【中考数学压轴题专题突破04】二次函数中的几何变换问题

【中考压轴题专题突破】

二次函数中的几何变换问题

1．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a＞0）的图象经过点A（3，6），并与x轴相交于B、C两点（点B在点C右侧），且S△ABC＝12，∠ACB＝45°．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若D是线段AC上一点，且以D、O、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；

（3）设直线y＝1为直线l，将二次函数的图象在直线l下方的部分沿直线l翻折到直线l的上方，图象其余的部分不变，得到一个新图象，问是否存在与新图象恰有三个不同公共点且平行于AC的直线？若存在，请求出所有符合条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由．

2．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，直线BC与它的对称轴交于点F，且CF：FB＝1：3．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）若△COB的内心I在对称轴上，求这个二次函数的关系式；

（3）在（2）的条件下，Q（m，0）是x轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC 交于点M，与抛物线交于点N，连接CN，将△CMN沿直线CN翻折，M的对应点为M′，是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

3．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象是经过y轴上点C（0，2）的一条抛物线，顶点为A，对称轴是经过点H（2，0）且平行于y轴的一条直线．点P是对称轴上位于点A 下方的一点，连接CP并延长交抛物线于点B，连接CA、AB．

（1）求这个二次函数的表达式及顶点A的坐标；

（2）当∠ACB＝45°时，求点P的坐标；

（3）将△CAB沿CB翻折后得到△CDB，问点D能否恰好落在坐标轴上？若能，求点P 的坐标，若不能，说明理由．

4．小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．

求函数y＝﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”．

小明是这样思考的：由函数y＝﹣x2+3x﹣2可知，a1＝﹣1，b1＝3，c1＝﹣2，根据：a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2、b2、c2，就能确定这函数的“旋转函数”．

请参考小明的方法解决下面问题：

（1）写出函数y＝﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；

（2）若函数y＝﹣x2+mx﹣2与y＝x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2018；

（3）已知函数y＝﹣的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y＝﹣互为“旋转函数”．

5．如图，在平面直角坐标系中，点A为二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象的顶点，图象与y轴交于点C，过点A并与AC垂直的直线记为BD，点B、D分别为直线与y轴和x轴的交点，点E是二次函数图象上与点C关于对称轴对称的点，将一块三角板的直角顶点放在A点，绕点A旋转，三角板的两直角边分别与线段OD和线段OB相交于点P、Q两点．

（1）点A的坐标为，点C的坐标为．

（2）求直线BD的表达式．

（3）在三角板旋转过程中，平面上是否存在点R，使得以D、E、P、R为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出P、Q、R的坐标；若不存在请说明理由．

6．把二次函数y＝x2+bx+c的图象沿y轴向下平移3个单位长度，再沿x轴向左平移1个单位长度后，得抛物线M，其顶点恰好落在y轴上点（0，﹣1）．

【解决问题】

请直接写出抛物线M的函数表达式，并求b、c的值．

【探索研究】

小明在抛物线M上任意找了一个点P（m，n），以点P为圆心，OP长为半径画圆，他观察发现所画出的圆与过点（0，﹣2）且平行于x轴的直线相切，请判断他的发现是否正确？并说明理由．

【理解应用】

将抛物线M的图象绕原点O顺时针旋转90°得抛物线N，C为抛物线N上一动点，点Q 的坐标为（1，﹣1）、直接写出△OCQ周长的最小值．

【中考压轴题专题突破】

二次函数中的几何变换问题

参考答案与试题解析

1．解：（1）如图1中，作AE⊥x轴于E．

∵A（3.6），S△ABC＝12，

∴×BC×6＝12，

∴BC＝4，

∵∠ACB＝45°，

∴CE＝AE＝6，

∴BE＝2，

∴B（1，0），C（﹣3，0），

∵二次函数经过A、B、C三点，

∴解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣．

（2）如图2中，

由（1）可知B（1，0），C（﹣3，0），A（3，6）

∴BC＝4，AC＝6，

①当△DOC∽△ABC时，有＝，即＝，

∴DC＝，过D作DM⊥x轴于M，则△CDE是等腰直角三角形，

∴CE＝DE＝，OE＝，

∴D（，）．

②当△ODC∽△ABC时，有＝，即＝，

∴CD＝，同理可得D（﹣2，1），

综上所述点D坐标为（﹣2，1）或（，）．

（3）如图3中，

∵直线AC的解析式为y＝x+3，设所求直线的解析式为y＝x+m，

①设直线l：y＝1与抛物线的左边的交点为P，则过P平行AC的直线与新图象有3个不

同公共点，

令y＝1，则x2+x﹣＝1，交点x＝﹣1，

∴P（﹣1﹣，1），代入y＝x+m得m＝2+，

∴y＝x+2+．

②设l下方部分翻折后的抛物线为L，则与AC平行且和L相切的直线也符合条件，

∵L的解析式为y＝﹣（x+1）2+4，

∴由消去y得x2+4x+2m﹣7＝0，

由题意△＝0，

∴16﹣4（2m﹣7）＝0，

∴m＝，

∴直线为y＝x+，

综上所述返回条件的直线的解析式为y＝x+2+或y＝x+．

2．解：（1）由题意画出草图，如图1，

在二次函数y＝ax2﹣2ax+c中，对称轴为直线x＝﹣＝1，

则OH＝1，

∵FH∥OC，

∴＝＝，

∴HB＝3，

∴B（4，0），

由抛物线的对称性知A（﹣2，0），

∴A（﹣2，0），B（4，0）；

（2）如图2，△COB的内心I在对称轴上，

∵对称轴为x＝1，

∴I（1，1），

过点I作IM⊥OC于M，作IN⊥BC于N，

则∠IMC＝∠INC＝90°，IM＝IN，

∵IC＝IC，

∴△CMI≌△CNI（HL），

∴CN＝CM＝c﹣1，

同理，△BIH≌△BIN（HL），

∴BN＝BH＝3，

∴BC＝CN+BN＝c+2，

在Rt△OCB中，

OC2+OB2＝BC2，

即c2+42＝（c+2）2，

解得，c＝3，

将点B（4，0）代入y＝ax2﹣2ax+3中，

得，16a﹣8a+3＝0，

解得，a＝﹣，

∴y＝﹣x2+x+3；

（3）如图3，点M'落在y轴上时，过点M作MH⊥y轴于H，则HM∥OB，

∴△CHM∽△COB，

∴＝＝，

由翻折可知，MC＝M'C，∠M'CN＝∠MCN，

∵MN∥y轴，

∴∠M'CN＝∠MNC，

∴∠MCN＝∠MNC，

∴MC＝MN，

将B（4，0）代入y＝kx+3，

得，k＝﹣，

∴yBC＝﹣x+3，

∵Q（m，0），

∴M（m，﹣m+3），N（m，﹣m2+m+3），

①当点N在点M上方时，CM＝NM＝﹣m2+m，HM＝m，∵＝，

∴＝，

解得，m1＝0（舍去），m2＝，

∴Q（，0）；

②当点N在点M下方时，CM＝NM＝﹣（﹣m2+m），HM＝m，

∵＝，

∴﹣＝，

解得，m1＝0（舍去），m2＝，

∴Q（，0）；

综上所述，Q的坐标为（，0）或（，0）．

3．解：（1）由抛物线的对称性可知，抛物线的图象经过点（0，2）和点（4，2），则，解得，

∴y＝﹣x2+4x+2，

∴当x＝2时，y＝6，

∴点A的坐标是（2，6）；

（2）如图1，过点C作CE⊥AH，过点P作PF⊥AC于F，

则CE＝2，AE＝4，AC＝，

∵∠AFP＝∠AEC＝90°，∠F AP＝∠EAC，∴△AFP∽△AEC，

∴，

∵∠FCP＝45°，∴CF＝PF．

设CF＝PF＝m，则AF＝2m，

∴m+2m＝2，m＝．

∴，∴PH＝，

∴P（2，）；

（3）①当点D落在x轴的正半轴上时，如图2，

CD＝AC＝，又∵OC＝2，∴OD＝4，

由对称性可知AP＝PD，设PH＝m，则AP＝PD＝6﹣m，

在Rt△DPH中，有PH2+HD2＝PD2，

即m2+22＝（6﹣m）2，解得，

∴；

②当点D落在y轴的负半轴上时，如图3，

CD＝AC＝，

由对称性可知∠DCP＝∠ACP，又∵AH∥OC，∴∠DCP＝∠APC，∴∠APC＝∠ACP，∴，∴，

∴；

③当点D落在x轴的负半轴上时，如图4，

CD＝AC＝，

又∵OC＝2，∴OD＝4，∴DH＝AP＝6，

连接AD，∴直线CH是线段AD的中垂线，又点P在直线AH上，

∴点P与点H重合，

∴P3（2，0）．

综上所述，点P的坐标为：、、P3（2，0）．

4．解：（1）由y＝﹣x2+3x﹣2函数可知a1＝﹣1，b1＝3，c1＝﹣2．由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，得

a2＝1，b2＝3，c2＝2．

函数y＝﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”为y＝x2+3x+2；

（2）由y＝﹣x2+mx﹣2与y＝x2﹣2nx+n互为“旋转函数“，得

﹣2n＝m，﹣2+n＝0．

解得n＝2，m＝﹣3．

当m＝2，n＝﹣3时，（m+n）2018＝（2﹣3）2018＝（﹣1）2018＝1；

（3）∵当y＝0时，﹣（x+1）（x﹣4）＝0，解得x＝﹣1，x＝4，

∴A（﹣1，0），B（4，0）．

当x＝0时，y＝﹣×（﹣4）＝2，即C（0，2）．

由点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，得

A1（1，0），B1（﹣4，0），C1（0，﹣2）．

设过点A1，B1，C1的二次函数y＝ax2+bx+c，将A1，B1，C1代入，得

，

解得，

过点A1，B1，C1的二次函数y＝x2+x﹣2．

y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2函数可知a1＝﹣，b1＝，c1＝2．

由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，得a2＝，b2＝，c2＝﹣2．

y＝﹣（x+1）（x﹣4）的“旋转函数”为y＝x2+x﹣2．

∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数”．5．解：（1）y＝﹣x2+4x﹣1图象的顶点

x＝﹣＝2，y＝＝3，

∴点A的坐标为（2，3），

当x＝0时，y＝﹣1，

∴点C的坐标为（0，﹣1）；

（2）直线AC的解析式是y＝2x﹣1，

过点A并与AC垂直的直线记为BD，

k，

∴直线BD的表达式为：；

（3）存在．

菱形DERP时，P1（8﹣，0），Q1（0，），R1（4﹣，﹣1）；

菱形DREP时，P2（，0），Q2（0，），R2（，，﹣1）．

6．解：【解决问题】∵平移后的抛物线M，顶点为（0，﹣1），a＝

∴抛物线M的函数表达式为：y＝x2﹣1

根据平移规则，抛物线M向上平移3个单位长度，向右平移1个单位长度得原抛物线∴原抛物线函数表达式为：y＝（x﹣1）2﹣1+3＝x2﹣x+

∴b＝﹣，c＝．

【探索研究】小明的判断正确，理由如下：

∵过点（0，﹣2）且平行于x轴的直线即直线y＝﹣2

∴过点P作P A⊥直线y＝﹣2于点A，如图1

∵点P（m，n）在抛物线M上

∴n＝m2﹣1

∴OP2＝m2+n2＝m2+（m2﹣1）2＝m2+m4﹣m2+1＝m4+m2+1＝（m2+1）2∵P A＝n﹣（﹣2）＝m2﹣1+2＝m2+1

∴OP＝P A

∴直线y＝﹣2与⊙P相切

【理解应用】如图2，抛物线M旋转后得到的抛物线N开口向右，顶点为（﹣1，0）作直线x＝﹣2，过点C作CD⊥直线x＝﹣2于点D，过点Q作QE⊥直线x＝﹣2于点E 由【探索研究】可知，CD＝CO

∴CO+CQ＝CD+CQ

∴当D、C、Q在同一直线上时，CO+CQ＝CD+CQ＝EQ最小

∵Q（1，﹣1）

∴OQ＝，EQ＝1﹣（﹣2）＝3

∴C△OCQ＝CO+CQ+OQ，最小值为EQ+OQ＝3+

故答案为：3+