苏州大学2020届高考考前指导卷数学

苏州大学2020届高考考前指导卷

数学 Ⅰ

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把

答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{|12}A x x =-≤≤，{|1}B x x =>，则A B =I ▲ ． 2．已知纯虚数z 满足(1i)2i z a -=+，则实数a 等于 ▲ ． 3．某高速公路移动雷达测速检测车在某时段对某段路过往的400辆汽车的车速进行检测，根据检测的结果绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图的数据估计400辆汽车中时速在区间[90110)，的约有 ▲ 辆． 4．函数()12lg f x x x =-+的定义域为 ▲ ． 5．在直角坐标系xOy 中，已知双曲线2

2 1 (0)y

x λλ

-

=>的离心率为3，

则λ的值为 ▲ ． 6．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为 ▲ ．

7．展览会会务组安排了分别标有序号为“1号”、“2号”、“3号”的三辆

车，采用等可能随机的顺序前往酒店接嘉宾．某与会嘉宾设计了两种

乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆

车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一

辆车．则该嘉宾坐到“3号”车的概率是 ▲ ．

8．已知函数()cos f x x x =，则()f x 在点(())22f ππ

，处的切线的斜率为

▲ ．

9．已知n S 是等比数列{}n a 前n 项的和，若公比2q =，则135

6

a a a S ++的值是 ▲ ．

10．已知2sin cos()4ααπ=+，则tan()4

απ

-的值是 ▲ ．

11．《九章算术》是我国古代著名数学经典．里面对勾股定理的论述

比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）．已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，估算该木材的体积约为 ▲ （立方寸）． （注：1丈10=尺100=寸，π 3.14≈）

开始

输出S

结束

i ≤10

i ←3 N

Y S ←S +2i

（第6题图） i ←i ＋2 S ←4

（第3题图）

墙体

C

D

F

E

B A O

（第11题图）

12．已知函数2|log 2|01()3 1x x f x x x +??，

≤，，

，若存在互不相等的正实数123x x x ，，，满足

123x x x <<且123()()()f x f x f x ==，则31()x f x 的最大值为 ▲ ．

13．已知点P 为正方形ABCD 内部一点（包含边界），E F ，分别是线段BC CD ，

中点．若0CP DP ?=u u u r u u u r ，且AP AE AF λμ=+u u u r u u u r u u u r

，则λμ+的取值范围是 ▲ ．

14．已知D 是ABC △边AC 上一点，且1s 4

32co C B D A B D D A C =∠==，，，则3AB BC +的最大值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出

文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

ABC △的内角A B C ，

，的对边分别为a b c ，，，且1a =，3cos sin C c A =． （1）求C ；

（2）若3b =，D 是AB 上的点，CD 平分ACB ∠，求ACD △的面积．

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，点E 在棱PC 上（异于点P C ，），平面ABE 与棱PD 交于点F ． （1）求证：AB EF ∥；

（2）若AF ⊥EF ，求证：平面P AD ⊥平面ABCD ．

E

F

A

B

C

D

P （第16题图）

如图，某公园内有一半圆形人工湖，O 为圆心，半径为1千米．为了人民群众美好生活的需求，政府为民办实事，拟规划在OCD △区域种荷花，在OBD △区域建小型水上项目．已知AOC COD θ∠=∠=．

（1）求四边形OCDB 的面积（用θ表示）；

（2）当四边形OCDB 的面积最大时，求BD 的长（最终结果可保留根号）．

18．（本小题满分16分）

如图，已知椭圆22

22 1 (0)x y a b a b +=>>的离心率为22，短轴长为2，左、右顶点分别

为A B ，．设点(2) (0)M m m >，

，连接MA 交椭圆于点C ． （1）求该椭圆的标准方程；

（2）若OC CM =，求四边形OBMC 的面积．

O

D

C

B

A

（第17题图）

（第18题图）

已知函数2()2ln f x x ax x =-+（其中a 为常数）． （1）求函数()f x 的单调区间；

（2）设函数()f x 有两个极值点1212 ()x x x x <，，若12()f x mx ＞恒成立，求实数m 的取

值范围．

20．（本小题满分16分）

对于数列{}n a ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{}n a 为P 数列．

（1）若{}n a 的前n 项和32n n S =+，试判断{}n a 是否是P 数列，并说明理由； （2）设数列12310a a a a L ，，，，是首项为1-，公差为d 的等差数列，若该数列是P 数列，

求d 的取值范围；

（3）设无穷数列{}n a 是首项为a 、公比为q 的等比数列，有穷数列{}{}n n b c ，

是从{}n a 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为12T T ，，求{}n a 是P 数列时a 与q 所满足的条件，并证明命题“若0a >且12T T =，则{}n a 不

是P 数列”．

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数学Ⅰ（附加题）

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．答．

，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy 中，设点(5)P x ，在矩阵M 1234??

=????

对应的变换下得到点(2)Q y y -，，求1x y -??????

M ．

B ．选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标

系，直线l 的极坐标方程为sin()4ρθπ

-=C 的参数方程为

2cos 3()sin 22x y ααα

=-+?ππ

?

=?，≤≤，求l 与曲线C 交点的直角坐标．

C ．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）

已知00x y >>，，且满足2211274x y x y +++=

，求153

4x y

-的最小值．

【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2224AB CD BC AD ====，60DAB ∠=?，

AE BE =，PAD △为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ．

（1）求二面角P EC D --的余弦值；

（2）线段PC 上是否存在一点M ，使得异面直线DM 和

PE 所成的角的余弦值为

6

？若存在，指出点M 的位置；若不存在，请说明理由．

23．（本小题满分10分）

已知非空集合M 满足{012}M n ?L ，，，，*(2)n n ∈N ≥，．若存在非负整数 ()k k n ≤，使得当a M ∈时，均有2k a M -∈，则称集合M 具有性质P ．记具有性质P 的集合

M 的个数为()f n ． （1）求(2)f 的值； （2）求()f n 的表达式．

A

C

D

P

B

（第22题图）