1000个0相加，极限等于0。 2、∑ =∞ →+n i n i n 1 21lim 无穷多个“0”相加，极限不能确定。 3、n n x ∞ →lim ，其中n x = 1x = 对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：一、极限存在准则 1. 夹逼准则准则Ⅰ 如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件: , lim ,lim )2() 3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n n n n ===≤≤∞ →∞ →Λ 那么数列n x 的极限存在, 且a x n n =∞ →lim . 证：,, a z a y n n →→Θ使得,0,0,021>>?>?N N ε ,1ε<->a y N n n 时恒有当 ,2ε<->a z N n n 时恒有当

第1章重要极限与极限存在准则习题集及答案

第一章习题二重要极限与极限存在准则无穷小的比较一. 选择题 1．=--∞ →n n n n n ne e 2 2 11) sin(lim （ A ）（A ）0；（B ）1；（C ）1-；（D ）∞． 2．3)2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则=k （ C ）（A ）23；（B ）32；（C ）23-；（D ）3 2-． 3．设函数()f x 在(,)-∞+∞上单调有界，{}n x 为数列，则以下选项正确的是（ B ）（A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛（B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛（C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛（D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 4．当0→x 时，)11(22-++x x 是x 的（ D ）（A ）高阶无穷小；（B ）同阶但不等价无穷小；（C ）低阶无穷小；（D ）等价无穷小． 5．当∞→n 时，4321321n n n +++是5 321321n n n -+-的（ C ）（A ）高阶无穷小；（B ）同阶但不等价无穷小；（C ）低阶无穷小；（D ）等价无穷小． 6．当0→x 时，下列结论正确的是（ D ）（A ）22~)1ln(x x -；（B ）x x ~121--；（C ）x e x 2~12-；（D ）x x ~)sin 1ln(+． 7．当0x +→ B ）（A ）1- （B ）（C 1 （D ）1-二．填空题

1．设0≠x ，则___________lim 2tan 2 n n n x x →∞=． 2．221___________sin(21)lim 032x x x x x →-+=-+． 3．4)2( lim =++∞ →x x c x c x ，则___________ln 4c =-． 4．0___________11 lim(sin sin )1x x x x x →-=-． 5． 220___________1sin lim 0 sin 2x x x x →=． 6．220_____ ln cos lim ln cos x ax a bx b →=. 7 ．0 ___________ 13 x →= ． 8 ．0lim x + →= 9．若0x →时，124 (1)1ax --与sin x x 是等价无穷小，则________4a =-。 10．当0→x 时，x x sin 22sin -是x 的k 阶无穷小量, k= 3 ． 11．设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x -+是比sin()n x x 更高阶的无穷小，而sin()n x x 是比2 1x e -更高阶的无穷小。则正整数_________2n =。三．计算题 1．求n n n n )2 3()32(lim +∞ →．解：Θ ≤+?=+≤n n n n n 1)32(23)23()32(232n 22 3 ?，且∞→n lim n 21=， 2 3 )23()32(lim =+∴∞→n n n n ．另解：n n n n )23()32(lim +∞→n n n 1)3 2(23lim 2+?=∞→n n n n 1 lim 21)3 2(lim 23∞→? ?? ? ????? ??+=∞→2 3= ． 2 ．求n →∞+L n n < ++ < L 且1n n == ，所以n →∞ L ＝1 3．求)2211(lim 222n n n n n n n n n n n n -+ ++-++-+ ∞→Λ．

第六节极限存在准则两个重要极限第七节无穷小的比较

第六节极限存在准则两个重要极限第七节无穷小的比较一、选择题 1. n n n x 2sin 2lim ∞ →= ( ) A . 0; B . 1; C . x ; D . ∞. 2. x ax x ) 1ln(lim 0+→= ( ) A . a ; B . ln a ; C . e a ; D . 1. 3. 当0→x 时, x x cos sin 2 1 是x 的 ( ) A .同阶无穷小量; B . 高阶无穷小量; C . 低阶无穷小量; D . 低阶的无穷小量. 4. =+→)21ln(4sin lim 0x x x ( ) A . 4; B . 1. C . 0; D . 2. 5. 极限=-→x x x 1 )31(lim 0 ( ) A . ∞; B . e － 3; C . 0; D . e 3. 6. 设232)(-+=x x x f , 则当x →0时, 有 ( ) A . f (x )与x 是等价无穷小; B . (x )与x 是同阶但非等价无穷小; C . f (x )是比x 高阶的无穷小; D . f (x )是比x 低阶的无穷小. 二、填空题 1. x x x 21 sin 3lim ?∞→= . 2. 设210 )1(lim e mx x x =-→，则m = . 3. =+→)3 sin 12sin (lim 0 x x x x x _ . 三、解答题 1. 求下列极限: (1) x x x x sin 2cos 1lim 0-→; (2) 2 )2 (lim x x x x +∞→; (3) x x x x x 20sin sin tan lim -→; (4) )1sin 1)(11(sin tan lim 32 0-+-+-→x x x x x . 2. 证明: 1)1 21 11 ( lim 2 2 2 =++ +++ +∞ →n n n n n 3. 设01>x , )1 (211n n n x x x +=+(n = 1, 2, …), 证明数列}{n x 当n →∞时极限存在, 并计算极限值.

极限存在准则,两个重要极限

极限存在准则两个重要极限【教学目的】 1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。【教学内容】 1、夹逼准则； 2、单调有界准则； 3、两个重要极限。【重点难点】重点是应用两个重要极限求极限。难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。【授课内容】引入：考虑下面几个数列的极限 1、∑ =∞ →+1000 12 1lim i n i n 1000个0相加，极限等于0。 2、∑ =∞ →+n i n i n 1 21lim 无穷多个“0”相加，极限不能确定。 3、n n x ∞ →lim ，其中n x = 1x = 对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：一、极限存在准则 1. 夹逼准则准则Ⅰ 如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件: , lim ,lim )2() 3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n n n n ===≤≤∞ →∞ → 那么数列n x 的极限存在, 且a x n n =∞ →lim . 证：,, a z a y n n →→ 使得,0,0,021>>?>?N N ε ,1ε<->a y N n n 时恒有当 ,2ε<->a z N n n 时恒有当取12max{,},N N N =上两式同时成立,,εε+<<-a y a n 即 ,εε+<<-a z a n 当n N >时，恒有 ,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n .lim a x n n =∴∞ →

无穷小量与无穷大量的比较

§5 无穷小量与无穷大量的比较先看数列的情形．设,n n x y 是无穷小量，即：lim n →∞ n x ＝0，lim n →∞ n y ＝0．考虑n n n y x ∞→lim 可能出现各种情形： 0lim ≠=∞→c y x n n n ， n c x n =，n y ＝1n ； 0lim =∞→n n n y x ， n x ＝21 n ，n y ＝1n ； ∞=∞→n n n y x l i m ， n x n 1=，21 n y n = n n n y x ∞→lim 不存在 n n n y x ∞→lim 是有界量，n x ＝(1)n n -，n y ＝1 n ， n n n y x ∞→lim 是无界量，但非无穷大，n x ＝ [1(1)]n n +-，n y ＝21 n ，这时 n n x y ＝[1(1)]n n +- 可见，有些无穷小量可以比较，但有些不能。定义3.10 设l i m n →∞ n x ＝0，lim n →∞ n y ＝0． (1)若存在A >0，B >0及正整数N ，使得当n N >时，有 0

n x 与n y 是同阶无穷小量?若存在A >0，B >0及正整数N ，使得当n N >时，有 0 ?ε，N ?，当N n >时，n n y x ε<|| 这表明n x 趋于0的速度比n y 快得多。 n x 与n y 为等价无穷小量?n x ～n y ?lim n →∞ n n x y ＝1 ? n n n y x α=-1，其中0l i m =∞→n n α ?n n n n y y x α+= ?)(n n n n n y o y y x ==-α，这表明：1、n 充分大时，n x 于n y 几乎相等。 2、两个等价无穷小量之差是比其自身更高阶的无穷小量还要引进一个记号： n x ＝()n O y ? 如果 n n x y 是有界的，即||n n x y ≤M )1(O x n = ? 如果M x n ≤||