第三章空间向量立体几何导学案重点层

空间向量学案

102~ P 104，找出疑惑之处）

复习1： 可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？ 复习2：如何判定空间A ,B ,C 三点在一条直线上？ 复习3：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，

探究任务一： 向量表示空间的点、直线、平面

问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？ 新知：

⑴ 点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP 来表示，

我们把向量OP

称为点P 的位置向量. ⑵ 直线：

① 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.

② 对于直线l 上的任一点P ,存在实数t ，使得AP t AB =

，此方程称为直线的向量参数方程.

⑶ 平面：

① 空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向量确定.对于平面α上的任一点P ,,a b

是平面α内两

个不共线向量，则存在有序实数对(,)x y ,使得OP xa yb =+

.

② 空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.

⑷ 平面的法向量：如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量n

垂直于平面α,记作n ⊥α，那 么向量n

叫做平面α的法向量. 试试： .

1.如果,a b 都是平面α的法向量，则,a b

的关系 .

2.向量n 是平面α的法向量，向量a

是与平面α平行或在平面内，则n 与a 的关系是 . 反思：

1. 一个平面的法向量是唯一的吗？

2. 平面的法向量可以是零向量吗？ ⑸ 向量表示平行、垂直关系：

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ 的法向量分别为,u v

，则

① l ∥m ?a ∥b a kb ?=

② l ∥α?a u ⊥ 0a u ??=

③ α∥β?u ∥v .u kv ?=

※ 典型例题

例1 已知两点()()1,2,3,2,1,3A B --,求直线AB

与坐标平面YOZ 的交点.

变式：已知三点()()1,2,3,2,1,2,A B ()1,1,2P ,点Q 在OP 上运动（O 为坐标原点）,求当QA QB ?

取得最小值时,点Q 的坐标.

小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可.

例 2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

变式：在空间直角坐标系中,已知()()()3,0,0,0,4,0,0,0,2A B C ,试求平面ABC 的一个法向量.

小结：平面的法向量与平面内的任意向量都垂直. ※ 动手试试

练1. 设,a b

分别是直线12,l l 的方向向量，判断直线12,l l 的位置关系：

⑴ ()()1,2,2,2,3,2a b =-=-

；

⑵ ()()0,0,1,0,0,3a b ==

.

练2. 设,u v

分别是平面,αβ的法向量，判断平面,αβ的位置关系：

⑴ ()()1,2,2,2,4,4u v =-=--

；

⑵ ()()2,3,5,3,1,4u v =-=--

.

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 空间点，直线和平面的向量表示方法

2. 平面的法向量求法和性质. ※ 知识拓展：

求平面的法向量步骤：

⑴设平面的法向量为(,,)n x y z =

；

⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标； ⑶根据法向量的定义建立关于,,x y z 的方程组； ⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

.※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 设()()2,1,2,6,3,6a b =--=--

分别是直线12,l l 的方向向量，则直线12,l l 的位置关系是 .

2. 设()()2,2,5,6,4,4u v =-=-

分别是平面,αβ的法向量，则平面,αβ的位置关系是 .

3. 已知n α⊥

，下列说法错误的是（ ）

A. 若a α?，则n a ⊥

B.若//a α，则n a ⊥

C.若,m α⊥ ，则//n m

D.若,m α⊥ ，则n m = 4.下列说法正确的是（ ）

A.平面的法向量是唯一确定的

B.一条直线的方向向量是唯一确定的

C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量

D.若m 是直线l 的方向向量，//l α，则//m α

5. 已知()()1,0,1,0,3,1AB AC =-=-

，能做平面ABC 的法向量的是（ ） A. ()1,2,1 B.11,,13??

???

C.()1,0,0

D. ()2,1,3

课后作业

1. 在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：1DB

是平面1ACD 的一个法向量.

2．已知()()2,2,1,4,5,3AB AC ==

，求平面ABC 的一个法向量.

§3.2立体几何中的向量方法（2）

1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；

2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.

105107，找出疑惑之处.

复习1：已知1a b ?= ，1,2a b == ，且2m a b =+

，求m .

复习2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务一：用向量求空间线段的长度 问题：如何用向量方法求空间线段的长度？

新知

：用空间向量表示空间线段，然后利用公式a 求出线段长度.

试试：在长方体''''ABCD A B C D -中，已知'1,2,1AB BC CC ===,求'AC 的长.

反思：用向量方法求线段的长度，关键在于把未知量用已知条件中的向量表示. ※ 典型例题

例1 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？

变式

1：上题中平行六面体的对角线1BD 的长与棱长有什么关系？

变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于α, 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?

探究任务二：用向量求空间图形中的角度

例2 如图，甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B 处.从A ，B 到直线l （库底与水坝的交线）的距离,AC BD 分别为,a b ，CD 的长为c ，AB 的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.

变式：如图，60?的二面角的棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于,AB 已知4,6,8AB AC BD ===,求CD 的长

.

※ 动手试试

练1. 如图，已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD ⊥AB ，线段'DD α⊥，'30DBD ∠= ，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D 间的距离.

练2. 如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角.

三、总结提升 ※ 学习小结

1.

求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式a ； 2. 空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为

利用公式cos ,a b

a b a b

?=?

求解.

※ 知识拓展

解空间图形问题时,可以分为三步完成:

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 已知()()1,02,1,1,3A B -，则AB = .

2. 已知1

cos ,2

a b =- ，则,a b 的夹角为 .

3. 若M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -的棱''',A B BB 的中点,那么直线,AM CN 所成的角的余弦为（ ）

C.35

D.25

4. 将锐角为60?边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线折成60?的二面角，则,AC BD 间的距离是（ ）

A.32a

C.3

4

a

5.正方体''''ABCD A B C D -中棱长为a ，'13

AM AC =

,N 是'BB 的中点，则MN 为（ ）

1.如图，正方体''''

ABCD A B C D

-的棱长为1，,

M N分别是'''

,

BB B C的中点，求：

⑴'

,

MN CD所成角的大小；

⑵,

MN AD所成角的大小；

⑶AN的长度. §3.2立体几何中的向量方法（3）

.学习目标

1. 进一步熟练求平面法向量的方法；

2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；

3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.

复习1：已知()()

1,2,0,0,1,1,

A B()

1,1,2

C，试求平面ABC的一个法向量.

复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？

二、新课导学

※学习探究

探究任务一：点到平面的距离的求法

问题：如图A,α

∈空间一点P到平面α的距离为d,已知平面α的一个法向量为n

,且AP

与n

不共线,能否用AP

与n

表示d?

分析:过P作PO⊥α于O,

连结OA,则

d=|PO

|=||cos.

PA APO

?∠

∵PO

⊥α,,

nα

⊥

∴PO

∥n

.

∴cos∠APO=|cos,

PA n

??

|

∴D. =|PA ||cos,

PA n

??

|

=|||||cos,|

||

PA n PA n

n

????

=||

||

PA n

n

?

新知：用向量求点到平面的距离的方法：

设A,α

∈空间一点P到平面α的距离为d,平面α的一个法向量为n

，则

D. = ||

||

PA n

n

?

试试：在棱长为1的正方体''''

ABCD A B C D

-中，

求点'C到平面

''

A BCD的距离.

反思：当点到平面的距离不能直接求出的情况下，可以利用法向量的方法求解.

※ 典型例题

例1 已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离.

变式：如图,ABCD 是矩形,PD ⊥平面ABCD ,PD DC a ==

,AD ,M N 、分别是AD PB 、的中点,求点A 到平面MNC 的距离.

小结：求点到平面的距离的步骤：

⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵ 求平面的一个法向量的坐标； ⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷ 代入公式求出距离. 探究任务二：两条异面直线间的距离的求法

例2 如图，两条异面直线,a b 所成的角为θ，在直线,a b 上分别取点',A E 和,A F ,使得'AA a ⊥,且 'AA b ⊥.已知',,A E m AF n EF l ===，求公垂线'AA 的长.

变式：已知直三棱柱111ABC A B C ─的侧棱14AA =,底面ABC △中, 2AC BC ==，且90BCA ∠=

,E 是AB

的中点,求异面直线CE 与1AB 的距离.

小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量n

，再在两条直线

上分别取一点,A B ，则两条异面直线间距离n AB

d n

?= 求解. 三、总结提升 ※ 学习小结

1.空间点到直线的距离公式

2.两条异面直线间的距离公式 ※ 知识拓展

用向量法求距离的方法是立体几何中常用的方法. ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，平面''ABB A 的一个法向量为 ；

2. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 所成角是 ；

3. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，两个平行平面间的距离是 ；

4. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 间的距离是 ；

5. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，点O 是底面''''A B C D 中心，则点O 到平面''A CDB 的距离是 . 课后作业

1. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 是棱1AA 中点，点O 是1BD 中点，求证：OM 是异面直线1AA 与1BD 的公垂线，并求OM 的长.

2. 如图，空间四边形OABC 各边以及,AC BO 的长都是1，点,D E 分别是边,OA BC 的中点，连结DE . ⑴ 计算DE 的长；

⑵ 求点O 到平面ABC 的距离.

A

P

D

C

B

M N

1. 掌握空间向量的运算及其坐标运算；

2. 立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的工具. 115－116，找出惑之处）

复习1：如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===

.点M 在OA 上，且OM=2MA , N 为BC 中点，则MN =

复习2：平行六面体''

''ABCD A B C D -中，AB a = ',AD b AA c ==

，点P,M,N 分别是'''',,CA CD C D

的中点，点Q 在'CA 上，且':4:1CQ QA =,用基底 {}

,,a b c

表示下列向量： ⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN

; ⑷ AQ .

※主要知识点：

1. 空间向量的运算及其坐标运算：

空间向量是平面向量的推广, 有关运算方法几乎一样,只是“二维的”变成 “三维的”了. 2. 立体几何问题的解决──向量是很好的工具 ①平行与垂直的判断 ②角与距离的计算 ※ 典型例题

例1 如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500kg ，在它的顶点处分别受力1F 、2F 、3F

，每个力

与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60 ，且123200F F F kg

===

.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？

变式：上题中，若不建立坐标系，如何解决这个问题？

小结：在现实生活中的问题，我们可以转化我数学中向量的问题来解决，具体方法有坐标法和直接向量运算法，对能建立坐标系的题，尽量使用坐标计算会给计算带来方便.

例2 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,2,ABC CB CA AA ∠=?===点M 是1CC 的中点，求证：1AM BA ⊥.

变式：正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，棱长为2，点M 是BC 的中点，在直线1CC 上求一点N ，使MN AB ⊥.

例3 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，点E ,F 分别在11,BB DD 上，且1AE A B ⊥,1AF A D ⊥. ⑴ 求证：1

AC ⊥平面AEF ; ⑵ 当14,3,5AB AD AA ===时，求平面AEF 与平面11D B BD 所成的角的余弦值.

※ 动手试试

练1. 如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为a

. ⑴试建立适当的坐标系，写出点11,,,A B A C 的坐标 ⑵求1AC 的侧面11ABB A 所成的角.

练2. 已知点A (1,-2,0),向量()3,4,12a =-

，求点B 的坐标，使得//AB a ，且2AB a = .

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 空间向量的运算与平面向量的方法相同；

2. 向量的数量积和平面的法向量是向量解决立体几何问题常用的方法.

※ 知识拓展

若二面角两个面的法向量分别是12,n n

，二面角为θ

则12cos cos ,n n θ=-

，而

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1.已知()()1,1,0,1,0,2a b ==-

，且()(2)ka b a b +⊥- ，则k ＝ ；

2. 已知()()1,21,0,2,,a t t b t t =--=

，则b a - 的最小值是（

）

A.

B. C. D.

3.空间两个单位向量()(),,0,0,,OA m n OB n p == 与()1,1,1OC = 的夹角都等于4

π

，则cos AOB ∠=

4.将正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角后，异面直线,AB CD 所成角的余弦值为 .

5. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，11

AM AC =

,N 是1BB 的中点，则MN ＝（ ）

A.

B. C. D. 1. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,

,E F G 分别为11,,DD BD BB 的中点. ⑴ 求证：EF CF ⊥;

⑵ 求EF 与CG 所成角的余弦值； ⑶ 求CE 的长.

121212cos ,.

||||

n n n n n n ?<>=