11 度量间的定义与极限

第一章 度量空间

若在实数集

R 中点列n x 的极限是x 时，我们使用||n x x -来表示n x 和x 的接近程度，事实上，||n x x -可表示为数轴上n x 和x 这

两点间的距离，那么实数集R

中点列

n x 收敛于x 也就是指n x 和x 之间的距离随着n →∞而趋于0，即l

i m (,)0n n d x x →∞

=． 于是人们就想，

在一般的点集

X

中如果也有“距离”，那么在点集

X

中也可借这一“距离”来定义极限，而究竟什么是“距离”呢？或者说“距离”的本质是什么？

诗人顾城的一首诗《远和近》对距离的感受又如何呢？

远和近 你 一会看我 一会看云 我觉得 你看我时很远 你看云时很近

这首诗诗似乎是纯理性的，十分冷静，但细细品味，其中暗暗催动着一股热流：呼唤一种相互理解、相互信任、和谐融洽的人际关系．现实距

离和心理距离并不总是一致的．现实距离很远，但心理距离却可能很近，“海内存知己，天涯若比邻”，即是此意．也可能现实距离很近，而心理距离却很远，所谓“咫尺天涯”大概就是指此而言了．那么如何给出距离这一概念？

1.1 度量空间的定义与极限

1.1.1 度量空间的定义与举例

定义 1.1.1 设X 为一非空集合．若存在二元映射:d X X ?→R ，使得,,x y z X

?∈，均满足以下三个条件：

（1）(,)0,d x y ≥且(,)0d x y =当且仅当x y = (非负性 Positivity )； （2）(,)(,)d x y d y x = (对称性 Symmetry )；

（3）

(,)(,)(,)d x z d x y d y z ≤+ (三角不等式 Triangle inequality )，

则称d 为

X 上的一个距离函数，称(,)X d 为距离空间或度量空间(Metric Spaces)，(,)d x y 称为

x 和y 两点间的距离．□

注1：在不产生误解时，(,)X d 可简记为X

．

下面我们来看一些具体的例子

例 1.1.1 欧氏空间

n R ．

设n

R 12{(,,,)|,1,2,,}n i x x x x R i n =∈=，定义

(,)d x y =

其中

12(,,,),n x x x x = 12(,,,)n y y y y =n R ∈，可以验证(,)n R d 是一个度量空间．

在证明之前，引入两个重要的不等式．

引理1.1.1 (许瓦兹(Schwarz)不等式) 任给2n 个实数1212,,

,,,,

,n n a a a b b b ，有

1

12222

1

1

1

()()

n

n

n

i i

i

i

i i i a b a b ===≤∑∑∑ (1.1) 证明 任取实数

λ，则由

2

2

22

1

1

1

1

0()2n

n

n n

i i i

i i i i i i i a b b

a b a λλ

λ====≤+=++∑∑∑∑

知右端二次三项式的判别式不大于零，即

2

2

2111

240n n

n

i i i i

i i i a b b a

===??

?=-≤ ???

∑∑∑

于是可得(1.1)式成立．□

进一步有H ?lder 不等式

111

1

1

()()

n

n

n

p

q p

q

i i

i i i i i a b

a b ===≤∑∑∑

其中

,1p q ≥且

11

1p q

+=，称这样的两个实数,p q 为一对共轭数． 引理1.1.2 闵可夫斯基(Minkowski)不等式的和形式 任给2n 个实数12,,

,n a a a 及12,,

,n b b b ，有

1112

2

2

222111()n

n

n

i i i i i i k a b a b ===??????+≤+ ? ? ???????

∑∑∑ (1.2)

证明 由(1.1)式得

2

2

21

11

1

()2n n

n n

i

i

i

i i i i i i i a b a

a b b ====+=++∑∑∑∑

112

2

2

222

11112n

n

n

n

i

i i i i i i i a a b b ====??

??≤+?+ ? ???

??

∑∑∑∑

2

11

222211n n i i i i a b ==????????=+ ? ?????????

∑∑

这就证明了(1.2)式．□

进一步可有Minkowski 不等式的一般形式，其中1k

≥

1

111

1

1

()()()

n

n

n

k k k k

k

k

i i i i i i i a b a b ===+≤∑∑∑

例 1.1.1 欧氏空间

n R ． 设n R 12{(,,,)|,1,2,,}n i x x x x R i n =∈=，定义1k ≥

(,)d x y =

(1.3)

其中

12(,,,),n x x x x = 12(,,,)n y y y y =n R ∈，可以验证(,)n R d 是一个距离函数．

证明 非负性(1)和对称性(2)显然成立，下面仅验证(3)也成立．对于任意的

12(,,,)n n z z z z R =∈，由闵可夫斯基不等式(1.2)有

()12

21n

i i i x z =??-=????∑()12

21n

i i i i i x y y z =??

-+-????∑

≤ ()1

2

21n

i i i x y =??-+????∑()12

21n

i i i y z =??-??

??

∑，

即(,)(,)(,)d x z d x y d y z ≤+．从而得证

d 是一个距离函数．□

注2：称(,)n

R d 为n 维欧氏空间，d 称为欧氏距离或标准欧氏距离．今后若不作特殊申明，凡提到度量空间n R ，均指由(1.3)式的欧氏距

离所定义的．

注3：在

n R 中我们还可以定义其他的距离：

1(,)max ||k k d x y x y =-；

21

(,)||n

k k k d x y x y ==-∑．

可以验证距离

1d 、2d 均满足条件(1)、(2)和(3)．

注4：在

2R 中比较上述三种距离d 、1d 和2d ，可看看他们各表示什么？

由此知道，在一个集合上，定义距离的方法可以不止一种．但务必注意的是，由于定义的距离不同，所以即使基本集相同，也应视他们为不同

的度量空间．

下面的例子说明任何一个集合上均可定义距离，使其成为度量(距离)空间． 例1.1.2 离散度量空间 设

X 为非空集合，,x y X ?∈，定义距离

00 (,)1x y d x y x y =?=?

≠?

当时

当时 (1.4) 容易验证

0d 满足距离的三个条件，并称之为离散距离，0(,)X d 为离散度量空间．

例 1.1.3 连续函数空间[,]C a b

[,]{:[,]|}C a b f a b R f =→连续，,[,]f g C a b ?∈，定义

[,]

(,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-，

证明 显然d 满足非负性(1)和对称性(2)，下面验证(3)也成立．

(),(),()[,]f t g t h t C a b ?∈及[,]t a b ?∈均有

|()()||()()||()()|f t h t f t g t g t h t -≤-+-

[,]

[,]

max |()()|max |()(|t a b t a b f t g t g t h t ∈∈≤-+-）

(,)(,)d f g d g h =+，

故[,]

(,)max |()()|t a b d f

h f t h t ∈=-≤(,)(,)d f g d g h +．称([,],)C a b d 为连续函数空间，简记为[,]C a b ．□

注5：在[,]C a b 中我们还可以定义如下的距离：

1(,)()()b

a

d f g f x g x dx =-?．

可以验证1d 均满足条件(1)、(2)和(3)，所以1([,],)C a b d 也为一度量空间． 例 1.1.4 有界数列空间l

∞

121

{(,,,,)()| sup{||}}n i i i l x x x x x x ∞≥===<∞，对于()i x x =，()i y y =∈l ∞，定义

1

(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-，

可以验证d 是一个距离函数，并称(,)l d ∞为有界数列空间，简记为l ∞．

例1.1.5

p 次幂可和的数列空间p l

121

{(,,

,,)()| ||,1}p

p n i i i l x x x x x x p ∞

====<∞<<+∞∑

(),()p i i x x y y l ?==∈，定义

1

1(,)||p

p p i i i d x y x y ∞

=??

=- ?

??

∑ (1.5)

(1.5)式是有意义的，因为由闵可夫斯基不等式及p

l 的定义知其右端有界．可以证明

p d 是一个距离函数．称(,)p p l d 为p 次幂可和的数列

空间，简记为p

l

．

例1.1.6

p 次幂可积函数空间[,]p L a b (1)p ≥

[,]{()| |()|[a,b]}p p L a b f t f t L =在上可积

即：

{

}

[,]

[,]()||()|p p a b L a b f t f t dt =<+∞

?

在

[,]p L a b 中，我们把几乎处处相等的函数视为同一函数． 对于,[,]p f g L a b ∈，定义距离

1[,]

(,)(|()()|)

p

p

a b d f g f t g t dt =-?

那么([,],)p

L

a b d 为度量空间． 并称([,],)p L a b d 为p 次幂可积函数空间，简记为[,]p L a b ．

分析 集合

[,]p L a b 具有下列重要性质：

(1)对线性运算是封闭的．即若

,[,]p f g L a b ∈，α

是一常数，则

[,],[,]p p f L a b f g L a b α∈+∈．

(2)[,][,](1)p L a b L a b p ?≥．

设

[,]p f L a b ∈，令(||1)A E f =≥，(||1),[,]B E f E a b =<=，则

||||||b

a

A

B

f dm f dm f dm =+???

||()p A

f dm b a ≤+-?

||()p

b

a

f dm b a ≤+-<+∞?

故

(,)f L a b ∈．

引理1.1.3 闵可夫斯基(Minkowski)不等式(积分形式): 设

()f x 、()g x 是可测集E

上的可测函数且

1k ≥ ()()()

111()()()()k

k

k

k

k

k

E

E

E

f x

g x dx

f x dx

g x dx

+≤+?

??

(1.6)

证明 因为

1(,)|()()|p

p

b

a d f g f t g t dt ??

=- ?

??

?

()()

1

1()()p

p

p

p

E

E

f x dx

g x dx

≤

+?

?

≤+∞，

所以(1.6)式有意义． 显然非负性(1)和对称性(2)成立，下面验证三角不等式(3)也成立． 对于任意的

(),(),()[,]p f x g x z x L a b ∈有

1

(,)|()()|p

p

b

a d f g f t g t dt ??

=- ?

??

?

1

|()()()()|p

p b a f t z x z x g t dt ??=-+- ???

?

()()

11

()()()()p

p

p

p

E

E

f x z x dx

z x g x dx

≤

-+-?

?

(,)(,)d f z d z g =+ □

上述例子涉及到常用的六个度量空间：

n 维欧氏空间(,)n R d ；离散度量空间0(,)X d ；连续函数空间[,]C a b ；有界数列空间l ∞；p

次幂可和的数列空间p

l

；

p 次幂可积函数空间([,],)p L a b d ．

1.1.2 度量空间中的极限

极限理论是数学分析的基础, 数学分析主要研究微分和积分, 而极限又是微积分学大厦的基石，在数学分析中, 利用极限的思想方法给出连续函

数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数, 广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分等概念，可见极限思想贯穿于整个数学分析课程，它也是高等数学必不可少的一种重要思想．同样地，在度量空间中也可定义极限，而且分析中的数列极限可看成下列度量空间中点列极限的特

例．

定义1.1.2 设(,)X d 是度量空间，,{}n x X x ∈是

X

中点列，若lim (,)

0n n d x x →∞

=， 则称点列{}n x 收敛于x ，称x 为点列{}

n x 的极限． 记作

lim n n x x →∞

=，或()d

n x x n →→∞或()n x x n →→∞．

{}n x 收敛于x 用“N ε-”语言描述是: 0,N ε?>?∈N ，当n N >时，恒有(,)n d x x ε

<成立． 若点列{}n x 不收敛，

则称其发散．□

例1.1.7 设

X

是实数集，数列

1

(1,2,)n x n n

=

=．若在X 上定义欧氏距离

(,)||(,),d x y x y x y X =-∈

显然，数列{}n x 在度量空间(,)X d 中收敛于0．若在

X

上定义离散距离

00,,

(,)(,),1,x y d x y x y X x y =?=∈?≠?

则数列{}n x 在度量空间0(,)X d 中是发散的．

因为对任意给定的

0x X

∈， 只要

01x n ≠，就有01,1d x n ??

= ???

，所以无论n 多么大，有 001lim ,10,n d x n →∞

??

=≠ ???

可见数列{}n x 不收敛于

0x ．虽然(,)u X d 与0(,)X d 有共同的基本集X

，但由于定义的距离的不同，它们是两个不同的度量空间，可见同一

点列{}n x 在一个度量空间中收敛，在另一度量空间中却发散．□

定义1.1.3 设(,)X d 为度量空间，A X

?，若将距离限制在

A A ?上，显然A 也是一个度量空间，称作X

的子空间．

若

,x X A X ∈?，则点x 到A 的距离定义为：

{}(,)inf (,)y A

d x A d x y ∈= (1.7)

集合

A 的直径定义为：

{},dia sup (,)x y A

A d x y ∈= (1.8)

若dia A 有限，则称A 为有界集；若dia A =+∞，则称A 为无界集．□

在离散度量空间

0(,)d R 中点0x A

?，

A ?R ，那么0(,)d x A 和dia A 分别是多少？显然(1)当A 是单点集时，有

0(,)1d x A =及dia 0A =；(2)当A 不是单点集时，有0(,)1d x A =及dia 1A =．

定理1.1.1 极限的性质 设(,)X d 是度量空间， {}n x 是X

中的一个点列．

（1）若点列{}n x 收敛，则其极限唯一； （2）若点列

0()n x x n →→∞，则{}n x 的任何子列0()k n x x k →→∞；

（3）若收敛点列{}n x 看作是X

的子集，则它是有界的．

证明 （1）设

()n x x n →→∞且()n x y n →→∞，由定义知：0,ε?>N ?N∈，当n >N 时，有

(,),(,)22

n n d x x d x y εε

<<， 故当n >N 时，我们有

(,)(,)(,)n n d x y d x x d x y ≤+2

2

ε

ε

ε

<

+

=．

由ε的任意性知，

(,)0d x y =，从而x y =．

（2）设

()n x x n →→∞，{}k n x 是{}n x 的子列．

{}n x ： 1234567,,,,,,,

,,

,

n x x x x x x x x

{}k n x ：1n x ， 2n x ， 3n x ， ,

,

k n x

由定义，

0,ε?>N

?N ∈，当

n >N 时，有(,)n d x x ε

<，由于

k >N 时，k n k ≥>N ，故(,)k n d x x ε

<，即

()k n x x k →→∞．

（3）设

0()

n x x n →→∞，由定义知：对

01

ε=，

N

?N∈，当

n >N

时，

00(,)1

n d x x ε<=．取10200m a x {(,),(,

),,(,),1}1M d x x d x x d x x N =+，则n N ?∈，

0(,)n d x x M

<，于是

,n m N

?∈

，00(,)(,)(,)2n m n m d x x d x x d x x M ≤+<．即{}n x 作为点集有界．□

例 1.1.8 设

{}()n f x 是连续函数空间[,]C a b ([,]

(,)max

|()()|t a b d f g f t g t ∈=-)中的点列，那么 ()()n f x f x ?(函数列一致收敛)当且仅当()()n f x f x →(度量空间中的点列收敛)．

证明

()()n f x f x →()n →∞等价于0,ε?>N ?N∈，当n >N 时，有((),())n d f x f x ε

<．

其中((),

())n d f x f x ε<，等价于[,]

(,)max |()()|n n x a b d f f f x f x ε

∈=-<．进一步等价于

[,]x a b ?∈，有|()()|n f x f x ε

-<．

于是

()()n f x f x →()

n →∞等价于

0,ε?>N

?N ∈，当

n >N

时，

[,]x a b ?∈，有|()()|n f x f x ε

-<，即

()()

n f x f x ?．□ 例1.1.9 设(,)d x y 是

X

上的一个距离，则

1(,)

(,)1(,)

d x y d x y d x y =

+也是X

上的距离．

证明 显然非负性和对称性成立，下面仅证三角不等式． 由于

(,)d x y 是X

上的距离，所以

,,x y z X

?∈，有

(,)(,)

(,)d x y d x z d z y ≤+． 又知函数()1t f t t =

+2

1

(()0)(1)'f t t =>+为单调递增函数，于是

1(,)(,)1(,)d x y d x y d x y =

+(,)(,)

1(,)(,)d x z d z y d x z d z y +≤

++ (()f t 单调递增)

(,)(,)

1(,)(,)1(,)(,)

d x z d z y d x z d z y d x z d z y =+

++++

(,)(,)

1(,)1(,)

d x z d z y d x z d z y ≤

+

++ 11(,)(,)d x z d z y =+ 因此1(,)d x y 是X

上的距离． □