对数函数单调性的习题课
《对数函数单调性的习题课》教学设计
牡丹江一中数学组 王玉刚 教学目标：会用对数函数的单调性解决问题，培养学生数形结合的能力;培养学生大胆尝试、
团结合作的精神和严谨的态度，以及喜欢数学的兴趣与情感，帮助学生树立学好数学的自信心。
教学重点：对数函数单调性的应用
教学难点：底数a 对对数函数的影响
（Ⅰ）设置情景
复习回顾
师：前面我们学习了对数函数的单调性，请同学们回忆一下对数函数的单调性是如何描述的？ 生1：当1>a 时，对数函数x y a log =在),0(+∞内是增函数；
当10< 师：今天我们就利用对数函数的单调性来解决一些问题。 （Ⅱ）探求与研究 问题1：（幻灯片1） m n p D p n m C n p m B n m p A b p b n b m ab b a b a a <<<<<<<<===>><<....)(1log 1log log ,11,10则下列各式中成立的是，，若且已知 师：给大家一分钟的讨论时间，然后告诉我结果。 生2：首先观察p n m 、、三个式子，可以判断出01,0,0<-=> 大小。p 可以写成a p a 1log =，此时p m 与同底，然后比较a b 1与的大小，因为1,0,0>>>ab b a ，所以a b 1> ，因此p m <，答案应为B 。 全体同学异口同声说：好！ 师：回答得非常好！那我们看，比较大小的实质就是“求同”，利用对数函数的单调性来比较。 我们来看第二题 问题2：（幻灯片2） 的单调区间 求函数)54(log 22.0++-=x x y 生3：这是一个复合函数，首先要求定义域，我们可令542++-=x x u ，则u y 2.0log =在 ),0(+∞内是减函数，现在我们来求函数542++-=x x u 的单调区间，易得u 在)2,1(-是增函数，u 在)5,2(是减函数，所以，函数)54(log 22.0++-=x x y 在]2,1(-是减函数，在 )5,2[是增函数。 师：看来大家对于求复合函数的单调区间问题掌握的很好，应该注意的问题也注意到了。提 醒大家一句在求函数的单调区间时，若题中没给定义域，要先求定义域。这道题也是对数函数单调性的一个简单应用。我们来看第三题。 问题3：（幻灯片3） 2 ||1.2||.2||.1||.)()(log 12<<><>-=-a D a C a B a A a x y a 的取值范围是，则在其定义域内是减函数若函数 师：也给大家一分钟的讨论时间。 生4：我们可以把这个函数看作一个复合函数，令x u -=，则函数x u -=在)0,(-∞ 是减函数，若要使函数u y a 12log -=在)0,(-∞上是减函数，需满足112>-a ，解之得2||>a 。 师：他说的完全正确……，还没等我把话说完，一位同学站起来说：我还有一种解法，同学 们都在注视着他。这位学生边板演边讲解 生5：我是从图像的角度考虑的。根据题意，我们可以画出函数)(log 12x y a -=-的草图，根 据图像的对称性，可以画出函数)(log )1(2x y a -=-关于y 轴对称的函数x y a )1(2log -=的图 像，知函数x y a )1(2log -=在),0(+∞是增函数，所以112>-a ，即2||>a 。 大家都为他的解法鼓起了掌 师：利用图像的对称性，运用的是数形结合的思想。妙！ 我们回头看一下这三道题（比较两个数的大小，求复合函数的单调区间以及求参量的取值范围），最后都化归为对数函数的单调性问题来解决。 那么如何判断和证明以对数函数为载体的函数的单调性问题呢？先看第一道题。 问题4：（幻灯片4） 的单调性并证明判断函数)0)(1lg()(2<-+=x x x x f 。 师：大家做完之后可以交流一下看法。 大约三分钟之后，一位同学站了起来，我示意他到前面来板演，边做边讲。 生6：因为12+=x y 在)0,(-∞上是减函数，x y -=在)0,(-∞上也是减函数，所以函数 )1lg()(2x x x f -+=在)0,(-∞上是减函数。证明过程是这样的：根据函数单调性的定义，作差比较)(1x f -)(2x f 与零的关系，转化成比较2221 2111x x x x -+-+与1的关系，利用不等式的基本性质可以得出1112221 21>-+-+x x x x ， 即-)(1x f 0)(2>x f 也就是>)(1x f )(2x f ，因此函数)1lg()(2x x x f -+=在)0,(-∞上是减函数。 另一位同学霍地站起来，我还有一种证明方法。 师：好！快说！我们都在期待你的方法。 生7：因为x y lg =在),0(+∞是增函数，所以我们可以比较真数的大小，即比较1 211x x -+与2221x x -+的大小，利用不等式的基本性质可知> -+1211x x 01222>-+x x ，因此)1lg(121x x -+)1lg(222x x -+>，即>)(1x f )(2x f ，所以函数)1lg()(2x x x f -+=在)0,(-∞上是减函数。 哗……一阵热烈的掌声。这时又有一位同学站起来了，大家都很惊诧。 生8：能否利用互为反函数的两个函数单调性一致来证明这道题。 师：具体一点. 生9：首先求这个函数的反函数，再证明反函数的单调性。 大家议论开了：这种方法比较麻烦，而且容易出错。 师：大家能否评价一下这三种做法。 生10：第一种是根据对数函数单调性的定义来证明的，第二种也是从函数单调性的定义出发， 直接比较)(1x f 与)(2x f 中真数的大小。第三种则是利用互为反函数的两个函数单调性一致来证明的。相对来说，第二种方法比较好一些。 师：他说的非常好！第一种方法大家都容易想到的就是利用定义，第二种方法也是利用定义， 只不过比较对象变了；第三种方法是利用互反的两个函数的关系来做的，想法很好。但运算量较大，而且容易出错。三种方法各有特点，可根据自己的情况适当选择。一般情况下，证明函数的单调性就是要利用函数单调性的定义。我们再来看第二题。 （Ⅲ）演练与反馈 问题5：（幻灯片5） 的单调性并证明 判断函数的定义域 求函数且函数)()2()()1()1,0,0(log )(x f x f a a b b x b x x f a ≠>>-+= 师：这是一道判断含参的函数的单调性问题，大家可以互相交流看法。然后告诉我你们的解 题思路。 生11：根据对数式真数大于零，可得),(),(+∞--∞∈b b x 。证明单调性的方法同第4题，只 不过需要对参数进行分类讨论。 师：大家同意他的看法吗？ 学生齐声：同意。 师：我们再回头看一下判断和证明函数单调性的两道题，在证明函数单调性的时候，要事先 在定义域中规定1x 与2x 的大小，无论我们用何种手段，只要能比较出)(1x f 与)(2x f 的大小，单调性就可判断。 总结：这5道题都是研究有关对数函数单调性的问题，我们处理的办法是从函数单调性的定 义出发，这里对数函数只不过作为一个载体，最后都可归结为：以下三个结论，知其二，必知其一。 ①21x x <， ②)()()(21x f x f ><， ③) f是增（减）函数 (x 对数函数及其性质 【学习目标】 1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型； 2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较； 3．了解反函数的概念，知道指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数()0,1a a >≠． 【要点梳理】 要点一、对数函数的概念 1．函数y=log a x(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x ． 要点诠释： （1）只有形如y=log a x(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论． 要点二、对数函数的图象与性质 a ＞1 0＜a ＜1 图象 性 质 定义域：（0，+∞） 值域：R 过定点（1，0），即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函 数 在（0，+∞）上是减函数 当0＜x＜1时，y＜0， 当x≥1时，y≥0 当0＜x＜1时，y＞0， 当x≥1时，y≤0 要点诠释： 关于对数式log a N的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. 以1为分界点，当a，N同侧时，log a N>0；当a，N异侧时，log a N<0. 要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降． 如图 要点诠释： 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2．底数变化与图象变化的规律 一对一授课教案 学员姓名：年级：所授科目： 上课时间：年月日时分至时分共小时老师签名学生签名 教学主题指数对数函数、函数的奇偶性、函数的单调性 上次作业检查 本次上课表现 本次作业 一、指数与对数函数： 1、指数的运算法则： （1） r s r s a a a+ =；（2）()s r rs a a =；（3）()r r r ab a b =； （4） m n m n a a =；（5） m n n m a a - =（6） , ||, n n a n a a n ? =? ? 奇 偶 2.指数函数的图像与性质： 指数函数0 3、对数函数的运算法则 （1） 互化：N b N a a b log =?= （2） 恒等： N a N a =log （3）换底： a b b c c a log log log = 推论1 a b b a log 1 log = 推论2 log log log a b a b c c ?= （4）N M MN a a a log log log += log log log a a a M M N N =- （5）M n M a n a log log ?= 推论3 log log m n a a n b b m = )0(≠m 4、对数函数的图像与性质 表达式 x y a = 定义域 R 值 域 (0,)+∞ 过定点 (0,1) 对数函数 0 注：1log =a a ；01log =a ；1ln =e ；01ln =；110lg =；01lg = 1.设1,0 ()2,0 x x x f x x ?-≥?=? > （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >> 3.已知函数1222,1 ()log (1),1 x x f x x x -?-≤=?-+>? ，且()3f a =-，则(6)f a -= 图 象 表达式 log a y x = 定义域 (0,)+∞ 值 域 R 过定点 (1，0) 单调性 单调递减 单调递增 对数函数知识点 1．对数函数的概念 形如 y log a x( a 0且 a 1) 的函数叫做对数函数 . 说明：（ 1）一个函数为对数函数的条件是： ①系数为 1； ②底数为大于 0 且不等于 1 的正常数； ③自变量为真数 . 对数型函数的定义域： 特别应注意的是：真数大于零、底数大于零且不等于 1。 2 、 由 对 数 的 定 义 容 易 知 道 对 数 函 数 y log a x (a 0, a 1) 是指数函数 y a x (a 0, a 1) 的反函数。 反函数及其性质 ①互为反函数的两个函数的图象关于直线 y x 对称。 ②若函数 y f ( x) 上有一点 (a, b ) ，则 (b, a) 必在其反函数图象上， 反之若 (b, a) 在反函 数图象上，则 ( a, b) 必在原函数图象上。 ③利用反函数的性质，由指数函数 y a x (a 0, a 1) 的定义域 x R ，值域 y 0 ， 容易得到对数函数 y log a x(a 0, a 1) 的定义域为 x 0 ，值域为 R ，利用上节学过的 对数概念，也可得出这一点。 3、．对数函数的图象和性质 定义 y log a x (a 0且 a 1) 底数 a 1 0 a 1 图象 定义域 (0, ) 值域 R 单调性 增函数 减函数 共点性 图象过点 (1,0) ，即 log a 1 函数值x (0,1) y ( ,0); x [1, ) x (0,1) y (0, ); x [1, ) 特征 y [0, ) y ( ,0] 对称性 函数 y log a x 与 y log 1 x 的图象关于 x 轴对称 a 4．对数函数与指数函数的比较 名称 指数函数 对数函数 一般形式 y a x (a 0, a 1) y log a x (a 0, a 1) 高中数学例题：对数函数的单调性及其应用 利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念. 例2. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)33log 3.6,log 8.9； (2)0.20.2log 1.9,log 3.5； (3)2log 5与7log 5； (4) 3log 5与6log 4． (5)log 4.2,log 4.8a a （01a a >≠且）． 【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。 【答案】(1)< ；(2) <；(3) >；(4) >；(5) 略． 【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成. (1)解法1：画出对数函数3log y x =的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以，33log 3.6log 8.9<； 解法2：由函数3log y x =在R +上是单调增函数，且3.6<8.9，所以 33log 3.6log 8.9<； (2)与第(1)小题类似，0.2log y x =在R +上是单调减函数，且1.9<3.5，所以0.20.2log 1.9log 3.5>； (3)函数2log y x =和7log y x =的图象如图所示．当1x >时， 2log y x =的图象在7log y x =的图象上方，这里5x =，27log 5log 5∴>． (4) 3366log 5log 31log 6log 4,>==> 36log 5log 4∴> (5) 注：底数是常数，但要分类讨论a 的范围，再由函数单调性判断大小. 解法1：当1a >时，log a y x =在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，log 4.2log 4.8a a < 当01a <<时，y=log a x 在(0，+∞)上是减函数，且4.2<4.8，所以， log 4.2log 4.8a a > 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小， 令1log 4.2a b =，则1 b a =4.2，令2log 4.8a b =，则2 4.8b a =， 当1a >时，x y a =在R 上是增函数，且4.2<4.8， 所以，b 1b 2，即a a log 4.2>log 4.8. 【总结升华】比较两个对数值的大小的基本方法是： （1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性． （2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小． （3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小． 对数函数 例1求下列函数的定义域 （1）y=log2（x2-4x-5）; （2）y=log x+1（16-4x） （3）y= ． 解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0， 故定义域为｛x｜x＜-1，或x＞5｝． （2）令得 故所求定义域为｛x｜-1＜x＜0，或0＜x＜2｝． （3）令，得 故所求定义域为 ｛x｜x＜-1- ，或-1- ＜x＜-3,或x≥2｝． 说明求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零． 例2求下列函数的单调区间． （1）y=log2（x-4）；（2）y=log0．5x2． 解：（1）定义域是（4，+∞），设t=x-4,当x＞4时，t随x的增大而增大，而y=log2t，y又随t的增大而增大， ∴（4，+∞）是y=log2（x-4）的递增区间． （2）定义域｛x｜x∈R，且x≠0｝，设t=x2，则y=log0．5t 当x＞0时，t随x的增大而增大，y随t的增大而减小， ∴（0，+∞）是y=log0．5x2的递减区间． 当x＜0时，t随x的增大而减小，y随t的增大而减小， ∴（-∞，0）是y=log0．5x2的递增区间． 例3比较大小： （1）log0．71．3和log0．71．8． （2）（lg n）1．7和（lgn）2（n＞1）． （3）log23和log53． （4）log35和log64． 解：（1）对数函数y=log0．7x在（0，+∞）内是减函数．因为1．3＜1．8，所以 log0．71．3＞log0．71．8． （2）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论． 若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，y=（lgn）x在R上是减函数，所以（lgn）1．2＞（lgn）2； 若lgn＞1，即n＞10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）1．7＞（lgn）2．（3）函数y=log2x和y=log5x当x＞1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方．这里x=3，所以log23＞log53． （4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解． 因为log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64． 评析要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论． 例4已知函数f（x）=log a（a-a x）（a＞1）， （1）求f（x）的定义域、值域． （2）判断并证明其单调性． （3）解不等式f-1（x2-2）＞f（x）． 解：（1）要使函数有意义，必须满足a-a x＞0，即a x 对数函数的单调性及其性质 一、相关内容 1、当0 2、选择题 1) 若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．122lg x x x >> B ．122lg x x x >> C ．122lg x x x >> D ．1 2lg 2x x x >> 2) 若b a ,是任意实数,且b a >，则（ ） A 22b a > B 1-b a D b a ??? ??0 B ．a 1－a >1 C ．log a (1－a )<0 D ．(1－a )2>a 2 6) 设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100 7) 已知log 12b 复合型对数函数的单调性及应用 1. 下列各函数中，在（0，2）上为增函数的是 A. 12 log (1)y x =+ B. 22 log 1y x =- C. 31log y x = D. 213 log (45)y x x =-+ 2. 已知函数2(1)()log (21)a f x x -=+在1,02??- ??? 内恒有()0f x >，则a 的取值范围是 A. 1a > B. 01a << C. 11a a <->或 D. -21 12a a <<-<<，或 3. 函数lg y x = A. 在区间（-∞，0）上先增后减 B. 在区间（-∞，0）上先减后增 C. 在区间（0，+∞）上单调递增 D. 在区间（0，+∞）上单调递减 4. 函数2 12log (32)y x x =-+的递增区间是 A. (-∞,1) B. (2,+∞) C. 3(,)2-∞ D. 3(,)2 +∞ 5. 已知函数log (2)a y ax =-[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是 A. 01a << B. 1a > C. 12a << D. 12a <≤ 6. 已知函数()y f x =满足()()f x f x -=-，当(0,)x ∈+∞时，()l g f x x =，则当 (,0)x ∈-∞时，(f x ） 的解析式为 A. ()lg f x x =- B. ()lg()f x x =- C. ()lg()f x x =-- D. 1()lg()2f x x = - 7. 已知函数2()log (1)a y f x x x ==+ +，则()f x 与()f x -的关系为 A. ()()f x f x -=- B. ()()f x f x -= C. ()()f x f x -=，且()()f x f x -=- D. ()()f x f x -±与都不相等 8. 若定义在区间（-1，0）内的函数2()log (1)a f x x =+满足()0f x >，则a 的取值范围是 A. 10,2? ? ??? B. 10,2 ?????? C. 1,2??+∞ ??? D. ()0,+∞ 二 填空题 9. 函数33()2 x x f x --=的反函数的递增区间为________. 对数函数知识点 1．对数函数的概念 形如)10(log ≠>=a a x y a 且的函数叫做对数函数. 说明：（1）一个函数为对数函数的条件是： ①系数为1； ②底数为大于0且不等于1的正常数； ③自变量为真数. 对数型函数的定义域： 特别应注意的是：真数大于零、底数大于零且不等于1。 2、由对数的定义容易知道对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 是指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的反函数。 反函数及其性质 ①互为反函数的两个函数的图象关于直线x y =对称。 ②若函数)(x f y =上有一点),(b a ，则),(a b 必在其反函数图象上，反之若),(a b 在反函数图象上，则),(b a 必在原函数图象上。 ③利用反函数的性质，由指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的定义域R ∈x ，值域0>y ，容易得到对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的定义域为0>x ，值域为R ，利用上节学过的对数概念，也可得出这一点。 4 要 牢 记 x x x x y y y y )10 1 (,10,)21(,2====的反函 数 x y x y x y x y 10 12 12log ,lg ,log ,log ====的图象，并由此归纳出表中结论。 5、比较大小 比较对数的大小，一般遵循以下几条原则： ①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性（底数1>a 为增；10<≠>a a a a ）. 当121>>a a 时，曲线1y 比2y 的图象（在第一象限内）上升得慢，即当>x 1时，21y y <；当10< 一对一授课教案 学员姓名： 年级： 所授科目： 上课时间： 年 月 日 时 分至 时 分共 小时 一、指数与对数函数： 1、指数的运算法则： （1）r s r s a a a +=； （2 ）() s r rs a a =； （3）()r r r ab a b =； （4）m n a =； （5）m n a - = （6） ,||,a n a n ?=?? 奇偶 2.指数函数的图像与性质： 3、对数函数的运算法则 （1） 互化：N b N a a b log =?= （2） 恒等： N a N a =log （3）换底： a b b c c a log log log = 推论1 a b b a log 1 log = 推论2 log log log a b a b c c ?= （4）N M MN a a a log log log += log log log a a a M M N N =- （5）M n M a n a log log ?= 推论3 log log m n a a n b b m = )0(≠m 4、对数函数的图像与性质 注： 1log =a a ；01log =a ；1ln =e ；01ln =；110lg =；01lg = 1. 设10 ()2,0 x x f x x ?≥?=?> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >> 3.已知函数12 22,1 ()log (1),1x x f x x x -?-≤=?-+>? ，且()3f a =-，则(6)f a -= （A ）74- （B ）54- （C ）34- （D ）14- 4.设函数21 1log (2),1,()2,1 x x x f x x -+-> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >> 9. 设2222log 3log log 9log a b c =+=-=则,,a b c 的大小关系( ) 对数函数单调性练习 、填空题 1. 已知函数y=loga (3-ax )在［0 , 2)上是关于x的减函数，则实数a的取值范围为 _______________ 2 . . 2. 函数f(x)=log2 (x -ax-4 )在区间［2，4］上是增函数，则实数a的范围是____________ 3. 已知函数y=log2 ( x2-ax-a )定义域为R,则实数a的取值范围是____________ 4. 已知函数f (x) =loga ( ax2-x+3 )在［2，4］上是增函数，则实数a的取值范围是 5. 已知函数f (a) =loga (x2-ax+3 ( a> 0, a* 1))满足：对实数a,3，当av^w a/2 时，总有f (a) -f (3)> 0，则实数a的取值范围是____________________ 二、选择题 6. 已知函数f (x) =log (2a-i) (x2-1 )在区间(2, +8)上是减函数，则a的取值范围是( ) 7. 若函数f(x)=log3(x 2-2ax+5)在区间(-8, 1］内单调递减，则a的取值范围是( ) A. ［1 , +8) B .(1, +8) C. ［1 , 3) D. ［1 , 3］ 8. 已知函数f (x) =log 2 (x2-ax+3a )在区间［2 , +8)上递增，则实数a的取值范围是( ) 9. 函数f (x) =log 3 (x2-ax-1 )在区间(1, 2) 上是增函数，则实数a的范围是( ) 三、解答题 10. 已知函数f (x) =log 3x (1)若函数f (x2-2ax+3 )在区间［2 , +8)上单调递增，求正实数a的取值范围；(2)若关于x的方程f (ax)?f (ax2) =f (3)的解都在区间(0, 1)内，求实数a的范围. 11. 已知a> 1,函数f (x) =loga (x2-ax+2 )在x€ ［2 , +8)时的值恒为正. (1)a的取值范围； (2)记(1)中a的取值范围为集合A,函数g (x) =log2 (tx 2+2x-2 )的定义域为集合B.若A n B* ?, 求实数t的取值范围. 对数函数单调性练习答案 一填空题 1. 已知函数y=loga (3-ax )在［0 , 2)上是关于x的减函数，则实数a的取值范围为 _________________ 对数运算和对数函数 对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数。③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>。 常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 对数函数及其性质 类型一、对数公式的应用 1计算下列对数 =-3log 6log 22 =?3 1log 12 log 2 22 2 =+2lg 5lg =61000lg =+64log 128log 22 =?)24(log 432 =++)2log 2)(log 3log 3(log 9384 =++3log 23log 2242 =?16log 27log 32 =+-2log 90log 5log 333 =++c b a 842log log log =+++200 199lg 43lg 32lg =++32log 8log 8log 842 =+25.0log 10log 255 =-64log 325log 225 =)))65536(log (log (log log 2222 2 解对数的值： 18lg 7lg 37lg 214lg -+- 0 =-+-1)21 (2lg 225lg -1 1 3 341log 2log 8?? -? ??? 的值0 提示：对数公式的运算 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 （1）加法：log log log ()a a a M N MN += （2）减法：log log log a a a M M N N -= （3）数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ （4）log a N a N = （5）log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ （6）换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 （7）1log log =?a b b a （8）a b b a log 1log = 类型二、求下列函数的定义域问题 1函数)13lg(13)(2 ++-= x x x x f 的定义域是)1,31 (- 2设()x x x f -+=22lg ，则?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为 ()()4,11,4 -- 3 函数()f x =的定义域为（ ]1,0()0,1( - ） 提示：（1）分式函数，分母不为0，如0,1 ≠= x x y 。 ●高考明方向 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3.知道对数函数是一类重要的函数模型． x互为反函数4.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a (a>0，且a≠1)． ★备考知考情 通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节容在高考中属于必考容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数 结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点. 一、知识梳理《名师一号》P27 注意： 知识点一对数及对数的运算性质 1.对数的概念 一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对 数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”． 注意：(补充)关注定义---指对互化的依据 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①log a (MN)＝log a M＋log a N； ②log a M N ＝log a M－log a N； ③log a M n ＝nlog a M(n ∈R)； ④log a m M n ＝n m log a M. (2)对数的性质 ①a logaN ＝N ；②log a a N ＝N (a>0，且a≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝ log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1log b a ，推广log a b·log b c·log c d ＝log a d. 注意：(补充)特殊结论:log 10, log 1a a a == 知识点二 对数函数的图象与性质 1.对数函数的图象与性质（注意定义域!） 2.2.2对数函数及其性质（一） 教学目标 （一）教学知识点 1．对数函数的概念； 2．对数函数的图象与性质． （二）能力训练要求 1．理解对数函数的概念； 2．掌握对数函数的图象、性质； 3．培养学生数形结合的意识． （三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题； 3．了解对数函数在生产生活中的简单应用． 教学重点 对数函数的图象、性质． 教学难点 对数函数的图象与指数函数的关系． 3、我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个 数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=x2表示． 现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数．根据对数的 定义，这个函数可以写成对数的形式就是y x 2log =. 如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log =. 引出新课--对数函数． 二、新授内容： 1．对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞． 例1． 求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=． 分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）求解． 解：（1）由2 x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0|≠x x ； （2）由04>-x 得4 2.2对数函数 2.2.1对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式 log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 2.2.2对数函数及其性质 (6)反函数的概念 设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ?=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ?=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ?=表示x 是y 的函数，函数()x y ?=叫做函数()y f x =的反函数，记作 1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=． （7）反函数的求法 ①确定反函数的定义域，即原函数的值域； 对数函数的图象及性质例题解析 题型一 判断对数函数 【例1】函数f (x )＝(a 2 －a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________． 解析：由a 2 －a ＋1＝1，解得a ＝0,1． 又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1． 【例1－1】下列函数中是对数函数的为__________． （1）y ＝log a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2；(3)y ＝8log 2(x ＋1)； (4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)；(5)y ＝log 6x ． 解析： 题型二 【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a ，43，35，1 10 中取值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( ) A ， 43，35，110 B 43，110，35 C ．43，35，110 D ．43110，35 解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1的 底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4， 43，35，1 10 ．答案：A 点技巧 作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小． 题型三 对数型函数的定义域的求解 (1)对数函数的定义域为(0，＋∞)． (2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1． 若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义． (3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零； ②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于1； ⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集． 对数函数单调性练习题 一、填空题 1.已知函数y=loga在[0，2）上是关于x的减函数，则实数a的取值范围为 2.函数f =log2在区间[2，4]上是增函数，则实数a的范围是 3.已知函数y=log2定义域为R，则实数a的取值范围是 4.已知函数f=loga在[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是 5.已知函数f=loga）满足：对实数α，β，当α＜β≤a/时，总有f-f＞0，则实数a的取值范围是 二、选择题 6.已知函数f=log在区间上是减函数，则a的取值范围是 7.若函数f=log3在区间 A．[1，+∞） B． C．[1，3） D．[1，3] 8.已知函数f=log2在区间[2，+∞）上递增，则实数a 的取值范围是 9.函数f=log3在区间上是增函数，则实数a的范围是 三、解答题 10.已知函数f=log3x若函数f在区间[2，+∞）上单 调递增，求正实数a的取值范 围；若关于x的方程f?f=f的解都在区间内，求实数a 的范围． 11.已知a＞1，函数f=loga在x∈[2，+∞）时的值恒为正． a的取值范围； 记中a的取值范围为集合A，函数g=log2的定义域为集合B．若A∩B≠?，求实数t的取值范围． 122222 对数函数单调性练习答案 一填空题 1.已知函数y=loga在[0，2）上是关于x的减函数，则实数a的取值范围为 解：∵a＞0且a≠1，∴t=3-ax为减函数．依题意a＞1，又t=3-ax在[0，2）上应有t＞0， ∴3-2a＞0．∴a＜3/．故1＜a＜3/． 2. 函数f=log2在区间[2，4]上是增函数，则实数a 的范围是 解：∵函数f=log2在区间[2，4]上是增函数∴y=x2-ax-4在区间[2，4]上是增函数，且y＞0恒成立∴ a /≤2-2a-4＞0 解得：a＜0 3.已知函数y=log2定义域为R，则实数a的取值范围 《对数函数单调性的习题课》教学设计 牡丹江一中数学组 王玉刚 教学目标：会用对数函数的单调性解决问题，培养学生数形结合的能力;培养学生大胆尝试、 团结合作的精神和严谨的态度，以及喜欢数学的兴趣与情感，帮助学生树立学好数学的自信心。 教学重点：对数函数单调性的应用 教学难点：底数a 对对数函数的影响 （Ⅰ）设置情景 复习回顾 师：前面我们学习了对数函数的单调性，请同学们回忆一下对数函数的单调性是如何描述的？ 生1：当1>a 时，对数函数x y a log =在),0(+∞内是增函数； 当10<><<....)(1log 1log log ,11,10则下列各式中成立的是，，若且已知 师：给大家一分钟的讨论时间，然后告诉我结果。 生2：首先观察p n m 、、三个式子，可以判断出01,0,0<-=> >>ab b a ，所以a b 1> ，因此p m <，答案应为B 。 全体同学异口同声说：好！ 师：回答得非常好！那我们看，比较大小的实质就是“求同”，利用对数函数的单调性来比较。 我们来看第二题 问题2：（幻灯片2） 的单调区间 求函数)54(log 22.0++-=x x y 生3：这是一个复合函数，首先要求定义域，我们可令542++-=x x u ，则u y 2.0log =在 ),0(+∞内是减函数，现在我们来求函数542++-=x x u 的单调区间，易得u 在)2,1(-是增函数，u 在)5,2(是减函数，所以，函数)54(log 22.0++-=x x y 在]2,1(-是减函数，在 )5,2[是增函数。 师：看来大家对于求复合函数的单调区间问题掌握的很好，应该注意的问题也注意到了。提 对数函数的单调性、奇偶性的运用 张军丽 一、对数函数的单调性及其应用 利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念. 1. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)log23.4，log28.5 (2)log0.31.8，log0.32.7 (3)log a5.1，log a5.9(a>0且a≠1) 思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成. (1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4 解法1：当a>1时，y=log a x在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，log a5.1知识讲解对数函数及其性质提高
指数对数函数函数的奇偶性函数的单调性
对数函数知识点
高中数学例题：对数函数的单调性及其应用
对数函数-典型例题
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复合型对数函数的单调性及应用
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